矩形、菱形、正方形的性質(zhì)與判定壓軸題九種模型全攻略（原卷版）

專(zhuān)題06矩形、菱形、正方形的性質(zhì)與判定壓軸題九種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一利用矩形的性質(zhì)求角度】 1【考點(diǎn)二利用矩形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)】 3【考點(diǎn)三矩形的性質(zhì)與判定綜合問(wèn)題】 6【考點(diǎn)四利用菱形的性質(zhì)求角度】 10【考點(diǎn)五利用菱形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)】 11【考點(diǎn)六菱形的性質(zhì)與判定綜合問(wèn)題】 14【考點(diǎn)七利用正方形的性質(zhì)求角度】 18【考點(diǎn)八利用正方形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)】 20【考點(diǎn)九正方形的性質(zhì)與判定綜合問(wèn)題】 23【過(guò)關(guān)檢測(cè)】 31【典型例題】【考點(diǎn)一利用矩形的性質(zhì)求角度】例題：（2023上·陜西寶雞·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在矩形中，交于點(diǎn)O，于點(diǎn)E，∠AOD=125°，則的度數(shù)為【變式訓(xùn)練】1．（2023上·山西運(yùn)城·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在矩形中，平分，則的度數(shù)為．

2．（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考中考真題）矩形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)，點(diǎn)在矩形邊上，連接．若，，則．【考點(diǎn)二利用矩形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)】例題：（2023上·四川成都·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，矩形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，已知，的面積為5，則的長(zhǎng)為．【變式訓(xùn)練】1．（2024上·江西鷹潭·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，矩形中，對(duì)角線，相交于O，E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)．若，求的長(zhǎng)．2．（2023上·陜西榆林·九年級(jí)校考期中）如圖，在矩形中，，，邊上有一點(diǎn)E，連接，，．

(1)求的長(zhǎng)；(2)求的度數(shù)．【考點(diǎn)三矩形的性質(zhì)與判定綜合問(wèn)題】例題：（2023上·遼寧丹東·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，四邊形是平行四邊形，點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線上，且，，，相交于點(diǎn)O，連接．(1)求證：四邊形是矩形；(2)若，，求的長(zhǎng)．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·陜西咸陽(yáng)·九年級(jí)咸陽(yáng)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，的對(duì)角線相交于點(diǎn)，且．(1)求證：四邊形是矩形；(2)點(diǎn)在上，連接，若，求的面積．2．（2023上·廣東深圳·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在中，，是的平分線，是外角的平分線，，垂足為點(diǎn)E．(1)求證：四邊形為矩形；(2)若，求的長(zhǎng)．【考點(diǎn)四利用菱形的性質(zhì)求角度】例題：（2023上·福建三明·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是菱形的對(duì)角線，若，則的度數(shù)為．【變式訓(xùn)練】1．（2024上·遼寧丹東·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，菱形中，交于點(diǎn)，于點(diǎn)，連接，若，則．2．（2022下·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)?？计谥校┰诹庑沃校瑢?duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)P是上一點(diǎn)，連接，若，，則°．【考點(diǎn)五利用菱形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)】例題：（2024上·四川成都·九年級(jí)四川省成都市玉林中學(xué)?？计谀┤鐖D，四邊形是菱形，連接，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，若，，則的長(zhǎng)度為．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·河南南陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如下圖，在菱形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)．若菱形的周長(zhǎng)為20，則的長(zhǎng)為．2．（2023上·江西吉安·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在邊長(zhǎng)為的菱形中，，連接，P為圖中任意線段上一點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)為．【考點(diǎn)六菱形的性質(zhì)與判定綜合問(wèn)題】例題：（2024上·貴州貴陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知在平行四邊形中，平分交于點(diǎn)E，點(diǎn)F在上，，連接交于點(diǎn)O，連接．

(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，，求的長(zhǎng)．【變式訓(xùn)練】1．（2022上·黑龍江齊齊哈爾·九年級(jí)統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）如圖，在四邊形中，，，對(duì)角線，交于點(diǎn)，平分，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，，求的長(zhǎng)；(3)在（2）的條件下，已知點(diǎn)M是線段上一點(diǎn)，且，則的長(zhǎng)為_(kāi)______．2．（2023下·江蘇·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，四邊形為矩形，為中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線分別交、于點(diǎn)、，連接、．

