利用導數研究函數的零點問題及方程的根-2025年高考數學一輪復習學案（新高考）

第09講利用導數研究函數的零點問題及方程的根

（6類核心考點精講精練）

考情探究?

1.5年真題考點分布

5年考情

考題示例考點分析關聯考點

利用導數研究具體函數單調性

函數對稱性的應用

2024年新H卷，第11題,6分利用導數研究函數的零點

極值與最值的綜合應用

判斷零點所在的區(qū)間

利用導數求函數的單調區(qū)間（不含參）

2023年新H卷，第22題,12分利用導數研究函數的零點利用導數研究不等式恒成立問題

根據極值點求參數

求在曲線上一點處的切線方程（斜率）

2022年新I卷，第10題,5分利用導數研究函數的零點

求已知函數的極值點

2022年新I卷,第22題,12分利用導數研究方程的根由導數求函數的最值（含參）

求離散型隨機查量的均值

2021年新H卷，第21題,12分利用導數研究方程的根

均值的實際應用

2021年新II卷,第22題,12分利用導數研究函數的零點含參分類討論求函數的單調區(qū)間

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內容是新高考卷的必考內容，設題穩(wěn)定，難度較大，分值為15-17分

【備考策略】1能用導數證明函數的單調性

2能結合零點的定義及零點存在性定理解決零點問題

3能結合方程的根的定義用導數解決方程的根的問題

【命題預測】導數的綜合應用是高考考查的重點內容，也是高考壓軸題之一近幾年高考命題的趨勢，是穩(wěn)中

求變、變中求新、新中求活，縱觀近幾年的高考題，導數的綜合應用題考查多個核心素養(yǎng)以及綜合應用能力,

有一定的難度，一般放在解答題的最后位置，對數學抽象、數學運算、邏輯推理等多個數學學科的核心素養(yǎng)

都有較深入的考查，需綜合復習

知識講解

利用導數研究函數零點的方法

（1）通過最值（極值）判斷零點個數的方法

借助導數研究函數的單調性、極值后，通過極值的正負，函數單調性判斷函數圖象走勢，從而判斷零

點個數或者通過零點個數求參數范圍.

（2）數形結合法求解零點

對于方程解的個數（或函數零點個數）問題，可利用函數的值域或最值，結合函數的單調性，畫出草圖

數形結合確定其中參數的范圍.

（3）構造函數法研究函數零點

①根據條件構造某個函數，利用導數確定函數的單調區(qū)間及極值點，根據函數零點的個數尋找函數在

給定區(qū)間的極值以及區(qū)間端點的函數值與0的關系，從而求解.

②解決此類問題的關鍵是將函數零點、方程的根、曲線交點相互轉化，突出導數的工具作用，體現轉

化與化歸的思想方法.

利用導數研究函數方程的根的方法

（1）通過最值（極值）判斷零點個數（方程的根）的方法

借助導數研究函數的單調性、極值后，通過極值的正負，函數單調性判斷函數圖象走勢，從而判斷零

點個數（方程的根）或者通過零點個數（方程的根）求參數范圍.

（2）數形結合法求解零點（方程的根）

對于方程解的個數（或函數零點個數）問題，可利用函數的值域或最值，結合函數的單調性，畫出草圖

數形結合確定其中參數的范圍.

（3）構造函數法研究函數零點（方程的根）

①根據條件構造某個函數，利用導數確定函數的單調區(qū)間及極值點，根據函數零點的個數（方程的根）

尋找函數在給定區(qū)間的極值以及區(qū)間端點的函數值與0的關系，從而求解.

②解決此類問題的關鍵是將函數零點、方程的根、曲線交點相互轉化，突出導數的工具作用，體現轉

化與化歸的思想方法.

考點一、求函數零點及其個數

典例引領

L(2024?湖北武漢?模擬預測)已知函數〃無)=ln尤-g/geR).

(1)當。=1時，求/(X)的最大值；

(2)討論函數/(x)在區(qū)間口,］上零點的個數.

