熱點(diǎn)07 相似三角形（7大題型+滿分技巧+限時(shí)分層檢測(cè)）（解析版）

熱點(diǎn)07相似三角形中考數(shù)學(xué)中《相似三角形》部分主要考向分為三類：一、黃金分割及平行線分線段成比例（每年1道，3分）二、相似三角形的判定與性質(zhì)（每年1~2道，3~12分）三、相似三角形的應(yīng)用（每年1~2題，3~14分）相似三角形在中考數(shù)學(xué)中的地位永遠(yuǎn)都是無法撼動(dòng)的第一，不管是對(duì)相似三角形性質(zhì)、判定、亦或是應(yīng)用的考察，都有出題類型多變，出題形式隨意的特點(diǎn)，并且，因?yàn)槠涓叨鹊娜诤闲?，不管是在選擇題、填空題、解答題的壓軸題中，都可以作為壓軸題的問題背景出現(xiàn)，也是解決壓軸題問題不可或缺的方法途徑。基于以上特征，相似三角的考察難度可以從中等跨越到較難，屬于中考數(shù)學(xué)中較為重要的壓軸考點(diǎn)?？枷蛞唬浩叫芯€分線段成比例【題型1比例與比例線段】滿分技巧1、比例的性質(zhì)：；2、比例中項(xiàng)：，此時(shí)，c為a、b的比例中項(xiàng)；3、比例線段：在四條線段中，如果的比等于的比，那么這四條線段叫做成比例線段簡(jiǎn)稱比例線段；1．（2023?金昌）若＝，則ab＝（）A．6 B． C．1 D．【分析】直接利用比例的性質(zhì)，內(nèi)項(xiàng)之積等于外項(xiàng)之積即可得出答案．【解答】解：∵＝，∴ab＝6．故選：A．2．（2023?麗水）小慧同學(xué)在學(xué)習(xí)了九年級(jí)上冊(cè)“4.1比例線段”3節(jié)課后，發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)內(nèi)容是一個(gè)逐步特殊化的過程，請(qǐng)?jiān)跈M線上填寫適當(dāng)?shù)臄?shù)值，感受這種特殊化的學(xué)習(xí)過程．【分析】由＝2，得到a＝2c，因此＝，得到b＝c，故＝＝，＝＝，所以＝＝．【解答】解：當(dāng)＝2時(shí)，＝＝，理由如下：∵＝2，∴a＝2c，∴＝，∴b＝c，∴＝＝，＝＝，∴＝＝．故答案為：2．3．（2023?甘孜州）若，則＝1．【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)解答即可．【解答】解：∵，∴＝﹣1＝2﹣1＝1．故答案為：1．【題型2黃金分割】滿分技巧黃金分割：把線段分成兩條線段，且使是的比例中項(xiàng)，叫做把線段黃金分割，點(diǎn)叫做線段的黃金分割點(diǎn)，其中≈0.618．1．（2023?廣東）我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾為普及優(yōu)選法作出重要貢獻(xiàn)．優(yōu)選法中有一種0.618法應(yīng)用了（）A．黃金分割數(shù) B．平均數(shù) C．眾數(shù) D．中位數(shù)【分析】根據(jù)黃金分割的定義，即可解答．【解答】解：我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾為普及優(yōu)選法作出重要貢獻(xiàn)．優(yōu)選法中有一種0.618法應(yīng)用了黃金分割數(shù)，故選：A．2．（2023?濟(jì)南）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，以點(diǎn)C為圓心，以BC為半徑作弧交AC于點(diǎn)D，再分別以B，D為圓心，以大于BD的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)P，作射線CP交AB于點(diǎn)E，連接DE．以下結(jié)論不正確的是（）A．∠BCE＝36° B．BC＝AE C． D．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理可得∠ABC＝∠ACB＝72°，再根據(jù)題意可得：CP平分∠ACB，從而可得∠BCE＝∠ACE＝36°，然后利用等量代換可得∠A＝∠ACE＝36°，從而可得AE＝CE，再利用三角形的外角性質(zhì)可得∠B＝∠CEB＝72°，從而可得CB＝CE，進(jìn)而可得AE＝CE＝CB，最后根據(jù)黃金三角形的定義可得＝，從而可得＝，再利用三角形的面積可得＝＝，從而進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝＝72°，由題意得：CP平分∠ACB，∴∠BCE＝∠ACE＝∠ACB＝36°，∴∠A＝∠ACE＝36°，∴AE＝CE，∵∠CEB＝∠A+∠ACE＝72°，∴∠B＝∠CEB＝72°，∴CB＝CE，∴AE＝CE＝CB，∵△BCE是頂角為36°的等腰三角形，∴△BCE是黃金三角形，∴＝，∴＝，∴＝＝，∴＝＝，故A、B、D不符合題意，C符合題意；故選：C．3．（2023?達(dá)州）如圖，樂器上的一根弦AB＝80cm，兩個(gè)端點(diǎn)A，B固定在樂器面板上，支撐點(diǎn)C是靠近點(diǎn)B的黃金分割點(diǎn)，支撐點(diǎn)D是靠近點(diǎn)A的黃金分割點(diǎn)，則支撐點(diǎn)C，D之間的距離為（80﹣160）cm．（結(jié)果保留根號(hào)）【分析】根據(jù)黃金分割的定義，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：∵點(diǎn)C是靠近點(diǎn)B的黃金分割點(diǎn)，AB＝80cm，∴AC＝AB＝×80＝（40﹣40）cm，∵點(diǎn)D是靠近點(diǎn)A的黃金分割點(diǎn)，AB＝80cm，∴DB＝AB＝×80＝（40﹣40）cm，∴CD＝AC+BD﹣AB＝2（40﹣40）﹣80＝（80﹣160）cm，∴支撐點(diǎn)C，D之間的距離為（80﹣160）cm，故答案為：（80﹣160）．【題型3平分線分線段成比例】滿分技巧如圖：AB∥CD∥EF1．（2023?常州）小明按照以下步驟畫線段AB的三等分點(diǎn)：畫法圖形（1）以A為端點(diǎn)畫一條射線；（2）用圓規(guī)在射線上依次截取3條等長線段AC、CD、DE，連接BE；（3）過點(diǎn)C、D分別畫BE的平行線，交線段AB于點(diǎn)M、N．M、N就是線段AB的三等分點(diǎn)．這一畫圖過程體現(xiàn)的數(shù)學(xué)依據(jù)是（）A．兩直線平行，同位角相等 B．兩條平行線之間的距離處處相等 C．垂直于同一條直線的兩條直線平行 D．兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理解答即可．【解答】解：∵CM∥DN∥BE，∴AC：CD：DE＝AM：MN：NB，∵AC＝CD＝DE，∴AM＝MN＝NB，∴這一畫圖過程體現(xiàn)的數(shù)學(xué)依據(jù)是兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，故選：D．2．（2023?吉林）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，過點(diǎn)D作DE∥BC，交AC于點(diǎn)E．若AD＝2，BD＝3，則的值是（）A． B． C． D．【分析】由DE∥BC，利用平行線分線段成比例，可得出＝，再代入AD＝2，BD＝3，AB＝AD+BD，即可求出結(jié)論．【解答】解：∵DE∥BC，∴＝＝＝＝．故選：A．3．（2023?北京）如圖，直線AD，BC交于點(diǎn)O，AB∥EF∥CD，若AO＝2，OF＝1，F(xiàn)D＝2，則的值為．【分析】根據(jù)題意求出AF，再根據(jù)平行線分線段成比例定理計(jì)算即可．【解答】解：∵AO＝2，OF＝1，∴AF＝AO+OF＝2+1＝3，∵AB∥EF∥CD，∴＝＝，故答案為：．考向二：相似三角形的判定與性質(zhì)【題型4相似三角形的性質(zhì)】滿分技巧相似三角形的性質(zhì)有：對(duì)應(yīng)邊成比例、對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊上的“三線”之比=相似比、對(duì)應(yīng)面積之比=相似比的平方、對(duì)應(yīng)周長之比=相似比。另外，相似三角形之前還有有關(guān)平行線分線段成比例的基本性質(zhì)的考察。1．（2023?重慶）如圖，已知△ABC∽△EDC，AC：EC＝2：3，若AB的長度為6，則DE的長度為（）A．4 B．9 C．12 D．13.5【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出方程即可求解．【解答】解：∵△ABC∽△EDC，AC：EC＝2：3．∴，∴當(dāng)AB＝6時(shí)，DE＝9．故選：B．2．（2023?重慶）若兩個(gè)相似三角形周長的比為1：4，則這兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)邊的比是（）A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)：相似三角形周長的比等于相似比，求解即可．