高等數(shù)學(xué)（第二版）上冊(cè)課件：定積分的性質(zhì)

定積分的性質(zhì)§5.2.1定積分的基本性質(zhì)才有意義，為了使也有意義，作如下規(guī)定：時(shí)，規(guī)定1當(dāng)時(shí)，

規(guī)定2當(dāng)性質(zhì)1

，在上可積，則在上也可積.即：定積分定義中只說(shuō)明了當(dāng)性質(zhì)1對(duì)于任意有限個(gè)函數(shù)都是成立的．由此可推導(dǎo)出以下性質(zhì).分析利用定積分定義，轉(zhuǎn)化為函數(shù)極限的四則運(yùn)算.性質(zhì)2

為常數(shù)，則在上可積，在上也可積.即：是常數(shù)性質(zhì)3（積分區(qū)間可加性）設(shè)，

在和上都可積，則分析函數(shù)在區(qū)間怎樣分，積分和極限總是不變的，因此可以作為兩個(gè)區(qū)間的積分再取極限.

證明上的積分和等于上的積分和加上的積分和，記為令上式兩端同時(shí)取得極限，即得按定積分的補(bǔ)充規(guī)定，不論是的相對(duì)位置如何，總有等式成立，因此性質(zhì)可取消的大小限制3中

性質(zhì)4如果在區(qū)間上，則性質(zhì)5(定積分保號(hào)性)如果在區(qū)間上，則分析積分的保號(hào)性轉(zhuǎn)化為函數(shù)極限的保號(hào)性.

證明因?yàn)椋杂钟捎?，因此?/p>

，利用極限的性質(zhì)以便得到要證的不等式推論1(定積分保序性)如果在區(qū)間上

，則

分析構(gòu)造函數(shù)，利用定積分保號(hào)性.

證明因?yàn)橛尚再|(zhì)5得再利用性質(zhì)1，便得到要證的不等式．推論2

分析利用絕對(duì)值不等式及推論1可證得.證明因?yàn)榉謩e是函數(shù)性質(zhì)6設(shè)及在區(qū)間上的最大值及最小值，則分析根據(jù)在區(qū)間上可以采用積分保序性.證明因?yàn)樗杂尚再|(zhì)5推論1得再由性質(zhì)2及性質(zhì)4，即得到所要證的不等式．性質(zhì)7(定積分中值定理)如果函數(shù)在閉區(qū)間c上連續(xù)，則在積分區(qū)間上至少存在一點(diǎn)，使下式成立：這個(gè)公式叫做積分中值公式．分析由性質(zhì)6易得.證明將同除以，則得這表明，確定的數(shù)值介于函數(shù)的最小值及最大值之間．根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理，在上至少存在一點(diǎn),使得函數(shù)在點(diǎn)處的值與這個(gè)確定的數(shù)值相等，即應(yīng)有兩端各乘以，即得所要證的等式．

積分中值公式的幾何解釋如下：在區(qū)間上至少存在一點(diǎn)，使得以區(qū)間為底邊、以曲線為曲邊的曲邊梯形的面積等于同一底邊而高為的一個(gè)矩形的面積．可以理解為函數(shù)在區(qū)間上的平均值．5.2.2定積分性質(zhì)的應(yīng)用

例5.2.1

估計(jì)定積分的值．分析

被積函數(shù)在積分區(qū)間上單調(diào)遞增，因此可求其最值，進(jìn)而求積分范圍.解

在

上的最小值，最大值，由性質(zhì)6可得：即：例5.2.2比較下列積分值的大?。?1)與；(2)與.

分析

積分值的大小與積分區(qū)間以及被積函數(shù)有關(guān).同一區(qū)間的兩個(gè)定積分，被積函數(shù)越大，積分值越大,反之，亦成立.解

(1)在閉區(qū)間上，始終小于等于（從圖像也可看出），根據(jù)定積分的保序性得：(2)在閉區(qū)間上，始終大于等于（從圖像也可看出），根據(jù)定積分的保序性得：

定積分的性質(zhì)較多，同時(shí)也非常重要，是我們解決定積分問(wèn)題的基礎(chǔ).現(xiàn)在產(chǎn)生了一個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題，那就是定積分與原函數(shù)之間是什么關(guān)系？這個(gè)問(wèn)題的本質(zhì)就是定積分和不定積分有沒(méi)有內(nèi)在的聯(lián)系？留待