新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)精講練+易錯(cuò)題型第15講 函數(shù)與方程（解析版）

第15講函數(shù)與方程【基礎(chǔ)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖】函數(shù)與方程函數(shù)與方程函數(shù)的零點(diǎn)二分法函數(shù)與方程的關(guān)系【基礎(chǔ)知識(shí)全通關(guān)】知識(shí)點(diǎn)01．函數(shù)零點(diǎn)的理解（1）函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根、函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，實(shí)質(zhì)是同一個(gè)問(wèn)題的三種不同表達(dá)形式，方程根的個(gè)數(shù)就是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，亦即函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)．（2）變號(hào)零點(diǎn)與不變號(hào)零點(diǎn)①若函數(shù)SKIPIF1<0在零點(diǎn)x0左右兩側(cè)的函數(shù)值異號(hào)，則稱(chēng)該零點(diǎn)為函數(shù)SKIPIF1<0的變號(hào)零點(diǎn)．②若函數(shù)SKIPIF1<0在零點(diǎn)x0左右兩側(cè)的函數(shù)值同號(hào)，則稱(chēng)該零點(diǎn)為函數(shù)SKIPIF1<0的不變號(hào)零點(diǎn)．③若函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)的曲線，則SKIPIF1<0是SKIPIF1<0在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點(diǎn)的充分不必要條件．如果函數(shù)最值為0，則不能用此方法求零點(diǎn)所在區(qū)間。知識(shí)點(diǎn)02．用二分法求曲線交點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)注意的問(wèn)題（1）曲線交點(diǎn)坐標(biāo)即為方程組的解，從而轉(zhuǎn)化為求方程的根．（2）求曲線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，實(shí)際上就是求函數(shù)SKIPIF1<0的零點(diǎn)，即求SKIPIF1<0的根．如果函數(shù)的圖象不能畫(huà)出，應(yīng)通過(guò)適當(dāng)?shù)淖冃无D(zhuǎn)換成另外的函數(shù)。知識(shí)點(diǎn)03．關(guān)于用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的步驟需注意的問(wèn)題（1）第一步中要使：①區(qū)間長(zhǎng)度盡量小；②SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的值比較容易計(jì)算且SKIPIF1<0．（2）根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)與相應(yīng)方程根的關(guān)系，求函數(shù)的零點(diǎn)與求相應(yīng)方程的根是等價(jià)的．對(duì)于求方程SKIPIF1<0的根，可以構(gòu)造函數(shù)SKIPIF1<0），函數(shù)SKIPIF1<0的零點(diǎn)即為方程SKIPIF1<0的根．知識(shí)點(diǎn)04．零點(diǎn)存在性定理如果函數(shù)y＝f(x)滿足：①在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線；②f(a)·f(b)<0；則函數(shù)y＝f(x)在(a，b)上存在零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個(gè)c也就是方程f(x)＝0的根.特別提醒兩個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)：(1)函數(shù)的零點(diǎn)不是點(diǎn),是方程f(x)=0的實(shí)根.(2)函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理只能判斷函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的變號(hào)零點(diǎn),而不能判斷函數(shù)的不變號(hào)零點(diǎn),而且連續(xù)函數(shù)在一個(gè)區(qū)間的端點(diǎn)處函數(shù)值異號(hào)是這個(gè)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上存在零點(diǎn)的充分不必要條件.【考點(diǎn)研習(xí)一點(diǎn)通】考點(diǎn)01：求函數(shù)的零點(diǎn)1、函數(shù)，如果方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解、、、，則．【答案】4【解析】作出函數(shù)的圖象，方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，等價(jià)為和的圖象有4個(gè)交點(diǎn)，不妨設(shè)它們交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為、、、，且，由、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，、關(guān)于對(duì)稱(chēng)，可得，，則．故答案為：4．【總結(jié)提升】1.正確理解函數(shù)的零點(diǎn)：(1)函數(shù)的零點(diǎn)是一個(gè)實(shí)數(shù)，當(dāng)自變量取該值時(shí)，其函數(shù)值等于零．