【解答】解：∵兩個(gè)相似三角形周長的比為1：4，∴這兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)邊的比為1：4，故選：B．3．（2023?無錫）如圖，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝3，點(diǎn)D在BC上，BE⊥AD交AC于點(diǎn)E，ED的延長線與AB的延長線相交于點(diǎn)F，且△ABC∽△FBD，則BD＝．【分析】利用△ABC∽△FBD得BD＝3BF，ED＝EC，EA＝EF，設(shè)ED＝EC＝m，利用等腰計(jì)算得ED＝，AE＝，再利用雙勾股得（）2﹣（）2＝（）2﹣（）2，再計(jì)算即可．【解答】解：∵AB＝1，BC＝3，∴AC＝＝，∵△ABC∽△FBD，∴∠C＝∠BDF，∠BAC＝∠F，，∴BD＝3BF，設(shè)BF＝x，則BD＝3x，∴DF＝＝x，由∠C＝∠BDFEDC得ED＝EC，由∠BAC＝∠F得EA＝EF，設(shè)ED＝EC＝m，∵AC＝AE+EC＝EF+EC，∴＝x+2m，∴m＝，即ED＝，∴AE＝，∵∠BAD＝∠BAD，∠AOB＝∠ABD＝90°，∴△ABO～△ADB，∴AB2＝AO×AD，∴AO＝，同理DO＝，∵AE2﹣AO2＝EO2＝ED2﹣DO2，∴（）2﹣（）2＝（）2﹣（）2，∴9x2+10x﹣1＝0，∴x＝（負(fù)值舍去），∴BD＝3x＝．故答案為：．【題型5相似三角形的判定】滿分技巧重點(diǎn)記“AA”與“SAS”類型，小題勿忘“SSS”類型；相似三角形的判定方法中，最常用的是有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，其次是對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形相似。三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似不長出現(xiàn)，但是個(gè)別小題，特別是和網(wǎng)格結(jié)合的問題小題中，也是有出現(xiàn)幾率的。1．（2023?大慶）在綜合與實(shí)踐課上，老師組織同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)．有一張矩形紙片ABCD如圖所示，點(diǎn)N在邊AD上，現(xiàn)將矩形折疊，折痕為BN，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的點(diǎn)記為點(diǎn)M，若點(diǎn)M恰好落在邊DC上，則圖中與△NDM一定相似的三角形是△MCB．【分析】利用矩形的性質(zhì)得到∠D＝∠C＝90°，然后利用折疊的性質(zhì)推導(dǎo)出∠BMN＝∠A＝90°，進(jìn)而得到∠DNM＝∠CMB，由此推斷出△NDM∽△MCB．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝∠C＝90°，∴∠DNM+∠DMN＝90°，由折疊的性質(zhì)可知，∠BMN＝∠A＝90°，∴∠DMN+∠CMB＝90°，∴∠DNM＝∠CMB，∴△NDM∽△MCB，故答案為：△MCB．2．（2023?徐州）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝2，D為AB的中點(diǎn)．若點(diǎn)E在邊AC上，且，則AE的長為（）A．1 B．2 C．1或 D．1或2【分析】由直角三角形的性質(zhì)可求AC＝2BC＝4，AB＝2，∠C＝60°，分兩種情況討論，由三角形中位線定理和相似三角形的性質(zhì)可求解．【解答】解：在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝2，∴AC＝2BC＝4，AB＝2，∠C＝60°，∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，∴AD＝，∵，∴DE＝1，如圖，當(dāng)∠ADE＝90°時(shí)，∵∠ADE＝∠ABC，，∴△ADE∽△ABC，∴，∴AE＝2，如圖，當(dāng)∠ADE≠90°時(shí)，取AC的中點(diǎn)H，連接DH，∵點(diǎn)D是AB中點(diǎn)，點(diǎn)H是AC的中點(diǎn)，∴DH∥BC，DH＝BC＝1，∴∠AHD＝∠C＝60°，DH＝DE＝1，∴∠DEH＝60°，∴∠ADE＝∠A＝30°，∴AE＝DE＝1，故選：D．3．（2023?哈爾濱）如圖，AC，BD相交于點(diǎn)O，AB∥DC，M是AB的中點(diǎn)，MN∥AC，交BD于點(diǎn)N，若DO：OB＝1：2，AC＝12，則MN的長為（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】由AB∥DC易得△CDO∽△ABO，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得＝，于是AC＝OA+OC＝OA+OA＝12，求出OA＝8，易得MN為△AOB的中位線，則MN＝OA．【解答】解：∵AB∥DC，∴△CDO∽△ABO，∴，∵DO：OB＝1：2，∴＝，∴OC＝OA，∵AC＝OA+OC＝12，∴OA+OA＝12，∴OA＝8，∵M(jìn)N∥AC，M是AB的中點(diǎn)，∴MN為△AOB的中位線，∴MN＝OA＝＝4．故選：B．4．（2023?無錫）如圖，平行四邊形ABCD中，E、F分別為BC、CD的中點(diǎn)，AF與DE相交于點(diǎn)G，則DG：EG＝2：3．【分析】延長AF、BC交于點(diǎn)H，由平行四邊形的性質(zhì)及E、F分別為BC、CD的中點(diǎn)，得CB∥AD，BE＝CE，CF＝DF，則CB＝AD＝2CE，再證明△HCF∽△ADF，得＝＝1，則HC＝AD＝CB＝2CE，所以HE＝3CE，再證明△ADG∽△HEG，得＝＝，于是得到問題的答案．【解答】解：延長AF、BC交于點(diǎn)H，∵四邊形ABCD是平行四邊形，E、F分別為BC、CD的中點(diǎn)，∴CB∥AD，BE＝CE，CF＝DF，∴CB＝AD＝2CE，∵HC∥AD，∴△HCF∽△ADF，∴＝＝1，∴HC＝AD＝CB＝2CE，∴HE＝HC+CE＝2CE+CE＝3CE，∵AD∥HE，∴△ADG∽△HEG，∴＝＝＝，∴DG：EG＝2：3，故答案為：2：3．4．（2023?杭州）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＜90°，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊AB，BC，CA上，連接DE，EF，F(xiàn)D，已知點(diǎn)B和點(diǎn)F關(guān)于直線DE對(duì)稱．設(shè)＝k，若AD＝DF，則＝（結(jié)果用含k的代數(shù)式表示）．【分析】方法一：先根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)和已知條件證明DE∥AC，再證△BDE∽△BAC，推出EC＝k?AB，通過證明△ABC∽△ECF，推出CF＝k2?AB，即可求出的值．方法二：證明AD＝DF＝BD，可得BF⊥AC，設(shè)AB＝AC＝1，BC＝k，CF＝x，則AF＝1﹣x，利用勾股定理列方程求出x的值，進(jìn)而可以解決問題．【解答】解：方法一：∵點(diǎn)B和點(diǎn)F關(guān)于直線DE對(duì)稱，∴DB＝DF，∵AD＝DF，∴AD＝DB，∵AD＝DF，∴∠A＝∠DFA，∵點(diǎn)B和點(diǎn)F關(guān)于直線DE對(duì)稱，∴∠BDE＝∠FDE，∵∠BDE+∠FDE＝∠BDF＝∠A+∠DFA，∴∠FDE＝∠DFA，∴DE∥AC，∴∠C＝∠DEB，∠DEF＝∠EFC，∵點(diǎn)B和點(diǎn)F關(guān)于直線DE對(duì)稱，∴∠DEB＝∠DEF，∴∠C＝∠EFC，∵AB＝AC，∴∠C＝∠B，∵∠ACB＝∠EFC，∴△ABC∽△ECF，∴＝，∵DE∥AC，∴∠BDE＝∠A，∠BED＝∠C，∴△BDE∽△BAC，∴＝＝，∴EC＝BC，∵＝k，∴BC＝k?AB，∴EC＝k?AB，∴＝，∴CF＝k2?AB，∴＝＝＝＝．方法二：如圖，連接BF，∵點(diǎn)B和點(diǎn)F關(guān)于直線DE對(duì)稱，∴DB＝DF，∵AD＝DF，∴AD＝DB＝DF，∴BF⊥AC，設(shè)AB＝AC＝1，則BC＝k，設(shè)CF＝x，則AF＝1﹣x，由勾股定理得，AB2﹣AF2＝BC2﹣CF2，∴12﹣（1﹣x）2＝k2﹣x2，∴x＝，∴AF＝1﹣x＝，∴＝．故答案為：．5．（2023?牡丹江）如圖，在正方形ABCD中，E在邊CD上，BE交對(duì)角線AC于點(diǎn)F，CM⊥BE于M，∠CME的平分線所在直線分別交CD，AC于點(diǎn)N，P，連接FN．