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文檔簡介
2025屆四川省雅安市高三下學期第六次檢測數(shù)學試卷注意事項1.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知定義在上的函數(shù),,,,則,,的大小關(guān)系為()A. B. C. D.2.集合,,則=()A. B.C. D.3.過雙曲線的右焦點F作雙曲線C的一條弦AB,且,若以AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的左頂點,則雙曲線C的離心率為()A. B. C.2 D.4.中國古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來,構(gòu)件的凸出部分叫榫頭,凹進部分叫卯眼,圖中木構(gòu)件右邊的小長方體是榫頭.若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長方體,則咬合時帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是A. B. C. D.5.在等差數(shù)列中,若為前項和,,則的值是()A.156 B.124 C.136 D.1806.已知拋物線的焦點為,過焦點的直線與拋物線分別交于、兩點,與軸的正半軸交于點,與準線交于點,且,則()A. B.2 C. D.37.某地區(qū)高考改革,實行“3+2+1”模式,即“3”指語文、數(shù)學、外語三門必考科目,“1”指在物理、歷史兩門科目中必選一門,“2”指在化學、生物、政治、地理以及除了必選一門以外的歷史或物理這五門學科中任意選擇兩門學科,則一名學生的不同選科組合有()A.8種 B.12種 C.16種 D.20種8.已知函數(shù)的圖像的一條對稱軸為直線,且,則的最小值為()A. B.0 C. D.9.過直線上一點作圓的兩條切線,,,為切點,當直線,關(guān)于直線對稱時,()A. B. C. D.10.設(shè)集合,,則()A. B.C. D.11.已知冪函數(shù)的圖象過點,且,,,則,,的大小關(guān)系為()A. B. C. D.12.設(shè)分別是雙線的左、右焦點,為坐標原點,以為直徑的圓與該雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點(位于軸右側(cè)),且四邊形為菱形,則該雙曲線的漸近線方程為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知,那么______.14.若的展開式中各項系數(shù)之和為32,則展開式中x的系數(shù)為_____15.已知數(shù)列為正項等比數(shù)列,,則的最小值為________.16.在等差數(shù)列()中,若,,則的值是______.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在中,內(nèi)角的邊長分別為,且.(1)若,,求的值;(2)若,且的面積,求和的值.18.(12分)函數(shù),且恒成立.(1)求實數(shù)的集合;(2)當時,判斷圖象與圖象的交點個數(shù),并證明.(參考數(shù)據(jù):)19.(12分)已知,,求證:(1);(2).20.(12分)已知函數(shù),.(1)求的值;(2)令在上最小值為,證明:.21.(12分)在直角坐標系xOy中,以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,已知:,:,:.(1)求與的極坐標方程(2)若與交于點A,與交于點B,,求的最大值.22.(10分)如圖,三棱柱中,底面是等邊三角形,側(cè)面是矩形,是的中點,是棱上的點,且.(1)證明:平面;(2)若,求二面角的余弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】
先判斷函數(shù)在時的單調(diào)性,可以判斷出函數(shù)是奇函數(shù),利用奇函數(shù)的性質(zhì)可以得到,比較三個數(shù)的大小,然后根據(jù)函數(shù)在時的單調(diào)性,比較出三個數(shù)的大小.【詳解】當時,,函數(shù)在時,是增函數(shù).因為,所以函數(shù)是奇函數(shù),所以有,因為,函數(shù)在時,是增函數(shù),所以,故本題選D.【點睛】本題考查了利用函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)值大小問題,判斷出函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.2、C【解析】
先化簡集合A,B,結(jié)合并集計算方法,求解,即可.【詳解】解得集合,所以,故選C.【點睛】本道題考查了集合的運算,考查了一元二次不等式解法,關(guān)鍵化簡集合A,B,難度較小.3、C【解析】
由得F是弦AB的中點.進而得AB垂直于x軸,得,再結(jié)合關(guān)系求解即可【詳解】因為,所以F是弦AB的中點.且AB垂直于x軸.因為以AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的左頂點,所以,即,則,故.故選:C【點睛】本題是對雙曲線的漸近線以及離心率的綜合考查,是考查基本知識,屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】