(2)根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)定義可知，函數(shù)f(x)的零點(diǎn)就是f(x)＝0的根，因此判斷一個(gè)函數(shù)是否有零點(diǎn)，有幾個(gè)零點(diǎn)，就是判斷方程f(x)＝0是否有實(shí)根，有幾個(gè)實(shí)根．即函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)?方程f(x)＝0的實(shí)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．2．函數(shù)零點(diǎn)的求法：(1)代數(shù)法：求方程f(x)＝0的實(shí)數(shù)根．(2)幾何法：與函數(shù)y＝f(x)的圖象聯(lián)系起來(lái)，圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為函數(shù)的零點(diǎn)．,【變式1-1】已知函數(shù)fx是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，fx=xA．4+3【答案】C【解析】∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x（x?4）∴當(dāng)x＜0時(shí)，?x＞0則f（?x）=?x（?x?4）=?f（x）即f（x）=?x（x+4），x＜0則f(x)=x(x?4),作出f（x）的圖象如圖：∵y=f（2?x）的圖象與y=f（x）的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱(chēng)∴作出y=f（2?x）的圖象，由圖象知y=f（2?x）與y=f（x）的圖象有三個(gè)交點(diǎn)即f（x）=f（2?x）有三個(gè)根，其中一個(gè)根為1，另外兩個(gè)根a，b關(guān)于x=1對(duì)稱(chēng)即a+b=2則所有解的和為a+b+1=2+1=3故選：C．【點(diǎn)撥】根據(jù)函數(shù)奇偶性，求出函數(shù)f（x）的解析式，結(jié)合y=f（2?x）的圖象與y=f（x）的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱(chēng)，畫(huà)出函數(shù)圖象，結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，求得方程fx考點(diǎn)02：判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間2、函數(shù)SKIPIF1<0的零點(diǎn)一定位于區(qū)間（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，若在區(qū)間SKIPIF1<0有零點(diǎn)，則SKIPIF1<0，逐一檢驗(yàn)選項(xiàng)，即可得答案.【詳解】由題意得SKIPIF1<0為連續(xù)函數(shù)，且在SKIPIF1<0單調(diào)遞增，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，SKIPIF1<0，所以零點(diǎn)一定位于區(qū)間SKIPIF1<0.故選：C【規(guī)律方法】判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間有三種方法：①解方程，直接求出零點(diǎn)；②利用零點(diǎn)存在定理，判斷零點(diǎn)所在區(qū)間；③圖象法，觀察交點(diǎn)所在區(qū)間.特別提醒：在判斷一個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上不存在零點(diǎn)時(shí)，不能完全依賴函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理，要綜合函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行分析判斷．【特別提醒】二分法只能求出連續(xù)函數(shù)變號(hào)零點(diǎn)，另外應(yīng)注意初始區(qū)間的選擇，依據(jù)給出的精確度，計(jì)算時(shí)及時(shí)檢驗(yàn)．【變式2-1】函數(shù)SKIPIF1<0的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，由SKIPIF1<0為增函數(shù)，帶入相關(guān)數(shù)值判斷即可得解.【詳解】由SKIPIF1<0為增函數(shù)，SKIPIF1<0為增函數(shù)，故SKIPIF1<0為增函數(shù)，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可得SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0，故選：B.考點(diǎn)03：判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)3、已知圖象連續(xù)不斷的函數(shù)的定義域?yàn)镽，是周期為2的奇函數(shù)，在區(qū)間上恰有5個(gè)零點(diǎn)，則在區(qū)間SKIPIF1<0上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A．5050 B．4045 C．4041 D．2022【答案】B【解析】由函數(shù)的定義域?yàn)镽上的奇函數(shù)，可得，又由在區(qū)間上恰有5個(gè)零點(diǎn)，可得函數(shù)在區(qū)間和內(nèi)各有2個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)槭侵芷跒?，所以區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，且，即函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有4個(gè)零點(diǎn)，所以在區(qū)間SKIPIF1<0上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為SKIPIF1<0個(gè)零點(diǎn).故選：B.【規(guī)律方法】判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法：1.