下列結(jié)論：①S△NPF：S△NPC＝FM：MC；②CM＝PN；③EN?CD＝EC?CF；④若EM＝1，MB＝4，則PM＝．其中正確的是①④．【分析】記N到PC的距離為h，可得＝＝，證明△PMF∽△PCN，有，∠PFM＝∠PNC，，同理△NCM∽△NPC，有，故，從而判斷①正確；證明M，F(xiàn)，C，N四點(diǎn)共圓，得∠FNC＝∠FMC＝90°，可得△EFN∽△EBC，，判斷③不正確；證明△CME∽△BMC，得CM2＝BM?EM＝4，CM＝2，（負(fù)根舍去），，BC＝＝2＝AB，同理可得：△CEF∽△ABF，有＝＝，故EF＝BE＝，BF＝，F(xiàn)M＝BM﹣BF＝4﹣＝，由△PMF∽△BCF，有，而△EFN∽△EBC，可得EN＝EC＝，CN＝EC﹣EN＝，CF＝CN＝，可得PM＝，判斷④正確；根據(jù)△EMN∽△ECF，可得＝，MN＝，PN＝PM+MN＝+＝，判斷②不正確．【解答】解：記N到PC的距離為h，∴＝＝，∵CM⊥BE，四邊形ABCD是正方形，∴∠CME＝90°，∠PCN＝45°，∵M(jìn)N平分∠CME，∴∠CMN＝∠EMN＝∠PMF＝45°＝∠PCN，∵∠MPF＝∠NPC，∴△PMF∽△PCN，∴，∠PFM＝∠PNC，∴，同理可得：△NCM∽△NPC，∴，∴，∴＝，∴＝，故①正確；∵∠PMF＝45°＝∠PCE，∴∠PCE+∠FMN＝180°，∴M，F(xiàn)，C，N四點(diǎn)共圓，∴∠FNC＝∠FMC＝90°，∴FN∥BC，∴△EFN∽△EBC，∴，∴EN?CD＝EC?FN，故③不正確；∵EM＝1，BM＝4，∴BE＝5，∵正方形ABCD，CM⊥BE，∴∠BCD＝∠BMC＝∠EMC＝90°，∴∠MEC+∠MCE＝90°＝∠MCE+∠BCM，∴∠MEC＝∠BCM，∴△CME∽△BMC，∴，即CM2＝BM?EM＝4，∴CM＝2，（負(fù)根舍去），∴，BC＝＝2＝AB，同理可得：△CEF∽△ABF，∴＝＝，∴EF＝BF，∴EF＝BE＝，BF＝，∴FM＝BM﹣BF＝4﹣＝，∵∠PMF＝∠ACB＝45°，∠PFM＝∠BFC，∴△PMF∽△BCF，∴，∵△EFN∽△EBC，∴，∴EN＝EC＝，∴CN＝EC﹣EN＝，∴CF＝CN＝，∴＝，∴PM＝，故④正確；同理可得：△EMN∽△ECF，∴，即＝，∴MN＝，∴PN＝PM+MN＝+＝，而CM＝2，∴CM≠PN，故②不正確；綜上所述：正確的有①④，故答案為：①④．6．（2023?湘潭）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜邊BC上的高．（1）證明：△ABD∽△CBA；（2）若AB＝6，BC＝10，求BD的長．【分析】（1）根據(jù)已知條件得出∠BDA＝∠BAC，又∠B為公共角，于是得出△ABD∽△CBA；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出BD的長．【解答】（1）證明：∵AD是斜邊BC上的高，∴∠BDA＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BDA＝∠BAC，又∵∠B為公共角，∴△ABD∽△CBA；（2）解：由（1）知△ABD∽△CBA，∴，∴，∴BD＝3.6．考向三：相似三角形的應(yīng)用【題型6相似三角形的應(yīng)用】滿分技巧相似三角形在實(shí)際生活中的應(yīng)用：建模思想：建立相似三角形的模型（二）常見題目類型：1.利用投影、平行線、標(biāo)桿等構(gòu)造相似三角形求解2.測(cè)量底部可以到達(dá)的物體的高度3.測(cè)量底部不可以到達(dá)的物體的高度4.測(cè)量河的寬度1．（2023?南充）如圖，數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，為測(cè)量學(xué)校旗桿高度，小菲同學(xué)在腳下水平放置一平面鏡，然后向后退（保持腳、鏡和旗桿底端在同一直線上），直到她剛好在鏡子中看到旗桿的頂端．已知小菲的眼睛離地面高度為1.6m，同時(shí)量得小菲與鏡子的水平距離為2m，鏡子與旗桿的水平距離為10m，則旗桿高度為（）A．6.4m B．8m C．9.6m D．12.5m【分析】根據(jù)鏡面反射的性質(zhì)，△ABC∽△EDC，再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求解即可．【解答】解：如圖：∵AB⊥BD，DE⊥BD，∴∠ABC＝∠EDC＝90°，∵∠ACB＝∠DCE，∴△ABC∽△EDC，∴，即，∴DE＝8（m），故選：B．2．（2023?湖州）某數(shù)學(xué)興趣小組測(cè)量校園內(nèi)一棵樹的高度，采用以下方法：如圖，把支架（EF）放在離樹（AB）適當(dāng)距離的水平地面上的點(diǎn)F處，再把鏡子水平放在支架（EF）上的點(diǎn)E處，然后沿著直線BF后退至點(diǎn)D處，這時(shí)恰好在鏡子里看到樹的頂端A，再用皮尺分別測(cè)量BF，DF，EF，觀測(cè)者目高（CD）的長，利用測(cè)得的數(shù)據(jù)可以求出這棵樹的高度．已知CD⊥BD于點(diǎn)D，EF⊥BD于點(diǎn)F，AB⊥BD于點(diǎn)B，BF＝6米，DF＝2米，EF＝0.5米，CD＝1.7米，則這棵樹的高度（AB的長）是4.1米．【分析】過點(diǎn)E作水平線交AB于點(diǎn)G，交CD于點(diǎn)H，根據(jù)鏡面反射的性質(zhì)求出△CHE∽△AGE，再根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例解答即可．【解答】解：過點(diǎn)E作水平線交AB于點(diǎn)G，交CD于點(diǎn)H，如圖，∵DB是水平線，CD，EF，AB都是鉛垂線，∴DH＝EF＝GB＝0.5米，EH＝DF＝2米，EG＝FB＝6米，∴CH＝CD﹣DH＝1.7﹣0.5＝1.2（米），又根據(jù)題意，得∠CHE＝∠AGE＝90°，∠CEH＝∠AEG，∴△CHE∽△AGE，∴，即，解得：AG＝3.6米，∴AB＝AG+GB＝3.6+0.5＝4.1（米）．故答案為：4.1．3．（2023?濰坊）在《數(shù)書九章》（宋?秦九韶）中記載了一個(gè)測(cè)量塔高的問題：如圖所示，AB表示塔的高度，CD表示竹竿頂端到地面的高度，EF表示人眼到地面的高度，AB、CD、EF在同一平面內(nèi)，點(diǎn)A、C、E在一條水平直線上．已知AC＝20米，CE＝10米，CD＝7米，EF＝1.4米，人從點(diǎn)F遠(yuǎn)眺塔頂B，視線恰好經(jīng)過竹竿的頂端D，可求出塔的高度．根據(jù)以上信息，塔的高度為18.2米．【分析】過點(diǎn)F作FG⊥CD，垂足為G，延長FG交AB于點(diǎn)H，根據(jù)題意可得：FH⊥AB，AH＝CG＝EF＝1.4米，AC＝GH＝20米，CE＝FG＝10米，從而可得∠DGF＝∠BHF＝90°，DG＝5.6米，然后證明A字模型相似三角形△FDG∽△FBH，從而利用相似三角形的性質(zhì)求出BH的長，最后利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】解：過點(diǎn)F作FG⊥CD，垂足為G，延長FG交AB于點(diǎn)H，由題意得：FH⊥AB，AH＝CG＝EF＝1.4米，AC＝GH＝20米，CE＝FG＝10米，∴∠DGF＝∠BHF＝90°，∵CD＝7米，∴DG＝CD﹣CG＝7﹣1.4＝5.6（米），∵∠DFG＝∠BFH，∴△FDG∽△FBH，∴＝，∴＝，∴BH＝16.8，∴AB＝BH+AH＝16.8+1.4＝18.2（米），∴塔的高度為18.2米，故答案為：18.2．4．（2023?攀枝花）拜寺口雙塔，分為東西兩塔，位于寧夏回族自治區(qū)銀川市賀蘭縣拜寺口內(nèi)，是保存最為完整的西夏佛塔，已有近1000年歷史，是中國佛塔建筑史上不可多得的藝術(shù)珍品．某數(shù)學(xué)興趣小組決定采用我國古代數(shù)學(xué)家趙爽利用影子對(duì)物體進(jìn)行測(cè)量的原理，來測(cè)量東塔的高度．東塔的高度為AB，選取與塔底B在同一水平地面上的E、G兩點(diǎn)，分別垂直地面豎立兩根高為1.5m的標(biāo)桿EF和GH，兩標(biāo)桿間隔EG為46m，并且東塔AB、標(biāo)桿EF和GH在同一豎直平面內(nèi)．從標(biāo)桿EF后退2m到D處（即ED＝2m），從D處觀察A點(diǎn)，A、F、D在一直線上；從標(biāo)桿GH后退4m到C處（即CG＝4m），從C處觀察A點(diǎn)，A、H、C三點(diǎn)也在一直線上，且B、E、D、G、C在同一直線上，請(qǐng)你根據(jù)以上測(cè)量數(shù)據(jù)，幫助興趣小組求出東塔AB的高度．【分析】設(shè)BD＝xm，則BC＝（x+48）m，通過證明△ABD∽△EFD，得到，即，同理得到，則可建立方程，解方程即可得到答案．【解答】解：設(shè)BD＝xm，則BC＝BD+DG+CG＝x+46﹣2+4＝（x+48）m，∵AB⊥BC，EF⊥BC，∴AB∥EF，∴△ABD∽△FED，∴，即，同理可證△ABC∽△HGC，∴，即，∴，解得x＝48，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝48是原方程的解，∴＝，∴AB＝36m，∴該古建筑AB的高度為36m．