【答案】⑴-g

⑵答案見解析

【分析】(1)求函數/'(x)的定義域及導函數，求。=1時方程/'(x)=0的解，分區(qū)間確定函數的單調性，

單調性求最值；

(2)函數的零點，即方程。=坐的解，設g(x)=坐，利用導數研究函數g(x)的性質，討論

XX

結合圖象確定函數〃X)的零點個數.

【詳解】(1)/(X)的定義域是(0,+。),

???/(x)=Xnx-^-ax1(aeR),f'(x\=--ax=^aX,

2xx

i_2

當a=l時，/'(%)=---r-=0,得X=±1.

,/x>0

.?.當xe(O,l)時，r(x)>0,函數/(x)單調遞增，

當xe(l,+”)時，r(x)<0,函數/(x)單調遞減

???當x=l時，函數/(x)取最大值，最大值為了⑴=-；：

(2)由〃x)=0,得。=罷，

人/、21nxe],(x2-41nx

令g(x)=G^,貝Ug(x)=―｝一，

由g'(x)>。得1<x<Ve,

由g［x)<0,得五eve?,

g(x)在區(qū)間［1,八］上單調遞增，在區(qū)間［八,e［上單調遞減,

又g⑴=0，g(Ve)=|,g(，)=g,

作函數g(x)的圖象如下：

綜上：當04a<?或“=:時，/?(工)在［1,62］上有一個零點，

當,4a寸，在［l,e］上有2個零點，

當a<0或時，仆)在口,叫上沒有零點.

2.(2024?湖南長沙?三模)已知函數/(x)=xe*Tg(x)=hix-加x/weR.

⑴求/(x)的最小值;

⑵設函數〃(x)=/(x)-g(x),討論力(X)零點的個數.

【答案】⑴最小值

e

⑵答案見解析

【分析】(1)先利用導數求出函數的單調區(qū)間，進而可求出函數的最小值；

⑵令力(x)=0,得屋一也吐1+加=0,令M》)=e-叵望+〃?，則”x)與左(x)有相同的零點，利用導數

XX

求出函數左(切的極值點，再分類討論機即可得出結論.

【詳解】⑴"X)的定義域為R/(x)=(x+l)e"

則當x<-l時，r(x)<0；當x>-l時，/f(x)>0,

所以/(x)在區(qū)間(-雙-1)上單調遞減，在區(qū)間(-1,+8)上單調遞增，

因此的最小值為〃-1)=」-1；

e

x

(2)//(x)=xe-lwc+mx-1f且x￡(0,+oo),

令〃(力=0,得+加=0,

x

令Mx)=e'-嚀1■+〃?，則”x)與左⑺有相同的零點，

且心…一匕粵卻=立誓,

XX

令廠(x)=x2ex+lnx,則/(x)=+2x)e*+—,

因為當x>0時，則/(x)>0,所以r(x)在區(qū)間(0,+8)上單調遞增，

又r1J=ee2_?0/(1)=00,所以罵e1』)，使廠(%)=0,

且當xe(O,Xo)時，r(x)<0,即乂(x)<0；當xe(毛,+(?)時，r(x)>0,即M(x)>0,

所以在區(qū)間(O,xo)上單調遞減,在區(qū)間優(yōu),+司上單調遞增，

因此Mx)的最小值為無伉)=1。-蛆山+加，

X。

1In—

由「(%)=0,得x；e"+1叫=0,即/e'。=In—e*,

%

令夕(x)=/(x)+1,則0(X)在區(qū)間(0,+動上單調遞增,

因為,<玉)<1，所以ln，>。，貝IJ夕(Xo)=91ln',

X1

所以工0=-1%)，從而Inx。=一%,即eo=一，

所以的最小值左(無0)=6與-lnX°+1+m=m+l,

%0

所以當加>-1時，左⑴沒有零點；

當機=7時，左口)有一個零點；

當〃7<-1時，因為無(%)<0,

當X趨近于0時，左(%)趨近于+8;當X趨近于+00時，左(X)趨近于+CO,

所以上3有兩個零點.

綜上，當%>-1時，“X)的零點個數為0；

當加=-1時，力(X)的零點個數為1；

當〃7<-1時，〃(尤)的零點個數為2.