直接法：即直接求零點(diǎn)，令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個(gè)不同的解就有幾個(gè)零點(diǎn)；2.定理法：利用零點(diǎn)存在性定理，不僅要求函數(shù)的圖象在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)3.圖象法：即利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，畫(huà)出函數(shù)f(x)的圖象，函數(shù)f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；將函數(shù)f(x)拆成兩個(gè)函數(shù)h(x)和g(x)的差，根據(jù)f(x)＝0?h(x)＝g(x)，則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)就是函數(shù)y＝h(x)和y＝g(x)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù).4.性質(zhì)法：即利用函數(shù)性質(zhì)，若能確定函數(shù)的單調(diào)性，則其零點(diǎn)個(gè)數(shù)不難得到；若所考查的函數(shù)是周期函數(shù)，則只需解決在一個(gè)周期內(nèi)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).【變式3-1】設(shè)表示不超過(guò)實(shí)數(shù)的最大整數(shù)(如，)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)______.【答案】2【解析】函數(shù)的零點(diǎn)即方程的根，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即方程的根的個(gè)數(shù)..當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，或或（舍）.當(dāng)時(shí)，，方程無(wú)解.綜上，方程的根為，1.所以方程有2個(gè)根，即函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn).故答案為：2.考點(diǎn)04：函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用4、已知函數(shù)，若恰好有2個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】令，因?yàn)榉匠痰膬筛鶠?，所以在同一直角坐?biāo)系下作出函數(shù)的圖象如圖所示：由圖可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，圖象如圖所示：當(dāng)時(shí)，函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，圖象如圖所示：綜上可知，所求實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：C5、已知函數(shù)SKIPIF1<0若方程SKIPIF1<0的實(shí)根之和為6，則SKIPIF1<0的取值范圍為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】作出SKIPIF1<0圖象，求方程SKIPIF1<0的實(shí)根之和為6，即求SKIPIF1<0與SKIPIF1<0圖象交點(diǎn)橫坐標(biāo)之和為6，分別討論a=1、SKIPIF1<0、a=2、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0和a=4時(shí)SKIPIF1<0圖象與SKIPIF1<0圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)及性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合，即可得答案.【詳解】作出SKIPIF1<0圖象，如圖所示求方程SKIPIF1<0的實(shí)根之和為6，即求SKIPIF1<0與SKIPIF1<0圖象交點(diǎn)橫坐標(biāo)之和為6，當(dāng)a=1時(shí)，SKIPIF1<0圖象與SKIPIF1<0圖象只有一個(gè)交點(diǎn)（3,1），不滿足題意；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0圖象與SKIPIF1<0圖象有2個(gè)交點(diǎn)，且從左至右設(shè)為SKIPIF1<0，由圖象可得SKIPIF1<0關(guān)于x=3對(duì)稱(chēng)，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，滿足題意；當(dāng)a=2時(shí)，SKIPIF1<0圖象與SKIPIF1<0圖象有3個(gè)交點(diǎn)，且（0,2）為最左側(cè)交點(diǎn)，設(shè)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0圖象另外兩個(gè)交點(diǎn)為SKIPIF1<0，由圖象可得SKIPIF1<0關(guān)于x=3對(duì)稱(chēng)，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，滿足題意；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0圖象與SKIPIF1<0圖象有4個(gè)交點(diǎn)，從左至右設(shè)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由圖象可得SKIPIF1<0關(guān)于x=0對(duì)稱(chēng)，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0關(guān)于x=3對(duì)稱(chēng)，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，滿足題意；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0圖象與SKIPIF1<0圖象有3個(gè)交點(diǎn)，由圖象可得不滿足題意；當(dāng)a=4時(shí)，SKIPIF1<0圖象與SKIPIF1<0圖象有2個(gè)交點(diǎn)，由圖象可得不滿足題意；綜上：SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0.