2024年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專項(xiàng)突破：解三角形（含答案及解析）

專題12解三角形

考情概覽

命題解讀考向考查統(tǒng)計

1.高考對解三角形的考查，重點(diǎn)是2024新高考I卷?15

正余弦定理解三角形、三角形面積公

(1)掌握正弦定理、余弦定理及其變2022新高考新卷?18

式

形。2024新高考II卷?15

(2)能利用正弦定理、余弦定理解決解三角形結(jié)合基本不等式2022新高考I卷?18

一些簡單的三角形度量問題。解三角形結(jié)合三角形的中線問題2023新高考n卷?17

(3)能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等

知識和方法解決一些與測量和幾何計解三角形結(jié)合三角形的垂線問題2023新高考I卷?17

算有關(guān)的實(shí)際問題。

’2024年真題研析

命題分析

2024年高考新高考I卷、n卷都考查了解三角形，主要知識點(diǎn)就是使用正余弦定理及其變形來解三角形,

其中也蘊(yùn)含了三角函數(shù)的知識，例如輔助角公式等，難度是屬于較易和一般的。其實(shí)解三角形主要以考查

正余弦定理的應(yīng)用和面積公式為主，它側(cè)重基礎(chǔ)，主要考查學(xué)生的邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力。預(yù)計2025

年主要還是考查正余弦定理解三角形，但是考生務(wù)必注意，不能只把精力放在大題的練習(xí)中，小題也需要

兼顧練習(xí)。

試題精講

一、解答題

I.(2024新高考I卷?15)記“3C內(nèi)角/、B、C的對邊分別為a,b,c,已知sinC=Vicos3，

q-+b~—c~=yf^cib

⑴求8;

(2)若。BC的面積為3+6,求c.

2.(2024新高考II卷-15)記”8C的內(nèi)角4,B,C的對邊分別為a,b,c,已知sin/+Gcos/=2.

⑴求力.

(2)若a=2,sinC=csin28，求“8C的周長.

近年真題精選

一、解答題

1.（2022新高考I卷?18）記A/8C的內(nèi)角/,B,C的對邊分別為a,b,c,已知,儂/sm2g

1+sin/1+cos25

⑴若。告277"求8；

2,12

（2）求式?的最小值.

C

2.（2023新高考I卷?17）已知在。8C中，/+8=3C,2sin（N-C）=sinB.

（1）求sirk4；

（2）設(shè)48=5,求4B邊上的高.

3.（2022新高考II卷?18）記”BC的內(nèi)角/,B,C的對邊分別為a,b,c,分別以a,6,c為邊長的三個

正三角形的面積依次為E，$2,反，已知H-S2+S3=等,sin3=g.

（1）求小BC的面積；

（2）若sin4sinC,求6.

3

4.（2023新高考II卷-17）記”BC的內(nèi)角48C的對邊分別為6,c,已知“BC的面積為G，D為BC

中點(diǎn)，且/。=1.

TT

⑴若ZADC=—,求tan5；

(2)若〃+《2=8,求b,c.

必備知識速記

一、基本定理公式

（1）正余弦定理：在八42。中，角/,B,C所對的邊分別是a,b,c,R為△/2C外接圓半徑，則

定理正弦定理余弦定理

a2=b2+c2-2bccosA；

公式q=L==2Rb1=c2+a2—laccosB；

sinAsinBsinC

c2=a2+b2-2abcosC

Ab2+c2-a2

cosA=---------------；

(1)Q=2Rsin/,b=2RsinB,c=2RsinC；2bc

c2+a2-b2

常見變形(2)sinA=—,sinB=—,sinC=—；cosB=---------------；

2R2R2R2ac

a+b2-c2

cosC=---------------.

lab

（2）面積公式:

S.ABC=-absinC=-besinA=—acsinB

△222

s/3C=@￡=_L(a+b+c>r(r是三角形內(nèi)切圓的半徑，并可由此計算七人)

4R2

二、相關(guān)應(yīng)用

(1)正弦定理的應(yīng)用

①邊化角，角化邊O。:b:c=sin/:sin5:sinC

②大邊對大角大角對大邊

。>6o4>gosin4>sinBocosA<cosB

③比a+b+c_a+b_b+c_a+c_?_b_c

sinZ+sinB+sinCsinA+sinBsin5+sinCsinZ+sinCsinZsinBsinC

(2)△45。內(nèi)角和定理：A+B+C=7r

①sinC=sin(4+5)=sinAcosB+cosAsinBoc=QCOSB+bcosA

同理有：a=bcosC+ccosB,b=ccosA+acosC.

