2025年中考數學思想方法復習系列 【分類討論】不等式（組）中的分類討論思想（解析版）

不等式（組）中的分類討論思想知識方法精講1．解一元一次不等式根據不等式的性質解一元一次不等式基本操作方法與解一元一次方程基本相同，都有如下步驟：①去分母；②去括號；③移項；④合并同類項；⑤化系數為1．以上步驟中，只有①去分母和⑤化系數為1可能用到性質3，即可能變不等號方向，其他都不會改變不等號方向．注意：符號“≥”和“≤”分別比“＞”和“＜”各多了一層相等的含義，它們是不等號與等號合寫形式．2．解一元一次不等式組（1）一元一次不等式組的解集：幾個一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它們所組成的不等式組的解集．（2）解不等式組：求不等式組的解集的過程叫解不等式組．（3）一元一次不等式組的解法：解一元一次不等式組時，一般先求出其中各不等式的解集，再求出這些解集的公共部分，利用數軸可以直觀地表示不等式組的解集．方法與步驟：①求不等式組中每個不等式的解集；②利用數軸求公共部分．解集的規(guī)律：同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到．3．一元一次不等式組的整數解（1）利用數軸確定不等式組的解（整數解）．解決此類問題的關鍵在于正確解得不等式組或不等式的解集，然后再根據題目中對于解集的限制得到下一步所需要的條件，再根據得到的條件進而求得不等式組的整數解．（2）已知解集（整數解）求字母的取值．一般思路為：先把題目中除未知數外的字母當做常數看待解不等式組或方程組等，然后再根據題目中對結果的限制的條件得到有關字母的代數式，最后解代數式即可得到答案．4.分類討論思想每個HYPERLINK\t"/item/%E5%88%86%E7%B1%BB%E8%AE%A8%E8%AE%BA%E6%80%9D%E6%83%B3/_blank"數學結論都有其成立的條件，每一種數學方法的使用也往往有其適用范圍，在我們所遇到的數學問題中，有些問題的結論不是唯一確定的，有些問題的結論在解題中不能以統一的形式進行研究，還有些問題的已知量是用字母表示數的形式給出的，這樣HYPERLINK\t"/item/%E5%88%86%E7%B1%BB%E8%AE%A8%E8%AE%BA%E6%80%9D%E6%83%B3/_blank"字母的取值不同也會影響問題的解決，由上述幾類問題可知，就其解題方法及轉化手段而言都是一致的，即把所有研究的問題根據題目的特點和要求，分成若干類，轉化成若干個小問題來解決，這種按不同情況分類，然后再逐一研究解決的HYPERLINK\t"/item/%E5%88%86%E7%B1%BB%E8%AE%A8%E8%AE%BA%E6%80%9D%E6%83%B3/_blank"數學思想，稱之為分類討論思想。一．選擇題（共1小題）1．（2021春?鼓樓區(qū)校級期末）解不等式時，我們可以將其化為不等式組或得到的解集為或，利用該題的方法和結論，則不等式的解集為A． B． C． D．或【考點】解一元一次不等式組【分析】根據已知不等式得出不等式組，求出不等式組大的解集即可．【解答】解：，原不等式化為：或，解得：或，故選：．【點評】本題考查了解一元一次不等式組，能求出符合的所有情況是解此題的關鍵．二．填空題（共7小題）2．（2021春?涪城區(qū)校級月考）若關于的不等式組的所有整數解的和是，則的取值范圍為或．【考點】一元一次不等式組的整數解【分析】解不等式組得出解集，根據整數解的和為，可以確定整數解為，，或，，，，，0，1，2，再根據解集確定的取值范圍．【解答】解：解不等式組得：，所有整數解的和是，不等式組的整數解為，，或，，，，，0，1，2，或；故答案為：或．【點評】考查一元一次不等式組的解集、整數解，根據整數解和解集確定待定字母的取值范圍，在確定的過程中，不等號的選擇應認真細心，切實選擇正確．