新高考數(shù)學一輪復習考點精講練+易錯題型第25講 三角函數(shù)的圖像與性質（解析版）

第25講三角函數(shù)的圖像與性質【基礎知識網(wǎng)絡圖】應用應用三角函數(shù)的圖象與性質正弦函數(shù)的圖象與性質余弦函數(shù)的圖象與性質正切函數(shù)的圖象與性質【基礎知識全通關】一、正弦函數(shù)SKIPIF1<0,余弦函數(shù)SKIPIF1<0,正切函數(shù)SKIPIF1<0的圖象與性質函數(shù)SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0圖象定義域SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0值域SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0最值當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0．當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0．既無最大值，也無最小值周期性最小正周期為SKIPIF1<0最小正周期為SKIPIF1<0最小正周期為SKIPIF1<0奇偶性SKIPIF1<0,奇函數(shù)SKIPIF1<0，偶函數(shù)SKIPIF1<0，奇函數(shù)單調性在SKIPIF1<0上是增函數(shù)；在SKIPIF1<0上是減函數(shù)．在SKIPIF1<0上是增函數(shù)；在SKIPIF1<0上是減函數(shù)．在SKIPIF1<0上是增函數(shù)．對稱性對稱中心SKIPIF1<0；對稱軸SKIPIF1<0，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形.對稱中心SKIPIF1<0；對稱軸SKIPIF1<0，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形.對稱中心SKIPIF1<0；無對稱軸，是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形.二、函數(shù)SKIPIF1<0的圖象與性質1．函數(shù)SKIPIF1<0的圖象的畫法（1）變換作圖法由函數(shù)SKIPIF1<0的圖象通過變換得到SKIPIF1<0（A>0,ω>0）的圖象，有兩種主要途徑：“先平移后伸縮”與“先伸縮后平移”.如下圖.（2）五點作圖法找五個關鍵點，分別為使y取得最小值、最大值的點和曲線與x軸的交點.其步驟為：①先確定最小正周期T=SKIPIF1<0,在一個周期內作出圖象；②令SKIPIF1<0,令X分別取0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,求出對應的x值，列表如下：由此可得五個關鍵點；③描點畫圖，再利用函數(shù)的周期性把所得簡圖向左右分別擴展，從而得到SKIPIF1<0的簡圖.2．函數(shù)SKIPIF1<0（A>0,ω>0）的性質（1）奇偶性：SKIPIF1<0時，函數(shù)SKIPIF1<0為奇函數(shù)；SKIPIF1<0時，函數(shù)SKIPIF1<0為偶函數(shù).（2）周期性：SKIPIF1<0存在周期性，其最小正周期為T=SKIPIF1<0.（3）單調性：根據(jù)y=sint和t=SKIPIF1<0的單調性來研究，由SKIPIF1<0得單調增區(qū)間；由SKIPIF1<0得單調減區(qū)間.（4）對稱性：利用y=sinx的對稱中心為SKIPIF1<0求解，令SKIPIF1<0，求得x.利用y=sinx的對稱軸為SKIPIF1<0求解，令SKIPIF1<0，得其對稱軸.3．函數(shù)SKIPIF1<0（A>0,ω>0）的物理意義當函數(shù)SKIPIF1<0（A>0,ω>0,SKIPIF1<0）表示一個簡諧振動量時，則A叫做振幅，T=SKIPIF1<0叫做周期，f=SKIPIF1<0叫做頻率,SKIPIF1<0叫做相位，x=0時的相位SKIPIF1<0叫做初相.三、三角函數(shù)的綜合應用（1）函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的定義域均為SKIPIF1<0；函數(shù)SKIPIF1<0的定義域均為SKIPIF1<0.（2）函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0，最小值為SKIPIF1<0；函數(shù)SKIPIF1<0的值域為SKIPIF1<0.（3）函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最小正周期為SKIPIF1<0；函數(shù)SKIPIF1<0的最小正周期為SKIPIF1<0．（4）對于SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時為奇函數(shù)，當且僅當SKIPIF1<0時為偶函數(shù)；對于SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時為奇函數(shù)，當且僅當SKIPIF1<0時為偶函數(shù)；對于SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時為奇函數(shù)．（5）函數(shù)SKIPIF1<0的單調遞增區(qū)間由不等式SKIPIF1<0SKIPIF1<0來確定，單調遞減區(qū)間由不等式SKIPIF1<0來確定；函數(shù)SKIPIF1<0的單調遞增區(qū)間由不等式SKIPIF1<0來確定，單調遞減區(qū)間由不等式SKIPIF1<0來確定；函數(shù)SKIPIF1<0的單調遞增區(qū)間由不等式SKIPIF1<0來確定．【注】函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0有可能為負數(shù)）的單調區(qū)間：先利用誘導公式把SKIPIF1<0化為正數(shù)后再求解．（6）函數(shù)SKIPIF1<0圖象的對稱軸為SKIPIF1<0，對稱中心為SKIPIF1<0；函數(shù)SKIPIF1<0圖象的對稱軸為SKIPIF1<0，對稱中心為SKIPIF1<0；函數(shù)SKIPIF1<0圖象的對稱中心為SKIPIF1<0.【注】函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的圖象與SKIPIF1<0軸的交點都為對稱中心，過最高點或最低點且垂直于SKIPIF1<0軸的直線都為對稱軸.函數(shù)SKIPIF1<0的圖象與SKIPIF1<0軸的交點和漸近線與SKIPIF1<0軸的交點都為對稱中心，無對稱軸.【考點研習一點通】1、定義域和值域（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0（3）SKIPIF1<0（4）SKIPIF1<0SKIPIF1<0【點撥】（1）（4）利用兩角和公式對函數(shù)解析式化簡整理，進而根據(jù)正弦函數(shù)的性質求出函數(shù)的最大值及最小值，注意自變量的取值范圍.（2）根據(jù)角的范圍得出sinx的范圍，運用換元配方后求出y的最大值及最小值，進而得出函數(shù)的值域．（3）解析式利用二倍角的正弦公式化簡后求值域；【解析】（1）∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.（2）SKIPIF1<0，令：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0為增函數(shù)；∴SKIPIF1<0.（3）根據(jù)SKIPIF1<0可知SKIPIF1<0，故函數(shù)的值域為SKIPIF1<0.（4）SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0知SKIPIF1<0，由正弦函數(shù)的單調性可知SKIPIF1<0，故函數(shù)的值域為SKIPIF1<0.