詳解:由題意知,題干中所給的是榫頭,是凸出的幾何體,求得是卯眼的俯視圖,卯眼是凹進去的,即俯視圖中應有一不可見的長方形,且俯視圖應為對稱圖形故俯視圖為故選A.點睛:本題主要考查空間幾何體的三視圖,考查學生的空間想象能力,屬于基礎(chǔ)題。5、A【解析】
因為,可得,根據(jù)等差數(shù)列前項和,即可求得答案.【詳解】,,.故選:A.【點睛】本題主要考查了求等差數(shù)列前項和,解題關(guān)鍵是掌握等差中項定義和等差數(shù)列前項和公式,考查了分析能力和計算能力,屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】
過點作準線的垂線,垂足為,與軸交于點,由和拋物線的定義可求得,利用拋物線的性質(zhì)可構(gòu)造方程求得,進而求得結(jié)果.【詳解】過點作準線的垂線,垂足為,與軸交于點,由拋物線解析式知:,準線方程為.,,,,由拋物線定義知:,,,.由拋物線性質(zhì)得:,解得:,.故選:.【點睛】本題考查拋物線定義與幾何性質(zhì)的應用,關(guān)鍵是熟練掌握拋物線的定義和焦半徑所滿足的等式.7、C【解析】
分兩類進行討論:物理和歷史只選一門;物理和歷史都選,分別求出兩種情況對應的組合數(shù),即可求出結(jié)果.【詳解】若一名學生只選物理和歷史中的一門,則有種組合;若一名學生物理和歷史都選,則有種組合;因此共有種組合.故選C【點睛】本題主要考查兩個計數(shù)原理,熟記其計數(shù)原理的概念,即可求出結(jié)果,屬于常考題型.8、D【解析】
運用輔助角公式,化簡函數(shù)的解析式,由對稱軸的方程,求得的值,得出函數(shù)的解析式,集合正弦函數(shù)的最值,即可求解,得到答案.【詳解】由題意,函數(shù)為輔助角,由于函數(shù)的對稱軸的方程為,且,即,解得,所以,又由,所以函數(shù)必須取得最大值和最小值,所以可設(shè),,所以,當時,的最小值,故選D.【點睛】本題主要考查了正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì),其中解答中利用三角恒等變換的公式,化簡函數(shù)的解析式,合理利用正弦函數(shù)的對稱性與最值是解答的關(guān)鍵,著重考查了分析問題和解答問題的能力,屬于中檔試題.9、C【解析】
判斷圓心與直線的關(guān)系,確定直線,關(guān)于直線對稱的充要條件是與直線垂直,從而等于到直線的距離,由切線性質(zhì)求出,得,從而得.【詳解】如圖,設(shè)圓的圓心為,半徑為,點不在直線上,要滿足直線,關(guān)于直線對稱,則必垂直于直線,∴,設(shè),則,,∴,.故選:C.【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系,考查直線的對稱性,解題關(guān)鍵是由圓的兩條切線關(guān)于直線對稱,得出與直線垂直,從而得就是圓心到直線的距離,這樣在直角三角形中可求得角.10、A【解析】
解出集合,利用交集的定義可求得集合.【詳解】因為,又,所以.故選:A.【點睛】本題考查交集的計算,同時也考查了一元二次不等式的求解,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】
根據(jù)題意求得參數(shù),根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì),以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷.【詳解】依題意,得,故,故,,,則.故選:A.【點睛】本題考查利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小,考查推理論證能力,屬基礎(chǔ)題.12、B【解析】
由于四邊形為菱形,且,所以為等邊三角形,從而可得漸近線的傾斜角,求出其斜率.【詳解】如圖,因為四邊形為菱形,,所以為等邊三角形,,兩漸近線的斜率分別為和.故選:B【點睛】此題考查的是求雙曲線的漸近線方程,利用了數(shù)形結(jié)合的思想,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
由已知利用誘導公式可求,進而根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系即可求解.【詳解】∵,∴,,∴.故答案為:.【點睛】本小題主要考查誘導公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,屬于基礎(chǔ)題.14、2025【解析】
利用賦值法,結(jié)合展開式中各項系數(shù)之和列方程,由此求得的值.再利用二項式展開式的通項公式,求得展開式中的系數(shù).【詳解】依題意,令,解得,所以,則二項式的展開式的通項為:令,得,所以的系數(shù)為.故答案為:2025【點睛】本小題主要考查二項式展開式各項系數(shù)之和,考查二項式展開式指定項系數(shù)的求法,屬于基礎(chǔ)題.15、27【解析】
