甘肅省玉門市一中2025屆高三第二次調(diào)研數(shù)學(xué)試卷含解析

甘肅省玉門市一中2025屆高三第二次調(diào)研數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，離心率為，、分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上運(yùn)動(dòng)，若為銳角三角形，則的取值范圍是（）A． B． C． D．2．的展開(kāi)式中的系數(shù)是（）A．160 B．240 C．280 D．3203．已知一個(gè)三棱錐的三視圖如圖所示，其中三視圖的長(zhǎng)、寬、高分別為，，，且，則此三棱錐外接球表面積的最小值為（）A． B． C． D．4．在中，，，，則邊上的高為（）A． B．2 C． D．5．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，則的值是()A． B． C． D．6．有一圓柱狀有蓋鐵皮桶（鐵皮厚度忽略不計(jì)），底面直徑為cm，高度為cm，現(xiàn)往里面裝直徑為cm的球，在能蓋住蓋子的情況下，最多能裝（）（附：）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)7．設(shè)點(diǎn)，P為曲線上動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)A，P間距離的最小值為，則實(shí)數(shù)t的值為（）A． B． C． D．8．函數(shù)在上單調(diào)遞減的充要條件是（）A． B． C． D．9．已知x，y滿足不等式，且目標(biāo)函數(shù)z＝9x+6y最大值的變化范圍[20，22]，則t的取值范圍（）A．[2，4] B．[4，6] C．[5，8] D．[6，7]10．關(guān)于函數(shù)有下述四個(gè)結(jié)論：（）①是偶函數(shù)；②在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)；③在上的最大值為2；④在區(qū)間上有4個(gè)零點(diǎn).其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（）A．①②④ B．①③ C．①④ D．②④11．直角坐標(biāo)系中，雙曲線（）與拋物線相交于、兩點(diǎn)，若△是等邊三角形，則該雙曲線的離心率（）A． B． C． D．12．已知偶函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，，，，則，，滿足（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．由于受到網(wǎng)絡(luò)電商的沖擊，某品牌的洗衣機(jī)在線下的銷售受到影響，承受了一定的經(jīng)濟(jì)損失，現(xiàn)將地區(qū)200家實(shí)體店該品牌洗衣機(jī)的月經(jīng)濟(jì)損失統(tǒng)計(jì)如圖所示，估算月經(jīng)濟(jì)損失的平均數(shù)為，中位數(shù)為n，則_________.14．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到一個(gè)偶函數(shù)圖象，則________．15．設(shè)，若函數(shù)有大于零的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____16．連續(xù)2次拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子（六個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6的正方體），觀察向上的點(diǎn)數(shù)，則事件“點(diǎn)數(shù)之積是3的倍數(shù)”的概率為_(kāi)___．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）聯(lián)合國(guó)糧農(nóng)組織對(duì)某地區(qū)最近10年的糧食需求量部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：年份20102012201420162018需求量（萬(wàn)噸）236246257276286（1）由所給數(shù)據(jù)可知，年需求量與年份之間具有線性相關(guān)關(guān)系，我們以“年份—2014”為橫坐標(biāo)，“需求量”為縱坐標(biāo)，請(qǐng)完成如下數(shù)據(jù)處理表格：年份—20140需求量—2570（2）根據(jù)回歸直線方程分析，2020年聯(lián)合國(guó)糧農(nóng)組織計(jì)劃向該地區(qū)投放糧食300萬(wàn)噸，問(wèn)是否能夠滿足該地區(qū)的糧食需求？參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：，.18．（12分）甲、乙、丙三名射擊運(yùn)動(dòng)員射中目標(biāo)的概率分別為，三人各射擊一次，擊中目標(biāo)的次數(shù)記為.（1）求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（2）在概率(=0，1，2，3)中,若的值最大,求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．（12分）在本題中，我們把具體如下性質(zhì)的函數(shù)叫做區(qū)間上的閉函數(shù)：①的定義域和值域都是；②在上是增函數(shù)或者減函數(shù).（1）若在區(qū)間上是閉函數(shù)，求常數(shù)的值；（2）找出所有形如的函數(shù)（都是常數(shù)），使其在區(qū)間上是閉函數(shù).20．（12分）已知函數(shù).（1）討論函數(shù)單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，求證：.21．（12分）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足.（1）求B；（2）若，AD為BC邊上的中線，當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時(shí)，求AD的長(zhǎng).22．（10分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期以及單調(diào)遞增區(qū)間；（2）已知，若，，，求的面積.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