【總結】①形如SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，可根據(jù)SKIPIF1<0的有界性來求最值；②形如SKIPIF1<0或SKIPIF1<0可看成關于SKIPIF1<0的二次函數(shù)，但也要注意它與二次函數(shù)求最值的區(qū)別，其中SKIPIF1<0；③形如SKIPIF1<0可化為SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0）的形式來確定最值.【變式1-2】已知函數(shù)SKIPIF1<0的定義域是SKIPIF1<0，值域是SKIPIF1<0，求常數(shù)SKIPIF1<0．【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則當SKIPIF1<0時函數(shù)取得最大值SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時函數(shù)取得最小值SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0時，則當SKIPIF1<0時函數(shù)取得最大值SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時函數(shù)取得最小值SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．考點02奇偶性、周期性、單調性2、已知函數(shù)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的大小關系為.【答案】SKIPIF1<0【解析】因為SKIPIF1<0是偶函數(shù)，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0所以函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞增.SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0【變式2-1】已知函數(shù)SKIPIF1<0若SKIPIF1<0是偶函數(shù)，則SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0是偶函數(shù)SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<03、求函數(shù)SKIPIF1<0的單調區(qū)間。【點撥】運用換元法，注意定義域，轉化為求熟悉的二次函數(shù)單調區(qū)間的問題.【解析】令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0顯然函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0始終是單調遞減的，所以SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0單調遞增，SKIPIF1<0單調遞減；SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0單調遞減，SKIPIF1<0單調遞增；故SKIPIF1<0單調遞減區(qū)間為SKIPIF1<0；單調遞增區(qū)間為SKIPIF1<0.【變式3-1】求函數(shù)SKIPIF1<0的單調區(qū)間.【解析】令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0的周期為SKIPIF1<0，且圖象如圖所示：顯然，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0單調遞減；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0單調遞增；∴當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0單調遞減；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0單調遞增；故SKIPIF1<0的單調遞減區(qū)間為SKIPIF1<0；單調遞增區(qū)間為SKIPIF1<0.4、已知函數(shù)f(x)=4tanxsin(SKIPIF1<0)cos(SKIPIF1<0)-SKIPIF1<0.(Ⅰ)求f(x)的定義域與最小正周期；（Ⅱ）討論f(x)在區(qū)間[SKIPIF1<0]上的單調性.【點撥】通過誘導公式、兩角差的余弦函數(shù)、二倍角公式，化簡函數(shù)的表達式，（1）直接求出函數(shù)的定義域和最小正周期．（2）根據(jù)（Ⅰ）的結論，研究三角函數(shù)在區(qū)間[SKIPIF1<0]上的單調性．【解析】（Ⅰ）f(x)的定義域為SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以f(x)的最小正周期SKIPIF1<0（Ⅱ）令SKIPIF1<0函數(shù)SKIPIF1<0的單調遞增區(qū)間SKIPIF1<0由SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0設SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0.所以,當SKIPIF1<0時,SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上單調遞增,在區(qū)間SKIPIF1<0上單調遞減.【總結】對于較為復雜的三角函數(shù)，可通過恒等變形轉化為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0的形式進行.注意三角函數(shù)的單調性的求解.【變式4-1】已知函數(shù)SKIPIF1<0，（1）求SKIPIF1<0的定義域及最小正周期；（2）求SKIPIF1<0的單調遞增區(qū)間.【解析】（1）由題知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.（2）由SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調遞增，故SKIPIF1<0的單調遞增區(qū)間區(qū)間為SKIPIF1<0.【變式4-2】設函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0，－π＜φ≤π)在x＝SKIPIF1<0處取得最大值2，其圖象與x軸的相鄰兩個交點的距離為SKIPIF1<0．（1）求f(x)的解析式；（2）求函數(shù)g(x)＝SKIPIF1<0的值域．【解析】（1）由題設條件知f(x)的周期T＝π，即SKIPIF1<0，解得ω＝2．因f(x)在SKIPIF1<0處取得最大值2，所以A＝2，從而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．又由－π＜φ≤π得SKIPIF1<0．故f(x)的解析式為f(x)SKIPIF1<0．（2）g(x)＝SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0因cos2x∈[0，1]，且cos2x≠SKIPIF1<0，故g(x)的值域為SKIPIF1<0．【考點易錯】1、已知函數(shù)SKIPIF1<0.（Ⅰ）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；（II）設SKIPIF1<0，求函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上的最大值和最小值.【點撥】（1）注意到所求角和已知角的關系，用二倍角公式來處理；（2）先求出SKIPIF1<0的解析式，再運用求最值的方法解決.