《電工與電子技術(shù)》課件第2章

第2章電阻電路的分析2.1電路的簡化和等效變換

2.2網(wǎng)絡(luò)分析和網(wǎng)絡(luò)定理2.3線性網(wǎng)絡(luò)的基本性質(zhì)

2.1電路的簡化和等效變換

2.1.1電阻的串并聯(lián)等效變換

1.串聯(lián)電路的等效變換及分壓關(guān)系

如果電路中有若干電阻順序連接，通過同一電流，這樣的連接法稱為電阻的串聯(lián)。如圖2.1(a)所示，電壓為U，電流為I，有n個電阻串聯(lián)。圖2.1(b)中如果電壓也為U，電流也為I，電阻為R，則兩電路等效，等效電阻為(2.1)即電阻串聯(lián)時，其等效電阻等于各個串聯(lián)電阻的代數(shù)和。圖2.1電阻的串聯(lián)各電阻上的分壓關(guān)系為

U1∶U2∶…∶Un=R1∶R2∶…∶Rn

(2.2)

且(2.3)當(dāng)串聯(lián)的電阻只有兩個時，有(2.4)(2.5)

2.并聯(lián)電路的等效變換及分流關(guān)系

若干電阻并排連接，在電源作用下，各電阻兩端的電壓相同，則這些電阻的連接稱為并聯(lián)，如圖2.2(a)所示。其等效電路如圖2.2(b)所示，等效電阻R為(2.6)(2.7)或用電導(dǎo)表示為式(2.6)和式(2.7)表明，電阻并聯(lián)時，其等效電阻R的倒數(shù)等于各分電阻倒數(shù)之和，或者說，總電導(dǎo)等于各分電導(dǎo)之和。圖2.2并聯(lián)電路的等效并聯(lián)電路中各支路電流的分配關(guān)系為

I1∶I2∶…∶In=G1∶G2∶…∶Gn

(2.8)

且(2.9)當(dāng)電路中只有兩個電阻并聯(lián)時，有其電流的分配關(guān)系為(2.10)(2.11)(2.12)式(2.11)和式(2.12)使用較多，應(yīng)牢記。

3．串并聯(lián)電路的等效變換

既有串聯(lián)又有并聯(lián)的電路叫混聯(lián)電路，如果它能通過串并聯(lián)關(guān)系進(jìn)行簡化，則該電路仍屬于簡單電路。

【例2.1】

如圖2.3(a)所示，電源US通過一個T形電阻傳輸網(wǎng)絡(luò)向負(fù)載RL供電，試求:負(fù)載電壓、電流、功率及傳輸效率。設(shè)US=12V，RL=3Ω，R1=R2=1Ω，R0=10Ω。

解這一電路可用串并聯(lián)化簡的辦法來求解。

(1)先將R2與RL相串聯(lián)，得到圖2.3(b)，則

R2L=R2+RL=1+3=4Ω

再將R2L與R0相并聯(lián)，得等效電阻R02L，如圖2.3(c)所示，有

圖2.3例2.1電路圖最后求出總電阻R，如圖2.3(d)所示，即

R=R1+R02L=1+2.86=3.86Ω

(2)求總電流I:(3)用分流法求出負(fù)載的電流與電壓：UL＝ILRL＝2.22×3＝6.66V

(4)計(jì)算功率與效率:

負(fù)載功率PL=ULIL=6.66×2.22=14.79W

電源功率PS=USI=12×3.11=37.32W

傳輸效率2.1.2星形與三角形網(wǎng)絡(luò)的等效變換

不能用串聯(lián)和并聯(lián)等效變換加以簡化的網(wǎng)絡(luò)稱為復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，而復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中最為常見的是星形(Y)和三角形(△)連接的三端網(wǎng)絡(luò)，如圖2.4所示。圖2.4星形與三角形網(wǎng)絡(luò)(a)星形；(b)三角形對于星形或三角形網(wǎng)絡(luò)，經(jīng)常需要在它們之間進(jìn)行等效變換，才可能使整個網(wǎng)絡(luò)得以簡化。這兩種電路彼此相互等效的條件是：對任意兩節(jié)點(diǎn)而言的伏安特性相同，或者說對應(yīng)于兩節(jié)點(diǎn)間的電阻相等，則這兩種電路等效。這兩種電路等效變換的條件是(此處省去推導(dǎo)過程)：

