2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)舉一反三系列專題184 矩形的性質(zhì)與判定【九大題型】（舉一反三）（人教版）含解析

2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)舉一反三系列專題18.4矩形的性質(zhì)與

判定【九大題型】

【人教版】

【題型?由矩形的性質(zhì)求線段的長(zhǎng)度】............................................................1

【題型2由矩形的性質(zhì)求角的度數(shù)】.............................................................2

【題型3由矩形的性質(zhì)求面積】.................................................................3

【題型4矩形的性質(zhì)與坐標(biāo)軸的綜合運(yùn)用】.......................................................4

【題型5矩形判定的條件】......................................................................6

【題型6證明四邊形是矩形】....................................................................7

【題型7矩形中多結(jié)論問(wèn)題】...................................................................11

【題型8矩形的判定與性質(zhì)綜合】..............................................................12

【題型9直角三角形斜邊的中線】...............................................................15

浮一笈三

【知識(shí)點(diǎn)1矩形的定義】

有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形.

【知識(shí)點(diǎn)2矩形的性質(zhì)】

①平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有；②角：矩形的四個(gè)角都是直角；③邊：鄰邊垂直；④對(duì)角線：矩形的對(duì)

角線相等；⑤矩形是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形.它有2條對(duì)稱軸，分別是每組對(duì)邊中點(diǎn)連線所在的

直線；對(duì)稱中心是兩條對(duì)角線的交點(diǎn).

【題型1由矩形的性質(zhì)求線段的長(zhǎng)度】

【例I】（2022春?新泰市期末）如圖，在矩形ABCZ）中，AD=45/2,對(duì)角線4c與8。相交于點(diǎn)O,DE

1AC,垂足為點(diǎn)E,CE=OE,則OE的長(zhǎng)為（）

A______________________P

O

E

Br

【變式1?1】（2022春?開(kāi)州區(qū)期末）如圖，在矩形ABC。中，對(duì)角線AC、4。相交于點(diǎn)O,DF垂直平分

OC,交AC于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)尸，連接AF,若8。=2遍,。尸=2,則A尸的長(zhǎng)為（）

&pc

A.V6B.2V2C.y/7D.3

【變式1-2］（2022?碑林區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在矩形/WC。中,。是8。的中點(diǎn)，七為八。邊上一點(diǎn)，且有

AE=013=2.連接OE,若/AE（）=75°,則。￡的長(zhǎng)為（）

A.__________?______,D

/

BC

A.1B.V3C.2D.2A/3-2

【變式1-3］（2022?南崗區(qū)期末）如圖，矩形ABCQ中，點(diǎn)E,F分別在AD,CD上，且CF=2DF=2,

連接BE,EF,BF,且B產(chǎn)平分NE8C,NEFB=45°,連接CE交BF于點(diǎn)G,則線段EG的長(zhǎng)為_(kāi)____.

.二邑D

【題型2由矩形的性質(zhì)求角的度數(shù)】

【例2】（2022春?深水區(qū)期中）如圖，在矩形ABC。中,AC>8。交于點(diǎn)0,O￡LAC于點(diǎn)E,ZAOD=

110°,則NCQE大小是（）

3

A.55°B.40°C.35°D.20°

【變式2-1］（2022?武昌區(qū)期末）如圖，把一張矩形紙片沿對(duì)角線折疊，如果量得NEO尸=22°,則/正。8

的大小是（）

C.24°D.68°

【變式2-2]（2022春?江夏區(qū)期中）如圖，矩形ABCO中，AB=2,AD=\,點(diǎn)M在邊。。上，若4M平

)

C.75°D.30°

【變式2-3】（2022春?莫旗期末）如圖，若將四根木條釘成的矩形木框變形為平行四邊形A8CO的形狀,

并使其面積為矩形面積的一半，則平行四邊形ABCZ）的最大內(nèi)角的大小是

【題型3由矩形的性質(zhì)求面積】

[例3]（2022春?浦東新區(qū)期末）我們把兩條對(duì)角線所成兩個(gè)角的大小之比是1：2的矩形叫做“和諧矩

形”，如果一個(gè)“和諧矩形”的對(duì)角線長(zhǎng)為10c7〃，則矩形的面積為cm2.

【變式3-1]（2022?成都）如圖，過(guò)矩形ABCQ的對(duì)角線8。上一點(diǎn)K分別作矩形兩邊的平行線MN與PQ,

那么圖中矩形AMKP的面積S與矩形QCNK的面枳S2的大小關(guān)系是$一S2；（填或“〈”或

BQC

【變式3-2]（2022春?成都期末）如圖，點(diǎn)E是矩形ABCD邊AD上一動(dòng)點(diǎn)，連接BE,以BE邊作矩形

BEFG,使得FG始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)C.若矩形ABCD的面枳為日，矩形BEFG的面積為s?,則g與52的大小

關(guān)系是（）

A.S1〈S2B.Si=S2C.51>52D.不確定

【變式3-3]（2022春?九龍坡區(qū)校級(jí)期中）已知：矩形A8CO中，延長(zhǎng)8c至E,使BE=BD,F為DE的

中點(diǎn)，連接AF、CF.

