《電路分析基礎(chǔ) 》課件第5章

第五章正弦電路的穩(wěn)態(tài)分析5.1正弦交流電的基本概念

5.2正弦交流電的相量表示法

5.3基本元件VCR的相量形式和KCL、KVL的相量形式

5.4阻抗與導(dǎo)納

5.5正弦穩(wěn)態(tài)電路相量分析法

5.6正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率

5.7正弦穩(wěn)態(tài)電路中的功率傳輸

5.8三相電路概述

5.1正弦交流電的基本概念5.1.1正弦交流電的三要素在電子技術(shù)、通信工程中經(jīng)常用到周期信號(函數(shù))，信號常以電壓或電流的形式出現(xiàn)。所謂周期信號，就是每隔一定的時(shí)間T，信號的波形重復(fù)出現(xiàn)；或者說，每隔一定的時(shí)間T，信號完成一個循環(huán)的變化。

圖5.1-1給出了幾種常用的周期信號的波形。

周期信號的數(shù)學(xué)函數(shù)式表示為

(5.1-1)式中，k為任意整實(shí)數(shù)；T為正實(shí)常數(shù)。周期信號完成一個循環(huán)所需要的時(shí)間T稱為周期，單位為秒(s)。周期信號在單位時(shí)間內(nèi)完成的循環(huán)次數(shù)稱為頻率，用f表示。根據(jù)上述周期與頻率的定義，顯然可得頻率與周期的關(guān)系為(5.1-2)

頻率的單位為赫茲(Hz)。我國電力網(wǎng)所供給的交流電的頻率是50Hz，其周期是0.02s。實(shí)驗(yàn)室用的音頻信號源的頻率大約從20~20×103Hz左右，相應(yīng)的周期為0.05s~0.05ms左右。圖5.1-1周期信號圖5.1-2正弦電流周期電流、電壓是時(shí)間的函數(shù)，

如電流可表示為

(5.1-3)電壓可表示為

(5.1-4)它們分別稱為正弦電流和正弦電壓。由以上兩式不難看出，不同的時(shí)刻，電流、電壓的數(shù)值不同。所以，函數(shù)表達(dá)式也稱為瞬時(shí)值表示式。例如，t1時(shí)刻的電流值就是將t=t1代入式(5.1-3)求得的函數(shù)值ω表示了單位時(shí)間正弦信號變化的弧度數(shù)，稱為角頻率，其單位是弧度/秒(rad/s)。當(dāng)t=0時(shí)，相位角為θi，稱為初相位或初相角，簡稱初相。工程上為了方便，初相角θi常用角度表示。式(5.1-3)中：Im稱為電流i的振幅或最大值，它表示正弦電流i在整個變化過程中能達(dá)到的最大值。(ωt+ψi)稱為正弦電流i的瞬時(shí)相位角，單位可用弧度(rad)或度(°)來表示。正弦量變化一周，瞬時(shí)相位變化2π弧度，于是有由上式可解得

(5.1-5)

例5.1-1圖5.1-3(a)為正弦穩(wěn)態(tài)二端電路，電流i(t)的參考方向如圖中所標(biāo)。已知 ，試?yán)L出i(t)的波形，求出t=0.5s,1.25s時(shí)電流的瞬時(shí)值，并說明上述時(shí)刻電流的實(shí)際方向。圖

5.1-3例5.1-1用圖

解由已知的i(t)表達(dá)式求得：Im=100mA，ω=2πrad/s,ψi=-π/4。畫i(t)波形時(shí)，縱坐標(biāo)是i，橫坐標(biāo)可以是t，也可以是ωt(單位為弧度)。i(t)波形如圖5.1-3(b)所示。將t=0.5s,1.25s分別代入i(t)表達(dá)式中，求得因t=0.5s時(shí)求得的電流值為負(fù)值，故該時(shí)刻電流的實(shí)際方向與圖中所標(biāo)i(t)的參考方向相反；在t=1.25s時(shí)求得的電流值為正值，顯然該時(shí)刻電流的實(shí)際方向與參考方向相同。

例5.1-2

已知正弦電壓的波形如圖5.1-4所示，試寫出u(t)的函數(shù)表達(dá)式。

解由已知的u(t)波形圖求得三要素。振幅為Um=100V

(波形峰值)周期為

(兩峰值之間的時(shí)間間隔)由式(5.1-5)求得角頻率為

圖5.1-4例5.1-2用圖

初相ψ的絕對值為

(t1為距縱軸最近的最大值對應(yīng)的時(shí)間)考慮波形距縱軸最近的最大值在坐標(biāo)原點(diǎn)的左邊，所以初相角為正，即ψ=π/4rad。將求得的振幅、角頻率、初相代入式(5.1-4)得

5.1.2相位差假設(shè)兩個正弦電壓分別為它們的相位之差稱為相位差，用φ表示，即(5.1-6)若兩個正弦量角頻率不同，由式(5.1-6)可以看出這時(shí)φ是時(shí)間t的函數(shù)，稱為瞬時(shí)相位差。

前已述及，正弦信號激勵下的線性時(shí)不變漸近穩(wěn)定電路中各處的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)都是與激勵源具有相同角頻率的正弦函數(shù)。今后遇到的大量的相位差計(jì)算問題都是同頻率正弦量相位差的計(jì)算。所以，將ω1=ω2=ω代入式(5.1-6)，得此時(shí)的相位差為(5.1-7)由式(5.1-7)可見：兩個同頻率正弦量的相位差等于它們的初相之差。這時(shí)的相位差φ是與時(shí)間t無關(guān)的常數(shù)。在同頻率正弦量相位差計(jì)算中還經(jīng)常遇到下列四種特殊情況：

(1)若φ=ψ1-ψ2=0，即ψ1=ψ2,則稱u1(t)與u2(t)同相，如圖5.1-5(a)所示。這時(shí)u1(t)與u2(t)同時(shí)到達(dá)最大值，同時(shí)到達(dá)零值，同時(shí)到達(dá)最小值。

(2)若φ=ψ1-ψ2＞0，即ψ1＞ψ2，則稱u1(t)超前u2(t)，或稱u2(t)滯后u1(t)。假設(shè)ψ1＞0,ψ2＜0，u1(t)，u2(t)的波形如圖5.1-5(b)所示。

(3)若φ=ψ1-ψ2=±π，則稱u1(t)與u2(t)反相。當(dāng)u1(t)到達(dá)最大值時(shí)，u2(t)到達(dá)最小值，波形如圖5.1-5(c)所示。

(4)若φ=ψ1-ψ2=±π/2，則稱u1(t)與u2(t)正交，波形如圖5.1-5(d)所示。圖中的波形是取φ=ψ1-ψ2=-π/2時(shí)畫出的。圖5.1-5相位差例

5.1-3

同頻率的兩個正弦電壓分別為

試求它們的相位差φ，并說明兩電壓超前、滯后的情況。

解由u1(t)、u2(t)的函數(shù)表達(dá)式可知：ψ1=75°,ψ2=-30°

所以相位差

φ=ψ1-ψ2=75°-(-30°)=105°

電壓u1(t)超前電壓u2(t)105°,或說u2(t)滯后u1(t)的角度為105°。例

5.1-4

同頻率正弦電壓、電流分別為

試求相位差φ，并說明兩正弦量相位超前、滯后情況。

解此例欲說明：兩正弦量的相位比較時(shí)，不僅兩電壓之間或兩電流之間可以進(jìn)行相位比較，正弦電壓與電流之間亦可進(jìn)行相位比較。對于求相位差，要求兩正弦量的函數(shù)形式應(yīng)化為一致(例如統(tǒng)一化為本書選用的余弦函數(shù)表示形式)，各正弦量的初相角要用統(tǒng)一的單位。這樣，本例中電流i(t)應(yīng)改寫為i(t)=5cos(ωt+40°-90°)mA=5cos(ωt-50°)mA電壓u(t)改寫為

u(t)=20cos(ωt+60°)V顯然

ψu(yù)=60°,ψi=-50°

所以相位差

φ=ψu(yù)-ψi=60°-(-50°)=110°由計(jì)算得到的φ值可以判定：電壓u(t)超前電流i(t)的角度為110°，或說電流i(t)滯后電壓u(t)的角度為110°。5.1.3有效值在電路分析中，人們不僅需要了解正弦信號各瞬時(shí)的數(shù)值，而且更關(guān)注它們的平均效果?？梢杂靡粋€稱做有效值的物理量來表征這種效果。正弦信號的有效值是從能量等效的角度定義的。如圖5.1-6(a)、(b)所示，令正弦電流i和直流電流I分別通過兩個阻值相等的電阻R，如果在相同的時(shí)間T(T為正弦信號的周期)內(nèi)，兩個電阻消耗的能量相等，那么定義該直流電流的值為正弦電流i的有效值，記為I。圖