【解析】（Ⅰ）∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0（II）SKIPIF1<0SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴當SKIPIF1<0即SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0當SKIPIF1<0即SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0【總結】先通過倍角公式和兩角的和、差公式進行化簡，利用余弦函數(shù)的單調性可知函數(shù)的最值.【變式1-1】已知函數(shù)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的最大值為SKIPIF1<0，最小值為SKIPIF1<0，求函數(shù)SKIPIF1<0的最大值和最小值.【解析】SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，①當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，②由①②得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，所以，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0．【變式1-2】已知函數(shù)SKIPIF1<0的定義域是SKIPIF1<0，值域是SKIPIF1<0，求常數(shù)SKIPIF1<0．【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則當SKIPIF1<0時函數(shù)取得最大值SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時函數(shù)取得最小值SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0時，則當SKIPIF1<0時函數(shù)取得最大值SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時函數(shù)取得最小值SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．2、已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,（1）求函數(shù)f(x)的解析式.（2）求函數(shù)f(x)在區(qū)間0,5π12【解析】（1）由圖象可知A=2，又A>0，故A=2周期SKIPIF1<0，又T=2πω=∴f∵φ<則函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=2sin（2）∵SKIPIF1<0，∴sin(2x?當2x?π6=π2當2x?π6=?π6所以f(x)max=f(3、已知函數(shù)SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0的最小正周期；（2）若SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上的最大值與最小值的和為2，求SKIPIF1<0的值.【解析】（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.（2）因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0單調遞增；當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0單調遞減，所以SKIPIF1<0.又因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0.【鞏固提升】1、函數(shù)SKIPIF1<0的最小正周期為A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】因為SKIPIF1<0，所以最小正周期為SKIPIF1<0.故選D.2.已知函數(shù)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0），若函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0內沒有零點，則SKIPIF1<0的取值范圍是A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因為函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0內沒有零點，所以SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0.故選C.3.設函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0則下列判斷正確的是A．函數(shù)的一條對稱軸為SKIPIF1<0B．函數(shù)在區(qū)間SKIPIF1<0內單調遞增C．SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0，使得函數(shù)SKIPIF1<0在其定義域內為偶函數(shù)【答案】D【解析】函數(shù)SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0不能使函數(shù)取得最值，所以不是函數(shù)的對稱軸，A錯；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，函數(shù)先增后減，B不正確；若SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0不成立，所以C錯；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0函數(shù)是偶函數(shù)，D正確，故選：D．4、若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0是減函數(shù)，則SKIPIF1<0的最大值是A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】因為SKIPIF1<0，所以由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0，故選A.5、函數(shù)f（x）=sin22x的最小正周期是__________．【答案】SKIPIF1<0【解析】函數(shù)SKIPIF1<0SKIPIF1<0，周期為SKIPIF1<0.6、函數(shù)f（x）=sin22x的最小正周期是__________．【答案】SKIPIF1<0【解析】函數(shù)SKIPIF1<0SKIPIF1<0，周期為SKIPIF1<0.7、關于函數(shù)f（x）=SKIPIF1<0有如下四個命題：①f（x）的圖象關于y軸對稱．②f（x）的圖象關于原點對稱．③f（x）的圖象關于直線x=SKIPIF1<0對稱．④f（x）的最小值為2．其中所有真命題的序號是__________．【答案】②③【解析】對于命題①，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以，函數(shù)SKIPIF1<0的圖象不關于SKIPIF1<0軸對稱，命題①錯誤；對于命題②，函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，定義域關于原點對稱，SKIPIF1<0，所以，函數(shù)SKIPIF1<0的圖象關于原點對稱，命題②正確；對于命題③，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以，函數(shù)SKIPIF1<0的圖象關于直線SKIPIF1<0對稱，命題③正確；對于命題④，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，命題④錯誤.故答案為：②③.8.已知函數(shù)SKIPIF1<0