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極限存在準(zhǔn)則與兩個(gè)重要極限

1.5.1極限存在準(zhǔn)則1.5.2兩個(gè)重要極限1.5.1極限存在準(zhǔn)則定理1.12.（兩邊夾準(zhǔn)則）*證明因?yàn)?，，所以?duì)于任意給定的正數(shù)ε，，當(dāng)時(shí)，有成立；

，當(dāng)時(shí)，有．取即 且，所以，當(dāng)時(shí)，有從而成立，故定理1.12雖然只對(duì)的情形作了敘述和證明，但是將換成其他的極限過程，定理仍成立．【例1.5.1】求解

因?yàn)?/p>

又因

由兩邊夾準(zhǔn)則得收斂數(shù)列一定有界，但有界數(shù)列不一定收斂，如如果數(shù)列有界再加上單調(diào)增加或者單調(diào)減少的條件，就可以保證其收斂．定理1.13(收斂準(zhǔn)則)

單調(diào)有界數(shù)列必有極限.單調(diào)增加的數(shù)列的點(diǎn)只可能向右一個(gè)方向移動(dòng)，收斂準(zhǔn)則的幾何解釋：或者無限向右移動(dòng)，或者無限趨近于某一定點(diǎn)A；而對(duì)于有界數(shù)列，只可能是后者發(fā)生．例1.5.2證明

那么，該數(shù)列的極限是多少呢？看下表：1.5.2兩個(gè)重要極限證明有因?yàn)樗越饫?.5.3例1.5.4解解例1.5.5例1.5.6解證明又因?yàn)樗?，根?jù)兩邊夾準(zhǔn)則可得再由代換法可證，因此得到公式：如果t或x換成函數(shù)，上面兩式也成立.例1.5.7解1解2例1.5.8解1解2例

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