(1)求證：四邊形是菱形．(2)若，，求的長(zhǎng)．【考點(diǎn)七利用正方形的性質(zhì)求角度】例題：（2024上·陜西寶雞·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，正方形的對(duì)角線，交于點(diǎn)O，P為邊上一點(diǎn)，且，則的度數(shù)為．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·四川成都·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在正方形的外側(cè)，作等邊，則的度數(shù)是．2．（2023上·陜西渭南·九年級(jí)校考期末）如圖，在正方形中，連接為邊上一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，若，則的度數(shù)為．【考點(diǎn)八利用正方形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)】例題：（2023下·廣東廣州·八年級(jí)廣州市第八十九中學(xué)校考期中）如圖，正方形的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)O，，則．【變式訓(xùn)練】1．（2024上·山西太原·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在正方形中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，的垂直平分線分別交，邊于點(diǎn)，，垂足為點(diǎn)．若，則的長(zhǎng)為．2．（2023上·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在正方形中，邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在正方形的一邊上，且，連接，則的長(zhǎng)為．【考點(diǎn)九正方形的性質(zhì)與判定綜合問(wèn)題】例題：（2023上·山西呂梁·九年級(jí)統(tǒng)考期末）綜合與實(shí)踐【問(wèn)題情境】如圖1，正方形中，點(diǎn)E為其內(nèi)一點(diǎn)，以點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)，以為斜邊構(gòu)造直角三角形，使得，將繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到△（點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C），延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，連接．【解決問(wèn)題】請(qǐng)根據(jù)圖1完成下列問(wèn)題：（1）若，則∠=度；（2）試判斷四邊形的形狀，并給予證明；【拓展探究】（3）如圖2，若，請(qǐng)寫(xiě)出線段與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【變式訓(xùn)練】1．（2024上·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，正方形的邊長(zhǎng)為5，點(diǎn)E為正方形邊上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)P，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，延長(zhǎng)BP交于點(diǎn)F，連接．(1)判斷四邊形的的形狀，并說(shuō)明理由；(2)若，求的長(zhǎng)度；(3)在（2）的條件下，求．2．（2023上·山東·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）在正方形中，點(diǎn)為射線上一點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作交射線于點(diǎn)，以為鄰邊作矩形，連接．(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)．求證：矩形是正方形；求證：；(2)如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，正方形的邊長(zhǎng)為，，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．（2024上·廣東清遠(yuǎn)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）菱形的面積為，一條對(duì)角線長(zhǎng)是，那么菱形的另一條對(duì)角線長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．2．（2024上·廣東佛山·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在正方形對(duì)角線上取點(diǎn)，使得，連接，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．3．（2023上·陜西榆林·九年級(jí)校考期末）如圖，菱形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)O，E，F(xiàn)分別是，邊上的中點(diǎn)，連接．若，，則菱形的面積為（

）．A． B． C． D．4．（2024上·貴州貴陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，矩形中，對(duì)角線、相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，已知，的面積為，則的長(zhǎng)為()A．5 B．6 C．7 D．5．（2023上·山東·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，E、F是對(duì)角線上的兩點(diǎn)（不與點(diǎn)A、C重合），且，分別連接，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．四邊形是平行四邊形B．若四邊形是菱形，那么四邊形也是菱形C．若四邊形是正方形，那么四邊形是菱形D．若四邊形是矩形，那么四邊形也是矩形二、填空題6．（2023上·河南周口·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，平行四邊形的對(duì)角線與交于點(diǎn)O，請(qǐng)你添加一個(gè)條件使它是矩形，你添加的條件是．7．（2023·廣東東莞·三模）如圖，正方形的兩條對(duì)角線，相交于點(diǎn)，點(diǎn)在上，且．則的度數(shù)為．8．（2024上·內(nèi)蒙古包頭·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在菱形中，交于點(diǎn)O，于點(diǎn)E，連接，若，則的度數(shù)是．

9．（2023上·浙江寧波·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）己知在中，，則．如圖，在菱形中，，則菱形較長(zhǎng)對(duì)角線的長(zhǎng)為．

10．（2023上·山東臨沂·九年級(jí)沂水縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀┤鐖D，矩形紙片．如果點(diǎn)P在邊上，將紙片沿折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，連接當(dāng)是直角三角形時(shí)，那么的長(zhǎng)為．三、解答題11．（2023上·新疆喀什·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在菱形中，對(duì)角線，交延長(zhǎng)線于E，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．(1)求證：四邊形是矩形；(2)連接，若，，求線段的長(zhǎng)．12．（2024上·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，中，點(diǎn)是邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作直線．設(shè)交的平分線于點(diǎn)，交的外角平分線于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，，求的長(zhǎng)；(3)當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形是矩形？并說(shuō)明理由．13．（2023上·河南駐馬店·九年級(jí)駐馬店市第二初級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖在中，點(diǎn)D、E分別是邊的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)G；(1)求證：四邊形是平行四邊形(2)若．①當(dāng)______時(shí)，四邊形是矩形②若四邊形是菱形，則______14．（2023上·山東棗莊·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，是邊上的一點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的平行線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，且，連接．(1)求證：；(2)當(dāng)滿(mǎn)足什么條件時(shí)四邊形為矩形?證明你的結(jié)論；(3)若為直角三角形，且時(shí)，判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由．15．（2023上·山東·九年級(jí)