(1)將三角形等效變換為星形(△→Y)時，(2.13)由式(2.13)可看出：(2.14)(2)將星形變換成三角形(Y→△)時，(2.15)從式(2.15)可看出：(2.16)特別的，當(dāng)Y網(wǎng)絡(luò)的全部電阻都相等時,與此等效的△網(wǎng)絡(luò)的電阻也必定相等,且等于Y網(wǎng)絡(luò)電阻的三倍,如圖2.5所示，這時圖2.5電阻對稱時的Y-△變換關(guān)系圖

【例2.2】

電路如圖2.6(a)所示，求Idb。

解先把圖2.6(a)中的△abc網(wǎng)絡(luò)等效變換成圖2.6(b)中

Yabc網(wǎng)絡(luò)，求出Y形連接對應(yīng)的等效電阻如下：將圖2.6(b)進(jìn)一步化簡為如圖2.6(c)所示的形式，其中

Rdao=4+2=6Ω

Rdbo=2+1=3Ω圖2.6例2.2圖

故

則2.1.3電壓源與電流源的簡化和等效變換

1.理想電源的簡化

電阻串聯(lián)、并聯(lián)和混聯(lián)時都可用一個等效電阻代替，電源串聯(lián)、并聯(lián)時也可用一個等效電源替代，其方法是：

(1)凡有多個恒壓源串聯(lián)，或多個恒流源并聯(lián)，則等效電源為多個電源的代數(shù)和，如圖2.7所示。其中：US=US1+US2－US3，IS=IS1+IS2－IS3。

(2)凡是與恒壓源并聯(lián)的元件、與恒流源串聯(lián)的元件均可除去，即可將與恒壓源并聯(lián)的支路開路，與恒流源串聯(lián)的支路短路，如圖2.8所示。圖2.7等效電源的概念(a)恒壓源串聯(lián)；(b)恒流源并聯(lián)圖2.8恒壓源與恒流源串并聯(lián)簡化

(a)并聯(lián)；(b)串聯(lián)

2.電壓源與電流源的等效變換

一個實(shí)際的電源對其外部電路來說，既可以看成是一個電壓源，也可以看成是一個電流源，因而在一定條件下它們可以等效變換，下面求其等效的條件。

為了便于比較，把兩種電源的模型用圖2.9表示。

由于若這兩個電源等效，必有U=U′，I=I′，則等效條件為(2.17)(2.18)圖2.9電壓源與電流源等效變換(a)電壓源模型；(b)電流源模型

【例2.3】

把圖2.10(a)所示電路轉(zhuǎn)換為電壓源形式，

圖2.10(b)轉(zhuǎn)換為電流源形式。圖2.10例2.3電路圖解根據(jù)電源等效的原則，將圖2.10(a)轉(zhuǎn)換為圖2.11(a)所示的電壓源形式：

