2025年中考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)題型歸納與變式演練（全國(guó)）專題10 三角形壓軸題綜合（原卷版）

專題10三角形壓軸題綜合目錄熱點(diǎn)題型歸納 1題型01三角形與旋轉(zhuǎn)變換 1題型02三角形與平移變換 4題型03三角形與翻折變換 5題型04三角形類比探究問(wèn)題 8中考練場(chǎng) 10題型01三角形與旋轉(zhuǎn)變換【解題策略】三角形全等和三角形相似的判定和性質(zhì)，勾股定理，矩形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、平行線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握三角形相似的判定方法。【典例分析】例.（2023·四川·中考真題）如圖1，已知線段，，線段繞點(diǎn)在直線上方旋轉(zhuǎn)，連接，以為邊在上方作，且．

(1)若，以為邊在上方作，且，，連接，用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系是；(2)如圖2，在(1)的條件下，若，，，求的長(zhǎng)；(3)如圖3，若，，，當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，求此時(shí)的值．【變式演練】1．（2023·貴州貴陽(yáng)·二模）在中，，在中，，已知和有公共頂點(diǎn)A，連接和．(1)如圖①，若，，當(dāng)繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，和的數(shù)量關(guān)系是______，位置關(guān)系是______；(2)如圖②，若，當(dāng)繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，（1）中和的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系是否依然成立，判斷并說(shuō)明理由；(3)在（2）的條件下，若，，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)C，B，D三點(diǎn)共線時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)度．2．（2023·廣西桂林·一模）在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小麗將兩副相同的三角板中的兩個(gè)等腰直角三角形按如圖1方式放置，使的頂點(diǎn)D與的頂點(diǎn)C重合，在繞點(diǎn)C的旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，邊、始終與的邊分別交于M、N兩點(diǎn)．(1)老師提了一個(gè)問(wèn)題：試證明．小麗開動(dòng)腦筋，作了如下思考：考慮到且，可將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至位置，連結(jié)，若能證明、分別等于的另兩邊則可以解決問(wèn)題．請(qǐng)幫小麗繼續(xù)完成證明過(guò)程．證明：將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至位置，連結(jié)；(2)如圖2，小昆另取一塊與相同的三角板，放在位置，邊與邊相交于點(diǎn)H，連、．①小昆猜想：，請(qǐng)幫他給出證明；②圖2中始終與相等的線段有；③請(qǐng)?zhí)剿?、、之間的數(shù)量關(guān)系，并直接寫出結(jié)論：．3．（2023·吉林·一模）如圖，和是有公共頂點(diǎn)的直角三角形，，點(diǎn)為射線，的交點(diǎn)．(1)如圖1，若和是等腰三角形，求證：；(2)如圖2，若，問(wèn)：（1）中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)在（1）的條件下，，，若把繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)度．題型02三角形與平移變換【解題策略】考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平移的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形相似的判定方法，畫出相應(yīng)的圖形，注意分類討論．【典例分析】例．（2023·四川攀枝花·中考真題）如圖1，在中，，沿方向向左平移得到，A、對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是、．點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至線段，使得，連接．

(1)當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，求的長(zhǎng)；(2)如圖2，連接、．在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中：①和是否總是相等？若是，請(qǐng)你證明；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；②當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為多少時(shí)，能構(gòu)成等腰三角形？【變式演練】1．（2023·遼寧大連·模擬預(yù)測(cè)）如圖，中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，且，垂足為E，．(1)以點(diǎn)E為中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使旋轉(zhuǎn)后的的邊恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，求此時(shí)旋轉(zhuǎn)角的大小；(2)在（1）的情況下，將沿向右平移．設(shè)平移后的圖形與重疊部分的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出t的取值范圍．2.（2023·四川成都·一模）如圖1，在中，，以為底邊作等腰，連接，作，使得，且．

(1)如圖2，若，請(qǐng)按題意補(bǔ)全圖形，并寫出畫圖步驟；(2)將線段沿的方向平移得到線段，連接，①如圖3，若，求的長(zhǎng)；②若，直接寫出的長(zhǎng)．題型03三角形與翻折變換【解題策略】考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，折疊幾何性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形相似的判定方法，畫出相應(yīng)的圖形，注意分類討論．【典例分析】例．（2023·湖北武漢·中考真題）問(wèn)題提出：如圖（1），是菱形邊上一點(diǎn)，是等腰三角形，，交于點(diǎn)，探究與的數(shù)量關(guān)系．

