第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（能力提升）

第1章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用能力提升卷班級(jí)___________姓名___________學(xué)號(hào)____________分?jǐn)?shù)____________（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿(mǎn)分：150分）一、單項(xiàng)選擇題：（本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1.已知函數(shù)f（x）的圖象與直線(xiàn)x+2y﹣1＝0相切于點(diǎn)（﹣2，f（﹣2）），則f（﹣2）+f′（﹣2）＝（）A．2 B．1 C．0 D．【解答】解：由題意，f′（﹣2）＝，又﹣2+2f（﹣2）﹣1＝0，∴f（﹣2）＝．則f（﹣2）+f′（﹣2）＝．故選：B．【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)方程2.函數(shù)的最大值為，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有f（1﹣x）＝f（x），則有（）A．， B．， C．， D．a(chǎn)＝2，b＝2【解答】解：易知函數(shù)y＝sinπx關(guān)于對(duì)稱(chēng)，又對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有f（1﹣x）＝f（x），故函數(shù)f（x）關(guān)于對(duì)稱(chēng)，∴函數(shù)對(duì)稱(chēng)，又函數(shù)f（x）的最大值為，故，∴，故選：B．【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值3.已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，且f（x）＜1﹣f′（x），f（0）＝3，則不等式f（x）＞1+解集為（）A．（1，+∞） B．（﹣∞，1） C．（0，+∞） D．（﹣∞，0）【解答】解：f（x）＞1+等價(jià)于exf（x）＞ex+2，即exf（x）﹣ex﹣2＞0，令F（x）＝exf（x）﹣ex﹣2，則F′（x）＝exf（x）+exf′（x）﹣ex＝ex[f（x）+f′（x）﹣1]，因?yàn)閒（x）＜1﹣f′（x），即f（x）+f′（x）﹣1＜0，且有ex＞0，所以F′（x）＜0，故函數(shù)F（x）在R上單調(diào)遞減，由F（0）＝3﹣1﹣2＝0，故F（x）＞0的解集是（﹣∞，0），故選：D．【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值4.曲線(xiàn)y＝x4上的點(diǎn)到直線(xiàn)8x﹣16y﹣7＝0的距離的最小值為（）A． B． C． D．【解答】解：由y＝x4，得y′＝4x3，設(shè)曲線(xiàn)y＝x4上的點(diǎn)P（x0，y0），若過(guò)P的切線(xiàn)與直線(xiàn)8x﹣16y﹣7＝0平行，則，解得．∴切點(diǎn)為（，），則曲線(xiàn)y＝x4上的點(diǎn)到直線(xiàn)8x﹣16y﹣7＝0的距離的最小值為＝．故選：A．【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)方程5.曲線(xiàn)x2＝4y在點(diǎn)（2，t）處的切線(xiàn)方程為（）A．y＝x﹣1 B．y＝2x﹣3 C．y＝﹣x+3 D．y＝﹣2x+5【解答】解：由x2＝4y，得y＝，則y′＝，∴y′|x＝2＝1，又t＝，∴曲線(xiàn)x2＝4y在點(diǎn)（2，t）處的切線(xiàn)方程為y﹣1＝1×（x﹣2），即y＝x﹣1．故選：A．【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)方程6.對(duì)于R上可導(dǎo)的函數(shù)f（x），若滿(mǎn)足（1﹣2x）f′（x）≥0，則必有（）A．f（0）+f（1）＜2f（0.5） B．f（0）+f（1）≤2f（0.5） C．f（0）+f（1）≥2f（0.5） D．f（0）+f（1）＞2f（0.5）【解答】解：由（1﹣2x）f′（x）≥0，可得：x時(shí)，f′（x）≤0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；x＜時(shí)，f′（x）≥0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．∴x＝時(shí)函數(shù)f（x）取得極大值即最大值，∴2f（0.5）＞f（0）+f（1）．故選：A．【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性7.已知函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），記f1（x）＝f′（x），f2（x）＝f1′（x），…，fn+1（x）＝fn′（x）（n∈N*）．若f（x）＝xsinx，則f2019（x）+f2021（x）＝（）A．﹣2cosx B．﹣2sinx C．2cosx D．