故選：A6、已知SKIPIF1<0，若函數(shù)SKIPIF1<0有兩個(gè)零點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0有兩個(gè)零點(diǎn)SKIPIF1<0，則下列選項(xiàng)正確的有（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AB【解析】由已知分析得選項(xiàng)A正確，利用基本不等式證明選項(xiàng)B正確；利用不等式性質(zhì)得到選項(xiàng)C錯(cuò)誤，利用作差法得到選出D錯(cuò)誤.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)SKIPIF1<0有兩個(gè)零點(diǎn)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0=0，所SKIPIF1<0有兩個(gè)零點(diǎn)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以選項(xiàng)A正確；因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以選項(xiàng)B正確；因?yàn)镾KIPIF1<0，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：AB【規(guī)律方法】已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路：(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問(wèn)題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．【變式4-1】已知函數(shù)SKIPIF1<0是定義在SKIPIF1<0上的奇函數(shù)，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，給出下列命題：①當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；②函數(shù)SKIPIF1<0有2個(gè)零點(diǎn)；③SKIPIF1<0的解集為SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0.其中正確的命題是（）A．①④ B．②③ C．①③ D．②④【答案】A【解析】對(duì)于①，利用奇偶性求SKIPIF1<0時(shí)的解析式即可判斷；對(duì)于②，直接求出零點(diǎn)即可判斷；對(duì)于③，直接解不等式，得到解集即可判斷；對(duì)于④，用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，結(jié)合圖象求出SKIPIF1<0的值域即可判斷.【詳解】解：函數(shù)SKIPIF1<0定義在SKIPIF1<0上的奇函數(shù)，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，下面逐一判斷：對(duì)于①，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，故①正確；對(duì)于②，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，又函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處有定義，故SKIPIF1<0，故函數(shù)SKIPIF1<0有3個(gè)零點(diǎn)，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，則SKIPIF1<0的解集為SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0的解集為SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0成立.故SKIPIF1<0的解集為SKIPIF1<0，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0時(shí)，有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)，有SKIPIF1<0，所以函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，所以SKIPIF1<0時(shí)SKIPIF1<0取得最小值SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可作大致圖象如下，再根據(jù)對(duì)稱(chēng)性作SKIPIF1<0時(shí)的大致圖象，綜上SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0值域?yàn)镾KIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0值域?yàn)镾KIPIF1<0，而SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0的值域?yàn)镾KIPIF1<0.故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即④正確.故選：A.【變式5-1】已知函數(shù)SKIPIF1<0，若方程SKIPIF1<0有四個(gè)不同的根SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是______.【答案】SKIPIF1<0【解析】設(shè)SKIPIF1<0<SKIPIF1<0<SKIPIF1<0<SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為SKIPIF1<0，根據(jù)SKIPIF1<0，求得范圍即可.