（1）求證:CF±AF；

（2）若AZ?=10G〃，BC=16cm,求△AO”的面積.

【題型4矩形的性質(zhì)與坐標(biāo)軸的綜合運(yùn)用】

【例4】（2022春?潮南區(qū)期中）如圖，在矩形中，點(diǎn)。的坐標(biāo)是（1,3）,則CE的長(zhǎng)是（）

A.3B.V3C.VSD.V10

【變式4/】（2022春?任城區(qū)期末）定義：如果一個(gè)三角形有一邊上的中線等于這條邊的一半，那么稱三

角形為“智慈三角形”.如圖，在平面直角坐標(biāo)系X。），中，矩形。43。的邊04=3,0C=4,點(diǎn)M（2,

0）,在邊A8存在點(diǎn)P,使得ACMP為“智慧三角形”，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）

C.（3,或（3,1）D.（3,；）或（3,1）或（3,3）

22

【變式4-2］（2022?西平縣模擬）已知在矩形A8CO中，AB=4,8C=卷O為BC上一一點(diǎn)、,BO=p如圖

所示，以BC所在直線為x軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，M為線段OC上的一點(diǎn).

（1）若點(diǎn)M的坐標(biāo)為（I,0）,如圖1,以O(shè)M為一邊作等接AOMP,使點(diǎn)P在矩形ABC。的一邊上,

則符合條件的等腰三角形有幾個(gè)？請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（2）若將（1）中的點(diǎn)〃的坐標(biāo)改為（4,（））,其他條件不變，如圖2,那么符合條件的等腰三角形有

幾個(gè)？求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).

圖1圖2

【變式4-3]（2022春?浦江縣期中）如圖，長(zhǎng)方形O44C中，。為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，4點(diǎn)的坐標(biāo)為

（4,0）,C點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,6）,點(diǎn)8在第一-象限內(nèi)，點(diǎn)P從原點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度

沿著O-C-8-A-0的路線移動(dòng)（移動(dòng)一周）.

（1）寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)：

（2）當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)了4秒時(shí)，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

（3）在移動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)△OAP的面積是10時(shí)，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).

八

y

C-------Is

OAx

【知識(shí)點(diǎn)3矩形的判定方法】

①矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；②有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形;

③對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形（或“對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是矩形”）.

【題型5矩形判定的條件】

【例5】（2022春?夏邑縣期中）如圖，四邊形ABC。為平行四邊形，延長(zhǎng)AO到￡使。2=4。，連接￡&

EC,DB,添加一個(gè)條件，不能使四邊形Q4CE成為矩形的是（）

E

C

AB

A.AB=BEB.BEA.DCC.NAQB=90'D.CEDE

【變式5-1]（2022春?江油市期末）在四邊形/WCQ中，AC.BD交于前O,在下列條件中，不能判定四

邊形A8c。為矩形的是（）

A.AO=CO,BO=DO,ZB/.D=90°

B.AB=CD,AD=BC,AC=BD

C.NBAD=NBCD,NABC+/8CD=180°,ACLBD

D.NB4O=NABC=90°,AC=BD

【變式5-2]（2022春?仙居縣期末）如圖，四邊形4BCO為平行四邊形，延長(zhǎng)4。到E,使DE=A。，連

接E8,EC,DB,添加一個(gè)條件，不能使四邊形OBCE成為矩形的是（）

A.AB=BEB.CE1DEC.ZADB=WD.BELDC

【變式5-3]（2022?西城區(qū)一模）如圖，在△ABC中，D,E分別是AB,AC的中點(diǎn)，點(diǎn)F，G在邊上,

且。G=ER只需添加一個(gè)條件即可證明四邊形。尸GE是矩形，這個(gè)條件可以是.（寫出一個(gè)

即可）

【題型6證明四邊形是矩形】

【例6】（2022春?南譙區(qū)期末）如圖，在平行四邊形A8C。中，對(duì)角線AC,4。相交于點(diǎn)O,若E,尸是

線段4c上兩動(dòng)點(diǎn)，同時(shí)分別從A,。兩點(diǎn)出發(fā)以"〃?/5的速度向點(diǎn)C,A運(yùn)動(dòng).

（1）求證：MADE烏ACBk

（2）若BD=8cm,AC=14an,當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間，為多少秒時(shí)，四邊形。E8尸是矩形？

【變式6-1]（2022春?海陵區(qū)期末）如圖，在aABC中，。是邊AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作直線MN,

交NAC8的平分線于點(diǎn)￡,交aABC的外角/ACO的平分線于點(diǎn)F.給出下列信息：&MN//BC：②OE

=OC；?OF=OC.

（1）請(qǐng)?jiān)谏鲜?條信息中選擇其中一條作為條件，證明：OE=OF；

（2）在（1）的條件下，連接AE、AF,當(dāng)點(diǎn)。在邊AC上運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形AEC廠是矩形？

請(qǐng)說(shuō)明理由.