利用等比數(shù)列的性質(zhì)求得,結(jié)合其下標和性質(zhì)和均值不等式即可容易求得.【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可知,則,.當且僅當時取得最小值.故答案為:.【點睛】本題考查等比數(shù)列的下標和性質(zhì),涉及均值不等式求和的最小值,屬綜合基礎(chǔ)題.16、-15【解析】
是等差數(shù)列,則有,可得的值,再由可得,計算即得.【詳解】數(shù)列是等差數(shù)列,,又,,,故.故答案為:【點睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì),也可以由已知條件求出和公差,再計算.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2).【解析】
(1)先由余弦定理求得,再由正弦定理計算即可得到所求值;
(2)運用二倍角的余弦公式和兩角和的正弦公式,化簡可得sinA+sinB=5sinC,運用正弦定理和三角形的面積公式可得a,b的方程組,解方程即可得到所求值.【詳解】解:(1)由余弦定理由正弦定理得(2)由已知得:所以------①又所以------②由①②解得【點睛】本題考查正弦定理、余弦定理和面積公式的運用,以及三角函數(shù)的恒等變換,考查化簡整理的運算能力,屬于中檔題.18、(1);(2)2個,證明見解析【解析】
(1)要恒成立,只要的最小值大于或等于零即可,所以只要討論求解看是否有最小值;(2)將圖像與圖像的交點個數(shù)轉(zhuǎn)化為方程實數(shù)解的個數(shù)問題,然后構(gòu)造函數(shù),再利用導數(shù)討論此函數(shù)零點的個數(shù).【詳解】(1)的定義域為,因為,1°當時,在上單調(diào)遞減,時,使得,與條件矛盾;2°當時,由,得;由,得,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,即有,由恒成立,所以恒成立,令,若;若;而時,,要使恒成立,故.(2)原問題轉(zhuǎn)化為方程實根個數(shù)問題,當時,圖象與圖象有且僅有2個交點,理由如下:由,即,令,因為,所以是的一根;,1°當時,,所以在上單調(diào)遞減,,即在上無實根;2°當時,,則在上單調(diào)遞遞增,又,所以在上有唯一實根,且滿足,①當時,在上單調(diào)遞減,此時在上無實根;②當時,在上單調(diào)遞增,,故在上有唯一實根.3°當時,由(1)知,在上單調(diào)遞增,所以,故,所以在上無實根.綜合1°,2°,3°,故有兩個實根,即圖象與圖象有且僅有2個交點.【點睛】此題考查不等式恒成立問題、函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化思想,考查導數(shù)的運用,屬于較難題.19、(1)見解析;(2)見解析.【解析】
(1)結(jié)合基本不等式可證明;(2)利用基本不等式得,即,同理得其他兩個式子,三式相加可證結(jié)論.【詳解】(1)∵,∴,當且僅當a=b=c等號成立,∴;(2)由基本不等式,∴,同理,,∴,當且僅當a=b=c等號成立∴.【點睛】本題考查不等式的證明,考查用基本不等式證明不等式成立.解題關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)基本不等式的形式,方法是綜合法.20、(1);(2)見解析.【解析】
(1)將轉(zhuǎn)化為對任意恒成立,令,故只需,即可求出的值;(2)由(1)知,可得,令,可證,使得,從而可確定在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,進而可得,即,即可證出.【詳解】函數(shù)的定義域為,因為對任意恒成立,即對任意恒成立,令,則,當時,,故在上單調(diào)遞增,又,所以當時,,不符合題意;當時,令得,當時,;當時,,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以,所以要使在時恒成立,則只需,即,令,,所以,當時,;當時,,所以在單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以,即,又,所以,故滿足條件的的值只有(2)由(1)知,所以,令,則,當,時,即在上單調(diào)遞增;又,,所以,使得,當時,;當時,,即在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,且所以,即,所以,即.【點睛】本題主要考查利用導數(shù)法求函數(shù)的最值及恒成立問題處理方法,第(2)問通過最值問題深化對函數(shù)的單調(diào)性的考查,同時考查轉(zhuǎn)化與化歸的思想,屬于中檔題.21、(1)的極坐標方程為;的極坐標方程為:(2)【解析】
(1)根據(jù),代入即可轉(zhuǎn)化.(2)由:,可得,代入與的極坐標方程求出,從而可得,再利用二倍角公式、輔助角公式,借助三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】(1):,,的極坐標方程為:,,的極坐標方程為:,(2):,則(為銳角),,,,當時取等號.【點睛】本題考查了極坐標與直角坐標的互化、二倍角公式、輔助角公式以及三角函數(shù)的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.22、(1)
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