利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問題及方程的根-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案（新高考）

第09講利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問題及方程的根

（6類核心考點(diǎn)精講精練）

考情探究?

1.5年真題考點(diǎn)分布

5年考情

考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)

利用導(dǎo)數(shù)研究具體函數(shù)單調(diào)性

函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用

2024年新H卷，第11題,6分利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)

極值與最值的綜合應(yīng)用

判斷零點(diǎn)所在的區(qū)間

利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不含參）

2023年新H卷，第22題,12分利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題

根據(jù)極值點(diǎn)求參數(shù)

求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程（斜率）

2022年新I卷，第10題,5分利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)

求已知函數(shù)的極值點(diǎn)

2022年新I卷,第22題,12分利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（含參）

求離散型隨機(jī)查量的均值

2021年新H卷，第21題,12分利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根

均值的實(shí)際應(yīng)用

2021年新II卷,第22題,12分利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)含參分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較大，分值為15-17分

【備考策略】1能用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性

2能結(jié)合零點(diǎn)的定義及零點(diǎn)存在性定理解決零點(diǎn)問題

3能結(jié)合方程的根的定義用導(dǎo)數(shù)解決方程的根的問題

【命題預(yù)測(cè)】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，也是高考?jí)狠S題之一近幾年高考命題的趨勢(shì)，是穩(wěn)中

求變、變中求新、新中求活，縱觀近幾年的高考題，導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用題考查多個(gè)核心素養(yǎng)以及綜合應(yīng)用能力,

有一定的難度，一般放在解答題的最后位置，對(duì)數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等多個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)

都有較深入的考查，需綜合復(fù)習(xí)

知識(shí)講解

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)的方法

（1）通過最值（極值）判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法

借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值后，通過極值的正負(fù)，函數(shù)單調(diào)性判斷函數(shù)圖象走勢(shì)，從而判斷零

點(diǎn)個(gè)數(shù)或者通過零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍.

（2）數(shù)形結(jié)合法求解零點(diǎn)

對(duì)于方程解的個(gè)數(shù)（或函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)）問題，可利用函數(shù)的值域或最值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，畫出草圖

數(shù)形結(jié)合確定其中參數(shù)的范圍.

（3）構(gòu)造函數(shù)法研究函數(shù)零點(diǎn)

①根據(jù)條件構(gòu)造某個(gè)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)尋找函數(shù)在

給定區(qū)間的極值以及區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值與0的關(guān)系，從而求解.

②解決此類問題的關(guān)鍵是將函數(shù)零點(diǎn)、方程的根、曲線交點(diǎn)相互轉(zhuǎn)化，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)轉(zhuǎn)

化與化歸的思想方法.

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)方程的根的方法

（1）通過最值（極值）判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)（方程的根）的方法

借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值后，通過極值的正負(fù)，函數(shù)單調(diào)性判斷函數(shù)圖象走勢(shì)，從而判斷零

點(diǎn)個(gè)數(shù)（方程的根）或者通過零點(diǎn)個(gè)數(shù)（方程的根）求參數(shù)范圍.

（2）數(shù)形結(jié)合法求解零點(diǎn)（方程的根）

對(duì)于方程解的個(gè)數(shù)（或函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)）問題，可利用函數(shù)的值域或最值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，畫出草圖

數(shù)形結(jié)合確定其中參數(shù)的范圍.

（3）構(gòu)造函數(shù)法研究函數(shù)零點(diǎn)（方程的根）

①根據(jù)條件構(gòu)造某個(gè)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)（方程的根）

尋找函數(shù)在給定區(qū)間的極值以及區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值與0的關(guān)系，從而求解.

②解決此類問題的關(guān)鍵是將函數(shù)零點(diǎn)、方程的根、曲線交點(diǎn)相互轉(zhuǎn)化，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)轉(zhuǎn)

化與化歸的思想方法.

考點(diǎn)一、求函數(shù)零點(diǎn)及其個(gè)數(shù)

典例引領(lǐng)

L(2024?湖北武漢?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)〃無)=ln尤-g/geR).

(1)當(dāng)。=1時(shí)，求/(X)的最大值；

(2)討論函數(shù)/(x)在區(qū)間口,］上零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

【答案】⑴-g

⑵答案見解析

【分析】(1)求函數(shù)/'(x)的定義域及導(dǎo)函數(shù)，求。=1時(shí)方程/'(x)=0的解，分區(qū)間確定函數(shù)的單調(diào)性，

單調(diào)性求最值；

(2)函數(shù)的零點(diǎn)，即方程。=坐的解，設(shè)g(x)=坐，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)g(x)的性質(zhì)，討論

XX

結(jié)合圖象確定函數(shù)〃X)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

【詳解】(1)/(X)的定義域是(0,+。),

???/(x)=Xnx-^-ax1(aeR),f'(x\=--ax=^aX,

2xx

i_2

當(dāng)a=l時(shí)，/'(%)=---r-=0,得X=±1.

,/x>0

.?.當(dāng)xe(O,l)時(shí)，r(x)>0,函數(shù)/(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)xe(l,+”)時(shí)，r(x)<0,函數(shù)/(x)單調(diào)遞減

???當(dāng)x=l時(shí)，函數(shù)/(x)取最大值，最大值為了⑴=-；：

(2)由〃x)=0,得。=罷，

人/、21nxe],(x2-41nx

令g(x)=G^,貝Ug(x)=―｝一，

由g'(x)>。得1<x<Ve,

由g［x)<0,得五e(cuò)ve?,

g(x)在區(qū)間［1,八］上單調(diào)遞增，在區(qū)間［八,e［上單調(diào)遞減,

又g⑴=0，g(Ve)=|,g(，)=g,

作函數(shù)g(x)的圖象如下：

綜上：當(dāng)04a<?或“=:時(shí)，/?(工)在［1,62］上有一個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng),4a寸，在［l,e］上有2個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)a<0或時(shí)，仆)在口,叫上沒有零點(diǎn).

