2024北京平谷五中高二（上）期中數(shù)學（教師版）

第1頁/共1頁2024北京平谷五中高二（上）期中數(shù)學2024.11.6一、單項選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.已知，則與的夾角為（）A. B. C. D.3.下列命題中，正確的是（）.A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則4.從甲、乙、丙、丁四人中任選兩人參加問卷調查，則甲被選中的概率是（）A. B. C. D.5.為深入貫徹落實《國務院辦公廳關于強化學校體育促進學生身心健康全面發(fā)展的意見》，我市提出：到2020年，全市義務教育階段學生體質健康合格率達到98%，基礎教育階段學生優(yōu)秀率達到15%以上．某學?，F(xiàn)有小學和初中學生共2000人，為了解學生的體質健康合格情況，決定采用分層抽樣的方法從全校學生中抽取一個容量為400的樣本，其中被抽到的初中學生人數(shù)為180，那么這所學校的初中學生人數(shù)為（）A.800 B.900 C.1000 D.11006.已知兩條不同的直線，兩個不同的平面，則下列說法正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則7.甲、乙兩人射擊，甲的命中率為0.6．乙的命中率為0.5，如果甲、乙兩人各射擊一次，恰有一人命中的概率為（）A.0.3 B.0.4 C.0.5 D.0.68.如圖，正方體的棱長為1，分別為棱上的動點，那么三棱錐的體積為（）A. B.C. D.9.有6個相同的球，分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機取兩次，每次取1個球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則（）A.甲與丙相互獨立 B.甲與丁相互獨立C.乙與丙相互獨立 D.丙與丁相互獨立10.正多面體也稱柏拉圖立體，被譽為最有規(guī)律的立體結構，是所有面都只由一種正多邊形構成的多面體（各面都是全等的正多邊形）.數(shù)學家已經證明世界上只存在五種柏拉圖立體，即正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體.如圖，已知一個正八面體的棱長為2，，分別為棱，的中點，則直線和夾角的余弦值為（）A. B.C. D.二、填空題（共8小題，每小題5分，共40分）11.函數(shù)的定義域為________.12.復數(shù)的虛部為________.13.已知空間向量，，且與是共線向量，則實數(shù)x的值為_______．14.正四棱錐底面邊長為4，側棱長為3，則其體積為_____；15.若，是兩條不同的直線，，是兩個不同平面，，.則“”是“”的______條件.16.某高校調查了200名學生每周的自習時間(單位：小時)，制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中自習時間的范圍是[17.5，30]，樣本數(shù)據(jù)分組為[17.5，20)，[20，22.5)，[22.5，25)，[25，27.5)，[27.5，30]．根據(jù)直方圖，這200名學生中每周的自習時間不少于22.5小時的人數(shù)是_________.17.已知實驗女排和育才女排兩隊進行比賽，在一局比賽中實驗女排獲勝的概率是23，沒有平局．若采用三局兩勝制，即先勝兩局者獲勝且比賽結束，則實驗女排獲勝的概率為____18.如圖，在棱長為1的正方體中，為棱上的動點且不與重合，為線段的中點.給出下列四個命題：①三棱錐的體積為；②；③的面積為定值；④四棱錐是正四棱錐.其中所有正確命題的序號是________.三、解答題（共5小題，共70分）19.如圖，在四棱錐中，底面是菱形，平面，E為的中點.（1）求證：平面；（2）求證：平面.20.如圖，三棱錐中，，平面平面，點是棱的中點，再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知.（1）求平面與平面的夾角的余弦值.（2）求點到面的距離.條件①：；條件②：直線與平面所成角為.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.21.如圖，四棱錐的底面是直角梯形，，，平面，是的中點，與平面交于點，.（1）求證：是的中點；（2）若為棱上一點，且直線與平面所成的角的正弦值為，求的值.22.某球員在8場籃球比賽的投籃情況如下（假設各場比賽互相獨立）：場次投籃次數(shù)命中次數(shù)場次投籃次數(shù)命中次數(shù)主場12214客場1186主場21512客場2135主場3228客場3217主場42317客場41815（1）從上述比賽中隨機選擇一場，求該球員在本場比賽中投籃命中率超過0.5的概率；（2）從上述比賽中選擇一個主場和一個客場，求該球員的投籃命中率一場超過0.5，另一場不超過0.5的概率；（3）記是表中8場命中率的平均數(shù)，是表中4個主場命中率的平均數(shù)，是表中4個客場命中率的平均數(shù)，比較的大小．（只需寫出結論）》23.手機完全充滿電量，在開機不使用的狀態(tài)下，電池靠自身消耗一直到出現(xiàn)低電量警告之間所能維持的時間稱為手機的待機時間.為了解A，B兩個不同型號手機的待機時間，現(xiàn)從某賣場庫存手機中隨機抽取A，B兩個型號的手機各5臺，在相同條件下進行測試，統(tǒng)計結果如下：手機編號12345A型待機時間（h）120125122124124B型待機時間（h）118123127120已知A，B兩個型號被測試手機待機時間的平均值相等.（1）求的值；（2）從被測試的手機中隨機抽取A，B型號手機各1臺，求至少有1臺的待機時間超過122小時的概率.