②-cosC=COS(T4+5)=cosAcosB-sinAsinB；

③斜三角形中，一tanC=tan(A+B)=好"+t&n'=tan/+tanB+tanC=tan4?tanB.tanC

1-tan/?tanB

④sin（」=cosy；C0S（/；B）=sjng

⑤在A48c中，內(nèi)角4B,C成等差數(shù)列O3=2,/+C=^.

三、實(shí)際應(yīng)用

（1）仰角和俯角

在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角（如圖①）.

（2）方位角

從指北方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如2點(diǎn)的方位角為a（如圖②）.

（3）方向角：相對于某一正方向的水平角.

①北偏東a,即由指北方向順時針旋轉(zhuǎn)a到達(dá)目標(biāo)方向（如圖③）.

②北偏西a,即由指北方向逆時針旋轉(zhuǎn)a到達(dá)目標(biāo)方向.

③南偏西等其他方向角類似.

（4）坡角與坡度

①坡角：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)（如圖④，角。為坡角）.

②坡度：坡面的鉛直高度與水平長度之比（如圖④，，為坡度）.坡度又稱為坡比.

【解三角形常用結(jié)論】

1、方法技巧：解三角形多解情況

在&45C中，已知a,6和/時，解的情況如下：

A為銳角A為鈍角或直角

ccc

.q0

圖形

A?……BA—......'BAB

AB

關(guān)系式a=bsinAbsinA<a<ba>ba>ba<b

解的個數(shù)一解兩解一解一解無解

2、在解三角形題目中，若已知條件同時含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選

擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則常用：

（1）若式子含有sinx的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“角化邊”；

（2）若式子含有仇。的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“邊化角”；

（3）若式子含有cosx的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理，“角化邊”；

（4）代數(shù)變形或者三角恒等變換前置；

（5）含有面積公式的問題，要考慮結(jié)合余弦定理使用；

（6）同時出現(xiàn)兩個自由角（或三個自由角）時，要用到Z+2+C=〃.

3、三角形中的射影定理

在中，a=bcosC+ccosB；6=acosC+ccosN；c=bcosA+acosB.

名校模擬探源

一、單選題

JT

1.（2024?貴州六盤水?三模）在“8C中，AB=2,NC=3,乙4=5,則。外接圓的半徑為（）

A5B.&「2sn2V21

A.------V/.---

3333

2.（2024?河南?三模）在AZBC中，AB=372,cosABAC=-^,ADVAC,且/。交8C于點(diǎn)。，AD=3,

貝!JsinC=（）

A.-B.巫C.—D.迪

3333

3.（2024?天津北辰?三模）在”"中，|國=20,。為A/3C外心，且而.％=1，則/28C的最大

值為（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

4.（2024?山西太原?三模）已知。3c中，4=120°,。是2c的中點(diǎn)，且40=1,則。8C面積的最大

值（）

A.GB.2V3C.1D.2

nh3c

5.2024?河南三模）在A/BC中，角48,C所對的邊分別為a,6,c.若——；+―-=一；：；，則tan4+tanC

cosAcosBcosC

的最小值是（）

48

A.-B.-C.2Vr3D.4

33

二、多選題

—,tan5j,

6.（2024?安徽?三模）己知“8C中,角力,B,C所對的邊分別為a,b,c,其中b=4,m=

tand,

n=m-n=---------，貝U（）

C3cos/

A-5=T

B.”3C的外接圓面積為16兀

ABAC=/ABM,則BC=九攸

C.^AM=-AC,

413

——?3—?叵

D.若AM=—AC,NBAC=NABM,貝!Jsin/A4C=

41T

-^=a-sm2^^-=b-sinA,下歹|J結(jié)