5.1-6定義有效值用圖

由圖5.1-6(a)可知，電阻R消耗的功率為

p(t)=Ri2(t)T時(shí)間內(nèi)消耗的能量為

由圖5.1-6(b)可知，

電阻R消耗的功率為

P=RI2

(5.1-8)T時(shí)間內(nèi)消耗的能量為

W=RI2T

(5.1-9)令式(5.1-8)與式(5.1-9)相等，

即

解得

(5.1-10)由式(5.1-10)可以看出，正弦電流的有效值I是正弦電流函數(shù)i(t)的平方在一個周期內(nèi)的平均值再取平方根，所以有效值也稱為方均根值。類似地，

可得正弦電壓的有效值為

(5.1-11)若將正弦電流的表達(dá)式

代入(5.1-5)式，得正弦電流的有效值為(5.1-12)同理，可得正弦電壓的有效值(5.1-13)應(yīng)該指出：交流電流表、電壓表測量指示的電流、電壓讀數(shù)一般都是有效值。有效值是度量交流電大小的物理量。例如，通常所說220V的正弦交流電壓就是指該正弦電壓的有效值是220V，它的振幅是。(在工程計(jì)算中，

這種“≈”符號常用“=”號代替。)

引入有效值以后，正弦電流和電壓的表達(dá)式也可寫為

例

5.1-5

寫出下列正弦量的有效值：

解

代數(shù)型指數(shù)型5.2正弦交流電的相量表示法一個復(fù)數(shù)既能表示成代數(shù)型，也能表示成指數(shù)型。如復(fù)數(shù)

式中,，為虛數(shù)單位；a1為復(fù)數(shù)的實(shí)部，可為任意實(shí)數(shù)；a2為復(fù)數(shù)的虛部，也可為任意實(shí)數(shù)；a為復(fù)數(shù)A的模，可為任意正實(shí)數(shù)；θ為復(fù)數(shù)A的輻角，可為任意實(shí)數(shù)角度，其單位為弧度或度。若把復(fù)數(shù)A表示在復(fù)平面上，如圖5.2-1所示。由圖可知

(5.2-1)和

實(shí)部a1和虛部a2也可表示為

(5.2-2)式中，Re表示取復(fù)數(shù)的實(shí)部；Im表示取復(fù)數(shù)的虛部。復(fù)數(shù)A的指數(shù)型又常簡寫為

稱為復(fù)數(shù)的極型。由復(fù)數(shù)運(yùn)算方法可知，對復(fù)數(shù)進(jìn)行加、減運(yùn)算時(shí)使用復(fù)數(shù)的代數(shù)型，實(shí)部加、減實(shí)部，虛部加、減虛部。若遇兩指數(shù)型表示的復(fù)數(shù)相加、減，應(yīng)先用式(5.2-2)將兩復(fù)數(shù)由指數(shù)型化為代數(shù)型，然后再進(jìn)行加、減運(yùn)算。對復(fù)數(shù)進(jìn)行乘、除運(yùn)算時(shí)使用復(fù)數(shù)的指數(shù)型，模值相乘、除，輻角相加、減。若遇代數(shù)型表示的兩復(fù)數(shù)相乘、除，應(yīng)先用式(5.2-1)將兩復(fù)數(shù)由代數(shù)型化為指數(shù)型，然后再進(jìn)行乘、除運(yùn)算。

圖5.2-1復(fù)數(shù)的圖示根據(jù)歐拉公式

ejθ=cosθ+jsinθ

可知

式中θ是實(shí)數(shù)。它可以是常數(shù)，也可以是變數(shù)。若

θ=ωt+ψi其中,t是實(shí)時(shí)間變量;ω、ψi是實(shí)常數(shù)，則復(fù)值函數(shù) 亦可應(yīng)用歐拉公式展開，即(5.2-3)假設(shè)某正弦電流為顯然它是式(5.2-3)的實(shí)部，于是電流i(t)又可寫為

(5.2-4)將式(5.2-4)進(jìn)一步改寫為

(5.2-5)式中

(5.2-6)Im是復(fù)數(shù)，它的模正好是正弦電流的振幅，輻角是正弦電流的初相位。這正是我們感興趣的正弦信號的兩個要素。為了把這樣一個代表正弦量的復(fù)數(shù)與一般的復(fù)數(shù)相區(qū)別，將它稱作相量，并在符號上方加一點(diǎn)以示區(qū)別。Im稱為電流相量，把它幾何表示在復(fù)平面上，稱為相量圖，如圖5.2-2所示。..圖5.2-2相量圖

式(5.2-5)中的ejωt稱為旋轉(zhuǎn)因子，它的模值為1，輻角ωt隨時(shí)間成正比增加。Im乘以ejωt表示式Imejωt=Imej(ωt+ψi)是一個隨時(shí)間t旋轉(zhuǎn)的相量。當(dāng)t=0時(shí)，旋轉(zhuǎn)相量在復(fù)平面的位置位于相量Im。它在實(shí)軸上的投影為Imcosψi。其數(shù)值正好等于正弦電流i(t)在t=0時(shí)的值。當(dāng)t=t1時(shí)，旋轉(zhuǎn)相量的模不變，輻角變?yōu)?ωt1+ψi)。在復(fù)平面上，旋轉(zhuǎn)相量由初始位置逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)ωt1的角度，它在實(shí)軸上的投影為Imcos(ωt1+ψi)，其數(shù)值正好等于正弦電流在t=t1時(shí)刻的值。當(dāng)時(shí)間t繼續(xù)增加時(shí)，旋轉(zhuǎn)相量繼續(xù)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。對于任意時(shí)刻t，旋轉(zhuǎn)相量與實(shí)軸的夾角為(ωt+ψi)，它在實(shí)軸上的投影正好是正弦電流i(t)=Imcos(ωt+ψi)在這一瞬間的值。如果把這個旋轉(zhuǎn)相量在實(shí)軸上的投影按照時(shí)間逐點(diǎn)描繪出來，就得到一條余弦曲線，如圖5.2-3所示。上述幾何意義用公式表示，就是取旋轉(zhuǎn)相量的實(shí)部得到正弦電流，即..當(dāng)旋轉(zhuǎn)相量旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，余弦曲線正好變化一周。也就是說，旋轉(zhuǎn)相量逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角速度ω就是正弦信號的角頻率。用類似方法可以說明旋轉(zhuǎn)相量在虛軸上的投影為正弦曲線。同樣地，正弦電壓可表示為

式中

(5.2-7)稱為電壓相量。

圖5.2-3旋轉(zhuǎn)相量及其在實(shí)軸上的投影

今后，只要已知正弦信號就可以直接寫出它的相量。反之，若已知代表正弦信號的相量，也可直接寫出它的時(shí)間函數(shù)表達(dá)式，其中取實(shí)部的過程可以省去。例如，已知角頻率為ω的正弦電流相量Im=5ej30°A，那么該正弦電流的時(shí)間函數(shù)表達(dá)式為又如，

若已知正弦電壓

則該電壓的相量為

必須強(qiáng)調(diào)指出：相量與正弦信號之間只能說是存在對應(yīng)關(guān)系，或變換關(guān)系，不能說相量等于正弦量。相量必須乘以旋轉(zhuǎn)因子ejωt并取實(shí)部后才等于所對應(yīng)的正弦信號。正弦函數(shù)及其相量之間的關(guān)系常用如下雙向箭頭表示：(5.2-8)相量與物理學(xué)中的向量(矢量)是兩個不同的概念。相量是用來代表時(shí)間域中的正弦量，而向量是表示空間內(nèi)具有大小和方向的物理量(如力、

電場強(qiáng)度等)。

相量也可用正弦量有效值與初相構(gòu)成的復(fù)數(shù)來表示，

即

例5.2-1

試寫出下列各電流的相量，并畫出相量圖：

(1)i1(t)=5cos(100πt+60°)A

(2)i2(t)=10sin(100πt+30°)A

(3)i3(t)=-4cos(100πt+45°)A解

(1)