2sinx【解答】解：f（x）＝xsinx，則f1（x）＝f′（x）＝sinx+xcosx，f2（x）＝f1′（x）＝cosx+cosx﹣xsinx＝2cosx﹣xsinx，f3（x）＝f2′（x）＝﹣2sinx﹣sinx﹣xcosx＝﹣3sinx﹣xcosxf4（x）＝f3′（x）＝﹣3cosx﹣cosx+xsinx＝﹣4cosx+xsinxf5（x）＝f4′（x）＝4sinx+sinx+xcosx＝5sinx+xcosxf6（x）＝f5′（x）＝5cos+cosx﹣xsinx＝6cosx﹣xsinx，f7（x）＝f6′（x）＝﹣6sinx﹣sinx﹣xcosx＝﹣7sinx﹣xcosx…，則f1（x）+f3（x）＝sinx+xcosx﹣3sinx﹣xcosx＝﹣2sinx，f3（x）+f5（x）＝﹣3sinx﹣xcosx+5sinx+xcosx＝2sinx，f5（x）+f7（x）＝5sinx+xcosx﹣7sinx﹣xcosx＝﹣2sinx，即f4n+1（x）+f4n+3（x）＝﹣2sinx，f4n+3（x）+f4n+5（x）＝2sinx則f2019（x）+f2021（x）＝2sinx，故選：D．【知識(shí)點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算8.函數(shù)f（x）＝x﹣sin（x+1）+1，若f（x）?（ax﹣b）≥0（b≠0）對(duì)x∈R恒成立，則＝（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【解答】解：f（x）＝x﹣sin（x+1）+1，x∈R，f′（x）＝1﹣cos（x+1）≥0．∴函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增．∵f（﹣1）＝0，∴x＜﹣1時(shí)，f（x）＜0，x＞﹣1時(shí)，f（x）＞0．∵f（x）?（ax﹣b）≥0（b≠0）對(duì)x∈R恒成立，x≤﹣1時(shí)，ax﹣b≤0；x≥﹣1時(shí)，ax﹣b≥0．∴a（﹣1）﹣b＝0，可得：＝﹣1．故選：A．【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值9.已知函數(shù)f（x）＝ax2﹣x+lnx有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)x1，x2，若不等式f（x1）+f（x2）＞2（x1+x2）+t有解，則t的取值范圍是（）A．（﹣∞，﹣2ln2） B．（﹣∞，﹣2ln2] C．（﹣∞，﹣11+2ln2） D．（﹣∞，﹣11+2ln2]【解答】解：根據(jù)條件，因?yàn)楹瘮?shù)f（x）＝ax2﹣x+lnx有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)x1，x2，所以方程2ax2﹣x+1＝0有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，則，解得．若不等式f（x1）+f（x2）＞2（x1+x2）+t有解，所以t＜[f（x1）+f（x2）﹣2（x1+x2）]max．因?yàn)椋O(shè)，，故h（a）在上單調(diào)遞增，故，所以t＜﹣11+2ln2，所以t的取值范圍是（﹣∞，﹣11+2ln2）．故選：C．【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值10.既與函數(shù)f（x）＝lnx的圖象相切，又與函數(shù)的圖象相切的直線(xiàn)有（）A．0條 B．1條 C．2條 D．3條【解答】解：設(shè)函數(shù)f（x）＝lnx切點(diǎn)P（n，lnn），因?yàn)閒（x）＝lnx，則f′（x）＝，所以切線(xiàn)l的方程為y﹣lnn＝（x﹣n），即y＝x+lnn﹣1，設(shè)直線(xiàn)l與曲線(xiàn)y＝g（x）相切于點(diǎn)（m，m+），因?yàn)間′（x）＝1﹣，切線(xiàn)的斜率為g′（m）＝1﹣，所以，切線(xiàn)方程為：y﹣m﹣＝（1﹣）（x﹣m），既與函數(shù)f（x）＝lnx的圖象相切，又與函數(shù)的圖象相切，所以：，可得＝lnn﹣1，當(dāng)，令h（x）＝，h（1）＝1＞0，h（10）＝＜0，函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn)．即有1條切線(xiàn)；當(dāng)＝lnn﹣1，令h（x）＝，h（1）＝1＞0，h（2）＝＜0，函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn)，所以有1條切線(xiàn)，綜上，既與函數(shù)f（x）＝lnx的圖象相切，又與函數(shù)的圖象相切的直線(xiàn)有2條．故選：C．【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)方程11.函數(shù)f（x）＝ln|x|+|sinx|（﹣π≤x≤π且x≠0）的圖象大致是（）A． B． C． D．【解答】解：函數(shù)f（x）＝ln|x|+|sinx|（﹣π≤x≤π且x≠0）是偶函數(shù)排除A．當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＝lnx+sinx，可得：f′（x）＝+cosx，令+cosx＝0，作出y＝與y＝﹣cosx圖象如圖：可知兩個(gè)函數(shù)有一個(gè)交點(diǎn)，就是函數(shù)有一個(gè)極值點(diǎn)．f（π）＝lnπ＞1，故選：B．【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的圖象與圖象的變換、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值12.設(shè)f（x）為可導(dǎo)函數(shù)，且滿(mǎn)足，則曲線(xiàn)y＝f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線(xiàn)斜率為（）A． B． C．