7.（2024?浙江?三模）已知AABC的內(nèi)角42,C的對邊分別為a/,c,且

論正確的是（）

A-B檢

B.若。=4,b=5,則AABC有兩解

C.當(dāng)=時，MBC為直角三角形

3

D.若^ABC為銳角三角形，則cosN+cosC的取值范圍是（5,1]

8.（2024?河北?三模）已知“8C內(nèi)角/、B、C的對邊分別是a、b、c,A=2B,則（）

A.a1=c（b+c）B.2+的最小值為3

C.若。BC為銳角三角形，則■|e（l,2）D.若a=2&,b=3,則c=5

三、填空題

9.（2024?新疆?三模）在AZBC中，3sin/=2sinC,cosB=；.則sin/=.

10.（2024?江西南昌?三模）在IBC中，-=2cos5<l,則cos（8-C）=_____.

b

11.（2024?重慶九龍坡?三模）設(shè)。8C的內(nèi)角4,B,C的對邊分別為a,b,c,其面積為S,已知

asin^—=csin/,。=2.則。=；S的最大值為.

12.（2024?四川自貢?三模）如圖，。為“8C的邊NC上一點(diǎn)，|4D|=2|DC|,AABC=60°,

|“切+213cl=4,則忸。的最小值為.

13.（2024?湖南邵陽?三模）已知a,b,c分別為三個內(nèi)角4B,C的對邊，且

sin2S+sin2C-sin2^+sinSsinC=0,則/=;若6=2,c=1,BP=tBC>則正2-耐力

的取值范圍是.

四、解答題

14.（2024?內(nèi)蒙古呼和浩特?二模）在。BC中，記角A、B、C的對邊分別為。、b、c,已知

V3a=CccosB+csinB.

⑴求角C;

（2）已知點(diǎn)。在/C邊上，且4D=2DC,BC=6,8。=2療，求。3C的面積.

15.（2024?山東青島?三模）設(shè)三角形48c的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為。、b、c且

LA

sin（5+C）=2V3sin2—.

（1）求角A的大小;

(2)若匕=3,2C邊上的高為豆互，求三角形/8C的周長.

7

16.(2024?天津?yàn)I海新?三模)在18C中，內(nèi)角4及C所對的邊分別為a,6,c,6sinN=acos(8

Q=2,c—3.

(1)求角8的大?。?/p>

(2)求6的值；

⑶求sin(2N-8)的值.

7T

17.(2024?天津河西?三模)在“BC中，內(nèi)角/,B,C所對的邊分別為a,b,c,己知/="

b2-a2=-c2.

2

⑴求tanC的值；

(2)設(shè)函數(shù)/(x)=tan(2x-：］.

(i)求/(x)的定義域和最小正周期；

(ii)求"C)的值.

18.(2024?上海?三模)己知A4BC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,c,且Ga=2csiiM.

(1)求sinC的值；

⑵若c=3,求面積S的最大值.

19.(2024?湖南衡陽,三模)在“BC中，角4B,C的對邊分別為°、b、c,且

ccosB+2acosA+bcosC=0.

(1)求4

jr

(2)如圖所示，。為平面上一點(diǎn)，與“8C構(gòu)成一個四邊形N2DC,且NBZ)C=§,若c=b=2,求4D的最

大值.

20.(2024?四川攀枝花三模)請在①2"，=2ccosB,②，±^=tanC+tan8,

ccosB

③有sin(/+8)=3-2cos2：三個條件中選擇一個，補(bǔ)充在下面的問題中，所對的邊分別是仇c,已

知.

⑴求角C；

(2)若6=4,點(diǎn)。在邊上，為//C8的平分線，求邊長。的值.

21.(2024?江蘇蘇州?三模)在“BC中，內(nèi)角/,B,C的對邊分別為a,b,c,且a/6,c=L

(1)若|3+e5|=|N5|,2sin/=sinC,求18C的面積；

Z7—A

(2)若855-85/二三一，求使得加＞。+6恒成立時，實(shí)數(shù)加的最小值.

22.(2024,安徽六安?三模)在①"sin4+sinB)=(c+arsine-sin/),(2)tanB+tanC=——"",③

ccosB

■y/ibsin=csin5

2

這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的橫線上，并解答.