2.(2024?湖南長(zhǎng)沙?三模)已知函數(shù)/(x)=xe*Tg(x)=hix-加x/weR.

⑴求/(x)的最小值;

⑵設(shè)函數(shù)〃(x)=/(x)-g(x),討論力(X)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

【答案】⑴最小值

e

⑵答案見解析

【分析】(1)先利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而可求出函數(shù)的最小值；

⑵令力(x)=0,得屋一也吐1+加=0,令M》)=e-叵望+〃?，則”x)與左(x)有相同的零點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)

XX

求出函數(shù)左(切的極值點(diǎn)，再分類討論機(jī)即可得出結(jié)論.

【詳解】⑴"X)的定義域?yàn)镽/(x)=(x+l)e"

則當(dāng)x<-l時(shí)，r(x)<0；當(dāng)x>-l時(shí)，/f(x)>0,

所以/(x)在區(qū)間(-雙-1)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(-1,+8)上單調(diào)遞增，

因此的最小值為〃-1)=」-1；

e

x

(2)//(x)=xe-lwc+mx-1f且x￡(0,+oo),

令〃(力=0,得+加=0,

x

令Mx)=e'-嚀1■+〃?，則”x)與左⑺有相同的零點(diǎn)，

且心…一匕粵卻=立誓,

XX

令廠(x)=x2ex+lnx,則/(x)=+2x)e*+—,

因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí)，則/(x)>0,所以r(x)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增，

又r1J=ee2_?0/(1)=00,所以罵e1』)，使廠(%)=0,

且當(dāng)xe(O,Xo)時(shí)，r(x)<0,即乂(x)<0；當(dāng)xe(毛,+(?)時(shí)，r(x)>0,即M(x)>0,

所以在區(qū)間(O,xo)上單調(diào)遞減,在區(qū)間優(yōu),+司上單調(diào)遞增，

因此Mx)的最小值為無伉)=1。-蛆山+加，

X。

1In—

由「(%)=0,得x；e"+1叫=0,即/e'。=In—e*,

%

令夕(x)=/(x)+1,則0(X)在區(qū)間(0,+動(dòng)上單調(diào)遞增,

因?yàn)?<玉)<1，所以ln，>。，貝IJ夕(Xo)=91ln',

X1

所以工0=-1%)，從而Inx。=一%,即eo=一，

所以的最小值左(無0)=6與-lnX°+1+m=m+l,

%0

所以當(dāng)加>-1時(shí)，左⑴沒有零點(diǎn)；

當(dāng)機(jī)=7時(shí)，左口)有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)〃7<-1時(shí)，因?yàn)闊o(%)<0,

當(dāng)X趨近于0時(shí)，左(%)趨近于+8;當(dāng)X趨近于+00時(shí)，左(X)趨近于+CO,

所以上3有兩個(gè)零點(diǎn).

綜上，當(dāng)%>-1時(shí)，“X)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0；

當(dāng)加=-1時(shí)，力(X)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1；

當(dāng)〃7<-1時(shí)，〃(尤)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問題的方法：

(1)直接法：先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象,

然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與X軸的交點(diǎn)問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思

想和分類討論思想的應(yīng)用；

(2)構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究?jī)珊瘮?shù)圖象的交點(diǎn)問題；

(3)參變量分離法：由〃x)=0分離變量得出a=g(x),將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線夕=。與函數(shù)y=g(x)的圖

象的交點(diǎn)問題.

3.(2024?河北保定?二模)已知函數(shù)/(x)=asinx+xcosx.

⑴若a=o,求曲線y=/(x)在點(diǎn)(oj(o))處的切線方程;

(2)若兀)，試討論/(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

【答案】⑴"x

(2)答案見解析

【分析】(1)求得了(x)的導(dǎo)數(shù)，可得切線斜率和切點(diǎn)，從而求得切線方程；

(2)由/(x)為奇函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為討論/(X)在(0,兀)上的零點(diǎn)，求得導(dǎo)數(shù)，討論“>-1,a=-\,

和aV-2,求得/(x)的單調(diào)性、極值和最值，結(jié)合零點(diǎn)存在定理，即可得到零點(diǎn)個(gè)數(shù).

【詳解】(1)當(dāng)a=0時(shí)，/(x)=xcosx,/(0)=0.

f'(x)=cosx-xsinx,/f(0)=1.

故曲線y=在點(diǎn)(oj(o))處的切線方程為了=尤.

(2)因?yàn)?(-x)=-/(x),所以/(X)為奇函數(shù).

又因?yàn)?(o)=o,所以只需要討論〃尤)在(0㈤上的零點(diǎn).

/'(x)=(a+l)cosx-xsinx,/f(0)=a+1.

令函數(shù)g(x)=/1x)=(a+l)cosx-xsinx,=-(a+2)sinx-xcosx

①當(dāng)a+l>0,即。>-l時(shí)，分段討論：

當(dāng)時(shí)xe；，j，/'(x)<0.

當(dāng)時(shí)，g,(x)<0,所以g(x)在(0高上單調(diào)遞減，即/'(x)在由上單調(diào)遞減

因?yàn)?'(0)=a+l>0,/^=-^<0,所以存在使得/'(x°)=0.

當(dāng)xe(O,x())時(shí)，/,(x)>0,當(dāng)xe(xo,7t)時(shí),f'[x)<Q,

所以/(x)在(O,x0)上單調(diào)遞增，在伉,兀)上單調(diào)遞減.