BCD

【變式6-2]（2022春?津南區(qū)期末）已知口A8CD,對(duì)角線AC,8。相交于點(diǎn)O（AO8。），點(diǎn)E,廣分

別是OA,。。上的動(dòng)點(diǎn).

（I）如圖①，若AE=CF,求證：四邊形EB尸。是平行四邊形；

（II）如圖②，若OE=OB,OF=OD,求證：四邊形EBFO是矩形.

圖①圖②

【變式6-3］（2022春?洪澤區(qū)期末）在矩形A8C。中，A8=6,BC=8,E、尸是對(duì)角線AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),

分別從4、C同時(shí)出發(fā)相向而行，速度均為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，秒，其中0WW10.

（1）若G、〃分別是40、BC的中點(diǎn)，則下列關(guān)于四邊形EGFH（E、/相遇時(shí)除外）的判斷：①一定

是平行四邊形；②一定是矩形；③一定是菱形，正確的是—；（直接填序號(hào)，不用說(shuō)理）

（2）在（1）的條件下，若四邊形EGF”為矩形，求/的值.

【題型7矩形中多結(jié)論問(wèn)題】

【例7】（2022?綏化一模）如圖，在一張矩形紙片/1BC7）中/W=4,BC=8,點(diǎn)、E,產(chǎn)分別在AD,BC上,

將紙片A8CO沿直線石/折疊，點(diǎn)C落在人。上的點(diǎn)，處，點(diǎn)D落在點(diǎn)G處，連接CE,CH.有以下四

個(gè)結(jié)論：①四邊形是菱形；②CE平分NDC”：③線段A尸的取值范圍為3W4FW4：④當(dāng)點(diǎn)H9

點(diǎn)A重合時(shí)，EF=5.以上結(jié)論中，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有C）

【變式7-1］（2022春?南充期末）如圖，矩形人8€7）中，M,N分別是邊人從CQ的中點(diǎn)，4P_L4V于P,

C尸的延長(zhǎng)線交4。于Q.下列結(jié)論：①PM=CN；②PM_LCQ；③PQ=AQ；?DQ<2PN.其中結(jié)論正

確的有（）

【變式7-2］（2022春?泉州期末）如圖，點(diǎn)P是矩形/WC。內(nèi)一點(diǎn)，連結(jié)爪PB、PC、PD,設(shè)△氏8、

APBC、叢PCD、△0加的面積分別為Si、S2、S3、S4，以下四個(gè)判斷：

①當(dāng)N%6=NPD4時(shí)，B、P、。三點(diǎn)共線

②存在唯——點(diǎn)P,使PA=PB=PC=PD

③不存在到矩形ABCD四條邊距離都相等的點(diǎn)P

④若S1—S2?則§3=§4

其中正確的是.（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）

【變式7-3］（2022春?興文縣期中）如圖，矩形48C。中，AC,8。相交于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)8作8F_LAC交C。

于點(diǎn)F,交4c于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)。作OE〃8尸交48于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)N,連接產(chǎn)MEM.則下列結(jié)論:

①DN=BM；②上M〃尸M③/才=N”；④當(dāng)AO=AL）時(shí)，四邊形DE8卜是菱形.其中正確的結(jié)論是

【題型8矩形的判定與性質(zhì)綜合】

【例8】（2022春?海淀區(qū)期末）如圖，在△A8C中，￡＞是A8上一點(diǎn)，AO=QC,QE平分乙4OC交AC于

點(diǎn)E。廠平分N8DC交BC于點(diǎn)F,ZDFC=90°.

（1）求證：四邊形CEZ＞是矩形；

（2）若N8=30°,40=2,連接8E,求BE的長(zhǎng).

C

E

ADB

【變式8-1]（2022?息烽縣二模）如圖，菱形ABCO的對(duì)角線AC、8D交于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)B作8E〃AC,且

BE=\AC,連接EC、ED.

（1）求證：四邊形3ECO是矩形；

（2）若AC=2,NA8C=60°,求OE的長(zhǎng).

【變式8-2】（2022?開(kāi)福區(qū)校級(jí)二模）如圖，平行四邊形/WC7）的對(duì)角線AC、BZ）相交于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)A作

AFA.CD,垂足為F，延長(zhǎng)。C到點(diǎn)七，使CE=O尸，連接8E.

（1）求證：四邊形4/3"是矩形;

(2)若A8=5,CF=2,AC1BD,連接。七，求OE的長(zhǎng).

DFE

【變式8-3]（2022?崇左）如圖，。是矩形A8C。的對(duì)角線的交點(diǎn)，E、F、G、”分別是OA、OB、OC、

。。上的點(diǎn)，且AE=BF=CG=DH.

（1）求證：四邊形打'G〃是矩形；

（2）若E、F、G、”分別是。4、08、OC、。。的中點(diǎn)，且OG_LAC,OF=2an,求矩形A8CQ的面

積.

【知識(shí)點(diǎn)4直角三角形斜邊中線】

在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半.

【題型9直角三角形斜邊的中線】

【例9】（2022?青縣二模）如圖，直角△ABC中，N8=90°,/84C=78°,過(guò)C作C/〃A8,連接"

與BC相交于G,若G/=2AC則N84G的大小是度.

