第10講 三角形與全等三角形（壓軸題組）-2022年中考數(shù)學大復習（知識點·易錯點·題型訓練·壓軸題組）

第10講三角形與全等三角形（壓軸題組）1．（2021·江西贛州·九年級期中）如圖1，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，點E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點，H為線段EF上一動點（不與點E，F(xiàn)重合），將線段AH繞點A逆時針方旋轉90°，得到AG，連接GC，HB．（1）證明：△AHB≌△AGC（2）如圖2，連接HG和GF，其中HG交AF于點Q．①證明：在點H的運動過程中，總有∠HFG＝90°；②若AB＝AC＝4，當EH的長度為多少時，△AQG為等腰三角形？2．（2021·北京市第三十一中學九年級期中）四邊形ABCD是正方形，△BEF是等腰直角三角形，∠BEF＝90°，BE＝EF．G為DF的中點，連接EG，CG，EC．（1）如圖1，若點E在CB邊的延長線上，直接寫出EG與GC的位置關系及的值；（2）將圖1中的△BEF繞點B順時針方向旋轉至圖2所示位置，在（1）中所得的結論是否仍然成立？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由；（3）將圖1中的△BEF，繞點B順時針旋轉（0°＜＜90°），若BE＝1，AB＝，當E，F(xiàn)，D三點共線時，求DF的長．3．（2021·湖北青山·九年級期中）已知，在菱形ABCD中，∠BCD＝60°，將邊CD繞點C順時針旋轉α°（0＜α＜120），得到線段CE，連接ED、ED或其延長線交∠BCE的角平分線于點F．（1）如圖1，若α＝20，直接寫出∠E與∠CFE的度數(shù)；（2）如圖2，若60＜α＜120．求證：EF﹣DF＝CF；（3）如圖3，若AB＝6，點G為AF的中點，連接BG，則DC旋轉過程中，BG的最大值為．

4．（2021·福建安溪·九年級期中）在等腰直角△ABC中，AB＝AC，點D在底邊BC上，∠EDF的兩邊分別交AB、AC所在直線于E、F兩點，∠EDF＝2∠ABC，BD＝nCD．（1）如圖1，若n＝1，則DEDF；（填“＞”“＜”或“＝”）（2）連接EF．①如圖2，沿著直線EF折疊，使得點A落在邊BC上的D點，求的值（含n的式子表示）；②如圖3，EFBC，且，求出n的值．5．（2021·陜西蓮湖·九年級期中）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P是射線BD上一動點，以AP為邊向右側作等邊△APE，點E的位置隨著點P的位置變化而變化．問題提出（1）如圖1，當點E在菱形ABCD內部或邊上時，連接CE，BP與CE的數(shù)量關系是，CE與CB的位置關系是．（2）如圖2，當點E在菱形ABCD外部時，（1）中的結論是否還成立？若成立，請予以證明；若不成立，請說明理由．問題解決（3）如圖3，連湖公園有一塊觀賞園林區(qū)，其形狀是一個邊長為20m的菱形ABCD，其中∠ABC＝60°，對角線BD是一條花間小徑，現(xiàn)計劃在BD延長線上（包括D點）取點P，以AP為邊長修建一個等邊△APE的娛樂區(qū)，放置各類運動娛樂設施，從娛樂區(qū)頂點E再修一條直直的小路BE，為了讓游客們更輕松愉快地游玩，園區(qū)還計劃在BE中點處設置一個直飲水點F，求飲水點F到C點的最短距離．6．（2021·陜西·交大附中分校九年級期中）問題研究，如圖，在等腰△ABC中，，點、為底邊上的兩個動點（不與、重合），且．（1）請在圖中找出一個與相似的三角形，這個三角形是__________；

（2）若，分別過點、作、的垂線，垂足分別為、，且、的反向延長線交于點，若，求四邊形的面積；

問題解決（3）如圖所示，有一個矩形倉庫，其中米，米，現(xiàn)計劃在倉庫的內部的、兩處分別安裝監(jiān)控攝像頭，其中點在邊上，點在邊上．設計要求且，則的長應為多少米？

7．（2021·黑龍江·哈爾濱市第六十九中學校九年級期中）如圖，在平面直角坐標系中，直線AB的解析式為y＝kx＋3分別交x軸、y軸于點A、B，∠BAO＝45°．（1）求直線AB的解析式；（2）點C在x軸負半軸上，連接CB，過點B作BC的垂線交x軸于點P，設點P的橫坐標為t，△BAP的面積為S，求S與t之間的函數(shù)解析式，（不要求寫出自變量t的取值范圍）；（3）在（2）的條件下，延長BC至Q，使BQ＝BP，過點Q作x軸的垂線交x軸于點D，點E為線段CQ的中點，過點E作BQ的垂線交BD的延長線與點F，若EF＝，求Q點坐標．8．（2021·河南·金明中小學九年級期中）把兩個等腰直角△ABC和△ADE按如圖1所示的位置擺放，將△ADE繞點A按逆時針方向旋轉，如圖2，連接，，設旋轉角為（）．（1）如圖1，與的數(shù)量關系是___________，與的位置關系是___________；（2）如圖2，（1）中和的數(shù)量關系和位置關系是否仍然成立，若成立，請證明；若不成立請說明理由．（3）如圖3，當點D在線段上時，___________．（4）當旋轉角__________時，的面積最大．9．（2021·北京·景山學校九年級期中）在△ABC中，AB＝2，CD⊥AB于點D，CD＝．（1）如圖1，當點D是線段AB中點時，①AC的長為；②延長AC至點E，使得CE＝AC，此時CE與CB的數(shù)量關系為，∠BCE與∠A的數(shù)量關系為．（2）如圖2，當點D不是線段AB的中點時，畫∠BCE（點E與點D在直線BC的異側），使∠BCE＝2∠A，CE＝CB，連接AE．①按要求補全圖形；②求AE的長．10．（2021·山西·九年級期中）綜合與實踐問題情境：數(shù)學活動課上，老師要求學生出示兩個大小不一樣的等腰直角三角形，如圖1所示，把Rt△ADE和Rt△ABC擺在一起，其中直角頂點A重合，延長CA至點F，滿足AF=AC，然后連接DF、BE．實踐猜想：（1）圖1中的BE與DF的數(shù)量關系為：，位置關系為：．猜想證明：（2）當△A