3．（2021春?郫都區(qū)校級期中）若關于的不等式組的所有整數解的和是15，則的取值范圍是或．【考點】一元一次不等式組的整數解【分析】解不等式組得出解集，根據整數解的和為15，可以確定整數解為6，5，4這四個數，再根據解集確定的取值范圍．【解答】解：解不等式組得：，所有整數解的和是15，，，5，4，因此不等式組的整數解為①6，5，4，或②6，5，4，3，2，1，0，，，，或；故答案為：或．【點評】考查一元一次不等式組的解集、整數解，根據整數解和解集確定待定字母的取值范圍，在確定的過程中，不等號的選擇應認真細心，切實選擇正確．4．（2020?拱墅區(qū)一模）已知關于的不等式組的所有整數解的和為7，則的取值范圍是或．【考點】一元一次不等式組的整數解【分析】先求出求出不等式組的解集，再根據已知得出關于的不等式組，求出不等式組的解集即可．【解答】解：，解不等式①得：，解不等式②得：，不等式組的解集為，關于的不等式組的所有整數解的和為7，當時，這兩個整數解一定是3和4，，，當時，整數解是，，0，1，2，3和4，，，的取值范圍是或．故答案為：或．【點評】本題考查了解一元一次不等式組和不等式組的整數解，能得出關于的不等式組是解此題的關鍵．5．（2021秋?讓胡路區(qū)期末）若關于的不等式組，恰有2個整數解，則的取值范圍為．【考點】一元一次不等式組的整數解；解一元一次不等式組【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據不等式組整數解的個數可得答案．【解答】解：解不等式，得：，解不等式，得：，則不等式組的解集為，不等式組的整數解有2個，，故答案為：．【點評】本題考查的是一元一次不等式組的整數解，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．6．（2020秋?芙蓉區(qū)月考）已知關于的不等式組的所有整數解的和為，的取值范圍是或．【考點】：一元一次不等式組的整數解【分析】解不等式組得出，根據不等式的所有整數解的和為知不等式組的整數解為、、或、、，，0，1，據此可得或，解之即可得出答案．【解答】解：解不等式，得：，，不等式組的解集為，不等式的所有整數解的和為，不等式組的整數解為、、或、、，，0，1，則或，解得或，故答案為：或．【點評】本題主要考查一元一次不等式組的整數解，解題的關鍵是掌握解一元一次不等式組的能力，并根據不等式組的整數解情況得出關于的不等式組．7．若關于的不等式組的所有整數解的和是，則的取值范圍是或．【考點】一元一次不等式組的整數解【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據不等式組的整數解的和為，知不等式組的整數解為、或、、、、0、1、2，據此求解可得．【解答】解：解不等式，得：，不等式組的整數解的和為，不等式組的整數解為、或、、、、0、1、2，則或，故答案為：或．【點評】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．8．若關于的不等式組的所有整數解的和是18，則的取值范圍是或．【考點】一元一次不等式組的整數解【分析】解不等式組得出解集，根據整數解的和為18，可以確定整數解為6，5，4，3這四個數，再根據解集確定的取值范圍．【解答】解：解不等式組得：，所有整數解的和是18，，5，4，3，因此不等式組的整數解為①6，5，4，3，或②6，5，4，3，2，1，0，，或；故答案為：或．【點評】考查一元一次不等式組的解集、整數解，根據整數解和解集確定待定字母的取值范圍，在確定的過程中，不等號的選擇應認真細心，切實選擇正確．三．解答題（共12小題）9．（2021秋?西城區(qū)校級期中）閱讀下列材料：根據絕對值的定義，表示數軸上表示數的點與原點的距離，那么，如果數軸上兩點、表示的數為，時，點與點之間的距離為．