在中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,c,且.

(1)求角C的大??；

⑵已知c=7,。是邊的中點(diǎn)，S.CD1CB,求。。的長.

23.(2024?四川綿陽?模擬預(yù)測)已知在。中，。為8c邊的中點(diǎn)，且40=石.

(1)若“BC的面積為2,cosNADC=],求B;

⑵若Ag2+NC2=18,求“8c的周長的最大值.

專題12解三角形

考情概覽

命題解讀考向考查統(tǒng)計

1.高考對解三角形的考查，重點(diǎn)是2024新高考I卷?15

正余弦定理解三角形、三角形面積公

(1)掌握正弦定理、余弦定理及其變2022新高考新卷?18

式

形。2024新高考II卷?15

(2)能利用正弦定理、余弦定理解決解三角形結(jié)合基本不等式2022新高考I卷?18

一些簡單的三角形度量問題。解三角形結(jié)合三角形的中線問題2023新高考n卷?17

(3)能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等

知識和方法解決一些與測量和幾何計解三角形結(jié)合三角形的垂線問題2023新高考I卷?17

算有關(guān)的實(shí)際問題。

’2024年真題研析

命題分析

2024年高考新高考I卷、n卷都考查了解三角形，主要知識點(diǎn)就是使用正余弦定理及其變形來解三角形,

其中也蘊(yùn)含了三角函數(shù)的知識，例如輔助角公式等，難度是屬于較易和一般的。其實(shí)解三角形主要以考查

正余弦定理的應(yīng)用和面積公式為主，它側(cè)重基礎(chǔ)，主要考查學(xué)生的邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力。預(yù)計2025

年主要還是考查正余弦定理解三角形，但是考生務(wù)必注意，不能只把精力放在大題的練習(xí)中，小題也需要

兼顧練習(xí)。

試題精講

一、解答題

I.(2024新高考I卷?15)記“3C內(nèi)角/、B、C的對邊分別為a,b,c,已知sinC=Vicos3，

q-+—c~—y[^ctb

⑴求8;

(2)若。BC的面積為3+6,求c.

【答案】(1)B=

(2)272

【分析】(1)由余弦定理、平方關(guān)系依次求出cosC,sinC,最后結(jié)合已知sinC=0cos2得C0S8的值即可

(2)首先求出48,C,然后由正弦定理可將。力均用含有c的式子表示，結(jié)合三角形面積公式即可列方程

求解.

【詳解】(1)由余弦定理有力+〃-2=2"cosC,對比已知/+62一°2=缶6,

可得cosC=/+"一<。=也收=也

2ab2ab2

因?yàn)镃e(O,兀)，所以sinC>0,

從而sinC=Jl-cos?C={1-=-^->

又因?yàn)閟inC=J^cosB,BPcosB--,

注意到Be（0,兀），

所以B

（2）由⑴可得8=3cosc=@,Ce（O,兀），從而C=，A=n--^=^,

3243412

而sinZ=sin

U6j22224

a_b_c

由正弦定理有?5兀.兀.71,

sin—sin—sin—

1234

從而缶）?°力=叵缶二”，

4222

由三角形面積公式可知，的面積可表示為

01,.1V3+1V6V23+V32

=

SARC-absinC=-----------c-----c---------------c,

.甌222228

由已知“8C的面積為3+g,可得上8c2=3+g,

8

所以c=2收.

2.（2024新高考II卷-15）記”8C的內(nèi)角4,B,C的對邊分別為a,b,c,已知sin/+ecos/=2.

⑴求4

（2）若a=2,、&sinC=csin23，求A28C的周長.

【答案】⑴V

O

⑵2+C+30

【分析】(1)根據(jù)輔助角公式對條件sin/+ecos/=2進(jìn)行化簡處理即可求解，常規(guī)方法還可利用同角三

角函數(shù)的關(guān)系解方程組，亦可利用導(dǎo)數(shù)，向量數(shù)量積公式，萬能公式解決；

(2)先根據(jù)正弦定理邊角互化算出8,然后根據(jù)正弦定理算出上c即可得出周長.