【點睛】方法點睛：利用導數解決函數零點問題的方法：

(1)直接法：先對函數求導，根據導數的方法求出函數的單調區(qū)間與極值，根據函數的基本性質作出圖象,

然后將問題轉化為函數圖象與X軸的交點問題，突出導數的工具作用，體現了轉化與化歸思想、數形結合思

想和分類討論思想的應用；

(2)構造新函數法：將問題轉化為研究兩函數圖象的交點問題；

(3)參變量分離法：由〃x)=0分離變量得出a=g(x),將問題等價轉化為直線夕=。與函數y=g(x)的圖

象的交點問題.

3.(2024?河北保定?二模)已知函數/(x)=asinx+xcosx.

⑴若a=o,求曲線y=/(x)在點(oj(o))處的切線方程;

(2)若兀)，試討論/(x)的零點個數.

【答案】⑴"x

(2)答案見解析

【分析】(1)求得了(x)的導數，可得切線斜率和切點，從而求得切線方程；

(2)由/(x)為奇函數，將問題轉化為討論/(X)在(0,兀)上的零點，求得導數，討論“>-1,a=-\,

和aV-2,求得/(x)的單調性、極值和最值，結合零點存在定理，即可得到零點個數.

【詳解】(1)當a=0時，/(x)=xcosx,/(0)=0.

f'(x)=cosx-xsinx,/f(0)=1.

故曲線y=在點(oj(o))處的切線方程為了=尤.

(2)因為/(-x)=-/(x),所以/(X)為奇函數.

又因為/(o)=o,所以只需要討論〃尤)在(0㈤上的零點.

/'(x)=(a+l)cosx-xsinx,/f(0)=a+1.

令函數g(x)=/1x)=(a+l)cosx-xsinx,=-(a+2)sinx-xcosx

①當a+l>0,即。>-l時，分段討論：

當時xe；，j，/'(x)<0.

當時，g,(x)<0,所以g(x)在(0高上單調遞減，即/'(x)在由上單調遞減

因為/'(0)=a+l>0,/^=-^<0,所以存在使得/'(x°)=0.

當xe(O,x())時，/,(x)>0,當xe(xo,7t)時,f'[x)<Q,

所以/(x)在(O,x0)上單調遞增，在伉,兀)上單調遞減.

因為〃0)=0,/⑺=-無<0,所以f(x)在(0,兀)上有1個零點,

〃%）在（-71：,71）上有3個零點.

②當a+l=O,即a=-l時，/'（x）=-xsinx＜0,〃x）在（0,兀）上單調遞減，

所以73在（0,兀）上沒有零點，在（-兀,兀）上有1個零點.

③當。+240,即aW-2時，分段討論：

當時，f（x）＜0.

當時，g'（x）＞0,所以g（x）在j上單調遞增，即/'（X）在1/J上單調遞墻

因為'[3=-]＜0，/⑺=一（。+1）＞°，所以存在看eg,j,使得/'（為）=0.

當xe（O,xJ時，f'（x）＜0,當xe（x],7r）時，f'（x）＞0,

所以在（0,再）上單調遞減，在（西,兀）上單調遞增.

因為/（0）=0,/⑺＜0,

所以73在（o㈤上沒有零點，在（-私兀）上有1個零點.

[Q+1＜0

④當c八，即一2＜。＜一1時，分段討論：

[Q+2＞0

當時，/\x）＜0.

當x時，令函數人（工）=g'（x）=-（〃+2）sinx—xcosx,

川（x）=-（?+3）cosx+xsinx＞0.

所以Mx）在上單調遞增，即g'（x）在信，、上單調遞增.

因為g'D=-（a+2）＜°，g'（兀）=兀＞0,所以存在x?eg”,使得

所以g（x）在\上單調遞減，在（乙，%）上單調遞增，

即在/'（X）在信,xj上單調遞減，在兀）上單調遞增.

因為/[；]=一1＜0,/，（7i）=-（a+l）＞0,所以存在X3€色,兀），使得g（X3）=0.