根據上述材料，解決下列問題：如圖，在數軸上，點、表示的數分別是，、兩點的距離用表示），點是數軸上一個動點，表示數．（1）12個單位長度；（2）若，求的值；（寫過程）（3）若關于的方程無解，則的取值范圍是．【考點】絕對值；數軸【分析】（1）用兩個點所表示的數的差的絕對值進行計算即可；（2）分三種情況討論，，，；（3）分四種情況討論，，，，，【解答】解：（1），所以，故答案為：12；（2）分三種情況：當時，，，解得：，當時，，，此方程無解，當時；，，解得：，答：的值為或12；（3）分四種情況：當時，，，解得：，，解得：，當時，，，解得：，，解得：，當時，，，解得：，，解得：，當時，，，解得：，，解得：，綜上所述：時方程有解，所以：時方程無解，故答案為：．【點評】本題考查了數軸和絕對值的意義，同時滲透了分類討論的數學思想．10．（2021秋?平谷區(qū)校級期中）若分式值為正，求的取值范圍．關于這道題，某同學根據分式即除法，根據除法處理符號的原則，同號相除得正，得，求得．根據這位同學的做法，若，求的取值范圍．若，求的取值范圍．若，求的取值范圍．【考點】解一元一次不等式；分式的乘除法；分式有意義的條件【分析】根據所給例題，結合分式的性質進行解題即可．【解答】解：，，解得；，，，解得；，或，解得或；故答案為：；；或．【點評】本題考查分式不等式的解法，理解題意，利用分式的性質，并能根據情況分類討論解不等式是解題的關鍵．11．（2021春?薛城區(qū)期末）例：解不等式解：由實數的運算法則：“兩數相乘，同號得正”得①，或②，解不等式組①得，，解不等式組②得，，所以原不等式的解集為或．閱讀例題，嘗試解決下列問題：（1）平行運用：解不等式；（2）類比運用：若分式的值為負數，求的取值范圍．【考點】實數的運算；多項式乘多項式；分式的值；解一元一次不等式組【分析】（1）根據題目所給信息，進行計算，，當或時即可得出答案；（2）根據兩數相除，異號得負，可得或解不等式組即可得出答案．【解答】解：（1）根據題意可知，，，不等式的解集為或；（2）由實數的運算法則：“兩數相除，異號得負”，得，或，解不等式組①得，，解不等式組②得，無解，所以若分式值為負數，則應滿足，所以原不等式的解集為．【點評】本題主要考查了分式的值及解一元一次不等式組，正確理解題目所給的信息進行計算是解決本題的關鍵．12．（2021春?西城區(qū)校級月考）閱讀材料：解分式不等式．解根據實數的除法法則：同號兩數相除得正數，異號兩數相除得負數，因此，原不等式可轉化為：①或②解不等式組①得無解，解不等式組②得，所以原不等式的解集是．請仿照上述方法解下面的分式不等式：（1）；（2）．【考點】實數的運算；解一元一次不等式；解一元一次不等式組【分析】（1）將不等式轉化為①或②，再分別求解即可；（2）將不等式轉化為①或②，再分別求解即可．【解答】解：（1）原分式不等式可轉化為下面兩個不等式組：①或②，解不等式組①得，所以該不等式組的解集為．解不等式組②得，所以該不等式組的解集為．所以原不等式的解集為或．（2）原分式不等式可轉化為下面兩個不等式組：①或②，解不等式組①得，所以該不等式組的解集為．解不等式組②得，所以該不等式組無解．所以原不等式的解集為．【點評】本題主要考查解一元一次不等式組，解題的關鍵是將原不等式轉化為一元一次不等式組，并熟練掌握解一元一次不等式組的步驟和依據．13．（2021春?三元區(qū)校級月考）先閱讀理解下面的例題，再按要求完成后面的問題：例：解不等式．解：由有理數的乘法法則“兩數相乘，同號得正，異號得負”得：①或②，解不等式組①，得：；解不等式組②，得：．所以的解集為或．根據上述方法解答下列問題：（1）解一元二次不等式；（2）解不等式．【考點】有理數的乘法；解一元一次不等式；解一元一次不等式組【分析】（1）利用因式分解法得到，則原不等式可轉化為①或②，然后解兩個不等式組即可；（2）利用分式的性質，把原不等式可轉化為①或②，然后解兩個不等式組即可．