【變式9-1］（2022春?河南期末）如圖，在AABC中，點(diǎn)。在邊AC上，DB=BC,E是CO的中點(diǎn)，尸是

的中點(diǎn).

（1）直接寫出A8與E尸的數(shù)量關(guān)系：；

（2）若40=3,BD=2,ZC=60°,求EF的長(zhǎng).

【變式9-2](2022?浦東新區(qū)期天)如圖(1),已知銳角△ABC中，CD、BE分別是48、AC邊上的高,

“、N分別是線段8C、DE的中點(diǎn).

(1)求證：MNA.DE.

(2)連接OM,ME,猜想NA與NOME之間的關(guān)系，并證明猜想.

(3)當(dāng)NA變?yōu)殁g角時(shí)，如圖(2),上述(1)(2)中的結(jié)論是否都成立，若結(jié)論成立，直接回答,

不需證明；若結(jié)論不成立，說(shuō)明理由.

【變式9-3](2022秋?啟東市校級(jí)月考)引理：如圖1所示已知Rt^ABC中，C。是斜邊46上的中線,

則CD=AD=DB=-AB

2

應(yīng)用格式為：是斜邊A8上的中線，???CO=AQ=Q8=y/3

如圖2所示已知，ZkABC中，AC=8C,NAC8=90°,。為A8的中點(diǎn)，若￡在直線AC上任意一點(diǎn),

DFVDE,交直線8C于尸點(diǎn).G為E尸的中點(diǎn)，延長(zhǎng)CG交A8直線于點(diǎn)〃.

(1)若E在邊AC上.①試說(shuō)明。E=QF；②試說(shuō)明CG=G〃；(本題需要用引理)

(2)若4E=3,CH=5.求邊AC的長(zhǎng).

專題18.4矩形的性質(zhì)與判定【九大題型】

【人教版】

【題型?由矩形的性質(zhì)求線段的長(zhǎng)度】............................................................1

【題型2由矩形的性質(zhì)求角的度數(shù)】.............................................................2

【題型3由矩形的性質(zhì)求面積】.................................................................3

【題型4矩形的性質(zhì)與坐標(biāo)軸的綜合運(yùn)用】.......................................................4

【題型5矩形判定的條件】......................................................................6

【題型6證明四邊形是矩形】....................................................................7

【題型7矩形中多結(jié)論問(wèn)題】...................................................................11

【題型8矩形的判定與性質(zhì)綜合】..............................................................12

【題型9直角三角形斜邊的中線】...............................................................15

”蚪A女三

【知識(shí)點(diǎn)1矩形的定義】

有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形.

【知識(shí)點(diǎn)2矩形的性質(zhì)】

①平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有；②角：矩形的四個(gè)角都是直角；③邊：鄰邊垂直；④對(duì)角線：矩形的對(duì)

角線相等；⑤矩形是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形.它有2條對(duì)稱軸，分別是每組對(duì)邊中點(diǎn)連線所在的

直線；對(duì)稱中心是兩條對(duì)角線的交點(diǎn).

【題型1由矩形的性質(zhì)求線段的長(zhǎng)度】

【例1】（2022春?新泰市期末）如圖，在矩形ABC。中，AD=4^,對(duì)角線AC與8。相交于點(diǎn)O,DE

LAC,垂足為點(diǎn)E,CE=OE,則。E的長(zhǎng)為（）

A.4B.3V2C.2V2D.2

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得出“AOC=90°,AC=BD,OA=OC,OB=OD,求出求出OD

=CD=OD,根據(jù)等邊三角形的判定得出△QOC是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出NOCA=

60°,求出ND4C=90°-NQC4=30°,再根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)得出。即可.

【解答】解：???四邊形48C。是矩形，

ZADC=90°,AC=BD,OA=OC,OB=OD,

：?OD=OC,

??/圮_LAC,CE=(JE,

：,OD=CD,

即OD=OC=CD,

???△OOC是等邊三角形，

：,ZDCA=60°,

/.ZDAC=90°-ZDCA=30°,

VDEIAC,

???NOE4=90°,

???陽(yáng)*

*：AD=4V2,

：.DE=2\[2,

故選：C

【變式1/】（2022春?開(kāi)州區(qū)期末）如圖，在矩形A8C。中，對(duì)角線AC、8。相交于點(diǎn)O,D/垂直平分

F,連接AF,若BD=2W，DF=2,則4/的長(zhǎng)為（）

C.V7D.3

【分析】根據(jù)矩形對(duì)角線相等且互相平分，。。=/。=怖，再根據(jù)。尸垂直平分oc,得。C=OD=V5,

分別在RtZXQCR為△。。3中，利用勾股定理求出C/、8c的長(zhǎng)，從而求出8F,在RtZ\48/中利用勾

股定理求出AF的長(zhǎng).

【解答】解：???四邊形A8CO是矩形.

：,AB=CD,OD=,D=痘.

???。戶垂直平分oc.

：.CD=OD=x/3.

：.AB=CD=V3.