當時xe?%）,/，（x）＜0,當xe（%3,兀）時，/'（%）＞。，

所以在（0,天）上單調遞減，在（9,無）上單調遞增.

因為/（。）=0，/㈤＜0,

所以/（X）在（o㈤上沒有零點，在（-兀，兀）上有1個零點.

綜上，當。＞-1時，在（-無,兀）上有3個零點；

當時,/（x）在（-再兀）上有1個零點.

【點睛】方法點睛：利用導數解決函數零點問題的方法：

（1）直接法：先對函數求導，根據導數的方法求出函數的單調區(qū)間與極值，根據函數的基本性質作出圖象,

然后將問題轉化為函數圖象與x軸的交點問題，突出導數的工具作用，體現了轉化與化歸思想、數形結合思

想和分類討論思想的應用；

（2）構造新函數法：將問題轉化為研究兩函數圖象的交點問題；

（3）參變量分離法：由〃x）=0分離變量得出a=g（x）,將問題等價轉化為直線＞與函數y=g（x）的圖

象的交點問題.

即0唧（

1.（2024?山東?模擬預測）已知函數〃x）=；e'-4.

（1）求曲線昨在點（1J0））處的切線/在y軸上的截距;

（2）探究“X）的零點個數.

【答案】⑴

⑵〃x）有兩個零點

【分析】（1）求得/=得到了3=宗；，=?-1,利用導數的幾何意義，求得切線

方程，進而求得其在了軸上的截距；

⑵得到了'（x）=：e一擊在（0,+動上遞增，結合/（,仙/⑴"，得到弱eg,1）,使得/伉）=0,

進而求得了（無）單調性，結合零點的存在性定理，即可求解.

【詳解】⑴解析：由函數I（x）=；e—&,可得/'（力=；雇-；,所以八1）=宗;，

又/⑴=?T，所以/的方程為kR-；］（XT）+：T,即了=［：-；］尤-；，

令x=0,可得y=-g,所以直線/在了軸上的截距為一;.

（2）解：因為》=%*和〉=-/=在（0,+功上均單調遞增，

所以/'(x)=為=5在(0,+勸上單調遞增，

又因為=/⑴=3_；)0,所以訓,使得為(％)=0,

所以，當xe(O,x°)時，r(x)<0,〃x)在(O,x0)單調遞減；

當xe(%o，+8)時，/(x)>0,/(x)在(無(),+8)單調遞增,

又因為f島〉MJ〉。/⑴{-“。)⑷一一小,

所以/(x)有兩個零點.

【點睛】方法點睛：已知函數零點(方程根)的個數，求參數的取值范圍問題的三種常用方法：

工、直接法，直接根據題設條件構建關于參數的不等式(組)，再通過解不等式(組)確定參數的取值范圍

2、分離參數法，先分離參數，將問題轉化成求函數值域問題加以解決；

3、數形結合法，先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中作出函數的圖象，然后數形結合求解.

結論拓展：與二和Inx相關的常見同構模型

①ae"61n6oe"lne"<61nb,構造函數/(x)=xlnx或g(x)=xe"；

@--7<--->構造函數/'(》)=丁匚或g(x)=J；

a\nbIneInZ?Inxx

③e"±a>6±ln6=e"±lne">b±\nb,構造函數7(x)=x±lnx或g(x)=e"土x.

2.(2024?浙江?模擬預測)已知函數/(x)=a(e'+sinx)-x-l.

⑴當時，求的單調區(qū)間；

(2)當a=1時，判斷〃x)的零點個數.

【答案】⑴減區(qū)間為(-％0),增區(qū)間為(0,+8);

(2)2個.

【分析】(1)求導，當x<0時，利用指數函數性質和余弦函數有界性可判斷導數符號，當x>0時，利用二

次導數判斷導函數單調性，然后可得導函數符號；

(2)當x>0時，利用二次導數判斷了(x)的單調性，當時，利用指數函數性質和正弦函數有界性可

判斷函數值符號，當-無令<0時，記"(x)=e-x-l,利用導數研究其圖象，根據"(x)與y=-sinx的圖象

交點個數判斷即可.