【解答】解：（1），原不等式可轉化為①或②，解不等式組①，，解不等式組②，，即一元二次不等式的解集為或；（2）原不等式可轉化為①或②，解不等式組①，，解不等式組②無解，即分式不等式的解集為．【點評】此題考查了不等式組的解法，利用了轉化的思想，這種轉化思想的依據為：兩數相乘（除，同號得正，異號得負的取符號法則．14．（2021?商河縣校級模擬）閱讀下面材料，根據要求解答問題：求不等式的解集．解：根據“同號兩數相乘，積為正”可得：①或②解不等式組①得：．解不等式組②得．不等式的解集為或．請你仿照上述方法解決下列問題：（1）求不等式的解集．（2）求不等式的解集．【考點】多項式乘多項式；解一元一次不等式組【分析】（1）將不等式轉換為兩個不等式組①或②，分別求解；（2）將不等式轉換為兩個不等式①或②，分別求解；【解答】解：（1）可得：①或②，解不等式①得：無解；解不等式組②得：；不等式的解集為：；（2）可得：①或②，解不等式①得：；解不等式組②得：；不等式的解集為：或；【點評】本題考查二元一次不等式的解法；能夠將二元一次不等式轉化為一元一次不等式組是解題的關鍵．15．（2021秋?龍鳳區(qū)期中）先閱讀理解，再解答問題．解不等式：解：把不等式進行整理，得，即．則有（1），或（2）．解不等式組（1），得；解不等式組（2），得其無解．所以原不等式的解集為．請根據以上解不等式的方法解不等式：．【考點解一元一次不等式；解一元一次不等式組【分析】利用題中的解法，把原不等式化為．再利用有理數的性質得到，或，然后解兩個不等式組即可．【解答】解：原不等式進行整理，得，即．則有（1），或（2），解不等式組（1），得，解不等式組（2），得，所以原不等式的解集為或．【點評】本題考查了解不等式組：解一元一次不等式組時，一般先求出其中各不等式的解集，再求出這些解集的公共部分，利用數軸可以直觀地表示不等式組的解集．解集的規(guī)律：同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到．16．（2021春?豐臺區(qū)校級期末）已知實數是不等于3的常數，解不等式組并依據的取值情況寫出其解集．【考點】解一元一次不等式組【分析】先分別解兩個不等式得到和，然后通過討論與3的大小確定不等式組的解集．【解答】解：解不等式①得，解不等式②得，因為實數是不等于3的常數，所以當時，不等式組的解集為；當時，不等式組的解集為．【點評】本題考查了一元一次不等式組：解一元一次不等式組時，一般先求出其中各不等式的解集，再求出這些解集的公共部分，利用數軸可以直觀地表示不等式組的解集．解集的規(guī)律：同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到．17．（2021春?西秀區(qū)期末）閱讀理解題：閱讀：解不等式解：根據兩數相乘，同號得正，原不等式可以轉化為：或解不等式組得：解不等式組得：所以原不等式的解集為：或問題解決：根據以上閱讀材料，解不等式．【考點】解一元一次不等式；解一元一次不等式組【分析】根據閱讀材料可得：當和異號時不等式成立，據此即可轉化為不等式問題求解．【解答】解：解不等式組，不等式組無解；解不等式組，解得．總之，不等式的解集是：．【點評】本題考查了一元一次不等式組的解法：解一元一次不等式組時，一般先求出其中各不等式的解集，再求出這些解集的公共部分，解題規(guī)律是：同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到．18．（2021春?武城縣期末）感知：解不等式．根據兩數相除，同號得正，異號得負，得不等式組①，或不等式組②．解不等式組①，得；解不等式組②，得，所以原不等式的解集為或．探究：解不等式．應用：不等式的解集是．【考點】解一元一次不等式組【分析】（1）先把不等式轉化為不等式組，然后通過解不等式組來求分式不等式；（2）先把不等式轉化為不等