(2)由于本書規(guī)定1∠0°代表cos(ωt)作參考相量，所以決定初相角時(shí)應(yīng)先把正弦函數(shù)(sin)變?yōu)橛嘞液瘮?shù)(cos)后再確定。

故本例i2(t)應(yīng)改寫為

i2(t)=10cos(100πt+30°-90°)=10cos(100πt-60°)A故

應(yīng)當(dāng)指出，相量也可以代表正弦函數(shù)，即用1∠0°代表sin(ωt)。但在同一個問題中不允許有兩個標(biāo)準(zhǔn)，即不能在同一個問題中有兩個不同的參考相量，否則將無法表明各相量之間的相位關(guān)系。(3)與例5.1-4同樣考慮，先把i3(t)改寫為

i3(t)=4cos(100πt+45°-180°)=4cos(100πt-135°)A故

相量在復(fù)平面上的圖示稱為相量圖。畫相量圖首先應(yīng)該畫出參考坐標(biāo)系。這個坐標(biāo)系可以用相互垂直的實(shí)軸和虛軸來表示，也可以只畫出原點(diǎn)和一個表示參考相量的射線。前者實(shí)軸的方向即為參考相量的方向。本例中三個電流的代表相量的相量圖如圖5.2-4所示。

圖

5.2-4例5.2-1的相量圖

例5.2-2

求下列各電壓相量代表的電壓瞬時(shí)值表達(dá)式(已知ω=10rad/s)：解

(1)因U1m是振幅相量，故

.U1m=50V，

ψu(yù)1=-30°

因此

u1(t)=50cos(10t-30°)V(2)因U2是有效值相量，故

.因此

例5.2-3正弦穩(wěn)態(tài)電路如圖5.2-5(a)所示，已知電流i1和i2分別為

試求電流i(t)。

圖

5.2-5例5.2-3用圖

解

正弦電流i1和i2可表示為

式中

根據(jù)KCL,有

由此可得

式中

是代表電流i的相量，電流i的角頻率也是ω，也就是說，同頻率的正弦信號相加，其結(jié)果仍是頻率相同的正弦信號。電流i的相量為

由可得電流

i(t)=11.18cos(ωt-26.6°)A5.3基本元件VCR的相量形式和KCL、KVL的相量形式5.3.1R,L,C元件VAR的相量形式

1.電阻元件假設(shè)電阻R兩端的電壓與電流采用關(guān)聯(lián)參考方向，如圖5.3-1(a)所示。

(5.3-1)對電阻元件而言，在任何瞬間，電流和電壓之間都滿足歐姆定律，當(dāng)然正弦穩(wěn)態(tài)時(shí)亦滿足，即

(5.3-2)5.3-1電阻元件上式表明：電阻兩端電壓u和電流i的頻率相同，電壓的振幅Um=RIm(或電壓有效值U=RI),

而且電壓與電流同相位，即

由式(5.3-1)寫出電流相量為

由式(5.3-2)寫出電壓相量為

(5.3-3)(5.3-4)(5.3-5)將式(5.3-3)代入式(5.3-5)并考慮式(5.3-4)，得電阻元件電壓、電流關(guān)系的相量形式為

(5.3-6a)(5.3-6b)或

由式(5.3-6)可畫出電阻元件的相量模型，如圖5.3-1(b)所示。相量模型中的電流、電壓均用它們的相量標(biāo)注。電阻元件上的電流、電壓波形和相量圖如圖5.3-2(a)和(b)所示。

圖5.3-2電阻元件的電流、電壓波形和相量圖

2.電感元件

設(shè)圖5.3-3(a)中電感元件上電壓、電流參考方向關(guān)聯(lián)，則有

(5.3-7)設(shè)正弦穩(wěn)態(tài)時(shí)電感電流為

(5.3-8)將式(5.3-8)代入式(5.3-7)，

得

(5.3-9)圖5.3-3電感元件圖5.3-4

XL的頻率特性曲線式中XL=ωL=2πfL具有電阻的量綱，稱為感抗。當(dāng)L的單位為H，ω的單位為rad/s時(shí)，XL單位為Ω。式中

(5.3-10)由式(5.3-9)和(5.3-10)可以看出，正弦穩(wěn)態(tài)電路中，電感元件的電壓與電流是同頻率的正弦量，但電壓的相位超前電流90°，

它們的振幅(或有效值)之間的關(guān)系為

(5.3-11)由式(5.3-8)可寫出電流相量為

(5.3-12)由式(5.3-9)可寫出電壓相量為

(5.3-13)將式(5.3-10)代入式(5.3-13)，得

再將式(5.3-12)代入上式并考慮 ，得電感元件電壓、電流相量關(guān)系式為

(5.3-14)或

(5.3-15)式(5.3-15)不僅表明了電感電壓和電流之間的有效值關(guān)系：U=XLI，而且也表明了它們之間的相位關(guān)系：電壓超前電流90°。圖5.3-5電感元件的電流、電壓波形圖3.電容元件圖5.3-6電容元件設(shè)圖5.3-6(a)中電容元件的電壓、

電流參考方向關(guān)聯(lián)，

則有

設(shè)正弦穩(wěn)態(tài)時(shí)電容兩端電壓為

(5.3-17)(5.3-16)將式(5.3-17)代入式(5.3-16)，

得

(5.3-18)式中

(5.3-19)由式(5.3-17)可寫出電壓相量為

(5.3-20)由式(5.3-18)得電流相量為

(5.3-21)再將式(5.3-19)代入上式并考慮，得電容元件的電流、電壓相量關(guān)系為

(5.3-22)也常寫為

(5.3-23a)或

(5.3-23b)式(5.3-23)中

(5.3-24)稱為電容的容抗。當(dāng)C的單位為F，ω的單位為rad/s時(shí)，XC的單位為Ω。容抗的大小，即容抗的模值為(5.3-25)由式(5.3-22)可以看出，電容元件的電流相量超前電壓相量90°。它們的振幅(或有效值)之間的關(guān)系為

(5.3-26)電容元件的相量模型如圖5.3-6(b)所示。

圖5.3-7XC的頻率特性曲線圖5.3-8電容元件的電流、電壓波形圖5.3.2KCL、KVL的相量形式基爾霍夫定律是分析一切集總參數(shù)電路的根本依據(jù)之一。對于正弦穩(wěn)態(tài)這類特殊問題的分析，引入了電壓、電流的相量后，相應(yīng)的描述節(jié)點(diǎn)電流關(guān)系的KCL和描述回路電壓關(guān)系的KVL也應(yīng)有相應(yīng)的相量形式。對于任意瞬間，KCL的時(shí)域表達(dá)式為例如，

對于圖5.3-9中的節(jié)點(diǎn)A，有

i1(t)-i2(t)+i3(t)=0若與節(jié)點(diǎn)A相連的三個正弦電流的頻率都相同(設(shè)為ω)，只是振幅和初相不同，而正弦電流i1(t)、i2(t)、i3(t)分別為(5.3-27)則相應(yīng)的相量分別為

(5.3-28)圖5.3-9流向節(jié)點(diǎn)A的電流分布用相量表示正弦電流并代入KCL方程，可得

即

上式對任意時(shí)間t都等于零，所以必有

上式表明，若圖5.3-9中的各正弦電流用相量表示，那么流出(或流入)節(jié)點(diǎn)A的各支路電流相量的代數(shù)和恒等于零。

對于任意節(jié)點(diǎn)，則有

或

(5.3-29b)式(5.3-29)就是KCL的相量形式，它表明：對于正弦穩(wěn)態(tài)電路中的任意節(jié)點(diǎn)，流出(或流入)該節(jié)點(diǎn)的各支路電流相量的代數(shù)和恒等于零。

同理，可得KVL的相量形式為

(5.3-30a)或

(5.3-30b)式(5.3-30)表明：對于正弦穩(wěn)態(tài)電路中的任意回路，沿該回路按順時(shí)針(或逆時(shí)針)繞行一周，各段電路電壓相量的代數(shù)和恒等于零。

例5.3-1

圖5.3-10(a)所示為RL串聯(lián)正弦穩(wěn)態(tài)電路，已知R=50Ω,L=50μH,us(t)=10cos(106t)V。求電流i(t)，并畫出相量圖。圖