由已知先確定出雙曲線方程為，再分別找到為直角三角形的兩種情況，最后再結(jié)合即可解決.【詳解】由已知可得，，所以，從而雙曲線方程為，不妨設(shè)點(diǎn)在雙曲線右支上運(yùn)動(dòng)，則，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，所以，，所以；當(dāng)軸時(shí)，，所以，又為銳角三角形，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的性質(zhì)及其應(yīng)用，本題的關(guān)鍵是找到為銳角三角形的臨界情況，即為直角三角形，是一道中檔題.2、C【解析】

首先把看作為一個(gè)整體，進(jìn)而利用二項(xiàng)展開(kāi)式求得的系數(shù)，再求的展開(kāi)式中的系數(shù)，二者相乘即可求解.【詳解】由二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式可得的第項(xiàng)為，令，則，又的第為，令，則，所以的系數(shù)是.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)展開(kāi)式指定項(xiàng)的系數(shù)，掌握二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】

根據(jù)三視圖得到幾何體為一三棱錐，并以該三棱錐構(gòu)造長(zhǎng)方體，于是得到三棱錐的外接球即為長(zhǎng)方體的外接球，進(jìn)而得到外接球的半徑，求得外接球的面積后可求出最小值．【詳解】由已知條件及三視圖得，此三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)位于長(zhǎng)方體的四個(gè)頂點(diǎn)，即為三棱錐，且長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為，∴此三棱錐的外接球即為長(zhǎng)方體的外接球，且球半徑為，∴三棱錐外接球表面積為，∴當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，三棱錐外接球的表面積取得最小值為．故選B．【點(diǎn)睛】（1）解決關(guān)于外接球的問(wèn)題的關(guān)鍵是抓住外接的特點(diǎn)，即球心到多面體的頂點(diǎn)的距離都等于球的半徑，同時(shí)要作一圓面起襯托作用．（2）長(zhǎng)方體的外接球的直徑即為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線，對(duì)于一些比較特殊的三棱錐，在研究其外接球的問(wèn)題時(shí)可考慮通過(guò)構(gòu)造長(zhǎng)方體，通過(guò)長(zhǎng)方體的外球球來(lái)研究三棱錐的外接球的問(wèn)題．4、C【解析】

結(jié)合正弦定理、三角形的內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式，求得邊長(zhǎng)，由此求得邊上的高.【詳解】過(guò)作，交的延長(zhǎng)線于.由于，所以為鈍角，且，所以.在三角形中，由正弦定理得，即，所以.在中有，即邊上的高為.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查正弦定理解三角形，考查三角形的內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式，屬于中檔題.5、C【解析】

利用先求出，然后計(jì)算出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，,,故當(dāng)時(shí)，,數(shù)列是等比數(shù)列,則，故,解得,故選.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列前項(xiàng)和的表達(dá)形式，只要求出數(shù)列中的項(xiàng)即可得到結(jié)果，較為基礎(chǔ).6、C【解析】

計(jì)算球心連線形成的正四面體相對(duì)棱的距離為cm，得到最上層球面上的點(diǎn)距離桶底最遠(yuǎn)為cm，得到不等式，計(jì)算得到答案.【詳解】由題意，若要裝更多的球，需要讓球和鐵皮桶側(cè)面相切，且相鄰四個(gè)球兩兩相切，這樣，相鄰的四個(gè)球的球心連線構(gòu)成棱長(zhǎng)為cm的正面體，易求正四面體相對(duì)棱的距離為cm，每裝兩個(gè)球稱為“一層”，這樣裝層球，則最上層球面上的點(diǎn)距離桶底最遠(yuǎn)為cm，若想要蓋上蓋子，則需要滿足，解得，所以最多可以裝層球，即最多可以裝個(gè)球．故選：【點(diǎn)睛】本題考查了圓柱和球的綜合問(wèn)題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力.7、C【解析】

設(shè)，求，作為的函數(shù)，其最小值是6，利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)求的最小值．【詳解】設(shè)，則，記，，易知是增函數(shù)，且的值域是，∴的唯一解，且時(shí)，，時(shí)，，即，由題意，而，，∴，解得，．∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查用導(dǎo)數(shù)求最值．解題時(shí)對(duì)和的關(guān)系的處理是解題關(guān)鍵．8、C【解析】