【詳解】(1)當a=；時，/(x)=^-(ex+sinx)-x-l,所以/■〈尤)=g(e*+cosx)-l,

當x<0時，e'<1,cosx<1,所以g(e*+cosx)<1,貝!

所以，/(x)在(-8,0)上單調遞減.

當x>0時，記g(無)=；(e*+cosx)-l,貝I]g，(x)=；(e*-sinx),

因為e">12sinx,所以g'(x)>0,g(x)在(0,+e)單調遞增,

所以g(x)>g(O)=O,BPr(x)>0,所以/⑺在(0,+s)上單調遞增.

綜上,/(x)的減區(qū)間為(-嗎。),增區(qū)間為(0,+。).

(2)當a=l時，/(x)=er+sinx-x-1,貝lj/'(x)=e*+cosx-l,

記力(x)=e*+CO&X-1,貝(|=e"-sinx,

當x>0時，eClNsinx,所以〃(x)>0,%(x)在(0,+s)單調遞增,

所以4x)>/z⑼=1>0,f(x)在(0,+8)上單調遞增，

所以/(x)>〃0)=0,/(x)在(0,+e)上無零點.

當xM-兀時，H^jex>0,sinx>>n-1,

所以/(x)=e*+sinx-x-l>0,此時無零點.

當一7t<x<0時，記"(x)=e*-x-l,則"'(x)=e*-l<0,

因為當x趨近于0時，(元)趨近于0,所以"(x)的變化越來越慢，圖象下凹,

當x=—兀時，e*-x-l>—sinx,當x=0時，ex—x—1=-sinx,

作出函數〃⑴和〉=-sinx的圖象如圖，

由圖可知，當-兀<x<0時，兩個函數圖象有一個交點，即/(X)有一個零點.

易知x=0是〃x)的一個零點.

綜上，函數〃x)共有2個零點.

y=n(xj.

2

3.(2024?河南?模擬預測)已知函數/(x)=*("0,”eR).

(1)求〃x)的極大值；

(2)若4=1,求g(x)=/(x)-COSX在區(qū)間-,2024兀上的零點個數.

【答案】(1)答案見解析

（2）2025個零點

【分析】（工）求導，分析函數的單調性，分情況討論，求函數的極大值.

2「一

（2）先分析方程二=cosx在一弓,0上解得個數，再分析在（0,2可上解的個數，進一步考慮方程在

eL2

（2版,2版+2可上解的個數，可得問題答案.

【詳解】（1）由題易得，函數〃力=竽的定義域為R,

所以，當a>0時，/'（x）,/（x）隨x的變化情況如下表:

X(fO)0（0,2）2(2,+(?)

/'（X）-0+0-

/（X）極小值/極大值

由上表可知，的單調遞增區(qū)間為（。,2）,單調遞減區(qū)間為（-嗎0）,（2,+巧.

所以的極大值為〃2）=*（0>0）.

e

當"0時，隨X的變化情況如下表：

X(-8,0)0（0,2）2（2,+8）

/'（X）+0-0+

/（X）/極大值極小值/

由上表可知，/（X）的單調遞增區(qū)間為（-8,0）,（2,+8）,單調遞減區(qū)間為（0,2）.

所以73的極大值為〃0）=0（。<0）.

綜上所述，當a>0時，/（x）的極大值為當；當"0時，/（X）的極大值為0.

e

22

（2）方法一：當4=1時，/（%）=1,所以函數g（x）=/（x）-cosx=1—COSX.

2

由g（x）=0,得土=co&x.

ex

所以要求g（x）在區(qū)間-5,2024兀上的零點的個數，

只需求y=〃x)的圖象與〃(x)=cosx的圖象在區(qū)間-,20247t上的交點個數即可.

由⑴知，當。=1時,y=/(另在(-8,0),(2,+8)上單調遞減,在(0,2)上單調遞增,

所以>=〃x)在區(qū)間一萬,0上單調遞減.