2 D．﹣2【解答】解：由，得，即，∴，則f′（1）＝﹣2．故選：D．【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)方程二、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分。）13.已知函數(shù)f（x）＝ax3+x+1的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線(xiàn)過(guò)點(diǎn)（2，5），則a＝．【解答】解：∵f（x）＝ax3+x+1，∴f′（x）＝3ax2+1，∴f′（1）＝3a+1，而f（1）＝a+2，∴切線(xiàn)方程為y﹣a﹣2＝（3a+1）（x﹣1），∵切線(xiàn)過(guò)點(diǎn)（2，5），∴5﹣a﹣2＝（3a+1）（2﹣1），解得：a＝．故答案為：．【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)方程14.已知函數(shù)f（x）＝ex+ae﹣x在[0，1]上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．【解答】解：由題意可得，＝0在[0，1]上有變號(hào)零點(diǎn)，故a＝e2x在[0，1]上有變號(hào)零點(diǎn)，因?yàn)閥＝e2x在[0，1]上單調(diào)，e2x∈[1，e2]，故1＜a＜e2，故答案為：（1，e2）【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性15.已知函數(shù)f（x）＝ax﹣﹣（a+1）lnx+1在（0，1]上的最大值為3，則實(shí)數(shù)a＝．【解答】解：f′（x）＝a+﹣＝，令g（x）＝（ax﹣1）（x﹣1），x∈（0，1），①當(dāng)a≤1時(shí)，ax﹣1≤x﹣1＜0，∴g（x）＞0，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，1]上單調(diào)遞增，∴f（x）max＝f（1）＝a，即a＝3（舍去），②當(dāng)a＞1時(shí)，x∈（0，），g（x）＞0，f′（x）＞0；x∈（，1）時(shí)，g（x）＜0，f′（x）＜0，故f（x）在（0，）上單調(diào)遞增，在（，1）上單調(diào)遞減，∴f（x）max＝f（），2﹣a﹣（a+1）ln＝3，即a﹣（a+1）lna+1＝0，即a﹣（a+1）lna+1＝0，令h（x）＝x﹣（x+1）lnx+1（x＞1），h′（x）＝﹣lnx﹣＜0，∴h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，且h（e）＝0，∴a＝e，故答案為：e．【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值16.點(diǎn)P為曲線(xiàn)y＝2x2+ln（4x+1）圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，α為曲線(xiàn)在點(diǎn)P處的切線(xiàn)的傾斜角，則當(dāng)α取最小值時(shí)x的值為．【解答】解：由y＝2x2+ln（4x+1），得y′＝4x+＝4x+1+，當(dāng)且僅當(dāng)4x+1＝，即x＝時(shí)，y′最小，此時(shí)tanα最小，α最?。蚀鸢笧椋海局R(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)方程三、解答題：（本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。）17.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（Ⅰ）y＝sinx+x（Ⅱ）【解答】解：（Ⅰ）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的y′＝（sinx）′+x′＝cosx+1（Ⅱ）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)y′＝＝．【知識(shí)點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算18.已知函數(shù)f（x）＝alnx﹣bx2，a，b∈R，函數(shù)f（x）在x＝1處與直線(xiàn)相切．（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；（2）判斷函數(shù)f（x）在上的單調(diào)性．【解答】解：（1）f'（x）＝﹣2bx，由題意，解得；（2）由（1）f（x）＝lnx﹣x2，∴f'（x）＝＝﹣，∴當(dāng)x時(shí)，f'（x）≥0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，f'（x）≤0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．∴函數(shù)f（x）的增區(qū)間是[，1]，減區(qū)間是[1，e]．【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)方程19.已知函數(shù)f（x）＝，其中a＜0．