5．（2023?南京）如圖，玻璃桌面與地面平行，桌面上有一盞臺(tái)燈和一支鉛筆，點(diǎn)光源O與鉛筆AB所確定的平面垂直于桌面．在燈光照射下，AB在地面上形成的影子為CD（不計(jì)折射），AB∥CD．（1）在桌面上沿著AB方向平移鉛筆，試說明CD的長度不變．（2）桌面上一點(diǎn)P恰在點(diǎn)O的正下方，且OP＝36cm，PA＝18cm，AB＝18cm，桌面的高度為60cm．在點(diǎn)O與AB所確定的平面內(nèi)，將AB繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使得CD的長度最大．①畫出此時(shí)AB所在位置的示意圖；②CD的長度的最大值為80cm．【分析】（1）設(shè)AB平移到EF，EF在地面上形成的影子為MN．利用平行相似即可；（2）①以A為圓心，AB長為半徑畫圓，當(dāng)OQ與⊙A相切于H時(shí)，此時(shí)CD最大為CQ．②先證明△GHA～△GPO，再利用勾股定理求出AG＝30，由，即可求出CD的長度的最大值．【解答】解：（1）設(shè)AB平移到EF，EF在地面上形成的影子為MN．∵AB∥CD，∴△OAB～△OCD，△OEF～△OMN，△OEB～△OMD，∴，，，∴，∵EF＝AB，∴MN＝CD，∴沿著AB方向平移時(shí)，CD長度不變．（2）①以A為圓心，AB長為半徑畫圓，當(dāng)OQ與⊙A相切于H時(shí)，此時(shí)CD最大為CQ．此時(shí)AB所在位置為AH．②∵∠HGA＝∠PGO，∠AHG＝∠OPG＝90°，∴△GHA～△GPO，∴，∴設(shè)GA＝x，則GO＝2x，在Rt△OPG中，OP2+PG2＝OG2，∴362+（18+x）2＝（2x）2，∴x2﹣12x﹣540＝0，∴x1＝30，x2＝﹣18（舍去），∴AG＝30，由①，∴，∴CQ＝80，即CD的長度的最大值為80cm．【題型7位似變換】滿分技巧位似圖形滿足的條件：①所有經(jīng)過對(duì)應(yīng)點(diǎn)的直線都相交于同一點(diǎn)（該點(diǎn)叫做位似中心）；②這個(gè)交點(diǎn)到兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之比都相等（這個(gè)比值叫做位似比）1．（2023?浙江）如圖，在直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A（1，2），B（2，1），C（3，2），現(xiàn)以原點(diǎn)O為位似中心，在第一象限內(nèi)作與△ABC的位似比為2的位似圖形△A′B′C′，則頂點(diǎn)C′的坐標(biāo)是（）A．（2，4） B．（4，2） C．（6，4） D．（5，4）【分析】根據(jù)位似變換的性質(zhì)解答即可．【解答】解：∵△ABC與△A′B′C′位似，△A′B′C′與△ABC的相似比為2：1，∴△ABC與△A′B′C′位似比為1：2，∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，2），∴點(diǎn)C′的坐標(biāo)為（3×2，2×2），即（6，4），故選：C．2．（2023?遂寧）在方格圖中，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形叫做格點(diǎn)三角形．在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，格點(diǎn)△ABC、△DEF成位似關(guān)系，則位似中心的坐標(biāo)為（）A．（﹣1，0） B．（0，0） C．（0，1） D．（1，0）【分析】根據(jù)位似中心的定義作答．【解答】解：如圖：△ABC與△DEF的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于點(diǎn)（﹣1，0），則位似中心的坐標(biāo)為（﹣1，0）．故選：A．3．（2023?朝陽）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（2，2），B（4，1），以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為2，把△OAB放大，則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)是（）A．（1，1） B．（4，4）或（8，2） C．（4，4） D．（4，4）或（﹣4，﹣4）【分析】根據(jù)位似變換的性質(zhì)計(jì)算，得到答案．【解答】解：∵以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為2，把△OAB放大，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，2），∴點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（2×2，2×2）或（2×（﹣2），2×（﹣2）），即（4，4）或（﹣4，﹣4），故選：D．4．（2023?阜新）如圖，△ABC和△DEF是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，相似比為2：3，則△ABC和△DEF的面積比是4：9．【分析】先利用位似的性質(zhì)得到△ABC∽△DEF，相似比為2：3，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解決問題．【解答】解：∵△ABC與△DEF是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，位似比為2：3，∴△ABC∽△DEF，相似比為2：3，∴△ABC與△DEF的面積之比為22：32＝4：9．故答案為：4：9．（建議用時(shí)：40分鐘）1．（2023?雅安）如圖，在?ABCD中，F(xiàn)是AD上一點(diǎn)，CF交BD于點(diǎn)E，CF的延長線交BA的延長線于點(diǎn)G，EF＝1，EC＝3，則GF的長為（）A．4 B．6 C．8 D．10【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC，于是推出△DEF∽△BEC，△DFC∽△AFG，先求出DF與BC的比值，繼而得出DF與AF的比值，再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可求出GF的長．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC，∵AD∥BC，∴△DEF∽△BEC，∴，∵EF＝1，EC＝3，∴，即，∴，∵AB∥CD，∴△DFC∽△AFG，∴，∵EF＝1，EC＝3，∴CF＝4，∴，∴GF＝8，故選：C．2．（2023?東營）如圖，△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D，E分別在邊BC，AB上，∠ADE＝60°．若BD＝4DC，DE＝2.4，則AD的長為（）A．1.8 B．2.4 C．3 D．3.2【分析】先證∠CAD＝∠BDE，再根據(jù)∠B＝∠C＝60°，得出△ADC∽△DEB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出AD的長．【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，∴BC＝AC，∠B＝∠C＝60°，∴∠CAD+∠ADC＝120°，∵∠ADE＝60°．∴∠BDE+∠ADC＝120°，∴∠CAD＝∠BDE，∴△ADC∽△DEB，∴，∵BD＝4DC，∴設(shè)DC＝x，則BD＝4x，∴BC＝AC＝5x，∴，∴AD＝3，故選：C．3．（2023?綿陽）黃金分割由于其美學(xué)性質(zhì)，受到攝影愛好者和藝術(shù)家的喜愛，攝影中有一種拍攝手法叫黃金構(gòu)圖法．其原理是：如圖，將正方形ABCD的底邊BC取中點(diǎn)E，以E為圓心，線段DE為半徑作圓，其與底邊BC的延長線交于點(diǎn)F，這樣就把正方形ABCD延伸為矩形ABFG，稱其為黃金矩形．若CF＝4a，則AB＝（）A．（﹣1）a B．（﹣2）a C．（+1）a D．（+2）a【分析】設(shè)AB＝x，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB＝BC＝x，然后根據(jù)黃金矩形的定義可得＝，從而可得＝，最后進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：設(shè)AB＝x，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝x，∵矩形ABFG是黃金矩形，∴＝，∴＝，解得：x＝（2+2）a，經(jīng)檢驗(yàn)：x＝（2+2）a是原方程的根，∴AB＝（2+2）a，故選：D．