1T

又6(x)=cosx在區(qū)間一萬,0上單調遞增，

且了(_1)=e>1>cos(-l)=/z(-l),/(0)=0<l=cosO=/z(0),

2_

所以〃X)=?與力(x)=cosx的圖象在區(qū)間［-;,o］上只有一個交點，

所以g(x)在區(qū)間-',0上有且只有1個零點.

因為當。=1,無>0時，/(x)=^>o,

〃x)在區(qū)間(0,2)上單調遞增，在區(qū)間(2,+功上單調遞減，

所以在區(qū)間(。,+動上有極大值〃2)=*<1,

即當a=l,x>0時，恒有

又當x>0時，"x)=cosx的值域為［-1,1］,且其最小正周期為？=2%，

現考查在其一個周期(0,2可上的情況，

2

/(x)=j在區(qū)間(0,2］上單調遞增,/z(x)=COSX在區(qū)間(0,2］上單調遞減，

M/(O)=O</z(O)=l,/(2)>0>/z(2)=cos2,

2

所以"x)=cosx與=3的圖象在區(qū)間(0,2］上只有一個交點，

即g(x)在區(qū)間(0,2］上有且只有1個零點.

因為在區(qū)間0,?±,/(x)>0,/?(x)=cosx<0,

所以=；與咐)=/的圖象在區(qū)間(2號上無交點，

即g(x)在區(qū)間。，當上無零點.

在區(qū)間［1,2兀上，/(%)=j單調遞減，〃(x)=cosx單調遞增，

旦/片)>0>'<〃2兀)<1=32%="(270,

所以力(x)=cosx與=］的圖象在區(qū)間［當,2兀上只有一個交點，

即g(x)在區(qū)間［3,2兀］上有且只有1個零點.

所以g(x)在一個周期(0,2兀］上有且只有2個零點.

2

同理可知，在區(qū)間(2航,2E+2兀］(LcN*)上，0</(x)<l且〃尤)=［單調遞減，

/z(x)=cosx在區(qū)間(2阮2祈+兀］上單調遞減，在區(qū)間(2左兀+7i,2kli+2兀］上單調遞增，

且0</(2砌<l=cos(2砌=〃(2砌，

f(2析+兀)〉0>—1=cos(2左兀+71)=h(2hi+兀)

0</(2祈+兀)<1=cos(2E+兀)=〃(2foi+兀),

2

所以A(%)=COSX與/(x)=j的圖象在區(qū)間(2E,2析+可和(2祈+n,2fat+2兀］上各有一個交點,

即g(x)在(2兀,2024可上的每一個區(qū)間(2也,2也+2可卜eN*)上都有且只有2個零點.

所以g(x)在(0,2024兀］上共有半包x2=2024個零點.

綜上可知，g(x)在區(qū)間-20247t上共有2024+1=2025個零點.

22

方法二：當Q=1時，/(%)=■，所以函數g(x)=/(%)-COSX=3-COSX.

當無e-g,0時，g，(x)=H^+sinxW0,所以g(x)在區(qū)間-￡,0上單調遞減.

_2」'，e"2_

又g］：>0,g(0)<0,所以存在唯一零點x°e-p0,使得g(x0)=o.

所以g(x)在區(qū)間-：0上有且僅有一個零點.

-

/冗3冗2

當2E+g,2fei+T,左￡N時，—>o,cosx<0,所以g(x)〉0.

122」e"

所以g(x)在(2阮+5,2far+g，左eN上無零點.

當xe/；時，g，(x)=&/+siiu>0,所以g(x)在區(qū)間［o,3上單調遞增.

又g(o)(o,gD。，所以存在唯一零點.

當xe〔2E,2析+］，左eN*時，g,(x)=2x~X+sinx,

設0(x)=21x+si11y,貝=——當記+cosx>0

所以g'(x)在(2加,2E+。，左eN*上單調遞增.

又g'(2E)(o,g]2E+|Jjo,

所以存在再e12版,2E+]，笈eN*,使得g'(xJ=O.

即當xe(2配丙)時，g'(再)<0,g(x)單調遞減；

當xe]x[,2版+]時，g'(xJ>0,g(x)單調遞增.