US＝ISRS＝4×3＝12V

R'S＝RS＝3Ω

將圖2.10(b)轉(zhuǎn)換為圖2.11(b)所示的電流源形式：圖2.11例2.3的等效電路

【例2.4】

簡化圖2.12所示電路。圖2.12例2.4電路圖解(1)除去與恒流源串聯(lián)的元件及與恒壓源并聯(lián)的元件，如圖2.13(a)所示。

(2)將電壓源化為電流源，如圖2.13(b)所示。

(3)將兩個電流源簡化等效，如圖2.13(c)所示。圖2.13例2.4簡化后的電路

2.2網(wǎng)絡(luò)分析和網(wǎng)絡(luò)定理

2.2.1支路電流法

支路電流法是指以支路電流為未知量，應(yīng)用KCL和KVL列出電路方程，從而求解各支路電流的方法。

【例2.5】

如圖2.14所示電路，已知US1、US2及R1、R2和R3，求各支路的電流。

解假定各支路電流的正方向如圖中所示，由KCL和KVL列出電路方程。

對c和d點(diǎn)都可列出KCL方程，但獨(dú)立方程只有一個。如對c點(diǎn)有：

I1+I2=I3圖2.14例2.5電路圖對回路acdba、cefdc可列出KVL方程：

I1R1+I3R3=US1

－I2R2－I3R3=－US2

對回路acefdba也可列出KVL方程，但由于它可由以上兩個方程相加得到，不是獨(dú)立的，因而無需列出。

由以上三個方程聯(lián)立可解出I1、I2和I3。

由上例可看出，支路電流法直接應(yīng)用基爾霍夫定律求解未知量，其關(guān)鍵在于列出足夠而且獨(dú)立的KCL和KVL方程。一般來講，對有n個節(jié)點(diǎn)、b條支路的網(wǎng)絡(luò)，只能列出(n－1)個獨(dú)立的KCL方程，另需l=b－(n－1)個獨(dú)立的KVL方程，才能求出b個支路電流。

保證這l個回路彼此獨(dú)立的方法是按網(wǎng)孔選取回路。網(wǎng)孔是電路中最簡單的單孔回路，即沒有其它支路穿過的回路，如圖2.15所示(為了簡明起見，只畫出了網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，且用線段表示)。圖2.15網(wǎng)孔的概念2.2.2網(wǎng)孔電流法

對支路數(shù)較多、網(wǎng)孔數(shù)相對較少的網(wǎng)絡(luò)，應(yīng)用支路電流法分析求解時，需列出的方程數(shù)較多，計(jì)算量較大，這時若用網(wǎng)孔電流法，網(wǎng)絡(luò)分析就可以簡化。

網(wǎng)孔電流是假設(shè)的環(huán)繞網(wǎng)孔的電流，以網(wǎng)孔電流為未知量列出KVL方程的分析方法叫網(wǎng)孔電流法或網(wǎng)孔分析法。

現(xiàn)在仍以講解支路電流法的電路(例2.5的電路)為例講解網(wǎng)孔電流法，如圖2.16所示。圖2.16網(wǎng)孔電流法實(shí)例設(shè)網(wǎng)孔Ⅰ的環(huán)繞電流為IⅠ，網(wǎng)孔Ⅱ的環(huán)繞電流為IⅡ，由圖2.16可知，IⅠ=I1，IⅡ=－I2，I3=IⅠ－IⅡ=I1+I2。由此可見，支路電流和網(wǎng)孔電流有著惟一確定的關(guān)系，只需求出網(wǎng)孔電流，則各支路電流就可確定。

由KVL列出網(wǎng)孔電壓方程

網(wǎng)孔ⅠIⅠ(R1+R3)－IⅡR3=US1

網(wǎng)孔Ⅱ－IⅠR3+IⅡ(R2+R3)=－US2

求解以上方程，可得IⅠ、IⅡ。在回路繞行方向與網(wǎng)孔電流方向一致，且網(wǎng)孔電流的正方向都規(guī)定為順時針(或逆時針)的情況下，任意網(wǎng)絡(luò)的網(wǎng)孔電壓方程為

R11IⅠ＋R12IⅡ＋…＋R1iIi＋…＋R1nIn＝UⅠ

R21IⅠ＋R22IⅡ＋…＋R2iIi＋…＋R2nIn＝UⅡ

Ri1IⅠ＋Ri2IⅡ＋…＋RiiIi＋…＋RinIn＝Ui

(2.19)