4．（2023?煙臺(tái)）如圖，在直角坐標(biāo)系中，每個(gè)網(wǎng)格小正方形的邊長均為1個(gè)單位長度，以點(diǎn)P為位似中心作正方形PA1A2A3，正方形PA4A5A6，…，按此規(guī)律作下去，所作正方形的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，其中正方形PA1A2A3的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為P（﹣3，0），A1（﹣2，1），A2（﹣1，0），A3（﹣2，﹣1），則頂點(diǎn)A100的坐標(biāo)為（）A．（31，34） B．（31，﹣34） C．（32，35） D．（32，0）【分析】根據(jù)位似變換的概念、點(diǎn)的坐標(biāo)的變化情況找出點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)的變化規(guī)律，根據(jù)規(guī)律解答即可．【解答】解：由題意可知：點(diǎn)A1（﹣2，1），點(diǎn)A4（﹣1，2），點(diǎn)A7（0，3），∵1＝3×0+1，4＝3×1+1，7＝3×2+1，……，100＝3×33+1，﹣2＝0﹣2，﹣1＝1﹣2，0＝2﹣2，1＝0+1，2＝1+1，3＝2+1，∴頂點(diǎn)A100的坐標(biāo)為（33﹣2，33+1），即（31，34），故選：A．5．（2023?內(nèi)江）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E為邊AB的三等分點(diǎn)，點(diǎn)F、G在邊BC上，AC∥DG∥EF，點(diǎn)H為AF與DG的交點(diǎn)．若AC＝12，則DH的長為（）A．1 B． C．2 D．3【分析】首先根據(jù)點(diǎn)D、E為邊AB的三等分點(diǎn)得AB＝3BE，AE＝2AD，再根據(jù)EF∥AC得△BEF和△BAC相似，從而可求出EF＝4，然后根據(jù)DG∥EF得△ADH和△AEF相似，進(jìn)而可求出DH的長．【解答】解：∵點(diǎn)D、E為邊AB的三等分點(diǎn)，∴AD＝DE＝EB，∴AB＝3BE，AE＝2AD，∵EF∥AC，∴△BEF∽△BAC，∴EF：AC＝BE：AB，∵AC＝12，AB＝3BE，∴EF：12＝BE：3BE，∴EF＝4，∵DG∥EF，∴△ADH∽△AEF，∴DH：EF＝AD：AE，∵EF＝4，AE＝2AD，∴DH：4＝AD：2AD，∴DH＝2．故選：C．6．（2023?恩施州）如圖，在△ABC中，DE∥BC分別交AC，AB于點(diǎn)D，E，EF∥AC交BC于點(diǎn)F，，BF＝8，則DE的長為（）A． B． C．2 D．3【分析】由DE∥BC，EF∥AC，得四邊形EFCD是平行四邊形，DE＝CF，設(shè)DE＝CF＝x，由△AED∽△ABC，＝可得＝，即可解得答案．【解答】解：∵DE∥BC，EF∥AC，∴四邊形EFCD是平行四邊形，∴DE＝CF，設(shè)DE＝CF＝x，∵BF＝8，∴BC＝BF+CF＝8+x，∵DE∥BC，∴△AED∽△ABC，∴＝，∵＝，∴＝，∴＝，即＝，解得x＝，故選：A．7．（2023?威海）如圖，四邊形ABCD是一張矩形紙片．將其按如圖所示的方式折疊：使DA邊落在DC邊上，點(diǎn)A落在點(diǎn)H處，折痕為DE；使CB邊落在CD邊上，點(diǎn)B落在點(diǎn)G處，折痕為CF．若矩形HEFG與原矩形ABCD相似，AD＝1，則CD的長為（）A．﹣1 B．﹣1 C．+1 D．+1【分析】設(shè)HG＝x，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得∠A＝∠ADH＝90°，AD＝BC＝1，再根據(jù)折疊的性質(zhì)可得：∠A＝∠AHE＝90°，AD＝DH＝1，BC＝CG＝1，從而可得四邊形ADHE是正方形，然后利用正方形的性質(zhì)可得AD＝HE＝1，最后利用相似多邊形的性質(zhì)，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：設(shè)HG＝x，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADH＝90°，AD＝BC＝1，由折疊得：∠A＝∠AHE＝90°，AD＝DH＝1，BC＝CG＝1，∴四邊形ADHE是矩形，∵AD＝DH，∴四邊形ADHE是正方形，∴AD＝HE＝1，∵矩形HEFG與原矩形ABCD相似，∴＝，∴＝，解得：x＝﹣1或x＝﹣﹣1，經(jīng)檢驗(yàn)：x＝﹣1或x＝﹣﹣1都是原方程的根，∵GH＞0，∴GH＝﹣1，∴DC＝2+x＝+1，故選：C．8．（2023?南京）如圖，不等臂蹺蹺板AB的一端A碰到地面時(shí)，另一端B到地面的高度為60cm；當(dāng)AB的一端B碰到地面時(shí)，另一端A到地面的高度為90cm，則蹺蹺板AB的支撐點(diǎn)O到地面的高度OH是（）A．36cm B．40cm C．42cm D．45cm【分析】過點(diǎn)B作BC⊥AH，垂足為C，再證明A字模型相似△AOH∽△ABC，從而可得＝，過點(diǎn)A作AD⊥BH，垂足為D，然后證明A字模型相似△ABD∽△OBH，從而可得＝，最后進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：如圖：過點(diǎn)B作BC⊥AH，垂足為C，∵OH⊥AC，BC⊥AC，∴∠AHO＝∠ACB＝90°，∵∠BAC＝∠OAH，∴△AOH∽△ABC，∴＝，∴＝，如圖：過點(diǎn)A作AD⊥BH，垂足為D，∵OH⊥BD，AD⊥BD，∴∠OHB＝∠ADB＝90°，∵∠ABD＝∠OBH，∴△ABD∽△OBH，∴＝，∴＝，∴+＝+，∴+＝，∴+＝1，解得：OH＝36，∴蹺蹺板AB的支撐點(diǎn)O到地面的高度OH是36cm，故選：A．9．（2023?紹興）如圖，在△ABC中，D是邊BC上的點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合）．過點(diǎn)D作DE∥AB交AC于點(diǎn)E；過點(diǎn)D作DF∥AC交AB于點(diǎn)F，N是線段BF上的點(diǎn)，BN＝2NF，M是線段DE上的點(diǎn)，DM＝2ME．若已知△CMN的面積，則一定能求出（）A．△AFE的面積 B．△BDF的面積 C．△BCN的面積 D．△DCE的面積【分析】如圖所示，連接ND，證明△FBD∽△EDC，得出＝，由已知得出，則，又∠NFD＝∠MEC，則△NFD∽△MEC，進(jìn)而得出∠MCD＝∠NDB，可得MC∥ND，結(jié)合題意得出，即可求解．【解答】解：如圖所示，連接ND，∵DE∥AB，DF∥AC，∴∠ECD＝∠FDB，∠FBD＝∠EDC，∠BFD＝∠A，∠A＝DEC．∴△FBD∽△EDC，∠NFD＝∠MEC．∴＝，∵DM＝2ME，BN＝2NF，∴，ME＝DE，∴∴，又∵∠NFD＝∠MEC，∴△NFD∽△MEC．∴∠ECM＝∠FDN．∵∠FDB＝∠ECD，∴∠MCD＝∠NDB．∴MC∥ND．∴S△MNC＝S△MDC．∵DM＝2ME，∴．故選：D．10．（2023?泰安）如圖，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠A＝36°．以點(diǎn)B為圓心，任意長為半徑作弧，交AB于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)G，分別以點(diǎn)F和點(diǎn)G為圓心，大于FG的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)H，作射線BH交AC于點(diǎn)D；分別以點(diǎn)B和點(diǎn)D為圓心，大于BD的長為半徑作弧，兩弧相交于M、N兩點(diǎn)，作直線MN交AB于點(diǎn)E，連接DE．下列四個(gè)結(jié)論：①∠AED＝∠ABC；②BC＝AE；③ED＝BC；④當(dāng)AC＝2時(shí)，AD＝﹣1．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)角平分線的定義，等腰三角形的判定和性質(zhì)，可得到△BCD也是含有36°角的等腰三角形，進(jìn)而得出AD＝BD＝BC，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和等腰三角形的判定，進(jìn)一步得出AE＝AD＝BD＝BC，對(duì)①作出判斷；在根據(jù)平行線的判定方法可得出DE∥BC，對(duì)①作出判斷；由AE≠BE，可得DE不是△ABC的中位線，對(duì)③作出判斷，最后再根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)，得出△BCD∽△ABC，進(jìn)而求出BC，即AD即可對(duì)④作出判斷．