問(wèn)題探究：(1)先將問(wèn)題特殊化，如圖（2），當(dāng)時(shí)，直接寫出的大?。?2)再探究一般情形，如圖（1），求與的數(shù)量關(guān)系．問(wèn)題拓展：(3)將圖（1）特殊化，如圖（3），當(dāng)時(shí)，若，求的值．【變式演練】1．（2024·安徽阜陽(yáng)·一模）（1）如圖1，在矩形中，，，點(diǎn)E為邊上一點(diǎn)，沿直線將矩形折疊，使點(diǎn)C落在邊上的點(diǎn)處．求的長(zhǎng)；（2）如圖2，展開后，將沿線段向右平移，使點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)與點(diǎn)B重合，得到，與交于點(diǎn)F，求線段的長(zhǎng)；（3）在圖1中，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至A，，E三點(diǎn)共線時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．2．（2023·陜西榆林·一模）【問(wèn)題背景】（1）如圖1，在矩形中，，點(diǎn)是上一點(diǎn)，連接，，若，則______（2）如圖2，在正方形中，，點(diǎn)在邊上，將沿翻折至，連接，求周長(zhǎng)的最小值；【問(wèn)題解決】（3）如圖3，某植物園在一個(gè)足夠大的空地上擬修建一塊四邊形花圃，點(diǎn)是該花圃的一個(gè)入口，沿和分別鋪兩條小路，且，，，．管理員計(jì)劃沿邊上種植一條綠化帶（寬度不計(jì)），為使美觀，要求綠化帶的長(zhǎng)度盡可能的長(zhǎng)，那么管理員是否可以種植一條滿足要求的長(zhǎng)度最大的綠化帶？若可以，求出滿足要求的綠化帶的最大長(zhǎng)度（用含的式子表示）；若不可以，請(qǐng)說(shuō)明理由．題型04三角形類比探究問(wèn)題【解題策略】考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形相似的判定方法，畫出相應(yīng)的圖形，注意分類討論?！镜淅治觥坷?023·浙江湖州·中考真題）【特例感知】（1）如圖1，在正方形中，點(diǎn)P在邊的延長(zhǎng)線上，連接，過(guò)點(diǎn)D作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M．求證：．【變式求異】（2）如圖2，在中，，點(diǎn)D在邊上，過(guò)點(diǎn)D作，交于點(diǎn)Q，點(diǎn)P在邊的延長(zhǎng)線上，連接，過(guò)點(diǎn)Q作，交射線于點(diǎn)M．已知，，，求的值．【拓展應(yīng)用】（3）如圖3，在中，，點(diǎn)P在邊的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)Q在邊上（不與點(diǎn)A，C重合），連接，以Q為頂點(diǎn)作，的邊交射線于點(diǎn)M．若，（m，n是常數(shù)），求的值（用含m，n的代數(shù)式表示）．

【變式演練】1．（2023·河南洛陽(yáng)·三模）在中，，點(diǎn)是直線上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），連接，在的右側(cè)以為斜邊作等腰直角三角形，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接．【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖（1），當(dāng)點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，線段與的數(shù)量關(guān)系是_________，位置關(guān)系是__________．【猜想證明】（2）如圖（2），當(dāng)點(diǎn)在邊上且不是的中點(diǎn)時(shí)，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)僅就圖（2）中的情況給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．【拓展應(yīng)用】（3）若，其他條件不變，連接，．當(dāng)是等邊三角形時(shí)，直接寫出的面積．2．（2023·湖北十堰·二模）【問(wèn)題背景】（1）如圖，，，．求證：；【變式遷移】（2）如圖，為正方形外一點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，連接．求的值；【拓展創(chuàng)新】（3）如圖，是內(nèi)一點(diǎn)，，，，，，直接寫出的長(zhǎng)．

3．（2023·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1，和是直角三角形，，，求證：；【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，在與中，直角頂點(diǎn)重合于點(diǎn)C，點(diǎn)D在上，，且，連接，若，求的長(zhǎng)；【拓展提高】（3）如圖3，若，，，，過(guò)A作交延長(zhǎng)線于Q，求的值．1．（2023·浙江湖州·中考真題）【特例感知】（1）如圖1，在正方形中，點(diǎn)P在邊的延長(zhǎng)線上，連接，過(guò)點(diǎn)D作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M．求證：．【變式求異】（2）如圖2，在中，，點(diǎn)D在邊上，過(guò)點(diǎn)D作，交于點(diǎn)Q，點(diǎn)P在邊的延長(zhǎng)線上，連接，過(guò)點(diǎn)Q作，交射線于點(diǎn)M．已知，，，求的值．【拓展應(yīng)用】（3）如圖3，在中，，點(diǎn)P在邊的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)Q在邊上（不與點(diǎn)A，C重合），連接，以Q為頂點(diǎn)作，的邊交射線于點(diǎn)M．若，（m，n是常數(shù)），求的值（用含m，n的代數(shù)式表示）．

2．（2023·遼寧錦州·中考真題）【問(wèn)題情境】如圖，在中，，．點(diǎn)D在邊上將線段繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段（旋轉(zhuǎn)角小于），連接，，以為底邊在其上方作等腰三角形，使，連接．【嘗試探究】（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，易知；