因?yàn)椤?)=0,/⑺=-無<0,所以f(x)在(0,兀)上有1個(gè)零點(diǎn),

〃%）在（-71：,71）上有3個(gè)零點(diǎn).

②當(dāng)a+l=O,即a=-l時(shí)，/'（x）=-xsinx＜0,〃x）在（0,兀）上單調(diào)遞減，

所以73在（0,兀）上沒有零點(diǎn)，在（-兀,兀）上有1個(gè)零點(diǎn).

③當(dāng)。+240,即aW-2時(shí)，分段討論：

當(dāng)時(shí)，f（x）＜0.

當(dāng)時(shí)，g'（x）＞0,所以g（x）在j上單調(diào)遞增，即/'（X）在1/J上單調(diào)遞墻

因?yàn)?[3=-]＜0，/⑺=一（。+1）＞°，所以存在看eg,j,使得/'（為）=0.

當(dāng)xe（O,xJ時(shí)，f'（x）＜0,當(dāng)xe（x],7r）時(shí)，f'（x）＞0,

所以在（0,再）上單調(diào)遞減，在（西,兀）上單調(diào)遞增.

因?yàn)?（0）=0,/⑺＜0,

所以73在（o㈤上沒有零點(diǎn)，在（-私兀）上有1個(gè)零點(diǎn).

[Q+1＜0

④當(dāng)c八，即一2＜。＜一1時(shí)，分段討論：

[Q+2＞0

當(dāng)時(shí)，/\x）＜0.

當(dāng)x時(shí)，令函數(shù)人（工）=g'（x）=-（〃+2）sinx—xcosx,

川（x）=-（?+3）cosx+xsinx＞0.

所以Mx）在上單調(diào)遞增，即g'（x）在信，、上單調(diào)遞增.

因?yàn)間'D=-（a+2）＜°，g'（兀）=兀＞0,所以存在x?eg”,使得

所以g（x）在\上單調(diào)遞減，在（乙，%）上單調(diào)遞增，

即在/'（X）在信,xj上單調(diào)遞減，在兀）上單調(diào)遞增.

因?yàn)?[；]=一1＜0,/，（7i）=-（a+l）＞0,所以存在X3€色,兀），使得g（X3）=0.

當(dāng)時(shí)xe?%）,/，（x）＜0,當(dāng)xe（%3,兀）時(shí)，/'（%）＞。，

所以在（0,天）上單調(diào)遞減，在（9,無）上單調(diào)遞增.

因?yàn)?（。）=0，/㈤＜0,

所以/（X）在（o㈤上沒有零點(diǎn)，在（-兀，兀）上有1個(gè)零點(diǎn).

綜上，當(dāng)。＞-1時(shí)，在（-無,兀）上有3個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí),/（x）在（-再兀）上有1個(gè)零點(diǎn).

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問題的方法：

（1）直接法：先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象,

然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思

想和分類討論思想的應(yīng)用；

（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究?jī)珊瘮?shù)圖象的交點(diǎn)問題；

（3）參變量分離法：由〃x）=0分離變量得出a=g（x）,將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線＞與函數(shù)y=g（x）的圖

象的交點(diǎn)問題.

即0唧（

1.（2024?山東?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)〃x）=；e'-4.

（1）求曲線昨在點(diǎn)（1J0））處的切線/在y軸上的截距;

（2）探究“X）的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

【答案】⑴

⑵〃x）有兩個(gè)零點(diǎn)

【分析】（1）求得/=得到了3=宗；，=?-1,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求得切線

方程，進(jìn)而求得其在了軸上的截距；

⑵得到了'（x）=：e一擊在（0,+動(dòng)上遞增，結(jié)合/（,仙/⑴"，得到弱eg,1）,使得/伉）=0,

進(jìn)而求得了（無）單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)的存在性定理，即可求解.

【詳解】⑴解析：由函數(shù)I（x）=；e—&,可得/'（力=；雇-；,所以八1）=宗;，

又/⑴=?T，所以/的方程為kR-；］（XT）+：T,即了=［：-；］尤-；，

令x=0,可得y=-g,所以直線/在了軸上的截距為一;.

（2）解：因?yàn)椤?%*和〉=-/=在（0,+功上均單調(diào)遞增，

所以/'(x)=為=5在(0,+勸上單調(diào)遞增，

又因?yàn)?/⑴=3_；)0,所以訓(xùn),使得為(％)=0,

所以，當(dāng)xe(O,x°)時(shí)，r(x)<0,〃x)在(O,x0)單調(diào)遞減；

當(dāng)xe(%o，+8)時(shí)，/(x)>0,/(x)在(無(),+8)單調(diào)遞增,

又因?yàn)閒島〉MJ〉。/⑴{-“。)⑷一一小,

所以/(x)有兩個(gè)零點(diǎn).

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)零點(diǎn)(方程根)的個(gè)數(shù)，求參數(shù)的取值范圍問題的三種常用方法：

工、直接法，直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式(組)，再通過解不等式(組)確定參數(shù)的取值范圍

2、分離參數(shù)法，先分離參數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；

3、數(shù)形結(jié)合法，先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.

結(jié)論拓展：與二和Inx相關(guān)的常見同構(gòu)模型

①ae"61n6oe"lne"<61nb,構(gòu)造函數(shù)/(x)=xlnx或g(x)=xe"；

@--7<--->構(gòu)造函數(shù)/'(》)=丁匚或g(x)=J；

a\nbIneInZ?Inxx

③e"±a>6±ln6=e"±lne">b±\nb,構(gòu)造函數(shù)7(x)=x±lnx或g(x)=e"土x.

2.(2024?浙江?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=a(e'+sinx)-x-l.

⑴當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)a=1時(shí)，判斷〃x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

【答案】⑴減區(qū)間為(-％0),增區(qū)間為(0,+8);

(2)2個(gè).