【解答】解：由題意可知，BD是∠ABC的平分線，MN是線段BD的中垂線，∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝＝72°，∵BD是∠ABC的平分線，∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝36°＝∠A，∴AD＝BD，在△BCD中，∠C＝72°，∠CBD＝36°，∴∠BDC＝180°﹣36°﹣72°＝72°＝∠C，∴BD＝BC，∴AD＝BD＝BC，∵M(jìn)N是BD的中垂線，∴EB＝ED，∴∠BDE＝∠ABD＝36°＝∠CBD，∴DE∥BC，∴∠AED＝∠ABC，因此①正確，∴AE＝AD＝BD＝BC，因此②正確；由于DE不是△ABC的中位線，因此③不正確；∵∠CBD＝∠BAC＝36°，∠BCD＝∠ACB＝72°，∴△BCD∽△ABC，∴＝，即BC2＝AC?CD，設(shè)BC＝x，則CD＝2﹣x，∴x2＝2×（2﹣x），解得x＝﹣1﹣（舍去）或x＝﹣1，即BC＝﹣1＝AD，因此④正確，綜上所述，正確的結(jié)論有①②④，共有3個(gè)，故選：C．11．（2023?南通）如圖，△ABC中，D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，連接DE，則＝．【分析】根據(jù)已知易證△ADE∽△ABC，再根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方即可求解．【解答】解：∵D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，∴，又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝．故答案為：．12．（2023?鄂州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC與△A1B1C1位似，原點(diǎn)O是位似中心，且＝3．若A（9，3），則A1點(diǎn)的坐標(biāo)是（3，1）．【分析】根據(jù)位似變換的性質(zhì)計(jì)算，得到答案．【解答】解：∵△ABC與△A1B1C1位似，且原點(diǎn)O為位似中心，且＝3，點(diǎn)A（9，3），∴×9＝3，×3＝1，即A1點(diǎn)的坐標(biāo)是（3，1），故答案為：（3，1）．13．（2023?江西）《周髀算經(jīng)》中記載了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指兩條邊呈直角的曲尺（即圖中的ABC）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可測(cè)量物體的高度．如圖，點(diǎn)A，B，Q在同一水平線上，∠ABC和∠AQP均為直角，AP與BC相交于點(diǎn)D．測(cè)得AB＝40cm，BD＝20cm，AQ＝12m，則樹高PQ＝6m．【分析】根據(jù)題意可知：△ABC∽△AQP，從而可以得到，然后代入數(shù)據(jù)計(jì)算，即可得到PQ的長．【解答】解：由題意可得，BC∥PQ，AB＝40cm，BD＝20cm，AQ＝12m，∴△ABD∽△AQP，∴，即，解得QP＝6，∴樹高PQ＝6m，故答案為：614．（2023?盤錦）如圖，△ABO的頂點(diǎn)坐標(biāo)是A（2，6），B（3，1），O（0，0），以點(diǎn)O為位似中心，將△ABO縮小為原來的，得到△A′B′O，則點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（，2）或（﹣，﹣2）．【分析】根據(jù)位似變換的性質(zhì)計(jì)算，得到答案．【解答】解：∵以原點(diǎn)O為位似中心，把△ABC縮小為原來的，可以得到△A'B'O，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，6），∴點(diǎn)A'的坐標(biāo)是（2×，6×）或（2×（﹣），6×（﹣）），即（，2）或（﹣，﹣2）．故答案為：（，2）或（﹣，﹣2）．15．（2023?廣東）邊長分別為10，6，4的三個(gè)正方形拼接在一起，它們的底邊在同一直線上（如圖），則圖中陰影部分的面積為15．【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，利用相似比求出梯形的上底和下底，用面積公式計(jì)算即可．【解答】解：如圖，∵BF∥DE，∴△ABF∽△ADE，∴＝，∵AB＝4，AD＝4+6+10＝20，DE＝10，∴＝，∴BF＝2，∴GF＝6﹣2＝4，∵CK∥DE，∴△ACK∽△ADE，∴＝，∵AC＝4+6＝10，AD＝20，DE＝10，∴＝，∴CK＝5，∴HK＝6﹣5＝1，∴陰影梯形的面積＝（HK+GF）?GH＝（1+4）×6＝15．故答案為：15．16．（2023?日照）如圖，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，點(diǎn)P在對(duì)角線BD上，過點(diǎn)P作MN⊥BD，交邊AD，BC于點(diǎn)M，N，過點(diǎn)M作ME⊥AD交BD于點(diǎn)E，連接EN，BM，DN．下列結(jié)論：①EM＝EN；②四邊形MBND的面積不變；③當(dāng)AM：MD＝1：2時(shí)，S△MPE＝；④BM+MN+ND的最小值是20．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是②③④．【分析】①根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)判定；②先根據(jù)三角形相似的性質(zhì)求出對(duì)角線的長，再根據(jù)面積等于對(duì)角線乘積的一半求出面積；③根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方求解；④先根據(jù)軸對(duì)稱確定最小值，再根據(jù)勾股定理求解．【解答】解：①∵M(jìn)N⊥BD，要使EM＝EN，需要MP＝NP，而P不一定是MN的中點(diǎn)，故①是錯(cuò)誤的；②如圖1：延長ME交BC于F，在矩形ABCD中，BD＝10，∵M(jìn)E⊥AD，MN⊥BD，∴∠EMN+∠DMN＝∠EMN+∠MED＝90°，∴∠DMN＝∠MED，∵∠MFN＝∠A＝90°，∴△MFN∽△DAB，∴，即：，解得：FN＝4.5，MN＝7.5，∴四邊形MBND的面積為：×BD×NM＝×10×7.5＝37.5，故②是正確的；③∵AB∥ME，∴△ABD∽△MED，∴，∴ME＝4，∵∠ADB＝∠EMN，∠MPB＝∠A＝90°，∴△MEP∽△DBA，∴＝（）2＝，∵S△ABD＝24，∴S△MPE＝，故③是正確的；④∵BM+MN+ND＝BM+ND+7.5，當(dāng)BM+ND最小時(shí)，BM+MN+ND的值最小，作B、D關(guān)于AD、BC的對(duì)稱點(diǎn)B′，D′，如圖2：把圖2的CD′移到圖3的C′D′，使得CD′＝4.5，連接B′D′，則B′D′就是BM+ND的最小值，∴B′D′＝＝12.5，即BM+MN+ND的最小值是12.5+7.5＝20，故④是正確的，故答案為：②③④．17．（2023?上海）如圖，在梯形ABCD中AD∥BC，點(diǎn)F，E分別在線段BC，AC上，且∠FAC＝∠ADE，AC＝AD．（1）求證：DE＝AF；（2）若∠ABC＝∠CDE，求證：AF2＝BF?CE．【分析】（1）證明△ACF≌△DAE（ASA），即可解決問題；（2）證明△ABF∽△CDE，得AF?DE＝BF?CE，結(jié)合（1）AF＝DE，即可解決問題．【解答】證明：（1）∵AD∥BC，∴∠ACF＝∠DAC∵∠FAC＝∠ADE，AC＝AD，∴△ACF≌△DAE（ASA），∴AF＝DE；（2）∵△ACF≌△DAE，∴∠AFC＝∠DEA，∴∠AFB＝∠DEC，∵∠ABC＝∠CDE，∴△ABF∽△CDE，∴＝，∴AF?DE＝BF?CE，∵AF＝DE，∴AF2＝BF?CE．18．閱讀下列材料，回答問題．任務(wù)：測(cè)量一個(gè)扁平狀的小水池的最大寬度，該水池東西走向的最大寬度AB遠(yuǎn)大于南北走向的最大寬度，如圖1．工具：一把皮尺（測(cè)量長度略小于AB）和一臺(tái)測(cè)角儀，如圖2．皮尺的功能是直接測(cè)量任意可到達(dá)的兩點(diǎn)間的距離（這兩點(diǎn)間的距離不大于皮尺的測(cè)量長度）；測(cè)角儀的功能是測(cè)量角的大小，即在任一點(diǎn)O處，對(duì)其視線可及的P，Q兩點(diǎn)，可測(cè)得∠POQ的大小，如圖3．小明利用皮尺測(cè)量，求出了小水池的最大寬度AB．其測(cè)量及求解過程如下：測(cè)量過程：（ⅰ）在小水池外選點(diǎn)C，如圖4，測(cè)得AC＝am，BC＝bm；（ⅱ）分別在AC，BC上測(cè)得CM＝m，CN＝m；測(cè)得MN＝cm．求解過程：由測(cè)量知，AC＝a，BC＝b，CM＝，CN＝，∴＝＝，又∵①∠C＝∠C，∴△CMN∽△CAB，∴．又∵M(jìn)N＝c，∴AB＝②3c（m）．故小水池的最大寬度為***m．（1）補(bǔ)全小明求解過程中①②所缺的內(nèi)容；（2）小明求得AB用到的幾何知識(shí)是相似三角形的判定和性質(zhì)；（3）小明僅利用皮尺，通過5次測(cè)量，求得AB．