（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（2）記函數(shù)g（x）＝﹣﹣f（x）的極小值為m，若4+me3＜0成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解答】解：（1）依題意，，令f′（x）＞0，解得，令f′（x）＜0，解得，∴函數(shù)f（x）在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；（2）依題意，，則，令g′（x）＝0，解得x＝1或x＝1﹣a，又a＜0，故1＜1﹣a，∴函數(shù)g（x）在（﹣∞，1），（1﹣a，+∞）單調(diào)遞增，在（1，1﹣a）單調(diào)遞減，∴，∴，令，則h′（a）＝（1﹣a）ea＞0，∴函數(shù)h（a）在（﹣∞，0）上單調(diào)遞增，又h（﹣2）＝0，故﹣2＜a＜0，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為（﹣2，0）．【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值20.已知函數(shù)f（x）＝ex﹣ax﹣cosx，其中a∈R．（1）求證：當(dāng)a≤﹣1時(shí)，f（x）無(wú)極值點(diǎn)；（2）若函數(shù)g（x）＝f（x）+1n（x+1），是否存在a，使得g（x）在x＝0處取得極小值？并說(shuō)明理由．【解答】（1）證明：f′（x）＝ex﹣a+sinx，顯然ex＞0，﹣1≤sinx≤1，當(dāng)a≤﹣1時(shí)，ex﹣a+sinx＞0﹣a﹣1≥0，即f′（x）＞0，∴函數(shù)f（x）在其定義域上為增函數(shù)，故f（x）無(wú)極值點(diǎn)；（2）解：g（x）＝ex﹣ax﹣cosx+ln（x+1），，顯然x＝0是g（x）的極小值點(diǎn)的必要條件為g′（0）＝2﹣a＝0，即a＝2，此時(shí)，顯然當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故，令，則，故m（x）是減函數(shù)，故當(dāng)x＜0時(shí)，m（x）＞m（0）＝1，即，令，則，當(dāng)﹣1＜x＜0時(shí)，，故h（x）在（﹣1，0）單調(diào)遞增，故當(dāng)﹣1＜x＜0時(shí)，h（x）＜h（0）＝0，即，故當(dāng)時(shí)，，因此，當(dāng)a＝2時(shí)，x＝0是g（x）的極小值點(diǎn)，即充分性也成立．綜上，存在a＝2，使得g（x）在x＝0處取得極小值．【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值21.已知函數(shù)f（x）＝2x3﹣ax2+1（a∈R）．（1）若a＝3，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)a＞0時(shí)，若函數(shù)f（x）在[﹣1，1]上的最大值和最小值的和為1，求實(shí)數(shù)a的值．【解答】解：（1）當(dāng)a＝3時(shí)，f（x）＝2x3﹣3x2+1，x∈R，∴f'（x）＝6x2﹣6x＝6x（x﹣1），令f'（x）＞0得，x＜0或x＞1；令f'（x）＜0得，0＜x＜1，∴函數(shù)f（x）的的單調(diào)增區(qū)間為（﹣∞，0）和（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1），（2）函數(shù)f（x）＝2x3﹣ax2+1，a＞0，∴f'（x）＝6x2﹣2ax＝2x（3x﹣a），令f'（x）＝0得，x＝0或，列表：x（﹣∞，0）0（0，）（，+∞）f'（x）+0﹣0+f（x）遞增極大值遞減極小值遞增①當(dāng)0＜a≤2時(shí)，0＜，∴函數(shù)f（x）在[﹣1，0]上單調(diào)遞增，在[0，]上單調(diào)遞減，在[，1]上單調(diào)遞增，又∵f（﹣1）＝﹣1﹣a，f（0）＝1，f（1）＝3﹣a≥1，f（）＝1﹣，且0＜f（）＜1，∴f（x）max＝f（1）＝3﹣a，f（x）min＝f（﹣1）＝﹣1﹣a，∴（3﹣a）+（﹣1﹣a）＝1，∴a＝，②當(dāng)2＜a＜3時(shí)，0＜，∴函數(shù)f（x）在[﹣1，0]上單調(diào)遞增，在[0，]上單調(diào)遞減，在[，1]上單調(diào)遞增，又∵f（﹣1）＝﹣1﹣a，f（0）＝1，f（1）＝3﹣a，f（）＝1﹣，且0＜f（）＜1，0＜f（1）＜1，∴f（x）max＝f（0）＝1，f（x）min＝f（﹣1）＝﹣1﹣a，∴1+（﹣1﹣a）＝1，∴a＝﹣1，不符合題意，舍去，③當(dāng)a≥3時(shí)，，∴函數(shù)f（x）在[﹣1，0]上單調(diào)遞增，在[0，1]上單調(diào)遞減，∴f（x）max＝f（0）＝1，又∵f（﹣1）＝﹣1﹣a，f（1）＝3﹣a，∴f（x）min＝f（﹣1）＝﹣1﹣a，∴1+（﹣1﹣a）＝1，∴a＝﹣1，不符合題意，舍去，綜上所述，若函數(shù)f（x）在[﹣1，1]上的最大值和最小值的和為1，實(shí)數(shù)a的值為．【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性22.已知函數(shù)f（x）＝﹣x+2lnx（a∈R）．（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（2）若f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2（x1＞x2），且f（x1）﹣f（x2）＞m（x1﹣x2）恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【解答】解：（1）f′（x）＝﹣﹣1+＝﹣，①若a≥1，則x2﹣2x+a＝（x﹣1）2+a﹣1，顯然此時(shí)f′（x）≤0，所以f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減；②若0＜a＜1，由f′（x）＝0得x＝1±，此時(shí)1﹣＞0，由f′（x）＞0得x∈（1﹣，1