【分析】(1)求導(dǎo)，當(dāng)x<0時(shí)，利用指數(shù)函數(shù)性質(zhì)和余弦函數(shù)有界性可判斷導(dǎo)數(shù)符號(hào)，當(dāng)x>0時(shí)，利用二

次導(dǎo)數(shù)判斷導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性，然后可得導(dǎo)函數(shù)符號(hào)；

(2)當(dāng)x>0時(shí)，利用二次導(dǎo)數(shù)判斷了(x)的單調(diào)性，當(dāng)時(shí)，利用指數(shù)函數(shù)性質(zhì)和正弦函數(shù)有界性可

判斷函數(shù)值符號(hào)，當(dāng)-無令<0時(shí)，記"(x)=e-x-l,利用導(dǎo)數(shù)研究其圖象，根據(jù)"(x)與y=-sinx的圖象

交點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷即可.

【詳解】(1)當(dāng)a=；時(shí)，/(x)=^-(ex+sinx)-x-l,所以/■〈尤)=g(e*+cosx)-l,

當(dāng)x<0時(shí)，e'<1,cosx<1,所以g(e*+cosx)<1,貝!

所以，/(x)在(-8,0)上單調(diào)遞減.

當(dāng)x>0時(shí)，記g(無)=；(e*+cosx)-l,貝I]g，(x)=；(e*-sinx),

因?yàn)閑">12sinx,所以g'(x)>0,g(x)在(0,+e)單調(diào)遞增,

所以g(x)>g(O)=O,BPr(x)>0,所以/⑺在(0,+s)上單調(diào)遞增.

綜上,/(x)的減區(qū)間為(-嗎。),增區(qū)間為(0,+。).

(2)當(dāng)a=l時(shí)，/(x)=er+sinx-x-1,貝lj/'(x)=e*+cosx-l,

記力(x)=e*+CO&X-1,貝(|=e"-sinx,

當(dāng)x>0時(shí)，eClNsinx,所以〃(x)>0,%(x)在(0,+s)單調(diào)遞增,

所以4x)>/z⑼=1>0,f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以/(x)>〃0)=0,/(x)在(0,+e)上無零點(diǎn).

當(dāng)xM-兀時(shí)，H^jex>0,sinx>>n-1,

所以/(x)=e*+sinx-x-l>0,此時(shí)無零點(diǎn).

當(dāng)一7t<x<0時(shí)，記"(x)=e*-x-l,則"'(x)=e*-l<0,

因?yàn)楫?dāng)x趨近于0時(shí)，(元)趨近于0,所以"(x)的變化越來越慢，圖象下凹,

當(dāng)x=—兀時(shí)，e*-x-l>—sinx,當(dāng)x=0時(shí)，ex—x—1=-sinx,

作出函數(shù)〃⑴和〉=-sinx的圖象如圖，

由圖可知，當(dāng)-兀<x<0時(shí)，兩個(gè)函數(shù)圖象有一個(gè)交點(diǎn)，即/(X)有一個(gè)零點(diǎn).

易知x=0是〃x)的一個(gè)零點(diǎn).

綜上，函數(shù)〃x)共有2個(gè)零點(diǎn).

y=n(xj.

2

3.(2024?河南?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=*("0,”eR).

(1)求〃x)的極大值；

(2)若4=1,求g(x)=/(x)-COSX在區(qū)間-,2024兀上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

【答案】(1)答案見解析

（2）2025個(gè)零點(diǎn)

【分析】（工）求導(dǎo)，分析函數(shù)的單調(diào)性，分情況討論，求函數(shù)的極大值.

2「一

（2）先分析方程二=cosx在一弓,0上解得個(gè)數(shù)，再分析在（0,2可上解的個(gè)數(shù)，進(jìn)一步考慮方程在

eL2

（2版,2版+2可上解的個(gè)數(shù)，可得問題答案.

【詳解】（1）由題易得，函數(shù)〃力=竽的定義域?yàn)镽,

所以，當(dāng)a>0時(shí)，/'（x）,/（x）隨x的變化情況如下表:

X(fO)0（0,2）2(2,+(?)

/'（X）-0+0-

/（X）極小值/極大值

由上表可知，的單調(diào)遞增區(qū)間為（。,2）,單調(diào)遞減區(qū)間為（-嗎0）,（2,+巧.

所以的極大值為〃2）=*（0>0）.

e

當(dāng)"0時(shí)，隨X的變化情況如下表：

X(-8,0)0（0,2）2（2,+8）

/'（X）+0-0+

/（X）/極大值極小值/

由上表可知，/（X）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-8,0）,（2,+8）,單調(diào)遞減區(qū)間為（0,2）.

所以73的極大值為〃0）=0（。<0）.

綜上所述，當(dāng)a>0時(shí)，/（x）的極大值為當(dāng)；當(dāng)"0時(shí)，/（X）的極大值為0.

e

22

（2）方法一：當(dāng)4=1時(shí)，/（%）=1,所以函數(shù)g（x）=/（x）-cosx=1—COSX.

2

由g（x）=0,得土=co&x.

ex

所以要求g（x）在區(qū)間-5,2024兀上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，

只需求y=〃x)的圖象與〃(x)=cosx的圖象在區(qū)間-,20247t上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.

由⑴知，當(dāng)。=1時(shí),y=/(另在(-8,0),(2,+8)上單調(diào)遞減,在(0,2)上單調(diào)遞增,

所以>=〃x)在區(qū)間一萬,0上單調(diào)遞減.

1T

又6(x)=cosx在區(qū)間一萬,0上單調(diào)遞增，

且了(_1)=e>1>cos(-l)=/z(-l),/(0)=0<l=cosO=/z(0),

2_

所以〃X)=?與力(x)=cosx的圖象在區(qū)間［-;,o］上只有一個(gè)交點(diǎn)，

所以g(x)在區(qū)間-',0上有且只有1個(gè)零點(diǎn).