Rn1IⅠ＋Rn2IⅡ＋…＋RniIi＋…＋RnnIn＝Un

【例2.6】

如圖2.17所示電路，R1=R2=R3=R4=R5=1Ω，試用網(wǎng)孔電流法求Uo。圖2.17例2.6電路圖解首先選定網(wǎng)孔，并假定網(wǎng)孔電流都為順時針方向，如圖中所示。

因?yàn)棰?、Ⅳ網(wǎng)孔含電流源，故可選

IⅠ=10A，IⅣ=－5A

對Ⅱ、Ⅲ兩個網(wǎng)孔列電壓方程得到

－IⅠR1+IⅡ(R1+R2+R3)－IⅢR3=－5

－IⅡR3+IⅢ(R3+R4+R5)－IⅣR5=0

代入數(shù)據(jù)并整理得

3IⅡ－IⅢ=5

－IⅡ+3IⅢ=－5

方程聯(lián)立解出IⅢ=－1.25A

故Uo=IⅢR4=－1.25×1=－1.25V2.2.3節(jié)點(diǎn)電位法

以節(jié)點(diǎn)電位為未知數(shù)列出和求解節(jié)點(diǎn)電位方程的方法稱為節(jié)點(diǎn)電位法或節(jié)點(diǎn)分析法。因?yàn)榫W(wǎng)絡(luò)的獨(dú)立節(jié)點(diǎn)數(shù)恒少于支路數(shù)，所以以節(jié)點(diǎn)電位為未知數(shù)列出的方程將少于支路電流方程，特別是對節(jié)點(diǎn)少、網(wǎng)孔多的網(wǎng)絡(luò)來說，應(yīng)用此法將會使網(wǎng)絡(luò)分析大為簡化。

在網(wǎng)絡(luò)中選取任一節(jié)點(diǎn)為參考點(diǎn)，其它節(jié)點(diǎn)對此參考點(diǎn)的電壓就是該節(jié)點(diǎn)的電位。一旦各節(jié)點(diǎn)電位已知，則各節(jié)點(diǎn)之間的支路電流即可隨之解出。通常含n+1個節(jié)點(diǎn)的電路有n個節(jié)點(diǎn)電位是需要求出的未知數(shù)。下面以圖2.18為例來說明，它有兩個節(jié)點(diǎn)，各支路都跨接于這兩個節(jié)點(diǎn)之間，因此只要把這兩個節(jié)點(diǎn)之間的電壓求出來，那么各支路的電流就可由KVL列出的電壓平衡方程式求得。因此，以節(jié)點(diǎn)電位為未知量是可解的。

選定參考電位Ud＝０，并設(shè)c點(diǎn)電位為Uc且大于零，則Ucd＝Uc>0

由節(jié)點(diǎn)c列得一個獨(dú)立方程：

I1+I2=I3

各支路電流可由KVL列的假想回路方程中求出：圖2.18節(jié)點(diǎn)電位法示意圖將以上三式代入I1+I2=I3，得此處節(jié)點(diǎn)電位Uc是未知數(shù)，經(jīng)過整理后得(2.20)解出Uc后，各支路電流就可隨之求得。式中分子各項(xiàng)是各有源支路中含有電壓源各項(xiàng)變換成電流源的值。

如果把各支路電阻用電導(dǎo)表示，則式(2.20)整理后可以改寫成如下形式：(2.21)這里假定節(jié)點(diǎn)電位為未知數(shù)，各回路電壓自動滿足回路方程，從而省略了回路方程數(shù)，減少了所要求解的聯(lián)立方程數(shù)，因此可在一定程度上簡化網(wǎng)絡(luò)分析。對上述方法作進(jìn)一步推廣可知：如果網(wǎng)絡(luò)只有兩個節(jié)點(diǎn)，而在兩節(jié)點(diǎn)之間跨接有m個支路，各支路電阻分別為R1，R2，…，Rm，則不難得出其一般表達(dá)式為(2.22)用電導(dǎo)表示為式中分母各項(xiàng)G1，G2，…，Gm表示各支路的電導(dǎo)；分子各項(xiàng)是各支路電流源的代數(shù)和，對應(yīng)各項(xiàng)電流源電流流入節(jié)點(diǎn)時為正,流出節(jié)點(diǎn)時為負(fù)，無電流源時為零。該式又稱為彌耳曼定理。