請(qǐng)你同時(shí)利用皮尺和測(cè)角儀，通過測(cè)量長度、角度等幾何量，并利用解直角三角形的知識(shí)求小水池的最大寬度AB，寫出你的測(cè)量及求解過程．要求：測(cè)量得到的長度用字母a，b，c…表示，角度用α，β，γ…表示；測(cè)量次數(shù)不超過4次（測(cè)量的幾何量能求出AB，且測(cè)量的次數(shù)最少，才能得滿分）．【分析】（1）利用相似三角形的判定和性質(zhì)解決問題即可；（2）利用相似三角形的判定和性質(zhì)；（3）（i）在小水池外選點(diǎn)C，如圖，用測(cè)角儀在點(diǎn)B處測(cè)得∠ABC＝α，在點(diǎn)A處測(cè)得∠BAC＝β；（ii）用皮尺測(cè)得BC＝am．由此求解即可，【解答】解：（1）①由測(cè)量知，AC＝a，BC＝b，CM＝，CN＝，∴＝＝，又∵∠C＝∠C，∴△CMN∽△CAB，∴．又∵M(jìn)N＝c，∴AB＝3c（m）．故答案為：∠C＝∠C；②3c；（2）求得AB用到的幾何知識(shí)是：相似三角形的判定和性質(zhì)．故答案為：相似三角形的判定與性質(zhì)；（3）測(cè)量過程：（i）在小水池外選點(diǎn)C，如圖，用測(cè)角儀在點(diǎn)B處測(cè)得∠ABC＝α，在點(diǎn)A處測(cè)得∠BAC＝β；（ii）用皮尺測(cè)得BC＝am．求解過程：由測(cè)量知，在△ABC中，∠ABC＝α，∠BAC＝β，BC＝a．過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D．在Rt△CBD中，，即，所以BD＝acosα．同理，CD＝asinα．在Rt△ACD中，，即，所以，所以．故小水池的最大寬度為．19．（2023?泰安）如圖，△ABC和△CDE均是等腰直角三角形，EF⊥AD；（1）當(dāng)AF＝DF時(shí)，求∠AED；（2）求證：△EHG∽△ADG；（3）求證：．【分析】（1）可推出AC是ED的垂直平分線，從而得出AE＝AD，根據(jù)題意得出AE＝ED，從而得出△ADE是等邊三角形，從而得出結(jié)果；（2）可證得∠EGH＝∠AGD＝90°，∠DAG＝∠GEH，從而得出結(jié)論；（3）根據(jù)（2）得出比例式＝，進(jìn)而得出＝，根據(jù)等比的性質(zhì)得出結(jié)論．【解答】（1）解：∵△ABC和△CDE均是等腰直角三角形，∴∠ECD＝90°，∠ACB＝45°，EC＝DC，∴∠ACD＝∠ECD﹣∠ACB＝90°﹣45°＝45°，∴AC垂直平分ED，∴AE＝AD，∵EF⊥AD，∴AE＝ED，∴AD＝AE＝ED，∴∠AED＝60°；（2）證明：由（1）得：AC⊥ED，∴∠AGD＝∠AGE＝90°，∵EF⊥AD，∴∠AFE＝90°，∴∠AGE＝∠AFE，∵∠EHG＝∠AHF，∴∠DAG＝∠GEH，∴△EHG∽△ADG；（3）證明：由（2）知：△EHG∽△ADG，∴＝，∵AD＝AE，∴，∵∠ECD＝90°，EG＝DG，∴CG＝EG＝DG，∴＝，∴．20．（2023?南京）在平面內(nèi)，將一個(gè)多邊形先繞自身的頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度θ（0°＜θ＜180°），再將旋轉(zhuǎn)后的多邊形以點(diǎn)A為位似中心放大或縮小，使所得多邊形與原多邊形對(duì)應(yīng)線段的比為k，稱這種變換為自旋轉(zhuǎn)位似變換．若順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，記作T（A，順θ，k）；若逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，記作T（A，逆θ，k）．例如：如圖①，先將△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)50°，得到△A1BC1，再將△A1BC1以點(diǎn)B為位似中心縮小到原來的，得到△A2BC2，這個(gè)變換記作T（B，逆50°，）．（1）如圖②，△ABC經(jīng)過T（C，順60°，2）得到△A′B′C，用尺規(guī)作出△A′B′C．（保留作圖痕跡）（2）如圖③，△ABC經(jīng)過T（B，逆α，k1）得到△EBD，△ABC經(jīng)過T（C，順β，k2）得到△FDC，連接AE，AF．求證：四邊形AFDE是平行四邊形．（3）如圖④，在△ABC中，∠A＝150°，AB＝2，AC＝1．若△ABC經(jīng)過（2）中的變換得到的四邊形AFDE是正方形．Ⅰ．用尺規(guī)作出點(diǎn)D（保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明）；Ⅱ．直接寫出AE的長．【分析】（1）旋轉(zhuǎn)60°，可作等邊三角形DBC，ACE，從而得出B點(diǎn)和點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)D，E，進(jìn)而作出圖形；（2）根據(jù)△EBD和△ABC位似，△FDC與△ABC位似得出∠EBD＝∠ABC，，，進(jìn)而推出△EBA∽△DBC，從而，進(jìn)而得出AE＝DF，同理可得：DE＝AF，從而推出四邊形AFDE是平行四邊形；（3）要使?AFDE是正方形，應(yīng)使∠EAF＝90°，AE＝AF，從而得出∠BAE+∠FAC＝270°﹣∠BAC＝120°，從而得出∠DBC+∠DCB＝120°，從而∠BDC＝60°，于是作等邊△BCG，保證∠BDC＝∠G＝60°，作直徑BD，保證BD＝2CD，這樣得出作法．【解答】（1）解：如圖1，1．以B為圓心，BC為半徑畫弧，以C為圓心，BC為半徑畫弧，兩弧在BC的上方交于點(diǎn)D，分別以A，C為圓心，以AC為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)E，2．延長CD至B′，使DB′＝CD，延長CE至A′，使A′E＝CE，連接A′B′，則△A′B′C就是求作的三角形；（2）證明：∵△EBD和△ABC位似，△FDC與△ABC位似，∴∠EBD＝∠ABC，，，∴∠EBA＝∠DBC，∴△EBA∽△DBC，∴，∴，∴AE＝DF，同理可得：DE＝AF，∴四邊形AFDE是平行四邊形；（3）解：如圖2，1．以BC為邊在BC上方作等邊三角形GBC，2．作等邊三角形BCG的外接圓O，作直徑BD，連接CD，3．作∠DBE＝∠ABC，∠BDE＝∠ACB，延長BA，交⊙O于F，連接CF，DF，則四邊形AFDE是正方形，證明：由上知：△EBA∽△DBC，△FAC∽△DBC，∴∠BAE＝∠DCB，∠FAC＝∠DBC，，，∴∠BAE+∠FAC＝∠DBC+∠DBC，要使?AFDE是正方形，應(yīng)使∠EAF＝90°，AE＝AF，∴∠BAE+∠FAC+∠BAC＝270°，BD＝2CD，∴∠BAE+∠FAC＝270°﹣∠BAC＝270°﹣150°＝120°，∴∠DBC+∠DCB＝120°，∴∠BDC＝60°，∴作等邊△BCG，保證∠BDC＝∠G＝60°，作直徑BD，保證BD＝2CD，這樣得出作法；∵∠ABE＝∠DBC＝30°，∠EAB＝∠BCD＝90°，AB＝2，∴AE＝AB＝．（建議用時(shí)：45分鐘）1．（2023?長寧區(qū)一模）已知線段a、b、c、d是成比例線段，如果a＝1，b＝2，c＝3，那么d的值是（）A．8 B．6 C．4 D．1【分析】根據(jù)成比例線段的概念可得a：c＝c：b，可求d的值．【解答】解：∵線段a、b、c、d是成比例線段，a＝1，b＝2，c＝3，∴a：b＝c：d，即1：2＝3：d，解得：d＝6．故選：B．2．（2024?長沙模擬）如圖，在△ABC中，DE∥AB，且，則的值為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，計(jì)算即可．【解答】解：∵＝，∴＝，∵DE∥AB，∴＝＝，故選：A．3．（2024?鞍山模擬）如圖，已知D、E分別在△ABC的AB、AC邊上，△ABC∽△AED，則下列各式成立的是（）A． B．AB?AD＝AE?AC C． D．AD?DE＝AE?EC【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，寫出各邊的比例關(guān)系，然后根據(jù)比例的基本性質(zhì)求解即可．【解答】解：∵△ABC∽△AED，∴＝＝，∵＝＝，＝＝，≠，∴，故A錯(cuò)誤；∵＝，∴AB?AD＝AC?AE，故B正確；∵＝，AE≠AD，∴，故C錯(cuò)誤；∵AE?EC＝AE（AC﹣AE）＝AE?AC﹣AE2＝AB?AD﹣AE2，AD?DE＝AD＝?AD2，∴無法推出AD?DE＝AE?EC，故D錯(cuò)誤．故選：B．4．（2023?寧波模擬）矩形相鄰的兩邊長分別為25和x（x＜25），把它按如圖所示的方式分割成五個(gè)全等的小矩形，每一個(gè)小矩形均與原矩形相似，則x的值為（）A．5 B．5 C．5 D．10【分析】根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)得出比例式，即可得到答案．