因?yàn)楫?dāng)。=1,無>0時(shí)，/(x)=^>o,

〃x)在區(qū)間(0,2)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(2,+功上單調(diào)遞減，

所以在區(qū)間(。,+動(dòng)上有極大值〃2)=*<1,

即當(dāng)a=l,x>0時(shí)，恒有

又當(dāng)x>0時(shí)，"x)=cosx的值域?yàn)椋?1,1］,且其最小正周期為？=2%，

現(xiàn)考查在其一個(gè)周期(0,2可上的情況，

2

/(x)=j在區(qū)間(0,2］上單調(diào)遞增,/z(x)=COSX在區(qū)間(0,2］上單調(diào)遞減，

M/(O)=O</z(O)=l,/(2)>0>/z(2)=cos2,

2

所以"x)=cosx與=3的圖象在區(qū)間(0,2］上只有一個(gè)交點(diǎn)，

即g(x)在區(qū)間(0,2］上有且只有1個(gè)零點(diǎn).

因?yàn)樵趨^(qū)間0,?±,/(x)>0,/?(x)=cosx<0,

所以=；與咐)=/的圖象在區(qū)間(2號(hào)上無交點(diǎn)，

即g(x)在區(qū)間。，當(dāng)上無零點(diǎn).

在區(qū)間［1,2兀上，/(%)=j單調(diào)遞減，〃(x)=cosx單調(diào)遞增，

旦/片)>0>'<〃2兀)<1=32%="(270,

所以力(x)=cosx與=］的圖象在區(qū)間［當(dāng),2兀上只有一個(gè)交點(diǎn)，

即g(x)在區(qū)間［3,2兀］上有且只有1個(gè)零點(diǎn).

所以g(x)在一個(gè)周期(0,2兀］上有且只有2個(gè)零點(diǎn).

2

同理可知，在區(qū)間(2航,2E+2兀］(LcN*)上，0</(x)<l且〃尤)=［單調(diào)遞減，

/z(x)=cosx在區(qū)間(2阮2祈+兀］上單調(diào)遞減，在區(qū)間(2左兀+7i,2kli+2兀］上單調(diào)遞增，

且0</(2砌<l=cos(2砌=〃(2砌，

f(2析+兀)〉0>—1=cos(2左兀+71)=h(2hi+兀)

0</(2祈+兀)<1=cos(2E+兀)=〃(2foi+兀),

2

所以A(%)=COSX與/(x)=j的圖象在區(qū)間(2E,2析+可和(2祈+n,2fat+2兀］上各有一個(gè)交點(diǎn),

即g(x)在(2兀,2024可上的每一個(gè)區(qū)間(2也,2也+2可卜eN*)上都有且只有2個(gè)零點(diǎn).

所以g(x)在(0,2024兀］上共有半包x2=2024個(gè)零點(diǎn).

綜上可知，g(x)在區(qū)間-20247t上共有2024+1=2025個(gè)零點(diǎn).

22

方法二：當(dāng)Q=1時(shí)，/(%)=■，所以函數(shù)g(x)=/(%)-COSX=3-COSX.

當(dāng)無e-g,0時(shí)，g，(x)=H^+sinxW0,所以g(x)在區(qū)間-￡,0上單調(diào)遞減.

_2」'，e"2_

又g］：>0,g(0)<0,所以存在唯一零點(diǎn)x°e-p0,使得g(x0)=o.

所以g(x)在區(qū)間-：0上有且僅有一個(gè)零點(diǎn).

-

/冗3冗2

當(dāng)2E+g,2fei+T,左￡N時(shí)，—>o,cosx<0,所以g(x)〉0.

122」e"

所以g(x)在(2阮+5,2far+g，左eN上無零點(diǎn).

當(dāng)xe/；時(shí)，g，(x)=&/+siiu>0,所以g(x)在區(qū)間［o,3上單調(diào)遞增.

又g(o)(o,gD。，所以存在唯一零點(diǎn).

當(dāng)xe〔2E,2析+］，左eN*時(shí)，g,(x)=2x~X+sinx,

設(shè)0(x)=21x+si11y,貝=——當(dāng)記+cosx>0

所以g'(x)在(2加,2E+。，左eN*上單調(diào)遞增.

又g'(2E)(o,g]2E+|Jjo,

所以存在再e12版,2E+]，笈eN*,使得g'(xJ=O.

即當(dāng)xe(2配丙)時(shí)，g'(再)<0,g(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)xe]x[,2版+]時(shí)，g'(xJ>0,g(x)單調(diào)遞增.

又g(2版)”,g,配+,卜，所以g(x)在區(qū)間(2優(yōu)2?+^，笈eN*上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)

所以g(x)在區(qū)間Q伍2版+]#eN上有且僅有一個(gè)零點(diǎn).

(3兀"

當(dāng)左兀+萬,2析+2兀，左eN時(shí)，

,/x2x-x2

g(町=———+sinx,

+

設(shè)0(x)=^——+sinx，則=——+cosx>Q

exex

所以g'(X)在(2桁+(2析+2兀，左eN上單調(diào)遞增.

又g'(2E+gJ<0,g'(2E+27T)<0,所以g(x)在區(qū)間12而+],2而+2兀，左eN上單調(diào)遞減:

又gQfac+g]>0,g(2^7c+27t)<0,

所以存在唯一％<2癡+5,2也+2無]，使得g(%)=。.

所以g(x)在區(qū)間12E+7,2也+2%，左eN上有且僅有一個(gè)零點(diǎn).

所以g(x)在區(qū)間(2ht,2祈+2兀]，左eN上有兩個(gè)零點(diǎn).