【詳解】設(shè)SKIPIF1<0<SKIPIF1<0<SKIPIF1<0<SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由圖知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0或4，則SKIPIF1<0故SKIPIF1<0，易知其在SKIPIF1<0單減，故SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<0【總結(jié)提升】函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用主要體現(xiàn)在三類(lèi)問(wèn)題：一是函數(shù)中不含參數(shù)，零點(diǎn)又不易直接求出，考查各零點(diǎn)的和或范圍問(wèn)題；二是函數(shù)中含有參數(shù)，根據(jù)零點(diǎn)情況求函數(shù)中參數(shù)的范圍；三是函數(shù)中有參數(shù)，但不求參數(shù)，仍是考查零點(diǎn)的范圍問(wèn)題．這三類(lèi)問(wèn)題最終都是通過(guò)數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)進(jìn)行解決．【考點(diǎn)易錯(cuò)】易錯(cuò)01確定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)1.二次函數(shù)SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是()A.1B.2C.0D.無(wú)法確定【解析】解法1：SKIPIF1<0∴方程SKIPIF1<0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根∴函數(shù)SKIPIF1<0有兩個(gè)零點(diǎn)，選B.解法2：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，不論哪種情況，二次函數(shù)圖象與x軸都有兩個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).選B.點(diǎn)評(píng)：可以利用函數(shù)圖象或方程的判別式.【變式1-1】設(shè)函數(shù)f(x)＝4sin(2x＋1)－x，則在下列區(qū)間中函數(shù)f(x)不存在零點(diǎn)的是()A．[－4，－2] B．[－2,0]C．[0,2] D．[2,4]【答案】：A【解析】：本題判斷f(x)＝0在區(qū)間內(nèi)是否成立，即4sin(2x＋1)＝x是否有解．如圖：顯然在[2,4]內(nèi)曲線y＝4sin(2x＋1)，當(dāng)x＝eq\f(5,4)π－eq\f(1,2)時(shí)，y＝4，而曲線y＝x，當(dāng)x＝eq\f(5,4)π－eq\f(1,2)<4，有交點(diǎn)，故選A.【變式1-2】定義在SKIPIF1<0上的奇函數(shù)SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，則關(guān)于SKIPIF1<0的函數(shù)SKIPIF1<0的所有零點(diǎn)之和為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】：D【解析】當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為奇函數(shù)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0畫(huà)出SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的圖像如圖所示：共有5個(gè)交點(diǎn)，設(shè)其橫坐標(biāo)從左到右分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0即SKIPIF1<0SKIPIF1<0即SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，故選D.易錯(cuò)02用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)的近似值2、求函數(shù)SKIPIF1<0的一個(gè)正數(shù)零點(diǎn)(精確到0.1).【解析】解：由于SKIPIF1<0，可取區(qū)間SKIPIF1<0作為計(jì)算的初始區(qū)間，用二分法逐步計(jì)算，列表如下：區(qū)間中點(diǎn)中點(diǎn)函數(shù)值[1，2]1.5-2.625[1.5，2]1.750.2344[1.5，1.75]1.625-1.3027[1.625，1.75]1.6875-0.5618[1.6875，1.75]1.71875-0.1709由上表計(jì)算可知，區(qū)間[1.6875，1.75]的長(zhǎng)度1.75-1.6875=0.0625<0.1，所以可以將1.6875的近似值1.7作為函數(shù)零點(diǎn)的近似值.點(diǎn)評(píng)：應(yīng)首先判斷x的取正整數(shù)時(shí)，函數(shù)值的正負(fù)，使正整數(shù)所對(duì)應(yīng)的區(qū)間盡量小，便于利用二分法求其近似值.【變式2-1】用二分法求函數(shù)SKIPIF1<0的一個(gè)正零點(diǎn)（精確到SKIPIF1<0）【解析】解：⑴由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0可知函數(shù)的一個(gè)正零點(diǎn)在SKIPIF1<0區(qū)間中；⑵取SKIPIF1<0的區(qū)間中點(diǎn)SKIPIF1<0；⑶計(jì)算SKIPIF1<0；⑷由于SKIPIF1<0，則有零點(diǎn)的新區(qū)間為SKIPIF1<0⑸取SKIPIF1<0的區(qū)間中點(diǎn)SKIPIF1<0；⑹計(jì)算SKIPIF1<0；⑺由于SKIPIF1<0，則有零點(diǎn)的新區(qū)間為SKIPIF1<0；⑻取SKIPIF1<0的區(qū)間中點(diǎn)SKIPIF1<0；⑼計(jì)算SKIPIF1<0；⑽由于SKIPIF1<0，則有零點(diǎn)的新區(qū)間為SKIPIF1<0；⑾取SKIPIF1<0的區(qū)間中點(diǎn)SKIPIF1<0；⑿計(jì)算SKIPIF1<0；⒀由于SKIPIF1<0，則有零點(diǎn)的新區(qū)間為SKIPIF1<0；⒁取SKIPIF1<0的區(qū)間中點(diǎn)SKIPIF1<0⒂計(jì)算SKIPIF1<0；⒃由于SKIPIF1<0，則有零點(diǎn)的新區(qū)間為SKIPIF1<0；⒄取SKIPIF1<0的區(qū)間中點(diǎn)SKIPIF1<0；⒅計(jì)算SKIPIF1<0；⒆由于SKIPIF1<0，⒇由于SKIPIF1<0，則有零點(diǎn)的新區(qū)間為SKIPIF1<0；又因?yàn)榱泓c(diǎn)要求精確到SKIPIF1<0，而區(qū)間兩端點(diǎn)近似值相同都是2.24，所以函數(shù)SKIPIF1<0的一個(gè)正零點(diǎn)為：2.24.