5.3-10例5.3-1用圖

解設(shè)us(t)、uR(t)、uL(t)及i(t)的相量分別為及Im。激勵源us(t)的相量為.由KVL,得

電阻、電感元件的相量關(guān)系為

代入上式，

得

所以

故得電流

相量圖如圖5.3-10(b)所示。

例5.3-2

圖5.3-11(a)所示為RLC并聯(lián)正弦穩(wěn)態(tài)電路，圖中各電流表視為理想電流表(內(nèi)阻為零)。已知電流表的讀數(shù)分別為6A、3A、11A。試求電流表的讀數(shù)應(yīng)為多少?圖

5.3-11例5.3-2用圖

解首先明確：正弦穩(wěn)態(tài)交流電路中，電流表(或電壓表)的讀數(shù)一般是有效值。求解這類問題時(shí)，選一個參考相量較為方便。所謂參考相量,即假定該相量的初相位為0°。對于并聯(lián)電路，各元件承受的是同一電壓，所以常選電壓相量作為參考相量。對于串聯(lián)電路，因流經(jīng)各元件的電流是同一電流，故常選電流相量作為參考相量。本問題選U作為參考相量，即

.設(shè)電流的參考方向如圖5.3－11(a)中所標(biāo)。根據(jù)R、L、C元件相量關(guān)系并代入已知電流數(shù)值，

得

由KCL得

5.4阻抗與導(dǎo)納5.4.1阻抗與導(dǎo)納的概念圖5.4-1(a)所示為無源二端正弦穩(wěn)態(tài)網(wǎng)絡(luò)，設(shè)端口電壓相量和電流相量參考方向關(guān)聯(lián)。

圖

5.4-1無源二端網(wǎng)絡(luò)及其阻抗

端口電壓相量與電流相量的比值定義為阻抗，并用Z表示或

(5.4-1a)(5.4-1b)其模型如圖5.4-1(b)所示。式(5.4-1)也可改寫成

或

(5.4-2a)(5.4-2b)上式與電阻電路中的歐姆定律在形式上相似，只是電流和電壓都用相量表示，稱為歐姆定律的相量形式。由式(5.4-1)容易看出，阻抗的單位為歐姆，并且它一般是復(fù)數(shù)。這可將 代入式(5.4-1a)，得(5.4-3)式中

(5.4-4)(5.4-5)|Z|稱為阻抗Z的模值，φZ稱為阻抗角。

式(5.4-3)是阻抗Z的極坐標(biāo)表示形式，將式(5.4-3)化為代數(shù)形式，

有

Z=|Z|∠φZ=|Z|cosφZ+j|Z|sinφZ=R+jX(5.4-6)式中

R=|Z|cosφZ (5.4-7)X=|Z|sinφZ (5.4-8)R稱為阻抗Z中的電阻部分，X稱為阻抗Z中的電抗部分。當(dāng)X＞0時(shí)，為感抗;當(dāng)X＜0時(shí)，為容抗。電抗為感抗的阻抗Z，稱為感性阻抗；電抗為容抗的阻抗Z，稱為容性阻抗。如果無源二端網(wǎng)絡(luò)分別為單個元件R、L、C，設(shè)它們相應(yīng)的阻抗分別為ZR、ZL、ZC，由這些元件的相量關(guān)系式(5.3-6)、(5.3-15)和(5.3-23)，對照阻抗定義式(5.4-1a)或(5.4-b)，

容易求得

(5.4-9)(5.4-10)(5.4-11)定義無源二端網(wǎng)絡(luò)端口的電流相量與電壓相量之比為該二端網(wǎng)絡(luò)的導(dǎo)納，用符號Y表示，即(5.4-12a)(5.4-12b)或

由導(dǎo)納、阻抗的定義式，顯然二者有互為倒數(shù)關(guān)系，即

(5.4-13)(5.4-14)導(dǎo)納Y的單位是西門子(S),Y一般也是復(fù)數(shù)。將代入式(5.4-12),得式中

(5.4-15)(5.4-16)|Y|稱為導(dǎo)納Y的模值，φY稱為導(dǎo)納Y的導(dǎo)納角。

當(dāng)無源二端網(wǎng)絡(luò)分別為單個元件R、L和C時(shí)，設(shè)相應(yīng)的導(dǎo)納分別為YR、YL、YC，由式(5.4-13)并考慮式(5.4-9)、(5.4-10)和(5.4-11)，求得(5.4-17)(5.4-18)(5.4-19)由上述各式可知：電阻元件的導(dǎo)納只有電導(dǎo)部分，無電納部分。式中,BL=-1/ωL，BC=ωC，分別稱為感納和容納，單位均為西門子(S)。有些場合不分感納和容納，統(tǒng)稱電納。

式(5.4-14)是導(dǎo)納Y的極坐標(biāo)表示形式，若化為代數(shù)形式，有

(5.4-20)式中

(5.4-21)(5.4-22)G稱為導(dǎo)納Y中的電導(dǎo)部分，B稱為導(dǎo)納Y中的電納部分。B＞0時(shí)，為容納;B＜0時(shí)，為感納。電納為容納的導(dǎo)納Y，稱為容性導(dǎo)納；

電納為感納的導(dǎo)納Y，稱為感性導(dǎo)納。

式(5.4-12)也可改寫為

(5.4-23a)(5.4-23b)或

上式為正弦穩(wěn)態(tài)電路中歐姆定律相量形式的另一種表示式。

5.4.2阻抗和導(dǎo)納的串聯(lián)與并聯(lián)等效在引入了相量、阻抗和導(dǎo)納概念以后，正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析方法與電阻電路完全相同。因此，對于正弦穩(wěn)態(tài)電路中阻抗、導(dǎo)納的串、并聯(lián)，只列出了重要的結(jié)論，其證明的方法與電阻電路相似，這里不再重復(fù)。設(shè)有n個阻抗串聯(lián)，各電壓、電流參考方向如圖5.4-2中所標(biāo)，

則它的等效阻抗為

(5.4-24)分壓公式為

(5.4-25)式中，U為n個阻抗串聯(lián)的總電壓相量；Uk為第k個阻抗的電壓相量。

..圖

5.4-2阻抗的串聯(lián)

如圖5.4-3所示n個導(dǎo)納并聯(lián)，各電流、電壓參考方向如圖中所標(biāo)，則它的等效導(dǎo)納為(5.4-26)分流公式為

(5.4-27)式(5.4-26)表明，導(dǎo)納并聯(lián)的等效導(dǎo)納等于相并聯(lián)各導(dǎo)納的代數(shù)和。式(5.4－27)表明，導(dǎo)納并聯(lián)分流與復(fù)導(dǎo)納成正比。

圖

5.4-3導(dǎo)納的并聯(lián)

對于經(jīng)常使用的兩個阻抗Z1和Z2相并聯(lián)的情況，考慮到阻抗與導(dǎo)納的互為倒數(shù)的關(guān)系，由式(5.4-26)容易推導(dǎo)得等效阻抗為

(5.4-28)由式(5.4-27)可推導(dǎo)得分流公式為

(5.4-29)5.4.3阻抗串聯(lián)模型和并聯(lián)模型的等效互換

在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，

一個不含獨(dú)立源的二端網(wǎng)絡(luò)兩個端子間的等效阻抗可表示為

Z=R+jX

它的最簡形式相當(dāng)于一個電阻和一個電抗元件相串聯(lián)，如圖5.4-4(a)所示，而用導(dǎo)納表示為

式中

(5.4-30)(5.4-31)通過式(5.4-30)和(5.4-31)就可以由已知阻抗中的電阻R、電抗X分別求得電導(dǎo)G、電納B，畫出與串聯(lián)模型電路等效的并聯(lián)模型電路的最簡形式，即電導(dǎo)G和電納jB相并聯(lián)，如圖5.4-4(b)所示。這里需要注意：等效并聯(lián)模型電路中的電導(dǎo)G、電納B并不分別是串聯(lián)模型電路中電阻R、電抗X的倒數(shù)，它們的數(shù)值與R、X均有關(guān)，當(dāng)然也與頻率有關(guān)。若已知某無源一端口網(wǎng)絡(luò)的導(dǎo)納為