先求導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)在上單調(diào)遞減則恒成立，對(duì)導(dǎo)函數(shù)不等式換元成二次函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)和圖象，列不等式組求解可得.【詳解】依題意，，令，則，故在上恒成立；結(jié)合圖象可知，，解得故.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間.求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的兩種方法:(1)代換法：就是將比較復(fù)雜的三角函數(shù)含自變量的代數(shù)式整體當(dāng)作一個(gè)角(或)，利用基本三角函數(shù)的單調(diào)性列不等式求解；(2)圖象法：畫(huà)出三角函數(shù)的正、余弦曲線，結(jié)合圖象求它的單調(diào)區(qū)間.9、B【解析】

作出可行域，對(duì)t進(jìn)行分類討論分析目標(biāo)函數(shù)的最大值，即可求解.【詳解】畫(huà)出不等式組所表示的可行域如圖△AOB當(dāng)t≤2時(shí)，可行域即為如圖中的△OAM，此時(shí)目標(biāo)函數(shù)z＝9x+6y在A（2，0）取得最大值Z＝18不符合題意t＞2時(shí)可知目標(biāo)函數(shù)Z＝9x+6y在的交點(diǎn)（）處取得最大值，此時(shí)Z＝t+16由題意可得，20≤t+16≤22解可得4≤t≤6故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查線性規(guī)劃，根據(jù)可行域結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的最大值的取值范圍求參數(shù)的取值范圍，涉及分類討論思想，關(guān)鍵在于熟練掌握截距型目標(biāo)函數(shù)的最大值最優(yōu)解的處理辦法.10、C【解析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、最值和零點(diǎn)對(duì)四個(gè)結(jié)論逐一分析，由此得出正確結(jié)論的編號(hào).【詳解】的定義域?yàn)?由于，所以為偶函數(shù)，故①正確.由于，，所以在區(qū)間上不是單調(diào)遞增函數(shù)，所以②錯(cuò)誤.當(dāng)時(shí)，，且存在，使.所以當(dāng)時(shí)，；由于為偶函數(shù)，所以時(shí)，所以的最大值為，所以③錯(cuò)誤.依題意，，當(dāng)時(shí)，，所以令，解得，令，解得.所以在區(qū)間，有兩個(gè)零點(diǎn).由于為偶函數(shù)，所以在區(qū)間有兩個(gè)零點(diǎn).故在區(qū)間上有4個(gè)零點(diǎn).所以④正確.綜上所述，正確的結(jié)論序號(hào)為①④.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、最值和零點(diǎn)，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.11、D【解析】

根據(jù)題干得到點(diǎn)A坐標(biāo)為，代入拋物線得到坐標(biāo)為，再將點(diǎn)代入雙曲線得到離心率.【詳解】因?yàn)槿切蜲AB是等邊三角形，設(shè)直線OA為，設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為，代入拋物線得到x=2b,故點(diǎn)A的坐標(biāo)為，代入雙曲線得到故答案為：D.【點(diǎn)睛】求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見(jiàn)有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范圍).12、D【解析】

首先由函數(shù)為偶函數(shù)，可得函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，再由，即可判定大小【詳解】因?yàn)榕己瘮?shù)在減，所以在上增，，，，∴.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性,不同類型的數(shù)比較大小,應(yīng)找一個(gè)中間數(shù),通過(guò)它實(shí)現(xiàn)大小關(guān)系的傳遞，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、360【解析】

先計(jì)算第一塊小矩形的面積，第二塊小矩形的面積，，面積和超過(guò)0.5，所以中位數(shù)在第二塊求解，然后再求得平均數(shù)作差即可.【詳解】第一塊小矩形的面積，第二塊小矩形的面積，故；而，故.故答案為：360.【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖、樣本的數(shù)字特征，考查運(yùn)算求解能力以及數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

根據(jù)平移后關(guān)于軸對(duì)稱可知關(guān)于對(duì)稱，進(jìn)而利用特殊值構(gòu)造方程，從而求得結(jié)果.【詳解】向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到偶函數(shù)圖象，即關(guān)于軸對(duì)稱關(guān)于對(duì)稱即：本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)三角函數(shù)的對(duì)稱軸求解參數(shù)值的問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠通過(guò)平移后的對(duì)稱軸得到原函數(shù)的對(duì)稱軸，進(jìn)而利用特殊值的方式來(lái)進(jìn)行求解.15、【解析】