參考答案一、單項選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）1.【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用交集的定義求解即得.【詳解】集合，，所以.故選：C2.【答案】C【分析】利用空間向量夾角的坐標運算公式計算即可.【詳解】解：，又，.故選：C.3.【答案】C【分析】根據(jù)向量模長的定義以及向量的定義即可逐一判斷.【詳解】對于A;比如,不相等，但，故A錯誤；對于B;向量的模長可以有大小之分，但是向量不可以比較大小，所以B錯誤；對于C;向量相等，則其模長相等，方向相同，故C正確；對于D；若，，但不相等，故D錯誤；故選：C4.【答案】A【詳解】從四人中任選兩人共有中情況，甲被選中的情況點三種，故甲被選中的概率．故本題答案選．5.【答案】B【分析】根據(jù)分層抽樣直接得出.【詳解】所學校的初中學生人數(shù)為，故選：B.6.【答案】D【分析】由點線面位置關系、定理及性質即可判斷.【詳解】對于A，如圖，若，則或與異面，故A錯誤；對于B，，若，則由線面垂直定義，故B錯誤；對于C，如圖，，此時，故C錯誤；對于D，若，則由線面平行性質定理，故D正確.故選：D.7.【答案】C【分析】甲乙相互獨立，而甲、乙兩人中恰好有一人擊中目標即為事件：，由相互獨立事件的概率乘法公式可求．【詳解】設“甲命中目標”為事件，“乙命中目標”為事件由題意可得，且甲乙相互獨立甲、乙兩人中恰好有一人擊中目標即為事件：，故選：C8.【答案】A【分析】由平面，F(xiàn)在上知，三棱錐的高為正方體的棱長1，再利用棱錐的體積公式即可求解．【詳解】平面，F(xiàn)在上，所以三棱錐的高為正方體的棱長1，又因為E在上，所以以為底邊，高為正方形的邊長1，由三棱錐的體積公式得，故選：A．9.【答案】B【分析】根據(jù)獨立事件概率關系逐一判斷【詳解】P(甲)=P(P(故選：B【點睛】判斷事件是否獨立，先計算對應概率，再判斷是否成立10.【答案】D【分析】根據(jù)題意得到，，然后由向量的數(shù)量積公式分別求出，結合向量的夾角運算公式，即可求解.【詳解】如圖所示：由題意，可得，，又由正八面體的棱長都是2，且各個面都是等邊三角形，在中，由，可得，所以，所以；；；所以，即直線和夾角的余弦值為.故選：D.【點睛】關鍵點點睛：選取適當?shù)幕紫蛄?，由已知條件可以求出它們的模以及兩兩之間的夾角，所以只需把分解，然后由向量的夾角公式即可求解.二、填空題（共8小題，每小題5分，共40分）11.【答案】【分析】由題可得函數(shù)定義域.【詳解】由題，則函數(shù)定義域為.故答案為：12.【答案】【分析】由復數(shù)虛部定義可得答案.【詳解】由題可得的虛部為.故答案為：13.【答案】【分析】根據(jù)向量共線得到，列出方程組，求出答案.【詳解】設，則，解得：.故答案為：-614.【答案】【分析】由正四棱錐的底面邊長求出底面中心到一個頂點的距離，結合棱長，求出正四棱錐的高，然后利用體積公式進行求解．【詳解】如圖，正四棱錐P-ABCD中，AB=4，PA=3，設正四棱錐的高為PO，連接AO，則在直角三角形中，，所以，故答案為．【點睛】本題考查正棱錐的性質及棱錐的體積公式，解題的關鍵是熟悉正棱錐的幾何性質，屬基礎題15.【答案】既不充分也不必要【分析】由空間中線面關系可得答案.【詳解】當時，直線m與直線n可能平行，也可能異面，則不能推得；時，平面與平面可能平行也可能相交，則不能推得.則“”是“”的既不充分也不必要條件.故答案為：既不充分也不必要.16.【答案】【分析】先計算出的頻率，然后用乘以這個頻率得出所求的人數(shù).【詳解】由圖象可知，的頻率之和為，故所求人數(shù)為人.【點睛】本小題主要考查利用頻率分布直方圖求頻率以及頻數(shù)，考查閱讀和理解能力，屬于基礎題.17.