在RtZ\8C。中,

BC=>JBD2-CD2=](26)2—[遮)2=3

在RlAL>CF中，

CF=y/DF2-DC2=J22-(V3)2=1.

:?BF=BC-CF=3-1=2.

在RtAABF中,

=J(V3)2+22=V7.

AF=y/AB2+BF2

故選：C.

【變式1-2］（2022?碑林區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在矩形ABCO中，O是的中點(diǎn)，E為A。邊上一點(diǎn)，且有

AE=OB=2.連接OE,若NAEO=75°,則DE的長(zhǎng)為()

C.2D.2V3-2

【分析］連接AC,OE,根據(jù)矩形的性質(zhì)可得AC=4,由NAEO=75°,可得NE4O=30°,進(jìn)而利用

含30度角的直角三角形即可解決問(wèn)題.

在矩形48CO中,

???。是8。的中點(diǎn),

：.OA=OB,

,:AE=OB=2.

**?AE=OA=2.

，AC=4,

VZAEO=75°,

???NE4O=30°,

：,CD=^AC=2,

2

：,AD=V3CD=2V3,

：.DE=AD-AE=2>/3-2.

故選：O.

【變式1-3](2022?南崗區(qū)期末)如圖，矩形A8C。中，點(diǎn)E,尸分別在AZ),C。上，且Cr=2QF=2,

連接BE,ERB凡且8尸平分NEBC,NEFB=45°,連接CE交B尸于點(diǎn)G,則線段EG的長(zhǎng)為—.

一U一

【分析】在"C上截取使BN=BE,過(guò)點(diǎn)G作G/ZLEP于點(diǎn)證明△下￡1)(44S),推

出ED=FC=2,CN=DF=\,設(shè)BN=BE=x,作GQ_L8E于Q,GP_L8C于0.利用勾股定理構(gòu)建方程

求出-再證明普=翌即可解決問(wèn)題.

GCBC6

【解答】解：在8c上截取8N,使BN=BE,過(guò)點(diǎn)G作GH1.EF于點(diǎn)H,

■:BF平分NEBC,

：,/EBF=/CBF,

又VBE=BN,BF=BF,

:.△BEFW/\BNF(SAS),

:.EF=NF,/EFB=/NFB=45°,

：?NEFN=90°,

AZEFD+ZNFC=90c,,

又?：/EFD+NFED=90°,

4NFC=NFED,

又???NO=NNCF=90°,

:.4NFg/\FED(AAS),

:.ED=FC=2,

在Rt△尸EO中，DF=l,

???EF=y/ED2+DF2=Vl2+22=V5,

在RtAEDC中，EC=>/DE2+DC2=V22+32=V13,

設(shè)BN=BE=x,作GQ_L8E于Q,GPLBC于P.

在RtAAZ？E中,AB2+AE2=BE2,

A32+(x-1)2=;r,

解得x=5,

?.”G平分GQA.BE,GP_L〃C,

:?GQ=GP,

?SABEG_]BEGQ_EG

SHBGC~\BCGPGC'

5

?.?_EG~~-__BE—-—，

GCBC6

：.EG=-EC=—,

故答案為警.

【題型2由矩形的性質(zhì)求角的度數(shù)】

【例2】（2022春?深水區(qū)期中）如圖，在矩形ABC。中，AC、3。交于點(diǎn)O,OEJ_AC于點(diǎn)E,ZA0D=

110°,則/CDE大小是（）

D

A.55°B.40°C.35°D.20°

【分析】由矩形的性質(zhì)得出OC=O。，得出NOOC=NOCD=55°,由直角三角形的性質(zhì)求出NODE=

2。°,即可得出答案.

【解答】解：???四邊形ABC。是矩形，

AZ4DC=90°,AC=BD,OA=OC,OB=OD,

：,OC=OD,

：.NODC=NOCD,

VZAOD=\\0°,

AZDO￡=70°,ZODC=ZOCD=^(180°-70°)=55°,

VDEIAC,

；?/ODE=900-NDOE=20’,

:?NCDE=NODC-NODE=55°-20°=35°；

故選：C.

【變式2-1](2022?武昌區(qū)期末)如圖，把一張矩形紙片沿對(duì)角線折善，如果量得N￡1W=22',貝UN4W

【分析】由N/7)B=9()。-NBDC.根據(jù)已知條件易求N8OC的度數(shù).

【解答】解：VZ￡DF=22°,ZADC=9()°,

AZEDC=112°.

：.ZBDC=56°.

???NFQ8=90°-ZBDC=34C.

故選:B.

【變式2-2］（2022春?江夏區(qū)期中）如圖，矩形/WCQ中，A6=2,AQ=1,點(diǎn)M在邊QC上，若AM平

分NQM3,則N4W。的大小是（)

C.75°D.30°

【分析】由矩形的性質(zhì)和角平分線定義證出/R4M=N4MB,得出BM=AB=2,因此BC=/“，由直

角三角形的性質(zhì)得出N3MC=30°,即可得出答案.