易錯(cuò)03函數(shù)與方程綜合應(yīng)用3、定義域?yàn)镽的偶函數(shù)f(x)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝lnx－ax(a∈R)，方程f(x)＝0在R上恰有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)解．(1)求x<0時(shí)，函數(shù)f(x)的解析式；(2)求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解析】：(1)設(shè)x<0，則－x>0，∵f(x)是偶函數(shù)，∴f(x)＝f(－x)＝ln(－x)＋ax(x<0)．(2)∵f(x)是偶函數(shù)，∴f(x)＝0的根關(guān)于x＝0對(duì)稱(chēng)，又f(x)＝0恰有5個(gè)實(shí)數(shù)根，則5個(gè)根有兩正根，兩負(fù)根，一零根，且兩正根與兩負(fù)根互為相反數(shù)，∴原命題可轉(zhuǎn)化為：當(dāng)x>0時(shí)，f(x)的圖像與x軸恰有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．下面就x>0時(shí)的情況討論．∵f′(x)＝eq\f(1,x)－a，∴當(dāng)a≤0，f′(x)>0，f(x)＝lnx－ax在(0，＋∞)上為增函數(shù)，故f(x)＝0在(0，＋∞)上不可能有兩個(gè)實(shí)根．a(chǎn)>0時(shí)，令f′(x)＝0，x＝eq\f(1,a).當(dāng)0<x<eq\f(1,a)時(shí)，f′(x)>0，f(x)遞增，當(dāng)x>eq\f(1,a)時(shí)，f′(x)<0，f(x)遞減，∴f(x)在x＝eq\f(1,a)處取得極大值－lna－1，則要使f(x)在(0，＋∞)有兩個(gè)相異零點(diǎn)，如圖．∴只要：－lna－1>0，即lna<－1，得：a∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e))).【變式3-1】已知函數(shù)f(x)＝4x＋m·2x＋1有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，求m的取值范圍，并求出該零點(diǎn)．【解析】：∵f(x)＝4x＋m·2x＋1有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，即方程(2x)2＋m·2x＋1＝0僅有一個(gè)實(shí)根．設(shè)2x＝t(t>0)，則t2＋mt＋1＝0.當(dāng)Δ＝0時(shí)，即m2－4＝0，∴m＝－2時(shí)，t＝1；m＝2時(shí)，t＝－1不合題意，舍去，∴2x＝1，x＝0符合題意．當(dāng)Δ>0，即m>2或m<－2時(shí)，t2＋mt＋1＝0有兩正根或兩負(fù)根，f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)或無(wú)零點(diǎn)不合題意．∴這種情況不可能．綜上可知：m＝－2時(shí)，f(x)有唯一零點(diǎn)，該零點(diǎn)為x＝0.【鞏固提升】1．（2022·浙江高一期末）方程SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0）的根所在的區(qū)間為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)性和函數(shù)零點(diǎn)存在定理，即可判斷零點(diǎn)所在的區(qū)間．【詳解】函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上為增函數(shù)，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)存在定理可得方程的解在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0內(nèi)．故選：SKIPIF1<0．2．（2022·江西高三其他模擬（理））已知函數(shù)SKIPIF1<0，若函數(shù)SKIPIF1<0，僅有1個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】令SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，然后作出函數(shù)圖像，求出函數(shù)在SKIPIF1<0處的切線的斜率可得答案【詳解】令SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，作出函數(shù)SKIPIF1<0的大致圖像如圖所示，觀察可知，臨界狀態(tài)為直線SKIPIF1<0與曲線SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處的切線，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以切線的斜率為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選：A.3.