如圖2，當(dāng)時(shí)，則與的數(shù)量關(guān)系為；

（2）如圖3，寫出與的數(shù)量關(guān)系（用含α的三角函數(shù)表示）．并說(shuō)明理由；

【拓展應(yīng)用】（3）如圖4，當(dāng)，且點(diǎn)B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)．若，，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．

3．（2023·湖北黃岡·中考真題）【問(wèn)題呈現(xiàn)】和都是直角三角形，，連接，，探究，的位置關(guān)系．

(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，直接寫出，的位置關(guān)系：____________；(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，給出證明；若不成立，說(shuō)明理由．【拓展應(yīng)用】(3)當(dāng)時(shí)，將繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使三點(diǎn)恰好在同一直線上，求的長(zhǎng)．4．（2023·四川成都·中考真題）探究式學(xué)習(xí)是新課程倡導(dǎo)的重要學(xué)習(xí)方式，某興趣小組擬做以下探究．在中，，D是邊上一點(diǎn)，且（n為正整數(shù)），E是邊上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作的垂線交直線于點(diǎn)F．

【初步感知】(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，興趣小組探究得出結(jié)論：，請(qǐng)寫出證明過(guò)程．【深入探究】(2)①如圖2，當(dāng)，且點(diǎn)F在線段上時(shí)，試探究線段之間的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫出結(jié)論并證明；②請(qǐng)通過(guò)類比、歸納、猜想，探究出線段之間數(shù)量關(guān)系的一般結(jié)論（直接寫出結(jié)論，不必證明）【拓展運(yùn)用】(3)如圖3，連接，設(shè)的中點(diǎn)為M．若，求點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的過(guò)程中，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)（用含n的代數(shù)式表示）．5．（2022·廣東深圳·中考真題）（1）【探究發(fā)現(xiàn)】如圖①所示，在正方形中，為邊上一點(diǎn)，將沿翻折到處，延長(zhǎng)交邊于點(diǎn)．求證：（2）【類比遷移】如圖②，在矩形中，為邊上一點(diǎn)，且將沿翻折到處，延長(zhǎng)交邊于點(diǎn)延長(zhǎng)交邊于點(diǎn)且求的長(zhǎng)．（3）【拓展應(yīng)用】如圖③，在菱形中，，為邊上的三等分點(diǎn)，將沿翻折得到，直線交于點(diǎn)求的長(zhǎng)．6．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）數(shù)學(xué)興趣小組探究了以下幾何圖形．如圖①，把一個(gè)含有角的三角尺放在正方形中，使角的頂點(diǎn)始終與正方形的頂點(diǎn)重合，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)三角尺時(shí)，角的兩邊，始終與正方形的邊，所在直線分別相交于點(diǎn)，，連接，可得．

【探究一】如圖②，把繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，同時(shí)得到點(diǎn)在直線上．求證：；【探究二】在圖②中，連接，分別交，于點(diǎn)，．求證：；【探究三】把三角尺旋轉(zhuǎn)到如圖③所示位置，直線與三角尺角兩邊，分別交于點(diǎn)，．連接交于點(diǎn)，求的值．7．（2023·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）綜合與實(shí)踐數(shù)學(xué)模型可以用來(lái)解決一類問(wèn)題，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本途徑．通過(guò)探究圖形的變化規(guī)律，再結(jié)合其他數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，最終可以獲得寶貴的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，并將其運(yùn)用到更廣闊的數(shù)學(xué)天地．

(1)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題：如圖1，在和中，，，，連接，，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．則與的數(shù)量關(guān)系：______，______；(2)類比探究：如圖2，在和中，，，，連接，，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)．請(qǐng)猜想與的數(shù)量關(guān)系及的度數(shù)，并說(shuō)明理由；(3)拓展延伸：如圖3，和均為等腰直角三角形，，連接，，且點(diǎn)，，在一條直線上，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)．則，，之間的數(shù)量關(guān)系：______；(4)實(shí)踐應(yīng)用：正方形中，，若平面內(nèi)存在點(diǎn)滿足，，則______．8．（2023·遼寧大連·中考真題）綜合與實(shí)踐問(wèn)題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，王老師給同學(xué)們每人發(fā)了一張等腰三角形紙片探究折疊的性質(zhì)．已知，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，將以為對(duì)稱軸翻折．同學(xué)們經(jīng)過(guò)思考后進(jìn)行如下探究：獨(dú)立思考：小明：“當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，．”小紅：“若點(diǎn)為中點(diǎn)，給出與的長(zhǎng)，就可求出的長(zhǎng)．”實(shí)踐探究：奮進(jìn)小組的同學(xué)們經(jīng)過(guò)探究后提出問(wèn)題1，請(qǐng)你回答：

問(wèn)題1：在等腰中，由翻折得到．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，求證：；（2）如