又g(2版)”,g,配+,卜，所以g(x)在區(qū)間(2優(yōu)2?+^，笈eN*上有且僅有一個零點

所以g(x)在區(qū)間Q伍2版+]#eN上有且僅有一個零點.

(3兀"

當左兀+萬,2析+2兀，左eN時，

,/x2x-x2

g(町=———+sinx,

+

設0(x)=^——+sinx，則=——+cosx>Q

exex

所以g'(X)在(2桁+(2析+2兀，左eN上單調遞增.

又g'(2E+gJ<0,g'(2E+27T)<0,所以g(x)在區(qū)間12而+],2而+2兀，左eN上單調遞減:

又gQfac+g]>0,g(2^7c+27t)<0,

所以存在唯一％<2癡+5,2也+2無]，使得g(%)=。.

所以g(x)在區(qū)間12E+7,2也+2%，左eN上有且僅有一個零點.

所以g(x)在區(qū)間(2ht,2祈+2兀]，左eN上有兩個零點.

所以g3在(0,2024可上共有空當x2=2024個零點.

2兀

綜上所述，g(x)在區(qū)間-,20247r上共有2024+1=2025個零點.

【點睛】方法點睛：導函數求解函數零點個數問題，要利用導函數研究函數的單調性，進而求出函數的極

值情況，結合特殊點的函數值的正負，零點存在性定理進行求解.

考點二、由函數零點及個數求參數值

典例引領

1.(2022?全國?高考真題)己知函數/(x)=ax-'-Q+l)lnx.

x

(1)當。=0時，求/*)的最大值；

(2)若/(x)恰有一個零點,求a的取值范圍.

【答案】⑴-1

⑵(。，+°°)

【分析】(1)由導數確定函數的單調性，即可得解；

(2)求導得(%)=("一]xT)，按照。<。<1及“>1結合導數討論函數的單調性，求得函數的極

值，即可得解.

【詳解】(1)當。=0時，/(x)=---ln^,x>0,則/(x)=3-,==，

XXXX

當xe(0,1)時，/'(x)>0,/(x)單調遞增；

當x?l,+8)時,r(x)<0,/(x)單調遞減；

所以〃x)1mx=〃1)=一1；

(2)/(x)=ax---(a+l)lnx,x>0,則/'(無)=q1)!”",

XXXX

當aWO時，ax-l<0,所以當xe(0,l)時,f'(x)>0,f(x)單調遞增;

當xe(l,+⑹時，/'(x)<0,/(x)單調遞減；

所以/(x)max=/(l)=aT<°，此時函數無零點，不合題意；

當0<〃<1時，->1,在(0」)，l，+s]上，/(x)>0,單調遞增；

a\a)

在I?]上，，(x)<°，〃x)單調遞減；

又/⑴=a-l<0,

由(1)得—+lnx21,gpIn—>1-x,所以Inx<x,ln?<?』nx<2?,

當x>l時，/(x)=ax---(a+l)]nx>ax---2(a+])y[x>ax-(2a+3)Vx,

xx

則存在機=12+2]>L，使得/'（機）>0,

\a）a

所以/（X）僅在有唯一零點，符合題意；

當0=1時，/-（x）=（±d￡>0,所以〃x）單調遞增，又〃1）="1=0,

所以/（X）有唯一零點，符合題意；

當。>1時，-<i,在J-],（i,+8）上,r（x）>o,〃尤）單調遞增；

在上’單調遞減；此時/6="1>0,

由（1）得當Ovxvl時，lnx>l--,InVx>1--所以Inx

xyjx

止匕時/（x）=6zx---（6z+l）lnx<ax---2（a+1）|1——^|<-）+"?

xx\y/xJxy/x

存在〃=12J，使得了⑺<0，

4（。+1）a

所以/（X）在也，）有一個零點，在+8）無零點，

所以/（X）有唯一零點，符合題意；

綜上,。的取值范圍為（0,+8）.

【點睛】關鍵點點睛：解決本題的關鍵是利用導數研究函數的極值與單調性，把函數零點問題轉化為函數

的單調性與極值的問題.