【解答】解：∵原矩形的長為25，寬為x，∴小矩形的長為x，寬為＝5，∵小矩形與原矩形相似，∴，解得：x＝5或﹣5（舍去），故選：B．5．（2024?深圳模擬）一段加固后的護(hù)欄如圖所示，該護(hù)欄豎直部分是由等距（任意相鄰兩根木條之間的距離相等）且平行的木條構(gòu)成．已知AC＝50cm，則BC的長度為（）A．20cm B．25cm C．30cm D．【分析】由平行線分線段成比例可得出答案．【解答】解：過點(diǎn)C作CD⊥AM交AM于點(diǎn)D，交BN于點(diǎn)E，∵BE∥AD，∴，∵AC＝50cm，∴BC＝30cm．故選：C．6．（2024?石家莊一模）如圖，在△ABC中，DE∥BC，若，△ADE的面積為4，則△ABC的面積為（）A．6 B．8 C．9 D．16【分析】根據(jù)△ADE∽△ABC的相似比可得到其面積比等于相似比的平方，即可根據(jù)此求得△ABC的面積．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∴△ADE∽△ABC，又∵，∴，∵S△ADE＝4，∴S△ABC＝9，故選：C．7．（2024?南昌一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為位似中心，把線段AB放大后得到線段CD．若點(diǎn)A（1，2），B（2，0），D（5，0），則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C的坐標(biāo)是（）A．（2，5） B．（，5） C．（3，5） D．（3，6）【分析】利用位似圖形的性質(zhì)得出位似比，進(jìn)而得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系．【解答】解：∵以原點(diǎn)O為位似中心，把線段AB放大后得到線段CD，且B（2，0），D（5，0），∴＝，∵A（1，2），∴C（，5）．故選：B．8．（2023?潛山市模擬）如圖，在平行四邊形FBCE中，點(diǎn)J，G分別在邊BC，EF上，JG∥BF，四邊形ABCD～四邊形HGFA，相似比k＝3，則下列一定能求出△BIJ面積的條件（）A．四邊形HDEG和四邊形AHGF的面積之差 B．四邊形ABCD和四邊形HDEG的面積之差 C．四邊形ABCD和四邊形ADEF的面積之差 D．四邊形JCDH和四邊形HDEG的面積之差【分析】分別過點(diǎn)A，D作BC的平行線，根據(jù)相似比，找出對(duì)應(yīng)相似圖形的面積關(guān)系，然后找出符合的選項(xiàng)即可．【解答】解：如圖，分別過點(diǎn)A，D作BC的平行線交CE于點(diǎn)M，交BF于點(diǎn)N，∵四邊形ABCD～四邊形HGFA，相似比k＝3，∴CD＝3AF＝3ME，BC＝3FG＝3BJ，△BCD～△BJI，相似比k＝3，則S平行四邊形BCDN＝3S平行四邊形MEFA＝2S△BCD，9S△BJI＝S△BCD，∵S△ADN＝S△ADM，∴S四邊形ABCD﹣S四邊形ADEF＝S?BCDN﹣S?MEFA＝S△BCD＝12S△BIJ，選項(xiàng)C符合題意，故選：C．9．（2024?應(yīng)縣一模）如圖，這是一把折疊椅子及其側(cè)面的示意圖，線段AE和BD相交于點(diǎn)C，點(diǎn)F在AE的延長線上，測(cè)得AC＝30cm，BC＝40cm，CD＝24cm，EC＝18cm，若∠BAC＝60°，則∠DEF的度數(shù)為（）A．120° B．125° C．130° D．135°【分析】根據(jù)已知易得：＝＝，從而可得△ACB∽△ECD，然后利用相似三角形的性質(zhì)可得∠BAC＝∠DEC＝60°，從而利用平角定義進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】解：∵AC＝30cm，BC＝40cm，CD＝24cm，EC＝18cm，∴＝＝，＝＝，∴＝，∵∠ACB＝∠DCE，∴△ACB∽△ECD，∴∠BAC＝∠DEC＝60°，∴∠DEF＝180°﹣∠DEC＝120°，故選：A．10．（2024?鞍山模擬）如圖，正方形網(wǎng)格圖中的△ABC與△A′B′C是位似關(guān)系圖，則位似中心是（）A．點(diǎn)R B．點(diǎn)P C．點(diǎn)Q D．點(diǎn)O【分析】根據(jù)位似變換的性質(zhì)，連接AA′，BB′，CC′，交點(diǎn)即為位似中心，據(jù)此解答．【解答】解：如圖：∴點(diǎn)O是位似中心．故選：D．11．（2023?南岳區(qū)一模）如圖，有一塊直角邊AB＝4cm，BC＝3cm的Rt△ABC的鐵片，現(xiàn)要把它加工成一個(gè)正方形（加工中的損耗忽略不計(jì)），則正方形的邊長為（）A． B． C． D．【分析】過點(diǎn)B作BP⊥AC，垂足為P，BP交DE于Q，三角形的面積公式求出BP的長度，由相似三角形的判定定理得出△BDE∽△BAC，設(shè)邊長DE＝x，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求出x的長度可得．【解答】解：如圖，過點(diǎn)B作BP⊥AC，垂足為P，BP交DE于Q．∵S△ABC＝?AB?BC＝?AC?BP，∴BP＝＝＝．∵DE∥AC，∴∠BDE＝∠A，∠BED＝∠C，∴△BDE∽△BAC，∴＝．設(shè)DE＝x，則有：＝，解得x＝，故選：D．12．如圖是一個(gè)由A，B，C三種相似的直角三角形紙片（相似比相同）拼成的矩形，相鄰紙片之間互不重疊也無縫隙，其中A，B，C的紙片的面積分別S1，S2，S3，若S1＞S2＞S3，則這個(gè)矩形的面積一定可以表示為（）A．4S1 B．6S2 C．4S2+3S3 D．3S1+4S3【分析】如圖，由A、B、C三種直角三角形相似，設(shè)相似比為k，EF＝m，則GH＝mk，F(xiàn)H＝mk2．想辦法構(gòu)建方程，求出k定值，證明S2+S3＝S1即可解決問題；【解答】解：如圖，由A、B、C三種直角三角形相似，設(shè)相似比為k，EF＝m，則GH＝mk，F(xiàn)H＝mk2．∴EH＝m（1+k2），F(xiàn)M＝，F(xiàn)K＝km（1+k2），則有：km（1+k2）+mk＝，整理得：k4+k2﹣1＝0，∴k2＝或（舍去），∴S2＝S1，S3＝（）2S1＝S1，∴S2+S3＝S1，∴這個(gè)矩形的面積＝2S1+2（S2+S3）＝4S1，故選：A．13．（2023秋?包河區(qū)期中）如圖，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在△ABC的邊上，，DE∥BC，EF∥AB，點(diǎn)M是DF的中點(diǎn)，連接CM并延長交AB于點(diǎn)N，的值是（）A． B． C． D．【分析】過點(diǎn)F作FG∥CN交AB于點(diǎn)G，證明MN是△DGF的中位線，得GF＝2MN，由GF∥CN，EF∥AB，得四邊形GFHN是平行四邊形，證明MH＝MN，設(shè)MH＝MN＝a，則GF＝2a，然后證明CN＝4GF＝8a，所以CH＝CN﹣NH＝8a﹣2a＝6a，得CM＝CH+MH＝6a+a＝7a，進(jìn)而可以解決問題．【解答】解：過點(diǎn)F作FG∥CN交AB于點(diǎn)G，∵點(diǎn)M是DF的中點(diǎn)，∴N是DG的中點(diǎn)，∴MN是△DGF的中位線，∴GF＝2MN，∵GF∥CN，EF∥AB，∴四邊形GFHN是平行四邊形，∴NH＝GF＝2MN，∴MH＝MN，設(shè)MH＝MN＝a，則GF＝2a，∵DE∥BC，△ADE∽△ABC，∴＝＝，∴BC＝4DE，∵EF∥AB，DE∥BC，∴四邊形DEFB是平行四邊形，∴DE＝BF，∵FG∥CN，∴＝，∵＝＝，∴＝，∴CN＝4GF＝8a，∴CH＝CN﹣NH＝8a﹣2a＝6a，∴CM＝CH+MH＝6a+a＝7a，∴＝＝，故選：D．14．（2024?深圳模擬）若，則的值為．【分析】根據(jù)兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積用a表示出b，然后代入比例式進(jìn)行計(jì)算即可得解．【解答】解：∵＝，∴b＝a，∴＝＝．故答案為：．15．（2024?鞍山模擬）圖1是伸縮折疊不銹鋼晾衣架的實(shí)物圖，圖2是它的側(cè)面示意圖，AD與CB相交于點(diǎn)O，AB∥CD，根據(jù)圖2中的數(shù)據(jù)可得x的值為0.96．【分析】在圖2中，過點(diǎn)O作MN⊥AB于點(diǎn)M，MN交CD于點(diǎn)N，則ON＝x，OM＝1.2，由AB∥CD，可得出△OCD∽△OBA，再利用相似三角形的性質(zhì)，即可求出x的值．【解答】解：在圖2中，過點(diǎn)O作MN⊥AB于點(diǎn)M，MN交CD于點(diǎn)N，則ON＝x，OM＝1.2，∵AB∥CD，∴△OCD∽△OBA，∴＝，∴即＝，∴x＝0.96．故答案為：0.96．16．（2024?浙江模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以點(diǎn)B為圓心、BA為半徑畫劣弧交射線CB于點(diǎn)D