【解答】解：???四邊形A8C。是矩形

AZD=ZC=90o,AD=BC=\,AB//CD,

：.ZBAM=ZAMD,

???AM平分NDM8,

ZAMD=ZAMB,

：,BM=AB=2,

，BC=-BM.

2

：.ZBMC=30Q,

：.ZAMD=ZAMB=-（1800?30°）=75°；

2

故選：c.

【變式2-3］（2022春?英旗期末）如圖，若將四根木條釘成的矩形木框變形為平行四邊形4BC。的形狀，

并使其面積為矩形面積的一半，則平行四邊形ABC。的最大內(nèi)角的大小是150°.

【分析】過(guò)。作OELW于點(diǎn)E,根據(jù)面枳的關(guān)系可以得到其。=2?！?則ND4E=30"，再根據(jù)平行四

邊形的性質(zhì)即可求解.

【解答】解：如圖，過(guò)。作OE_LA8于點(diǎn)E,

???矩形的面積=A8?5F=2S平行四邊段8°=243?。￡

:?BF=2DE,

???四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AB//CD,AD=BC,

???ND4E+N48C=180°,

?:BF=BC,

,AD=BF=2DE,

：.ZDAE=3O0,

???/A8C=18()°-NQAE=150°,

即平行四邊形A8CQ的最大內(nèi)角的大小是150°,

故答案為：150°.

【題型3由矩形的性質(zhì)求面積】

【例3】(2022春?浦東新區(qū)期末)我們把兩條對(duì)角線所成兩個(gè)角的大小之比是1：2的矩形叫做“和諧矩

形”，如果一個(gè)“和諧矩形”的對(duì)角線長(zhǎng)為10。〃，則矩形的面積為25國(guó)c〃形

【分析】根據(jù)“和諧矩形”的性質(zhì)求出NADB=30°,由含30°角的直角三角形的性質(zhì)求出AB、4。的

長(zhǎng)，即可得出答案.

【解答】解：???四邊形ABCD是“和諧矩形”，

：.OA=OC,OB=OD,AC=BD=\(),/8八￡>=9(『，ZCAD：NZMC=I：2,

：.OA=OD,NC4O=30°,N8AC=60°,

AZADB=ZCAD=3Qa,

,\AI3=沏=5,AD=WAB=5W,

???矩形ABC。的面積=ABXAD=5X5V5=25VS(cm2)；

故答案為：25Vs.

【變式3-1]（2022?成都）如圖，過(guò)矩形ABC。的對(duì)?角線8。上一點(diǎn)K分別作矩形兩邊的平行線MN與PQ,

那么圖中矩形的面面S與矩形OCNK的面積S2的大小關(guān)系是$=S?；（填或“V”

或“=”）

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)，可知△A8O的面積等的面積，△M8K的面積等廣△QK8的面積，

△PKD的面積等于△'￡＞長(zhǎng)的面積，再根據(jù)等量關(guān)系即可求解.

【解答】解：???四邊形46co是矩形，四邊形M8QK是矩形，四邊形PKNQ是矩形，

???△A8O的面積=Z\CD3的面積，△A/8K的面積=Z\QK3的面積，△PKD的面積=4N0K的面枳，

/.AABD的面積-△M8K的面積-4PKD的面積=Z\CO8的面積-△QKB的面枳=4NDK的面積，

Si=S?.

故答案為$=S2.

【變式3-2]（2022春?成都期末）如圖，點(diǎn)E是矩形4BC。邊AD上一動(dòng)點(diǎn)，連接BE,以BE邊作矩形

BEFG,使得FG始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)C.若矩形ABCD的面積為Si，矩形BEFG的面積為$2,則g與隧的大小

關(guān)系是（）

A.5)<52B.S|=S2C.5|>52D.不確定

【分析】連接CE，根據(jù)矩形ABC。和矩形BEFG都與三角形CBE同底等高，進(jìn)而可以解決問(wèn)題.

【解答】解：如圖，連接CE,

???矩形A8CO的面積為矩形BMG的面枳為為

*?S\=2SZSC?￡?S2=2SziC8￡，

則S1=S2?

故選:B.

【變式3-3］（2022春?九龍坡區(qū)校級(jí)期中）已知：矩形A8CQ中，延長(zhǎng)8C至E,使BE=B。,尸為。E的

中點(diǎn)，連接4F、CF.

（1）求證：CF_L4F；

（2）若A8=10c，〃，BC=16（7?,求尸的面積.

【分析】（1）連接8尸，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得AQ=8C,/4。。=/8。。=90°,根據(jù)直角三角形斜邊

上的中線等于斜邊的一半可得CF=DF,根據(jù)等邊對(duì)等角可得NCO"=乙DCF、然后求出NAD〃=Z0CF,

利用“邊角邊”證明AA。產(chǎn)和ABC尸全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得N4/再根據(jù)等

展三角形三線合一可得BF_LOE,然后求出/AFC=90°,即可得證；

（2）根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等可得點(diǎn)尸到A。、8c的距離相等，都是AB的一半，然后利用三

角形的面積公式列式計(jì)算即可得解.