所以g3在(0,2024可上共有空當(dāng)x2=2024個(gè)零點(diǎn).

2兀

綜上所述，g(x)在區(qū)間-,20247r上共有2024+1=2025個(gè)零點(diǎn).

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)求解函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，要利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出函數(shù)的極

值情況，結(jié)合特殊點(diǎn)的函數(shù)值的正負(fù)，零點(diǎn)存在性定理進(jìn)行求解.

考點(diǎn)二、由函數(shù)零點(diǎn)及個(gè)數(shù)求參數(shù)值

典例引領(lǐng)

1.(2022?全國(guó)?高考真題)己知函數(shù)/(x)=ax-'-Q+l)lnx.

x

(1)當(dāng)。=0時(shí)，求/*)的最大值；

(2)若/(x)恰有一個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍.

【答案】⑴-1

⑵(。，+°°)

【分析】(1)由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，即可得解；

(2)求導(dǎo)得(%)=("一]xT)，按照。<。<1及“>1結(jié)合導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的極

值，即可得解.

【詳解】(1)當(dāng)。=0時(shí)，/(x)=---ln^,x>0,則/(x)=3-,==，

XXXX

當(dāng)xe(0,1)時(shí)，/'(x)>0,/(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)x?l,+8)時(shí),r(x)<0,/(x)單調(diào)遞減；

所以〃x)1mx=〃1)=一1；

(2)/(x)=ax---(a+l)lnx,x>0,則/'(無)=q1)!”",

XXXX

當(dāng)aWO時(shí)，ax-l<0,所以當(dāng)xe(0,l)時(shí),f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;

當(dāng)xe(l,+⑹時(shí)，/'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減；

所以/(x)max=/(l)=aT<°，此時(shí)函數(shù)無零點(diǎn)，不合題意；

當(dāng)0<〃<1時(shí)，->1,在(0」)，l，+s]上，/(x)>0,單調(diào)遞增；

a\a)

在I?]上，，(x)<°，〃x)單調(diào)遞減；

又/⑴=a-l<0,

由(1)得—+lnx21,gpIn—>1-x,所以Inx<x,ln?<?』nx<2?,

當(dāng)x>l時(shí)，/(x)=ax---(a+l)]nx>ax---2(a+])y[x>ax-(2a+3)Vx,

xx

則存在機(jī)=12+2]>L，使得/'（機(jī)）>0,

\a）a

所以/（X）僅在有唯一零點(diǎn)，符合題意；

當(dāng)0=1時(shí)，/-（x）=（±d￡>0,所以〃x）單調(diào)遞增，又〃1）="1=0,

所以/（X）有唯一零點(diǎn)，符合題意；

當(dāng)。>1時(shí)，-<i,在J-],（i,+8）上,r（x）>o,〃尤）單調(diào)遞增；

在上’單調(diào)遞減；此時(shí)/6="1>0,

由（1）得當(dāng)Ovxvl時(shí)，lnx>l--,InVx>1--所以Inx

xyjx

止匕時(shí)/（x）=6zx---（6z+l）lnx<ax---2（a+1）|1——^|<-）+"?

xx\y/xJxy/x

存在〃=12J，使得了⑺<0，

4（。+1）a

所以/（X）在也，）有一個(gè)零點(diǎn)，在+8）無零點(diǎn)，

所以/（X）有唯一零點(diǎn)，符合題意；

綜上,。的取值范圍為（0,+8）.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與單調(diào)性，把函數(shù)零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)

的單調(diào)性與極值的問題.

2.（2022?全國(guó)?高考真題）已知函數(shù)/（尤）=111（1+工）+依尸

⑴當(dāng)。=1時(shí),求曲線P=/（x）在點(diǎn)（0,〃0））處的切線方程;

（2）若/（x）在區(qū)間（TO）,（0,+s）各恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

【答案】⑴P=2x

（2）（-℃,-1）

【分析】（1）先算出切點(diǎn),再求導(dǎo)算出斜率即可

（2）求導(dǎo)，對(duì)a分類討論，對(duì)x分（T,0）,（0,+s）兩部分研究

【詳解】（1）/（x）的定義域?yàn)椋?1,+8）

y11—y

當(dāng)I時(shí)J（x）=lna+x）+R（O）=。,所以切點(diǎn)為（。,。）?。?=+丁〃。）=2,所以切線斜率為2

所以曲線J=/（x）在點(diǎn)（0,7（0））處的切線方程為>=2x

(2)/(x)=ln(l+x)+——

ex

勺工)：1C(l-x)e，+a(lr2)

1+xev(l+x)ev

設(shè)g(x)=e*+a(l-x2)

1°若a>0,當(dāng)xe(-1,0),g(x)=e*+a(1-無2)>0,即f\x)>0

所以/(x)在(-1,0)上單調(diào)遞增,/(x)</(0)=0

故/(x)在(-1,0)上沒有零點(diǎn)，不合題意

2°若-LMaWO,當(dāng)xe(0,+oo),則g'(x)=ex-2ax>0

所以g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增所以g(x)>g(0)=1+a20,即f'(x)>0

所以/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,/(x)>/(0)=0

故/(x)在(0,+動(dòng)上沒有零點(diǎn)，不合題意

3°若。<-1

⑴當(dāng)xe(0,+8),則g'(x)=e'-2ax>0,所以g(x)在(0,+co)上單調(diào)遞增

g(0)=1+〃<0,g(l)=e>0

所以存在僅e(0,1)，使得g(M=0,即f\m)=0

當(dāng)Xe(0,s)J'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減

當(dāng)xe(加,+co),/(x)>0,/(x)單調(diào)遞增

所以

當(dāng)xe(0,MJ(x)<〃0)=0,

Y1—Y

令/z(x)=[X>-1,貝uh\x)=-^-,x>-1,

ee

所以g)=2在上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減，所以〃⑺口⑴」,

ee

又1>0,/卜=

所以/(X)在(加,+8)上有唯一零點(diǎn)