【詳解】(1)方法一：常規(guī)方法(輔助角公式)

由sin4+V3COS4=2可得』sin/+cosA=1>即sin(Z+=)=1,

223

r十./八、A兀/兀4兀、L,.“兀兀A73ZF4A兀

由于/€(0,兀)=4+刀€(不-故/+；=彳，解得N=z

jjJ32o

方法二：常規(guī)方法(同角三角函數(shù)的基本關(guān)系)

由sin+V3cosA=2，又sin?A+cos2A=1,消去sinA得到：

4cos2/_4Gcos/+3=Oo(2cos/一揚(yáng)2=0,解得cos/=孝，

又/e(0,兀)，故/=自

6

方法三：利用極值點(diǎn)求解

設(shè)f(x)=sinx+V3COSX(0<x<兀)，貝!]/(x)=2sin(x+g)(0<x<兀)，

顯然x=￡時，/(Mmax=2,注意至(J/Q)=sinZ+VJcosZ=2=2sin(4+￡),

63

/('"ax="/)，在開區(qū)間0兀)上取到最大值，于是1=4必定是極值點(diǎn)，

即f\A)=0=cos/一sin力，BPtanA=-y,

TT

又/e(0,兀)，故/=自

o

方法四：利用向量數(shù)量積公式(柯西不等式)

設(shè)a=(1,百)》=(sin4cos/),由題意，a-b=sinA+V3cosA=2>

根據(jù)向量的數(shù)量積公式，限3=|同WcosR?=2cosR用，

則2cos2,3=2ocos3,6=1,此時a,b=0,即a,b同向共線，

根據(jù)向量共線條件，l?cos%=J^-sinZu>tanA=,

3

又/e(0,兀)，故/=；

6

方法五：利用萬能公式求解

設(shè)f=tan4，根據(jù)萬能公式，sin/+6cos/=2=二+四")

21+Z21+〃

整理可得，Z2-2(2-V3)Z+(2-V3)2=0=0-(2-V3))\

解得tan《=f=2-6,根據(jù)二倍角公式，tan/=烏="，

21-產(chǎn)3

又/€（0,兀），故/=自7T

6

（2）由題設(shè)條件和正弦定理

42bsinC=csinIB=V2sin8sinC=2sinCsinBcosB，

又及Ce(0,7t),貝！IsinBsinCwO,進(jìn)而cos8=走，得到2=：,

24

^C=n-A-B=—7兀

12

sinC=sin(九-A-B)=sin(4+5)=sinAcos8+sin5cosA=也;后

2b_c

由正弦定理可得，號=4=，7,即不.兀.7兀,

sin"sin5sinCSin一sin—sin一

6412

解得b=2V2,c-V6+V2，

故的周長為2+指+30

近年真題精選

一、解答題

L（2。22新高考倦記“BC的內(nèi)角/，B,C的對邊分別為a,b,c,已知備=皆焉

⑴若。=奇24，求2；

⑵求匚義的最小值.

C

【答案】（l）g

O

(2)472-5.

【分析】（1）根據(jù)二倍角公式以及兩角差的余弦公式可將備舄化成cos（/+5）=sin8,再

77

結(jié)合0<2<萬，即可求出;

（2）由（1）知，C=J+B,A=*2B,再利用正弦定理以及二倍角公式將匚土化成

22c

7

4C°-B+=萬-5,然后利用基本不等式即可解出.

【詳解】(1)因?yàn)閟in2B2sin5cos5_sin5

JR即

1+sm41+cosIB2cos2Bcos5

sinB=cosAcos8-sin/sinB=cos(4+5)=-cosC=-

2

而0<3苦，所以5帶;

TTTT

(2)由(1)知，sin5=-cosC>0,所以,<C<兀,0<5<萬,

而sinB=-cosC=sin(c一］］,

所以C=g+8,即有/=J_22,所以苧］

22V4J<24J

所以“+〃_sin2^4+sin2B_cos225+1-cos2B

c1sin2Ccos2B

(2cos28-+1-cos2B

=4浸2+———522通-5=4亞-5?

cos2Bcos-B

當(dāng)且僅當(dāng)cos?8=［時取等號，所以三勺的最小值為4行一5.