【解答】（1）證明：如圖，連接4F,在矩形A3C。中，AD=BC,NADC=NBCD=90：

:尸為。E的中點(diǎn)，

:.CF=DF,

???ZCDF=/DCF,

???ZADC+ZCDF=/BCD+/DCF,

即NA。/=NBC凡

在△4。尸和△BC77中，

AD=BC

^ADF=乙BCF,

CF=DF

:.△ADF出XBCF（SAS）,

ZAFD=NBFC,

■:BE=BD,尸為DE的中點(diǎn),

:.BFLDE,

???ZAFC=ZAFB+ZBFC=NAP3+NAPO=90°，

:.CFLAF；

(2)解：?:△ADF94BCF,

???點(diǎn)不到AD、BC的距離相等,

'：AB=10cm,

???點(diǎn)r到AD的距離為工X1O=5C7H,

【題型4矩形的性質(zhì)與坐標(biāo)軸的綜合運(yùn)用】

【例4】（2022春?潮南區(qū)期中）如圖，在矩形COEO中，點(diǎn)。的坐標(biāo)是（1,3）,則CE的長(zhǎng)是（）

A.3B.V3C.V5D.V10

【分析】連接OQ，過(guò)。作。F_Lx軸于尸，由矩形的性質(zhì)得CE=O。，再由點(diǎn)。的坐標(biāo)得。尸=1,DF

=3,然后由勾股定理求出OD的長(zhǎng)，即可解決問(wèn)題.

【解答】解：如圖，連接O。，過(guò)。作。軸于E

???四邊形C。。是矩形，

:,CE=OD,

???點(diǎn)。的坐標(biāo)是（1,3）,

???0尸=1,DF=3,

：.OD=y/OF2+DF2=Vl2+32=710,

ACE=A410,

故選：D.

【變式4-1](2022春?任城區(qū)期末)定義：如果一個(gè)三角形有一邊上的中線等于這條邊的一半，那么稱三

角形為“智慧三角形”.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xQy中，矩形0ABe的邊OA=3,OC=4,點(diǎn)M(2,

0),在邊45存在點(diǎn)P,使得ACMP為“智慧三角形”，則點(diǎn)尸的坐標(biāo)為()

C.(3,1)或(3,1)D.(3,1)或(3,1)或(3,3)

【分析】由題意可知，“智慧三角形”是直角三角形，NCPM=90°或/CMP=90°,設(shè)P(3,a),

則AP=a,BP=4-a；分兩和情況：①若NCPM=90°,②若NCMP=90°,根據(jù)勾股定理分別求出

CP\CM?,并根據(jù)圖形列出關(guān)于。的方程，解得”的道，則可得答案.

【解答】解：由題意可知，“智慧三角形”是直角三角形，NCPM=90°或NCMP=90°,

???設(shè)P(3,a),則BP=4-a；

①若NCPM=9（）°,在RtZ\BCP中，由勾股定理得：

CP2=BP2+BC2=（4-fl）2+9,

任為△"心中，由勾股定理得：

,必產(chǎn)="不+人"=1+〃2,

在RtZXMPC中，由勾股定理得：

CM2=MP2+CP2=i+a2+（4-a）2+9=2a2-8t/+26,

乂CM2=OM2+OC2=4+16=20,

Ma2--84+26=2（）,

解得：a=3或a=l,

：.P（3,3）或（3,1）；

②若NCMP=90°,在Rt^BCP中，由勾股定理得：

CP2=BP2+BC2=（4-。）2十9,

在RtZXM以中，由勾股定理得：

MP2=MA2+AP2=\+a2,

VCM2=OA/2+OC2=20,

在RlZXMCP中，由勾股定理得：

CM2+MP2=CP2,

???20+1+。2=（4-a）?+9,

解得：

：.P（3,-）.

2

綜上，P（3,9或（3,1）或（3,3）.

故選：。.

【變式4-2］（2022?西平縣模擬）已知在矩形ABCO中，AB=4,fiC=y,。為8c上一點(diǎn)，BO=p如圖

所示，以8C所在直線為x軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，M為線段OC上的一點(diǎn).

（1）若點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1,0）,如圖1,以O(shè)M為一邊作等按△OMP,使點(diǎn)P在矩形43CQ的一一邊上,

則符合條件的等腰三角形有幾個(gè)？請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（2）若將（1）中的點(diǎn)M的坐標(biāo)改為（4,0）,其他條件不變，如圖2,那么符合條件的等腰三角形有

幾個(gè)？求出所有符合條件的點(diǎn)〃的坐標(biāo).

【分析】（1）0M的長(zhǎng)是1,小于矩形的寬，也小于0B的長(zhǎng)，所以點(diǎn)P只能是0M的垂直平分線與4。

的交點(diǎn)；

（2）0M的長(zhǎng)是4,等于矩形的寬，所以點(diǎn)P可以是過(guò)0、W的垂線與人。的交點(diǎn)，也可以是0M的垂

直平分線與A。的交點(diǎn)，又的長(zhǎng)大于08的長(zhǎng)，所以點(diǎn)戶也可以在A4上；

【解答】解：（1）符合條件的等腰△OWP只有1個(gè)；

點(diǎn)P的坐標(biāo)為尊4）；

（2）符合條件的等腰AOM尸有4個(gè).