Y=G+jB

它的并聯(lián)模型電路形式如圖5.4-5(a)所示，

而該一端口網(wǎng)絡(luò)的阻抗為

式中

(5.4-32)(5.4-33)圖

5.4-5導(dǎo)納并聯(lián)模型等效互換為阻抗串聯(lián)模型

例5.4-1

圖5.4-6(a)為RLC串聯(lián)正弦穩(wěn)態(tài)電路，角頻率為ω，求ab端的等效阻抗Z。圖

5.4-6RLC串聯(lián)電路及其相量模型電路

解用相量法分析正弦穩(wěn)態(tài)電路時(shí)，常常需要畫出電路的相量模型。所謂電路的相量模型，就是將時(shí)域模型電路中各元件用它們的相量模型表示，標(biāo)注阻抗值或?qū)Ъ{值，各已知的或未知的電壓、電流均用其相量標(biāo)注，電路結(jié)構(gòu)及各電壓、電流參考方向均與時(shí)域模型電路相同。圖5.4-6(a)的相量模型電路如圖5.4-6(b)所示。由式(5.4-24)得ab端的等效阻抗

(5.4-34)式中，，稱為電抗，它等于相串聯(lián)的感抗與容抗的代數(shù)和。

將阻抗Z寫為指數(shù)形式或極坐標(biāo)形式：

(5.4－35)式中

(5.4-36)

例5.4-2

圖5.4-6電路中，已知R=990Ω,L=100mH,C=10μF。

(1)分別求當(dāng)角頻率ω=102rad/s,103rad/s,104rad/s時(shí)，ab端的等效阻抗Z,并說明各種情況的阻抗性質(zhì)。

(2)若 ，試分別求電壓uR(t)、uL(t)、uC(t)。

解

(1)參見圖5.4-6(a)、(b)，等效阻抗為

當(dāng)ω=102rad/s時(shí)，

此時(shí)阻抗Z呈阻性。

當(dāng)ω=103rad/s時(shí)，

當(dāng)ω=104rad/s時(shí)，

此時(shí)阻抗Z呈阻性。

(2)由給出u(t)的函數(shù)表達(dá)式寫出相量為

當(dāng)ω=100rad/s時(shí)，已經(jīng)求得，由相量形式的歐姆定律求得電流相量為故

由求得的相量直接寫出對應(yīng)的各時(shí)間函數(shù)為

例5.4-3

圖5.4-7(a)為GCL并聯(lián)正弦穩(wěn)態(tài)電路，角頻率為ω，求ab端的等效導(dǎo)納Y。

圖

5.4-7GCL并聯(lián)電路及其相量模型

解

GCL并聯(lián)電路的相量模型如圖5.4-7(b)所示。圖中：

由式(5.4-26)得ab端的等效導(dǎo)納為

(5.4-37)式中， ,稱為電納，它等于相并聯(lián)的容納與感納的代數(shù)和。

將導(dǎo)納Y寫為指數(shù)形式或極坐標(biāo)形式：

(5.4－38)式中

(5.4-39)

例5.4-4

已知圖5.4-8(a)所示正弦穩(wěn)態(tài)電路的角頻率ω=100rad/s,求ab端等效阻抗Z。圖

5.4-8例

5.4-4用圖

解法一對于多個元件并聯(lián)形式的正弦穩(wěn)態(tài)電路，一般應(yīng)用導(dǎo)納計(jì)算比較方便。

畫導(dǎo)納形式的相量模型電路如圖5.4-8(b)所示。由式(5.4-26)得ab端等效導(dǎo)納為

所以

解法二對于多個元件相并聯(lián)的正弦穩(wěn)態(tài)電路，亦可畫出阻抗形式的相量模型，按兩個阻抗并聯(lián)求等效阻抗的方法，

最后求得整個電路的等效阻抗。如本例：

畫相量模型電路如圖5.4-8(c)所示，

按兩個阻抗并聯(lián)公式計(jì)算

所以

該電路在ω=100rad/s時(shí)，可以等效為一個50Ω的電阻與一個200μF的電容相串聯(lián)的形式，也可以等效為一個100Ω的電阻與一個100μF的電容相并聯(lián)的形式。

例5.4-5

RL串聯(lián)電路如圖5.4-9(a)所示，若要求在ω=106rad/s時(shí)，把它等效成R′與L′之并聯(lián)電路，求R′和L′的大小。

解已知串聯(lián)電路形式，要等效為并聯(lián)電路形式，一般先對已知的串聯(lián)電路在一定頻率下求得阻抗Z，再由Y=1/Z求得Y，由Y中的G與B再換算出R′與L′(或C′)。由圖5.4-9(a)得

則導(dǎo)納為

故

解得

圖5.4-9例5.4-5用圖

例5.4-6

圖5.4-10(a)所示正弦穩(wěn)態(tài)電路，已知R1=50Ω,R2=100Ω,C=0.1F,L=1mH,ω=105rad/s，求ab端的等效阻抗Zab。圖

5.4-10例

5.4-6用圖

解設(shè)電感支路的阻抗為Z1,R2與C串聯(lián)支路的阻抗為Z2,即

首先計(jì)算感抗與容抗：

相量模型電路如圖5.4-10(b)所示。由阻抗串、并聯(lián)關(guān)系得

故

5.5正弦穩(wěn)態(tài)電路相量分析法

5.5.1串、并、混聯(lián)電路的分析這里所說的串、并、混聯(lián)電路是指正弦穩(wěn)態(tài)相量模型電路中阻抗(或?qū)Ъ{)的串、并、混聯(lián)電路。在作出電路的相量模型以后，完全可以仿照串、并、混聯(lián)電阻電路的分析方法進(jìn)行。

圖

5.5-1例

5.5-1用圖

例5.5-1

試求圖示正弦穩(wěn)態(tài)電路相量模型電路中的電壓Uab(其中Us=10∠0°V)。

解

設(shè)各電壓參考方向如圖5.5-1中所示。由c、d點(diǎn)向右看的等效阻抗為

..根據(jù)阻抗串聯(lián)分壓關(guān)系，得

所以

例5.5-2

已知圖5.5-2所示正弦穩(wěn)態(tài)電路中，

求電流iab(t)。

圖

5.5-2例

5.5-2用圖

解

畫相量模型電路并設(shè)各電流參考方向如圖5.5-2(b)中所示。

阻抗為

所以

由阻抗并聯(lián)分流關(guān)系，得

由KCL,得

所以

例5.5-3

已知圖5.5-3所示正弦穩(wěn)態(tài)電路中

求電壓源

。

圖

5.5-3例

5.5-3用圖

解

由元件電流、

電壓關(guān)系得

由KCL得

由歐姆定律，得

所以

5.5.2網(wǎng)孔、節(jié)點(diǎn)分析法用于正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析對于具有三個網(wǎng)孔，三個獨(dú)立節(jié)點(diǎn)的正弦穩(wěn)態(tài)相量模型的電路，可以由分析電阻電路的知識，分別推論出正弦穩(wěn)態(tài)電路的網(wǎng)孔方程與節(jié)點(diǎn)方程，

即

(5.5-1)(5.5-2)例

5.5-4

已知圖5.5-4(a)所示正弦穩(wěn)態(tài)電路中,。求電流i(t)。

解

畫相量模型電路如圖5.5-4(b)所示。設(shè)網(wǎng)孔電流IA、IB如圖5.5-4(b)中所標(biāo)。分別求自阻抗、互阻抗、等效電壓源，代入式(5.5-1)中，得網(wǎng)孔方程為..(5.5-3)(5.5-4)解得

由圖(b)可知

故得電流

圖5.5-4例5.5-4用圖例5.5-5

已知圖5.5-5(a)所示正弦穩(wěn)態(tài)電路中,求電壓u(t)。

圖

5.5-5例

5.5-5用圖

解

畫相量模型電路如圖5.5-5(b)所示。觀察圖(b)，套用式(5.5-2)列寫節(jié)點(diǎn)方程為

解得

所以

5.5.3等效電源定理用于正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析圖5.5-6(a)為正弦穩(wěn)態(tài)相量模型二端含源線性網(wǎng)絡(luò)N，類似于電阻電路，可將二端網(wǎng)絡(luò)N等效為戴維寧等效源與諾頓等效源的相量模型形式，如圖5.5-6(b)、(c)所示。下面舉例說明如何應(yīng)用這兩個定理分析正弦穩(wěn)態(tài)電路。

圖

5.5-6等效電源相量模型形式

例5.5-6

圖5.5-7(a)所示為正弦穩(wěn)態(tài)相量模型電路，

求電流。圖

5.5-7例

5.5-6用圖

解

(1)自a、b斷開待求支路，設(shè)開路電壓Uoc如圖5.5-7(b)所示。電流.開路電壓

(2)將圖(b)中各電壓源短路變?yōu)閳D(c)，

則得

(3)畫出戴維寧等效電源，接上待求支路，如圖(d)所示。由KVL，得電流

例5.5-7

已知圖5.5-8(a)所示穩(wěn)態(tài)電路中直流電源Us1=10V，正弦電源 。

求電流i1(t)。

解

本問題是求多個頻率激勵源作用下線性電路的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，應(yīng)用疊加定理，按同一頻率激勵源分組作分解電路，如圖5.5-8(b)、(c)、(d)所示。