（2022·山東煙臺(tái)市·高三二模）已知函數(shù)SKIPIF1<0是定義在區(qū)間SKIPIF1<0上的偶函數(shù)，且當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，則方程SKIPIF1<0根的個(gè)數(shù)為（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【解析】將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，由解析式畫(huà)出在SKIPIF1<0上的圖象，再結(jié)合偶函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性即可知定義域上的交點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】要求方程SKIPIF1<0根的個(gè)數(shù)，即為求SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，由題設(shè)知，在SKIPIF1<0上的圖象如下圖示，∴由圖知：有3個(gè)交點(diǎn)，又由SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是偶函數(shù)，∴在SKIPIF1<0上也有3個(gè)交點(diǎn)，故一共有6個(gè)交點(diǎn).故選：D.4．【多選題】（2022·遼寧高三月考）已知定義域?yàn)镾KIPIF1<0的函數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0是奇函數(shù)，SKIPIF1<0為偶函數(shù)，當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則（）A．SKIPIF1<0是偶函數(shù) B．SKIPIF1<0的圖象關(guān)于SKIPIF1<0對(duì)稱(chēng)C．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有3個(gè)實(shí)數(shù)根 D．SKIPIF1<0【答案】BC【解析】由SKIPIF1<0為偶函數(shù)，得到SKIPIF1<0的圖象關(guān)于SKIPIF1<0對(duì)稱(chēng)，可判定B正確；由SKIPIF1<0是奇函數(shù)，得到函數(shù)SKIPIF1<0關(guān)于點(diǎn)SKIPIF1<0對(duì)稱(chēng)，得到SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，根據(jù)題意，求得SKIPIF1<0，可判定D不正確；由SKIPIF1<0，可判定A不正確；由SKIPIF1<0，可判定C正確.【詳解】根據(jù)題意，可得函數(shù)SKIPIF1<0的定義域?yàn)镾KIPIF1<0，由函數(shù)SKIPIF1<0為偶函數(shù)，可得函數(shù)SKIPIF1<0的圖象關(guān)于SKIPIF1<0對(duì)稱(chēng)，即SKIPIF1<0，所以B正確；由函數(shù)SKIPIF1<0是奇函數(shù)，可得函數(shù)SKIPIF1<0的圖象關(guān)于點(diǎn)SKIPIF1<0對(duì)稱(chēng)，即SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即函數(shù)SKIPIF1<0是以8為周期的周期函數(shù)，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以D不正確；由函數(shù)SKIPIF1<0是以8為周期的周期函數(shù)，可得SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以函數(shù)SKIPIF1<0一定不是偶函數(shù)，所以A不正確；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，所以C正確.故選：BC.5．（2022·河南高三月考（文））已知函數(shù)SKIPIF1<0，若關(guān)于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0有四個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】畫(huà)出函數(shù)圖象，題目等價(jià)于SKIPIF1<0與SKIPIF1<0有四個(gè)不同的交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可得SKIPIF1<0且直線SKIPIF1<0與曲線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，滿足SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根即可.【詳解】畫(huà)出SKIPIF1<0的函數(shù)圖象，設(shè)SKIPIF1<0，該直線恒過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0，結(jié)合函數(shù)圖象，可知若方程SKIPIF1<0有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則SKIPIF1<0且直線SKIPIF1<0與曲線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根，令SKIPIF1<0，實(shí)數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0.故選：D.6．（2022·浙江杭州市·杭十四中高三其他模擬）已知二次函數(shù)SKIPIF1<0有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，若SKIPIF1<0有四個(gè)不同的根SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0成等差數(shù)列，則SKIPIF1<0不可能是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】設(shè)SKIPIF1<0的兩個(gè)不同零點(diǎn)為m，n，且m>n，根據(jù)韋達(dá)定理，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的表達(dá)式，根據(jù)SKIPIF1<0有四個(gè)不同的根SKIPIF1<0，可得以SKIPIF1<0對(duì)應(yīng)的根為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0對(duì)應(yīng)的根為SKIPIF1<0，根據(jù)韋達(dá)定理，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表達(dá)式，根據(jù)題意，計(jì)算化簡(jiǎn)，可得m，n的關(guān)系，代入SKIPIF1<0，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得答案.