如圖②，在△OPiM中，OP】=OM=4,

在RlZXOBPi中，B0=%

BP尸40Pl尸-OB?=一（今2=苧，

???/（二，叵）;

22

在RtZkOMP?中，OP2=OM=4,

???尸2（0,4）:

在△0MP3中，MP3=OP3，

???點(diǎn)P3在OM的垂直平分線上，

???OM=4,

:?P\（2,4）；

在Rt^OMP』中，0M=MP&=4,

?"4（4,4）:

【變式4-3］（2。22春?浦江縣期中）如圖，長(zhǎng)方形0AAe中，。為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，A點(diǎn)的坐標(biāo)為

（4,0）,C點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,6），點(diǎn)B在第一象限內(nèi)，點(diǎn)P從原點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度

沿著C-BfA—O的路線移動(dòng)（移動(dòng)一周）.

（1）寫出點(diǎn)4的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)點(diǎn)。移動(dòng)了4秒時(shí)，求出點(diǎn)。的坐標(biāo)；

（3）在移動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)?shù)拿娣e是10時(shí)，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).

八

y

C----------

0Ax

【分析】（I）根據(jù)矩形的性質(zhì)以及點(diǎn)的坐標(biāo)的定義寫出即可；

（2）先求得點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的距離，從而可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）分點(diǎn)。在OC上，在4C上，在A4上，在AO上四種恃況討論，由三角形的面積公式可求點(diǎn)P坐

標(biāo).

【解答】解：（1）YA點(diǎn)的坐標(biāo)為（4,0）,C點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,6）,

???OA=4,。。=6,

，點(diǎn)B（4,6）；

（2）???點(diǎn)P移動(dòng)了4秒時(shí)的距離是2X4=8,

，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2,6）；

（3）如圖，

①當(dāng)點(diǎn)P在0C上時(shí)，S/、O稗=gxOP|X4=10,

???OPi=5,

?,?點(diǎn)P(0,5)；

②當(dāng)點(diǎn)。在8c上，S=BP=gXBP?X6=10,

??.引＞2=學(xué)

??。2=4若號(hào),

工點(diǎn)P(p6)；

③當(dāng)點(diǎn)尸在上，S^P=^X?P3X4=10,

；.BP3=5,

.,."3=6-5=1,

：?點(diǎn)、P(4,1)；

④當(dāng)點(diǎn)。在AO上，SMBP=：xOP*6=10,

??.。〃4=/，

???點(diǎn)尸號(hào),0).

綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,5)或(16)或(4,1)或常，0).

【知識(shí)點(diǎn)3矩形的判定方法】

①矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；②有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形;

③對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形（或“對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是矩形”）.

【題型5矩形判定的條件】

【例5】（2022春?夏邑縣期中）如圖，四邊形/WCQ為平行四邊形,延長(zhǎng)人。到E,使DE=AD,連接EB,

EC,OB,添加一個(gè)條件，不能使四邊形OBC七成為矩形的是（）

A

A.AB=BEB.BE1DCC.NAQ8=90'D.CE1DE

【分析】先證四邊形Q8CE為平行四邊形，再由矩形的判定加菱形的判定進(jìn)行解答即可.

【解答】解：???四邊形ABC。為平行四邊形，

：.AD//BC,AD=BC.

又?.?AD=OE,

：.DE//BC,jlDE=BC,

???四邊形Q3CE為平行四邊形，

A、?:AB=BE,DE=AD,

：,BDA.AE,

AZBDE=90°,

???□O8CE為矩形，故本選項(xiàng)不符合題意；

B、???對(duì)角線互相垂直的平行四邊形為菱形，不一定為矩形，故本選項(xiàng)符合題意；

C、VZADB=90°,

???/￡7用=90°,

???口。5。￡為矩形，故本選項(xiàng)不符合題意；

D、VC￡±D￡,

AZCED=90°,

.?.口D8CE為矩形，故木選項(xiàng)不符合題意；

故選：B.

【變式5-1]（2022春?江油市期末）在四邊形A8CO中，AC.8。交于點(diǎn)O,在下列條件中，不能判定四

邊形A8C。為矩形的是（）

A.AO=CO,130=DO,/84。=90°

B.AB=CD,AD=BC,AC=BD

C./bAD=/3CD,NA力C+/AC〃=180°,AC^-iiD

D.NH4Q=NA8C=9()°,AC=BD

【分析】由平行四邊形的判定與性質(zhì)、矩形的判定以及菱形的判定分別對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

【解答】解：A.*：AO=CO,BO=DO,

???四邊形ABCD是平行四邊形，

又???/84。=90°,

???平行四邊形4BC。是矩形，故選項(xiàng)A不符合題意；

B、'：AB=CD,AD=BC,

???四邊形ABCD是平行四邊形，

又?：AC=BD,

???平行四邊形A4CO是矩形，放選項(xiàng)4不符合題意；

C、