圖

5.5-8例

5.5-7用圖

圖(b)電路中，因Us1是直流電源，電感看作短路，電容看作開路，

故得

圖(c)電路中，正弦激勵源的角頻率為1rad/s，作與之對應(yīng)的相量模型電路，如圖(e)所示，

圖中

顯然

則

圖(d)電路中，正弦激勵源is3(t)的角頻率為4rad/s，作與之對應(yīng)的相量模型電路，如圖(f)所示，圖中由圖(f)可知，Uab=0，所以

則

故得圖(a)電路的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為

5.6正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率

5.6.1基本元件的功率和能量

1.電阻元件的功率如圖5.6-1(a)所示電阻元件R，兩端的電壓與通過的電流采用關(guān)聯(lián)參考方向。設(shè)

則由歐姆定律得

上式中Im=Um/R。由于電流和電壓都隨時(shí)間變化，電阻在某一瞬間吸收的功率稱為瞬時(shí)功率，用p(t)表示，即(5.6-1)圖

5.6-1電阻元件的瞬時(shí)功率波形

稱瞬時(shí)功率在一周期內(nèi)的平均值為平均功率,用P表示，即

(5.6-2)將式(5.6-1)的瞬時(shí)功率表達(dá)式代入上式，

即得

(5.6-3)或用有效值表示為

(5.6-4)平均功率也稱為有功功率。通常，人們所說的功率若沒有特殊說明，都是指平均功率。例如，60W燈泡是指燈泡額定消耗的平均功率為60W。

2.電感元件的功率和能量

圖5.6-2(a)所示電感L上的電流與電壓采用關(guān)聯(lián)參考方向。

設(shè)電感電壓為

u(t)=Umcos(ωt+ψu(yù))考慮電感電流滯后于電壓90°,則電流

式中

圖5.6-2

電感元件的瞬時(shí)功率和能量的波形電感L吸收的瞬時(shí)功率為

(5.6-5)它是角頻率為2ω的正弦量。

電感L儲存的磁能為

利用三角公式

上式可改寫為

上式中的第一項(xiàng)是與時(shí)間無關(guān)的常數(shù)項(xiàng)；第二項(xiàng)是角頻率為2ω的余弦量。電感L的平均儲能為

(5.6-7)圖5.6-2(b)中畫出了u(t)、i(t)、p(t)和wL(t)的波形曲線。圖中假設(shè)ψu(yù)=0°。觀察圖5.6-2(b)，可以看出：在(0～T/4)期間：u＞0,i＞0，故p＞0,電感吸收功率。在此期間，電感電流由零逐漸增加到最大值。這表明電感L從外電路或電源吸收能量并儲存在磁場中。當(dāng)t=T/4時(shí)，電感L儲能達(dá)到最大值(5.6-8)在(T/4～T/2)期間：u＜0，i＞0，故p＜0，電感供出功率。在此期間，電流由最大值逐漸下降到零，電感把原儲存的磁能逐漸還給外電路或電源。當(dāng)t=T/2時(shí)，電感L的儲能由上述討論可知：電感不消耗能量，它只是與外電路或電源進(jìn)行能量交換，故平均功率等于零。將式(5.6-5)代入式(5.6-2)，

得

(5.6-9)通常所說電感不消耗功率就是指它吸收的平均功率為零。

3.電容元件的功率與能量圖5.6-3(a)所示電容C上的電流與電壓采用關(guān)聯(lián)參考方向。

設(shè)電容上電壓

考慮電容上電流i超前電壓u的角度為90°，則

式中

電容的瞬時(shí)功率為

(5.6-10)與電感相似，它也是角頻率為2ω的正弦量。電容C儲存的電能量為利用三角公式

所以wC(t)可改寫為

(5.6-11)

電容的平均儲能為

(5.6-12)觀察圖5.6-3(b)，可以看出：在(0～T/4)期間：u>0,i<0,故p<0，電容供出功率。在此期間，電容電壓由最大值逐漸減少到零，電容把儲存的電能供給外電路或電源。當(dāng)t=T/4時(shí)，電容的儲能wC=0。圖

5.6-3電容的瞬時(shí)功率和能量波形

在(T/4～T/2)期間：u<0,i<0,故p>0，電容吸收功率。這時(shí)，電容被反向充電，電容電壓由零逐漸達(dá)到負(fù)的最大值，電容從外電路或電源獲得能量并儲存在電場中。當(dāng)t=T/2時(shí)，電容存儲的能量達(dá)到最大值，即(5.6-13)在(T/2～3T/4)期間，

電容處于放電狀態(tài)，

釋放能量。

由上述討論可知：電容元件也不消耗能量，只是與外電路或電源進(jìn)行能量交換，故平均功率也等于零。將式(5.6-10)代入式(5.6-2)，

得

(5.6-14)通常所說電容不消耗功率也是指它吸收的平均功率為零。

例5.6-1

如圖5.6-4(a)所示正弦穩(wěn)態(tài)電路，已知 ，求電阻R1、R2消耗的平均功率和電感L、電容C的平均儲能。

圖

5.6-4例

5.6-1用圖

解

首先求出XL和XC:畫出電路的相量模型，如圖5.6-4(b)所示。

圖中：

由圖可知：

所以電阻R1、R2消耗的功率分別為

電感的平均儲能為

電容的平均儲能為

5.6.2一端口網(wǎng)絡(luò)的功率圖5.6-5(a)所示為正弦穩(wěn)態(tài)線性一端口網(wǎng)絡(luò)N，設(shè)其端口電流i(t)和端口電壓u(t)參考方向關(guān)聯(lián)。這里討論正弦穩(wěn)態(tài)一端口網(wǎng)絡(luò)N的功率。設(shè)端口電壓端口電流i是相同頻率的正弦量，設(shè)

圖

5.6-5一端口網(wǎng)絡(luò)的瞬時(shí)功率波形

1.N的瞬時(shí)功率

利用三角公式

改寫p(t)的表達(dá)式為

(5.6-15)2.N的平均功率

將式(5.6-15)代入上式，得

不論N內(nèi)是否含獨(dú)立源，均可應(yīng)用上式計(jì)算N的平均功率。

如果二端電路N內(nèi)不含獨(dú)立電源，則可等效為阻抗Z，如圖5.6-6所示。電壓與電流的相位差等于阻抗角，

即

φZ=ψu(yù)-ψi故式(5.6-16)可以改寫為

(5.6-17)上式表明：阻抗的平均功率不僅與電流、電壓的振幅(或有效值)大小有關(guān)，而且與cosφZ有關(guān)。cosφZ稱為功率因數(shù)，通常用λ表示，故阻抗角φZ也稱為功率因數(shù)角。

當(dāng)無源二端電路的等效阻抗為電阻性時(shí)，φZ=0,cosφZ=1,P=UmIm/2=UI。當(dāng)?shù)刃ё杩篂榧冸姼行曰蚣冸娙菪詴r(shí)，φZ=±90°,cosφZ=0,P=0。因此，前面討論的R、L、C元件的功率可以看成是等效阻抗功率的特殊情況。

3.N的視在功率二端電路N端子上電壓、電流振幅乘積之半或電壓、電流有效值乘積定義為二端電路N的視在功率，用符號S表示(也可用PS表示)，

即

(5.6-18)視在功率的單位為伏安(V·A)。任何實(shí)際電路設(shè)備出廠時(shí)，都規(guī)定了額定電壓和額定電流，即電器設(shè)備正常工作時(shí)的電壓和電流，因而所定義的視在功率也是一個額定值。對于電阻性電器設(shè)備，例如燈泡、電烙鐵等，功率因數(shù)等于1，視在功率與平均功率在數(shù)值上相等。因此，額定功率以平均功率的形式給出。如60W燈泡、25W電烙鐵等。但對于發(fā)電機(jī)、變壓器這類電器設(shè)備，它們輸出的功率與負(fù)載的性質(zhì)有關(guān)，它們只能給出額定的視在功率，