2.(2023新高考I卷-17)已知在中，N+3=3C,2sin(N-C)=sinB.

⑴求siih4；

(2)設(shè)48=5,求48邊上的高.

【答案】⑴亞

10

(2)6

【分析】(1)根據(jù)角的關(guān)系及兩角和差正弦公式，化簡即可得解；

(2)利用同角之間的三角函數(shù)基本關(guān)系及兩角和的正弦公式求sinB,再由正弦定理求出6,根據(jù)等面積法

求解即可.

【詳解】⑴?.?/+B=3C,

TT

—C-3C,即C=z，

又2sin(Z-C)=sinS=sin(/+C),

2sinAcosC-2cos4sinC=sinAcosC+cos/sinC,

/.sinAcosC=3cos4sinC,

sin4=3cos4,

JT

即tan4=3,所以0</<萬,

33布

sin

AVw-^o-

(2)由(1)知，cosA=—^==,

V1010

由sin=sin(/+C)=sinAcosC+cos/sinC=

(2指

5x---

cb

由正弦定理,,可得b=---，—=2y/10,

sinCsinBJ2

V

:.-AB-h=-AB-ACsinA

229

h=b'SinA=2y/10x-6.

10

3.（2022新高考II卷?18）記”BC的內(nèi)角B,C的對邊分別為a,b,c,分別以a,b,c為邊長的三個

正三角形的面積依次為幾邑,S3,已知s「S2+S3二日,sinB=（.

⑴求的面積;

⑵若sin力sinC=~~~，求b.

【答案】（l）g

⑵3

【分析】（1）先表示出幾52，邑，再由5-邑+53=等求得〃+。2—/=2,結(jié)合余弦定理及平方關(guān)系求得

ac,再由面積公式求解即可;

b2ac

（2）由正弦定理得,即可求解.

sin2BsinAsinC

a2,S=1修凡“則

【詳解】（1）由題意得2

1224

2

5,-S2+S3=^-a

-鋁42

由余弦定理得cos5=3———,整理得QCCOS5=1,貝！|COS3>0,又sinB=2，

即a2+c2-b2=2

92ac3

貝!Jcos3=Jl-（，］=—,ac=—^—=—,貝?。?加0=，℃5也3=立；

丫⑶3cos54"28

30

（2）由正弦定理得：==則-^二號-白二二卡4,貝！1芻=；，

sin5smAsinCsinBsmAsinCsi.n：sin「C724sin52

V

73?八1

b=—smB=—.

22

4.（2023新高考n卷?17）記。5c的內(nèi)角48,C的對邊分別為q,6,c,已知。3C的面積為由，D為BC

中點(diǎn)，且/。=1.

TT

⑴若ZADC=—,求tan5；

（2）若"+。2=8，求仇。.

【答案】（1）日；

（2）b=c=2.

【分析】（1）方法1,利用三角形面積公式求出。，再利用余弦定理求解作答；方法2,利用三角形面積

公式求出。，作出8C邊上的高，利用直角三角形求解作答.

（2）方法1,利用余弦定理求出a,再利用三角形面積公式求出N4X;即可求解作答；方法2,利用向量

運(yùn)算律建立關(guān)系求出a,再利用三角形面積公式求出NNOC即可求解作答.

【詳解】（1）方法1：在中，因?yàn)?。?C中點(diǎn)，ZADC=j,AD=\,

貝!1S=-ADDCsmZADC=-xlx-ax—=—a=-S=—,解得”=4,

2222822ABC

2兀

在△48。中，AADB=—,由余弦定理得c?