又(0,加)沒有零點(diǎn),即f(x)在(0,”)上有唯一零點(diǎn)

⑵當(dāng)xe(-l,0),g(x)=e*+a(12)

設(shè)〃(x)=g'(x)=ex-2ax

/?(x)=ex-2a>0

所以g'(x)在(-1,0)單調(diào)遞增

g(-l)=-+2a<0,g(0)=l>0

所以存在〃e(-l,O),使得g，(〃)=0

當(dāng)xe(-1,n),g(x)<0,g(x)單調(diào)遞減

當(dāng)xe(〃,0),g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,g(x)<g(0)=1+a<0

Xg(-D=->0

e

所以存在fe(-1,叫使得g?)=0,即fr(t)=0

當(dāng)xe單調(diào)遞增，當(dāng)xe0,0),/(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)了￡(-1,0),/z(x)>/z(-l)=-e,

又-l<e"e_l<0,/(e"e-l)<fle-(ze=0

而〃0)=0,所以當(dāng)尤e0),f(x)>0

所以/(x)在(-1,0上有唯一零點(diǎn),0)上無零點(diǎn)

即/(x)在(-1,0)上有唯一零點(diǎn)

所以。<-1,符合題意

所以若"X)在區(qū)間(-1,0),(0,+8)各恰有一個(gè)零點(diǎn)，求。的取值范圍為(-叱-1)

方法點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是對(duì)。的范圍進(jìn)行合理分類，否定和肯定并用，否定只需要說明一邊不滿足即可，肯

定要兩方面都說明.

3.(2024?湖南邵陽?三模)已知函數(shù)/(司=-；/+/+1.

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)若函數(shù)g(x)=-M左eR)有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，求后的取值范圍.

【答案】⑴(0,2)

【分析】(1)利用求導(dǎo)，導(dǎo)數(shù)值大于。來求單調(diào)遞增區(qū)間即可;

(2)利用函數(shù)的單調(diào)性和取值情況，分析可得上的取值范圍.

【詳解】(1)由/(x)=-gx3+/+i,得/，(x)=f2+2x,

令/(x)>0,W-X2+2X>0,解得0<X<2.

所以/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,2)

(2)令_f(x)=0,解得x=0或x=2.

當(dāng)x變化時(shí)，/'(無)，〃x)的變化情況如下表所示：

X(-8,0)0(0,2)2(2,+oo)

/'(X)-0十0-

7

/(x)單調(diào)遞減1單調(diào)遞增單調(diào)遞減

3

由函數(shù)g(x)=/(x)-左有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，

得方程"X)=左(左eR)有且僅有三個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，

所以函數(shù)>=/(X)的圖象與直線>=左有且僅有三個(gè)交點(diǎn).

顯然，當(dāng)X->-8時(shí)，當(dāng)Xf+8時(shí)，.

所以由上表可知，“X)的極小值為"0)=1,“X)的極大值為/(2)=不

故w

4.(2024?廣東茂名?一模)設(shè)函數(shù)/(x)=e*+asinx,xe［0,+oo).

⑴當(dāng)0=-1時(shí)，/(x"加+1在［0,+功上恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍;

(2)若a>0J(x)在［0,+力)上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】⑴(-鞏。］

【分析】(1)構(gòu)建函數(shù)"x)=e*-6x-siru-1,通過導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)〃(x)單調(diào)性，進(jìn)而求解實(shí)數(shù)。的取值范圍;

(2)分離參數(shù)-：=罷，令g(x)=罷，xe［0,+?),利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)g(x)在指定區(qū)間的最值，即

gOOmm"-1"g(X)max得解.

【詳解】(1)當(dāng)a=-l時(shí)，/(x)=ex-sinx,

所以不等式轉(zhuǎn)化為e，-加-sinx-120,在乩+動(dòng)上恒成立.

令/z(x)=e"-bx-sinx-1,

所以〃'(x)=ex-cosx—b.

x

當(dāng)工￡［0,+8)時(shí)，Q_cos%20恒成立.

若6W0,則/(x)20在［0,+動(dòng)上恒成立，

//(%)在［0,+功上單調(diào)遞增，

故〃(可之“0)=0,符合題意；

若6>0,令函數(shù)加(x)=eX-cosx-6，

rx

則m(x)=e+siiix20在［0,+動(dòng)上恒成立，

所以加(x)在［0,+。)上單調(diào)遞增，

因?yàn)榧?0)=一6<0,且當(dāng)％->+°0時(shí)，機(jī)+8.

所以*0G(0,+oo),加(％)=e"-cosy。二0,

故當(dāng)X￡(0,/)時(shí)，〃'(力=冽(力<。，%(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)X￡(%,+8)時(shí),Ar(x)=m(x)>0,〃(x)單調(diào)遞增，

貝U〃(x)min=〃(％)=3。一區(qū)o-sinXo-l</z(O)=O,不符合題意.

綜上所述，實(shí)數(shù)b的取值范圍為(-8,0］；

(2)因?yàn)?(x)=e"+Qsinx,xe［0,+oo),

令/(%)=0，即e"+tzsinx=0，

1sinx

所以—一=］.

ae

令gW=h，%式。，+8)，

令g'(x)=0，得%=癡+,左cN.

所以當(dāng)X￡(：+2^^+2左兀］時(shí)，sin［x-；)〉0,g(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)x￡［0,,xe［彳+2be,7+2版)時(shí)，sin(x—<0,g(x)單調(diào)遞增.