【答案】【分析】實驗女排獲勝的情況有前兩局獲勝；前兩局勝一局，第三局獲勝，這兩種情況，求得概率即可.【詳解】由題知，實驗女排獲勝的概率為，故答案為：18.【答案】②③④【分析】利用錐體的體積公式判斷①；利用線面垂直的判定定理判斷②；利用平行線的傳遞性及三角形面積公式判斷③；利用正棱錐的定義判斷④.【詳解】對于①，三棱錐體積為，因此三棱錐體積的最大值為，①錯誤；對于②，連接，則，又平面，平面，則，而，平面，則平面，又平面，因此，②正確；對于③，設，連接，則，，即和到的距離相等且不變，因此的面積為定值，③正確；對于④，由，知平面，又為正方形，為其中心，因此四棱錐是正四棱錐，④正確.故答案為：②③④三、解答題（共5小題，共70分）19.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【分析】（1）根據(jù)線面垂直的性質可得，結合線面垂直判定定理即可證明；（2）設AC與BD交于點O，連接OE，則，結合線面平行的判定定理即可證明.【小問1詳解】因為平面，平面，所以，又平面為菱形，所以，又平面，所以平面；【小問2詳解】E為PD的中點，設AC與BD交于點O，連接OE，則，又平面，平面，所以平面.20.【答案】（1）（2）【分析】（1）取AB中點為D，連接CD，PD.可證明CD平面，選擇條件①或條件②都能得到是等邊三角形，據(jù)此可建立以D為原點的空間直角坐標系.求出平面與平面的法向量，由空間向量知識可得答案；（2）求出平面的法向量，有空間向量知識可得答案.【小問1詳解】取AB中點為D，連接CD，PD.由題可得是等邊三角形，則，又平面平面，平面平面，則平面，因PD平面，則PD.若選條件①，因，，結合PD，可得.又，則是以為，為的直角三角形.若選條件②，因平面，則為直線與平面所成角，因，則為等腰直角三角形，因，可得，后同理可得則是以為，為的直角三角形.即是等邊三角形.如圖延長CD，建立以D為原點的空間直角坐標系.則.，設平面法向量為n1=x則，取.又以上分析可知平面ABC，則平面ABC法向量可取，則平面與平面的夾角的余弦值；【小問2詳解】由（1）可得，設平面法向量為，則，取，又，則求點到面的距離.21.【答案】（1）證明見解析（2）或【分析】（1）由線面平行的判定與性質可得，即可得證；（2）建立空間直角坐標系，利用向量法由線面角公式求解即可.【小問1詳解】因為，平面，平面，所以平面.因為平面，平面平面，所以.所以.因為點是的中點，所以點是的中點.【小問2詳解】因為平面，平面，所以.由，如圖建立空間直角坐標系，則，，，，，，，，，.設，所以.設平面的一個法向量為，則即令，則，所以.所以.設直線與平面所成的角為，則，解得：或.所以或.22.【答案】（1）0.5（2）（3）【分析】（1）統(tǒng)計8場比賽中的投中率，即可求解，（2）根據(jù)獨立事件的概率公式即可求解，（3）由平均數(shù)的定義即可結合表中數(shù)據(jù)求解.【小問1詳解】根據(jù)投籃統(tǒng)計數(shù)據(jù)，在8場比賽中，該球員投籃命中率超過0.5的有4場，分別是主場1，主場2，主場4，客場4．∴在隨機選擇的一場比賽中，該球員投籃命中率超過0.5的概率是0.5．【小問2詳解】設事件A為“在隨機選擇的一場主場比賽中，該球員的投籃命中率超過0.5”，事件B為“在隨機選擇的一場客場比賽中，該球員的投籃命中率超過0.5”事件C為“在隨機選擇的一個主場和一個客場中，該球員的投籃命中率一場超過0.5，一場不超過0.5”．則相互獨立．根據(jù)投籃統(tǒng)計數(shù)據(jù)，．故∴在隨機選擇的一個主場和一個客場中，該球員的投籃命中率一場超過0.5，一場不超過0.5的概率是．【小問3詳解】，理由：根據(jù)表中數(shù)據(jù)可知主場的4場比賽中，投籃命中率的平均數(shù)顯然高于客場的，所以，由于，所以.23.【答