先求導(dǎo)數(shù)，求解導(dǎo)數(shù)為零的根，結(jié)合根的分布求解.【詳解】因?yàn)椋?，令得，因?yàn)楹瘮?shù)有大于0的極值點(diǎn)，所以，即.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點(diǎn)問(wèn)題，極值點(diǎn)為導(dǎo)數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)，側(cè)重考查轉(zhuǎn)化化歸思想.16、【解析】總事件數(shù)為，目標(biāo)事件：當(dāng)?shù)谝活w骰子為1,2,4,6，具體事件有，共8種；當(dāng)?shù)谝活w骰子為3,6，則第二顆骰子隨便都可以，則有種；所以目標(biāo)事件共20中，所以。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）見(jiàn)解析；（2）能夠滿足.【解析】

（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，結(jié)合以“年份—2014”為橫坐標(biāo)，“需求量”為縱坐標(biāo)的要求即可完成表格；（2）根據(jù)表中及所給公式可求得線性回歸方程，由線性回歸方程預(yù)測(cè)2020年的糧食需求量，即可作出判斷.【詳解】（1）由所給數(shù)據(jù)和已知條件，對(duì)數(shù)據(jù)處理表格如下：年份—2014024需求量—25701929（2）由題意可知，變量與之間具有線性相關(guān)關(guān)系，由（1）中表格可得，，，，.由上述計(jì)算結(jié)果可知，所求回歸直線方程為，利用回歸直線方程，可預(yù)測(cè)2020年的糧食需求量為：（萬(wàn)噸），因?yàn)?，故能夠滿足該地區(qū)的糧食需求.【點(diǎn)睛】本題考查了線性回歸直線的求法及預(yù)測(cè)應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.18、（1），ξ的分布列為ξ

0

1

2

3

P

(1－a)2

(1－a2)

(2a－a2)

（2）【解析】(1)P(ξ)是“ξ個(gè)人命中，3－ξ個(gè)人未命中”的概率．其中ξ的可能取值為0、1、2、3.P(ξ＝0)＝(1－a)2＝(1－a)2；P(ξ＝1)＝·(1－a)2＋a(1－a)＝(1－a2)；P(ξ＝2)＝·a(1－a)＋a2＝(2a－a2)；P(ξ＝3)＝·a2＝.所以ξ的分布列為ξ

0

1

2

3

P

(1－a)2

(1－a2)

(2a－a2)

ξ的數(shù)學(xué)期望為E(ξ)＝0×(1－a)2＋1×(1－a2)＋2×(2a－a2)＋3×＝.(2)P(ξ＝1)－P(ξ＝0)＝[(1－a2)－(1－a)2]＝a(1－a)；P(ξ＝1)－P(ξ＝2)＝[(1－a2)－(2a－a2)]＝；P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝[(1－a2)－a2]＝.由和0＜a＜1，得0＜a≤，即a的取值范圍是.19、（1）；（2）.【解析】

（1）依據(jù)新定義，的定義域和值域都是，且在上單調(diào)，建立方程求解；（2）依據(jù)新定義，討論的單調(diào)性，列出方程求解即可。【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性知，在區(qū)間上是增函數(shù)，即有，解得；同理，當(dāng)時(shí)，有，解得，綜上，。（2）若在上是閉函數(shù)，則在上是單調(diào)函數(shù)，①當(dāng)在上是單調(diào)增函數(shù)，則，解得，檢驗(yàn)符合；②當(dāng)在上是單調(diào)減函數(shù)，則，解得，在上不是單調(diào)函數(shù)，不符合題意。故滿足在區(qū)間上是閉函數(shù)只有。【點(diǎn)睛】本題主要考查學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，利用所學(xué)知識(shí)分析解決新定義問(wèn)題。20、（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析【解析】

（1）根據(jù)的導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行分類討論單調(diào)性（2）欲證，只需證，構(gòu)造函數(shù)，證明，這時(shí)需研究的單調(diào)性，求其最大值即可【詳解】解：（1）的定義域?yàn)?，，①?dāng)時(shí)，由得，由，得，所以在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；②當(dāng)時(shí)，由得，由，得，或，所以在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；③當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增