【例2.7】

試用節(jié)點(diǎn)電位法求解圖2.18中各支路電流，其中US1=130V，US2=117V，R1=1Ω，R2=0.6Ω，R3=24Ω。

解將已知數(shù)據(jù)代入式(2.20)得2.2.4等效電源定理

1.戴維南定理

任意線性有源二端網(wǎng)絡(luò)，就其二端點(diǎn)而言，可用一個恒壓源及一個與之相串聯(lián)的電阻等效代替。其恒壓源的電壓等于該網(wǎng)絡(luò)二端點(diǎn)的開路電壓，相串聯(lián)的內(nèi)阻等于除源網(wǎng)絡(luò)從二端點(diǎn)看入的等效電阻，如圖2.19所示。

利用戴維南定理計(jì)算支路電流的關(guān)鍵在于求開路電壓和除源網(wǎng)絡(luò)的等效內(nèi)阻。圖2.19戴維南定理示意圖

(1)斷開R支路，使網(wǎng)絡(luò)減少了一條支路，電路得到了某種程度的簡化，利用電路分析的各種方法，可求出開路電壓。

(2)對于非常復(fù)雜的電路，可通過實(shí)驗(yàn)，把R支路斷開，直接用電壓表測量開路電壓。

求除源網(wǎng)絡(luò)的等效電阻有三種方法：

(1)等效變換法：讓電壓源短路，電流源開路，對網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行各種等效變換，求出Rab。

(2)短路電流法：求出開路電壓Uo和端口短路電流ISC，計(jì)算Ro，即

(3)外加電源法：從網(wǎng)絡(luò)中的a、b兩端對除源網(wǎng)絡(luò)外加電壓源US(或電流源IS)，計(jì)算端口電流I(或端口電壓U)，有但在實(shí)際中必須注意，電壓源一般不允許短路，如用短路電流法應(yīng)采取限流措施，防止燒壞電源。另外，等效電源定理只對外部電路等效，至于網(wǎng)絡(luò)內(nèi)的效率、功率等均不等效。

【例2.8】

圖2.20所示電路中，R1=2Ω，R2=4Ω，R3=6Ω，US1=10V，US2=15V，試用戴維南定理求I3。圖2.20例2.8電路圖解

(1)求開路電壓Uo，將R3支路斷開，如圖2.21(a)所示。因?yàn)樗訳o=IR2+US2=－0.83×4+15=11.68V

(2)將電壓源短路，求等效電阻Ro，如圖2.21(b)所示，有(3)利用等效電路2.21(c)，求出I3:圖2.21戴維南等效電路2.諾頓定理

諾頓定理指出：任意線性電阻元件構(gòu)成的有源二端網(wǎng)絡(luò)，就其二端點(diǎn)而言，可以用一恒流源及并聯(lián)電阻支路等效代替，恒流源的電流大小為輸出端的短路電流，方向與短路電流方向相同，等效電阻為除源網(wǎng)絡(luò)從兩端點(diǎn)看入的等效電阻。

諾頓定理示意圖如圖2.22所示。

諾頓定理和戴維南定理通過等效電源定理可相互等效，且都可以利用疊加定理證明(此處省略)。

當(dāng)計(jì)算有源二端網(wǎng)絡(luò)的開路電流比計(jì)算開路電壓簡便時，應(yīng)該用諾頓定理。圖2.22諾頓定理示意圖

【例2.9】

用諾頓定理計(jì)算圖2.20所示電路中的I3。

解

(1)求短路電流，如圖2.23(a)所示:(2)求等效內(nèi)阻Ro：(3)求I3，等效電路圖如圖2.23(b)所示：圖2.23諾頓等效電路

2.3線性網(wǎng)絡(luò)的基本