而不能給出平均功率的額定值。

4.N的無功功率二端電路N的無功功率Q(也可用PQ表示)定義為

(5.6-19)其單位為乏(var)。

設(shè)二端電路N的端口電壓與電流的相量圖如圖5.6-7所示。電流相量I分解為兩個分量：一個與電壓相量U同相的分量Ix;另一個與U正交的分量Iy。它們的值分別為.....二端電路的有功功率看作是由電流Ix與電壓U產(chǎn)生的，即

..P=UIx=UIcos(ψu(yù)-ψi)無功功率可看作是由電流Iy與電壓U產(chǎn)生的，即

..Q=UIy=UIsin(ψu(yù)-ψi)也就是說，電壓相量U與電流相量I的正交分量Iy的乘積不表示功率的損耗，它僅表示二端電路N與外電路或電源進(jìn)行能量交換變化率的幅度。...圖5.6-7端口電壓與電流的相量圖

當(dāng)二端電路不含獨(dú)立源時(shí)，ψu(yù)-ψi=φZ，式(5.6-19)可改寫為

(5.6-20)

當(dāng)二端電路N是純電阻時(shí)，φZ=0,QR=0；當(dāng)N是純電感時(shí)，φZ=90°，QL=UI;當(dāng)N是純電容時(shí)，φZ=-90°,QC=-UI。負(fù)號表明電容元件能量交換的規(guī)律和性質(zhì)與電感元件能量交換的規(guī)律和性質(zhì)正好相反。

5.N的復(fù)功率

工程上為了計(jì)算方便，常把有功功率作為實(shí)部，無功功率作為虛部，組成復(fù)功率，用S表示，即

～(5.6-21)將式(5.6-16)和(5.6-19)代入上式，

得

(5.6-22)由式(5.6-21)和(5.6-22)，并考慮式(5.6-18)，不難得到

(5.6-23)上式表明了視在功率與有功功率、無功功率間的關(guān)系。若二端電路N不含獨(dú)立源，有ψu(yù)-ψi=φZ,則(5.6-24)由式(5.6-24)，將P、Q和S之間的關(guān)系用圖5.6-8表示。該圖稱為功率三角形。圖5.6-8功率三角形設(shè)二端電路N由m個部分組成，則有

(5.6-25)式中Pk、Qk和Sk分別為第k部分的有功功率、無功功率和復(fù)功率。上式說明二端電路N整體與局部各種功率之間的關(guān)系。

～

例5.6-2

已知圖5.6-9所示電路中，R1=6Ω,R2=16Ω，XL=8Ω，XC=-12Ω，U=20∠0°V。求該電路的平均功率P、無功功率Q、視在功率S和功率因數(shù)λ。

解設(shè)R1與L串聯(lián)支路的阻抗為Z1=R1+jXL=(6+j8)=10∠53.1°ΩR2與C串聯(lián)支路的阻抗為

Z2=R2+jXC=(16-j12)=20∠-36.9°Ω

圖5.6-9例5.6-2用圖由復(fù)數(shù)形式的歐姆定律，

得

由KCL得

由式(5.6-22)得復(fù)功率為

所以

功率因數(shù)角φZ=26.6°，所以功率因數(shù)為

λ=cosφZ=cos26.6°=0.89本問題也可以這樣處理：先分別求出支路1和支路2的平均功率P1、P2和無功功率Q1、Q2，

然后相加求得整個電路的平均功率P和無功功率Q，

即

再由P、Q求得視在功率和功率因數(shù)為

例5.6-3

已知圖5.6-10所示無源二端電路中u(t)=20cos(ωt+45°)V,i(t)=2sin(ωt+75°)A，求網(wǎng)絡(luò)N吸收的平均功率PN及無功功率QN、視在功率SN。

解

因

故

圖5.6-10例5.6-3用圖a、b二端電路吸收的平均功率為

電阻R吸收的平均功率

所以由式(5.6-25)，得

因電阻R上無功功率等于零，由圖可以看出網(wǎng)絡(luò)N的無功功率就等于a、b二端電路的無功功率，即由式(5.6-23)可得網(wǎng)絡(luò)N的視在功率為

本問題亦可這樣求解：

a、b端等效阻抗為

網(wǎng)絡(luò)N的等效阻抗為

ZN=Zab-R=(5+j8.66-1)=(4+j8.66)Ω

網(wǎng)絡(luò)N吸收的平均功率就等于ZN中電阻RN消耗的功率，即

網(wǎng)絡(luò)N的無功功率就等于ZN中電抗XN的無功功率，即

網(wǎng)絡(luò)N的視在功率為

5.6.3功率因數(shù)的提高工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和日常家用電氣設(shè)備絕大多數(shù)為電感性負(fù)載，而且阻抗角較大，致使實(shí)際負(fù)載的功率因數(shù)均較低。例如，異步電動機(jī)的功率因數(shù)為0.6～0.9，工頻感應(yīng)爐的功率因數(shù)為0.1～0.3，日光燈的功率因數(shù)約為0.5等。實(shí)際負(fù)載(電器設(shè)備)的阻抗ZL=RL+jXL一定，阻抗角φL一定，所以它的功率因數(shù)λL=cosφL是一定的，不能改變。若將功率因數(shù)低的實(shí)際負(fù)載接入供電系統(tǒng)(電路)，如圖5.6-11(a)所示。圖中虛線框內(nèi)部分為實(shí)際的負(fù)載(圖中未畫出實(shí)際輸電線損耗),顯然，在這種情況下，供電系統(tǒng)的功率因數(shù)λ就等于實(shí)際負(fù)載的功率因數(shù)λL，也比較低，從而使電源設(shè)備利用不充分，并增加了實(shí)際輸電線路上的電損耗，浪費(fèi)了電能。實(shí)際中，對于功率因數(shù)比較低的電感負(fù)載，在其兩端并聯(lián)一個適當(dāng)?shù)碾娙輥硖岣吖β室驍?shù)，如圖5.6-11(b)所示。在未并聯(lián)電容時(shí)(如圖5.6-11(a)所示)，負(fù)載消耗的功率PL=UILcosφL，輸電線路上的電流。并聯(lián)電容之后(參見圖(b))，輸電線路上的總電流，I與U的相位差角φ＜φL，所以cosφ＞cosφL，即輸電電路的功率因數(shù)提高了。并聯(lián)電容后各電流及電壓的相量圖如圖5.6-11(c)所示。并聯(lián)電容后輸電電路上的總電流I比并聯(lián)電容前輸電電路上的電流IL小。由于電容器不消耗功率，即PC=0，因而并聯(lián)電容后電路的總功率P即是實(shí)際負(fù)載上的功率PL。即滿足．．.P=UIcosφ=UILcosφL=PL

圖

5.6-11負(fù)載接入供電系統(tǒng)

例5.6-4

某輸電線路如圖5.6-12所示。輸電線的損耗電阻R1和等效感抗X1為

R1=X1=6ΩZ2為實(shí)際的感性負(fù)載，已知它消耗功率P2=500kW，Z2兩端的額定電壓有效值U2=5500V，負(fù)載Z2的功率因數(shù)cosφ2=0.91。求輸入電壓的有效值U和輸電線損耗電阻R1上消耗的功率P1。

圖

5.6-12例5.6-4用圖

解

設(shè)負(fù)載兩端電壓U2初相位為零(作為參考相量)，

即

.因P2=U2Icosφ2,故

因?yàn)閏osφ2=0.91,所以

Z2是感性負(fù)載，φ2取正值，得

故

于是

輸電線的等效阻抗為

Z1兩端的電壓為

輸入電壓為

輸電線損耗的功率為

P1=I2R1=1002×6W=60kW或者

輸入電壓的有效值為6295V,輸電線損耗電阻R1消耗的功率為60kW,這是數(shù)值相當(dāng)可觀的浪費(fèi)。由此可見，為了減小損耗，輸電線應(yīng)該采用導(dǎo)電性能良好的金屬制成并減小輸電線上的電流I。對于傳輸功率一定的輸電線路，可以采用升壓傳輸和提高功率因數(shù)、減小輸電線上電流，從而減小輸電線上的損耗，

提高輸電線路的傳輸效率。

例5.6-5

圖5.6-13(a)所示電路為日光燈電路模型簡圖。圖中L為鐵心電感，稱為鎮(zhèn)流器。已知U=220V,f=50Hz,日光燈功率為40W,額定電流為0.4A。試求：

(1)電感L和電感上的電壓UL;