【詳解】設(shè)SKIPIF1<0的兩個(gè)不同零點(diǎn)為m，n，且m>n，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0有四個(gè)不同的根SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0對(duì)應(yīng)的根為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0對(duì)應(yīng)的根為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0成等差數(shù)列，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，因?yàn)閙>n，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0有最大值SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0不可能為3.故選：D7．（2022·遼寧高三月考）已知SKIPIF1<0的定義域?yàn)镾KIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】求出函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0值域及單調(diào)性，由此可得出結(jié)論.【詳解】當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0以此類(lèi)推，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，且函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上為增函數(shù)，SKIPIF1<0，所以，函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，且SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為SKIPIF1<0.故選：B.8．（2022·江西撫州市·高三其他模擬（文））若函數(shù)f(x)滿足SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0．若在區(qū)間SKIPIF1<0內(nèi)SKIPIF1<0有兩個(gè)零點(diǎn)則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由題設(shè)可得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0內(nèi)SKIPIF1<0有兩個(gè)零點(diǎn)，可知SKIPIF1<0內(nèi)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0有兩個(gè)交點(diǎn)，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合并利用導(dǎo)數(shù)判斷存在兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)m的范圍即可.【詳解】由題意，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0內(nèi)SKIPIF1<0有兩個(gè)零點(diǎn)，即SKIPIF1<0內(nèi)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0有兩個(gè)交點(diǎn)，且SKIPIF1<0過(guò)定點(diǎn)SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0時(shí)，顯然圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，即SKIPIF1<0僅有一個(gè)零點(diǎn)，SKIPIF1<0時(shí)，在SKIPIF1<0右半支上，當(dāng)SKIPIF1<0過(guò)SKIPIF1<0時(shí)SKIPIF1<0，要使SKIPIF1<0上圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，在SKIPIF1<0左半支上，當(dāng)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相切時(shí)只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，∴要使SKIPIF1<0上圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則SKIPIF1<0.綜上，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故選：A9．（2020·全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)函數(shù)y＝x3與y＝x－2的圖象的交點(diǎn)為(x0，y0)，若x0∈(n，n＋1)，n∈N，則x0所在的區(qū)間是________．【答案】(1,2)【解析】設(shè)f（x）=x3-SKIPIF1<0，則x0是函數(shù)f(x)的零點(diǎn)，根據(jù)圖象，結(jié)合零點(diǎn)存在定理，可得x0的所在區(qū)間.【詳解】設(shè)f(x)＝x3－SKIPIF1<0，則x0是函數(shù)f(x)的零點(diǎn)，在同一坐標(biāo)系下畫(huà)出函數(shù)y＝x3與y＝SKIPIF1<0的圖象如圖所示