即c?=4+l-2x2xlx=7,解得c=V7,貝!|cos8=^^=迫，

2j7x214

sinB=Vl-cos2B=

所以tan3=*=@

cos85

n

方法2：在A/8C中，因?yàn)椤?C中點(diǎn)，ZADC=~,AD=\,

貝!IS⑺c='/O.OCsinN/OC=LxlxLax^=@a=Ls,RC=—,解得a=4,

2222822

在A/C￡>中，由余弦定理得〃=Qy+/〃2_2cr)./OcosNNOC,

即/=4+l-2x2xlx(=3,解得6=6，^AC2+AD2=4=CD2,貝()/小。=3,

2z

C=y,過A作4EJ.3C于E,于是CE=/CcosC=，E=/CsinC=立，5￡=|,

6222

AE_43

所以tanB

^E~~5

2121

c=~a+l-2x—tzxlxCOS(K-Z.ADC}

(2)方法1：在△45。與中，由余弦定理得〈

,11

b=—Q9+l-2x—tzxlxcosZ.ADC

42

整理得92+2=〃+C2,而〃+C2=8,貝!)a=26,

又S='*6xlxsin/4DC=9，解得sinN2DC=l,而0<NNOC<TI，于是ZADC=',

△AUC2.22

所以6=C=J.+m=2.

方法2：在A28C中，因?yàn)?。為BC中點(diǎn)，貝!12五5=刀+/，又。=在-就，

于是4詬？+而2=(方+%>+(萬一次了=2(〃+C2)=16,即4+/=16,解得°=26，

又S=’x6xlxsinNNr)C=巫，解得sin//DC=l,而°<4℃<兀，于是N/DC=',

△2，22

所以6=C=J/r?2+m=2.

必備知識速記

一、基本定理公式

(1)正余弦定理：在A48C中，角4,B,C所對的邊分別是a,b,c,R為A48C外接圓半徑，則

定理正弦定理余弦定理

a2=b2+c2-2bccosA；

工=上」

公式=2Rb1=c2+a2-laccosB；

sinAsinBsinC

c2=a2+b2-2abeosC.

Ab2+c2-a2

cosA=---------------；

(1)Q=2Rsin/,b=2RsinB,c=2RsinC；2bc

c2+a2-b2

常見變形(2)sinA=—,sinB=—,sinC=—；cosB=---------------；

2R2R2R2ac

a+b2-c2

cosC=---------------.

lab

（2）面積公式:

S.ABC=-absinC=-besinA=—acsinB

△222

s/3C=@￡=_L(a+b+c>r(r是三角形內(nèi)切圓的半徑，并可由此計算七人)

4R2

二、相關(guān)應(yīng)用

(1)正弦定理的應(yīng)用

①邊化角，角化邊O。:b:c=sin/:sin5:sinC

②大邊對大角大角對大邊

。>6o4>gosin4>sinBocosA<cosB

③比a+b+c_a+b_b+c_a+c_?_b_c

sinZ+sinB+sinCsinA+sinBsin5+sinCsinZ+sinCsinZsinBsinC

(2)△45。內(nèi)角和定理：A+B+C=7r

①sinC=sin(4+5)=sinAcosB+cosAsinBoc=QCOSB+bcosA

同理有：a=bcosC+ccosB,b=ccosA+acosC.

②-cosC=COS(T4+5)=cosAcosB-sinAsinB；

③斜三角形中，一tanC=tan(A+B)=好"+t&n'=tan/+tanB+tanC=tan4?tanB.tanC

1-tan4?tanB

（4）sin（）；B）=cosy；cos（』；B）=sjng

⑤在A48c中，內(nèi)角4B,C成等差數(shù)列O3=2,/+C=^.

三、實(shí)際應(yīng)用

（1）仰角和俯角

在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角（如圖①）.

視線

圖①圖②圖③圖④

（2）方位角

從指北方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如2點(diǎn)的方位角為a（如圖②）.

（3）方向角：相對于某一正方向的水平角.

①北偏東a,即由指北方向順時針旋轉(zhuǎn)a到達(dá)目標(biāo)方向（如圖③）.

②北偏西a,即由指北方向逆時針旋轉(zhuǎn)a到達(dá)目標(biāo)方向.

③南偏西等其他方向角類似.

（4）坡角與坡度

①坡角：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)（如圖④，角。為坡角）.

②坡度：坡面的鉛直高度與水平長度之比（如圖④，，為坡度）.坡度又稱為坡比.

【解三角形常用結(jié)論】

1、方法技巧：解三角形多解情況

在&45C中，已知a,6和/時，解的情況如下：

A為銳角A為鈍角或直角

C

ccc

4X.工

圖形0