(2)若要使功率因數(shù)提高到0.8,需要在RL支路兩端并聯(lián)的電容C的值。圖

5.6-13例5.6-5用圖

解

(1)求L和UL。根據(jù)已知條件，U=220V,IL=0.4A,故RL支路的阻抗模為功率因數(shù)為

可知

RL支路的阻抗為

Z=|Z|∠φZ=550∠63°=(250+j490)Ω

所以

R=250Ω,

XL=490Ω電感電壓

UL=XLIL=490×0.4=196V

(2)求并聯(lián)電容的電容量C。未并聯(lián)電容C時(shí)，輸電線上的電流與通過RL支路的電流相等，即

并聯(lián)了電容C以后，通過RL支路的電流不變，但輸電線上電流為

設(shè)電壓相量為參考相量，即

前面已算得RL支路的阻抗角φZ=63°，于是得

電流IC超前電壓U的相位角為90°，畫出如圖5.6-13(b)所示的相量圖。圖中φZ′是電路并聯(lián)電容以后的功率因數(shù)角，即則

由圖5.6-13(b)可知，電壓U仍超前電流I，故電路仍為感性，φZ′=36.9°。電路并聯(lián)了電容C以后，消耗功率不變，因此，輸電線電流為從相量圖可求出電流IC。

由圖5.6-13(b)可見,線段

于是有

所以

5.7正弦穩(wěn)態(tài)電路中的功率傳輸

圖5.7-1(a)為一正弦穩(wěn)態(tài)功率傳輸電路。圖中電源Us串聯(lián)內(nèi)阻抗Zs可以認(rèn)為是實(shí)際電源的電壓源模型，也可以認(rèn)為是線性含源二端電路N的戴維寧等效電源，如圖5.7-1(b)所示。圖中ZL此處所用下標(biāo)是實(shí)際用電設(shè)備或器具的等效阻抗。電源的電能輸送給負(fù)載ZL，再轉(zhuǎn)換為熱能、機(jī)械能等供人們生產(chǎn)、生活中使用。圖

5.7-1正弦穩(wěn)態(tài)功率傳輸電路

5.7.1減小損耗和高效傳輸問題

電源的能量(功率)經(jīng)傳輸?shù)竭_(dá)負(fù)載，在傳輸過程中希望能量損耗越小越好。傳輸線上損耗的功率主要是傳輸線路自身的電阻損耗。當(dāng)傳輸導(dǎo)線選定和傳輸距離一定時(shí)，它的電阻Rl就是一定的。因此，根據(jù)Pl=I2Rl關(guān)系可知，要想使傳輸線上的損耗功率Pl小，就必須設(shè)法減小傳輸線上的電流。因?yàn)橐话愕膶?shí)際電源都存在有內(nèi)電阻Rs，所以功率傳輸過程中還有內(nèi)阻的功率損耗，由圖5.7-1(a)(暫不考慮傳輸線電阻的功率損耗)可見，負(fù)載獲得的功率PL將小于電源輸出的功率。定義負(fù)載獲得的功率與電源輸出的功率之比作為電源傳輸功率的傳輸效率η，即

(5.7-1)可見，為了提高傳輸效率，要盡量減小內(nèi)阻Rs。如何提高傳輸效率，是電力工業(yè)中一個極其重要的問題。

5.7.2最大功率傳輸問題

在電源電壓和內(nèi)阻抗一定，或說在線性有源二端電路一定的情況下，端接負(fù)載ZL獲得功率的大小將隨負(fù)載阻抗而變化。在一些弱電系統(tǒng)中，常常要求負(fù)載能從給定的信號電源中獲得盡可能大的功率，而不過分追求盡可能高的效率。如何使負(fù)載從給定的電源中獲得最大的功率，稱為最大功率傳輸問題。設(shè)電源內(nèi)阻抗為

Zs=Rs+jXs(5.7-2)負(fù)載阻抗為

ZL=RL+jXL

(5.7-3)由圖5.7-1(a)可求得電流為

故電流有效值為

所以負(fù)載獲得的功率為

（5.7-4）

1.共軛匹配條件

設(shè)負(fù)載阻抗中的RL、XL均可獨(dú)立改變。由式(5.7-4)可見，若先固定RL,只改變XL,因(Xs+XL)2是分母中非負(fù)值的相加項(xiàng)，顯然Xs+XL=0時(shí)pL達(dá)到最大值，把這種條件下pL的最大值記為pL′，則

(5.7-5)再固定XL=-Xs值，改變RL，使pL′值達(dá)到最大。pL′是以RL為變量的一元函數(shù)。為此，可求出pL′對RL的導(dǎo)數(shù)并令其為零，即

上式分母非零，

所以有

解得

RL=Rs

經(jīng)判定，RL=Rs是pL′的極大值點(diǎn)。至此可歸納：當(dāng)負(fù)載電阻和電抗均可獨(dú)立改變時(shí)，負(fù)載獲得最大功率的條件為

(5.7-6)或?qū)憺?/p>

(5.7-7)式(5.7-6)或(5.7-7)稱為負(fù)載獲最大功率的共軛匹配條件。將該條件代入式(5.7-4)，

得負(fù)載獲得的最大功率為

(5.7-8)

*2.模值匹配條件設(shè)等效電源內(nèi)阻抗 ，負(fù)載阻抗ZL=RL+jXL=|ZL|∠φL。若只改變負(fù)載阻抗的模值|ZL|而不改變阻抗角φL，可以證明，在這種限制條件下，當(dāng)負(fù)載阻抗的模值等于電源內(nèi)阻抗的模值時(shí)，負(fù)載阻抗ZL可以獲得最大功率。即(5.7-9)式(5.7-9)稱為模值匹配條件。

在實(shí)際應(yīng)用中，有時(shí)會遇到電源內(nèi)阻抗是一般的復(fù)阻抗，而負(fù)載是純電阻的情況。這時(shí),若RL可任意改變，則求負(fù)載獲得的最大功率可看作模值匹配的特殊情況，

當(dāng)

(5.7-10)時(shí)，可獲得最大功率，此時(shí)的最大功率為

(5.7-11)

例5.7-1

圖5.7-2(a)所示電路中R和L為電源內(nèi)部損耗電阻和電感。已知R=5Ω,L=50μH,

。

(1)試求負(fù)載電阻RL=5Ω時(shí)，其上所消耗的功率。

(2)若RL可以改變，問RL等于多少時(shí)能獲得最大功率,最大功率等于多少?

(3)若RL可以改變，并在RL兩端并聯(lián)一電容C，問RL和C各等于多少時(shí)，RL能獲得最大功率。求出該最大功率pLmax。

圖5.7-2例5.7-1用圖解

電源內(nèi)阻抗為

電壓源相量

負(fù)載RL消耗的功率為

(2)當(dāng)時(shí)能獲得最大功率，即時(shí)能獲得最大功率(模值匹配)。此時(shí)電路中的電流為

RL消耗的功率為

(3)RL兩端并聯(lián)上電容之后，由RL與C并聯(lián)的阻抗看作負(fù)載阻抗ZL，當(dāng)ZL與電源的內(nèi)阻抗共軛匹配時(shí)，能獲得最大功率。因并聯(lián)的電容吸收的平均功率為零，故ZL獲得的最大功率就是RL獲得的最大功率。由圖可知，負(fù)載導(dǎo)納為(5.7-12)電源內(nèi)導(dǎo)納

則

(5.7-13)由共軛匹配條件，令式(5.7-12)等于式(5.7-13)，

即

比較上式兩端，得

由式(5.7-8)可求得此時(shí)RL獲得的最大功率為

例5.7-2

在圖5.7-3(a)所示電路中，負(fù)載阻抗ZL可任意改變，問ZL等于多少時(shí)可獲得最大功率,求出該最大功率pLmax。

解對于最大功率問題，選用戴維寧定理或諾頓定理求解比較方便。

(1)求開路電壓Uoc。自a、b處斷開ZL,設(shè)開路電壓參考方向如圖5.7-3(b)所示。列寫節(jié)點(diǎn)方程

所以

圖5.7-3例5.7-2用圖

(2)求等效電源內(nèi)阻抗Z0。將圖(b)中獨(dú)立電壓源短路，獨(dú)立電流源開路，變?yōu)閳D(c)。應(yīng)用阻抗串、并聯(lián)等效，求得內(nèi)阻抗為(3)由共軛匹配條件可知

時(shí)，可獲得最大功率。此時(shí)

*5.8三相電路概述5.8.1三相電源