57r

所以當(dāng)x=7+2E?eN時(shí)，g(x)取得極小值，

即當(dāng)X=?,寧,…時(shí),g(x)取得極小值.

▽出%.5兀.13乃V2如包

44

XM7^sin—=sin—=...=-—>0<e<e<

5兀1371

所以g<g<???

所以g(x)2g

JT

當(dāng)x=7+2億左￡N,g(x)取得極大值,

即當(dāng)'個(gè)，…時(shí)，g(')取得極大值?

又因?yàn)閟in烏=sin型=V2巴9K

0<e7<eT<---?

44

所以g[:J>g9兀

71

所以g(x)4g

所以當(dāng)xe[0,+8),_*e\4g(x)4*e：

3消<I%

所以-

2a2

又因?yàn)?。?,

所以“2后學(xué)時(shí)，〃龍)在［°，+")上存在零點(diǎn)，

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍為］后e7,+co.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題可從以下方面解題

(1)構(gòu)建函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，通過函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍；

(2)分離參數(shù)，將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的交點(diǎn)問題，并利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求函數(shù)的最值.

(3)本題計(jì)算量較大，注意導(dǎo)數(shù)求解過程中的容易出現(xiàn)的問題，以及單調(diào)性的分析要注意取值范圍.

即時(shí)竄L

1.(2024?廣東汕頭?三模)已知函數(shù)/(x)=xe-辦2).

⑴若曲線y=〃x)在無=-1處的切線與丁軸垂直，求＞=/(x)的極值.

(2)若/(X)在(0,+8)只有一個(gè)零點(diǎn)，求0.

【答案】⑴極小值-L無極大值；

e

⑵Q=-.

4

【分析】(1)求出函數(shù)八%)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合幾何意義求出。，再分析單調(diào)性求出極值.

(2)由函數(shù)零點(diǎn)的意義，等價(jià)變形得。=%在(0,+8)只有一解，轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)圖象只有一個(gè)交點(diǎn)求解.

【詳解】(1)函數(shù)/(x)=xe-"2)的定義域?yàn)镽,求導(dǎo)得/，(%)=(%+1)1-3加，/(—1)=—3〃，

依題意，/(-1)=0,則a=0,f(x)=xex,f\x)=(1+x)ex,

當(dāng)了<-1時(shí),r?<o,當(dāng)x>-1時(shí)，/V)>0,

因此函數(shù)/(%)在(-8,-1)上單調(diào)遞減，在(-1,+8)上單調(diào)遞增,

所以函數(shù)“X)在X=-1處取得極小值/(-I)無極大值.

e

(2)函數(shù)/⑴二武^-^馬在⑼+⑹只有一個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于>=/-依2在(0,+co)只有一個(gè)零點(diǎn)，

設(shè)g(x)=e="2,則函數(shù)g(x)在(0,+co)只有一個(gè)零點(diǎn),當(dāng)且僅當(dāng)g(x)=0在(0,+功只有一解,

即在(0,+co)只有一解，于是曲線^=號(hào)(尤>0)與直線>=。只有一個(gè)公共點(diǎn)，

XX

令夕(x)=￡7a>0),求導(dǎo)得夕'(x)=e2),當(dāng)xv2時(shí)，(p(x)<0,當(dāng)x>2時(shí)，(p(x)>0,

'XX

因此函數(shù)。(幻在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,+8)上單調(diào)遞增，

2

函數(shù)9(、)在％=2取得極小值同時(shí)也是最小值°(2)=e=,

當(dāng)X-0時(shí)，9(x)f+8；當(dāng)Xf+co時(shí)，9a)f+00,

2

所以/(X)在(0,+8)只有一個(gè)零點(diǎn)口寸，e

4

2.(2024?福建泉州?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)［(x)=d一辦+2,Q￡R.

⑴若x=-2是函數(shù)/(x)的極值點(diǎn)，求。的值，并求其單調(diào)區(qū)間；

⑵若函數(shù)/（X）在1,3上僅有2個(gè)零點(diǎn)，求。的取值范圍.

【答案】⑴。=12：/（x）的增區(qū)間是（7,-2）和（2,+8）,減區(qū)間是（-2,2）；

c55

（2）3<a<—

【分析】（1）首先根據(jù)/'（-2）=0,求。的值，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，即可求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

22「1-

（2）首先參變分離為。=/+）再構(gòu)造函數(shù)g（x）=/+『xe-,3,并判斷函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)性，極值

和端點(diǎn)值，根據(jù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，即可求解.

【詳解】（1）/'（x）=3尤2一口/（-2）=12-o=0,得a=12,

當(dāng)a=12時(shí)，/〈X）=3x?-12=0,得x=-2或x=2,

x,r（x）,/（x）的變化情況如下表所示，

X(-8,-2)-2(-2,2)2(2,+(?)

/（X）+0-0+

/'（X）增區(qū)間極大值18減區(qū)間極小值-14增區(qū)間

所以函數(shù)〃X）的增區(qū)間是（_叫_2）和（2,+8）,減區(qū)間是（-2,2）；

（2）令/（x）=-辦+2=0,xe；,3,

21

令g(x)=]2+丁XE]，3

3

、22(x-1),曰1

g'(x)=2x——-=-—-~~-=0?佝x=l,

如下表，

1

X1(⑶3

3

g'(x)-0+

5529

g(x)減區(qū)間極小值3增區(qū)間

~9T

因?yàn)楹瘮?shù)/(X)在1,3上僅有2個(gè)零點(diǎn)，即>與V=g(x)有2個(gè)交點(diǎn)，如圖:

即3<aW.

3.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))己知函數(shù)〃x)=hx+丘的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1).

⑴求函數(shù)“X)的圖象在點(diǎn)(ej(e))處的切線方程；

(2)若函數(shù)g(x)=￡-/(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.