2.（2022?全國?高考真題）已知函數/（尤）=111（1+工）+依尸

⑴當。=1時,求曲線P=/（x）在點（0,〃0））處的切線方程;

（2）若/（x）在區(qū)間（TO）,（0,+s）各恰有一個零點，求a的取值范圍.

【答案】⑴P=2x

（2）（-℃,-1）

【分析】（1）先算出切點,再求導算出斜率即可

（2）求導，對a分類討論，對x分（T,0）,（0,+s）兩部分研究

【詳解】（1）/（x）的定義域為（-1,+8）

y11—y

當I時J（x）=lna+x）+R（O）=。,所以切點為（。,。）?。?=+丁〃。）=2,所以切線斜率為2

所以曲線J=/（x）在點（0,7（0））處的切線方程為>=2x

(2)/(x)=ln(l+x)+——

ex

勺工)：1C(l-x)e，+a(lr2)

1+xev(l+x)ev

設g(x)=e*+a(l-x2)

1°若a>0,當xe(-1,0),g(x)=e*+a(1-無2)>0,即f\x)>0

所以/(x)在(-1,0)上單調遞增,/(x)</(0)=0

故/(x)在(-1,0)上沒有零點，不合題意

2°若-LMaWO,當xe(0,+oo),則g'(x)=ex-2ax>0

所以g(x)在(0,+8)上單調遞增所以g(x)>g(0)=1+a20,即f'(x)>0

所以/(x)在(0,+8)上單調遞增,/(x)>/(0)=0

故/(x)在(0,+動上沒有零點，不合題意

3°若。<-1

⑴當xe(0,+8),則g'(x)=e'-2ax>0,所以g(x)在(0,+co)上單調遞增

g(0)=1+〃<0,g(l)=e>0

所以存在僅e(0,1)，使得g(M=0,即f\m)=0

當Xe(0,s)J'(x)<0,/(x)單調遞減

當xe(加,+co),/(x)>0,/(x)單調遞增

所以

當xe(0,MJ(x)<〃0)=0,

Y1—Y

令/z(x)=[X>-1,貝uh\x)=-^-,x>-1,

ee

所以g)=2在上單調遞增，在(1,+8)上單調遞減，所以〃⑺口⑴」,

ee

又1>0,/卜=

所以/(X)在(加,+8)上有唯一零點

又(0,加)沒有零點,即f(x)在(0,”)上有唯一零點

⑵當xe(-l,0),g(x)=e*+a(12)

設〃(x)=g'(x)=ex-2ax

/?(x)=ex-2a>0

所以g'(x)在(-1,0)單調遞增

g(-l)=-+2a<0,g(0)=l>0

所以存在〃e(-l,O),使得g，(〃)=0

當xe(-1,n),g(x)<0,g(x)單調遞減

當xe(〃,0),g'(x)>0,g(x)單調遞增,g(x)<g(0)=1+a<0

Xg(-D=->0

e

所以存在fe(-1,叫使得g?)=0,即fr(t)=0

當xe單調遞增，當xe0,0),/(x)單調遞減，

當了￡(-1,0),/z(x)>/z(-l)=-e,

又-l<e"e_l<0,/(e"e-l)<fle-(ze=0

而〃0)=0,所以當尤e0),f(x)>0

所以/(x)在(-1,0上有唯一零點,0)上無零點

即/(x)在(-1,0)上有唯一零點

所以。<-1,符合題意

所以若"X)在區(qū)間(-1,0),(0,+8)各恰有一個零點，求。的取值范圍為(-叱-1)

方法點睛：本題的關鍵是對。的范圍進行合理分類，否定和肯定并用，否定只需要說明一邊不滿足即可，肯

定要兩方面都說明.

3.(2024?湖南邵陽?三模)已知函數/(司=-；/+/+1.

(1)求函數/(x)的單調遞增區(qū)間；

(2)若函數g(x)=-M左eR)有且僅有三個零點，求后的取值范圍.

【答案】⑴(0,2)

【分析】(1)利用求導，導數值大于。來求單調遞增區(qū)間即可;

(2)利用函數的單調性和取值情況，分析可得上的取值范圍.

【詳解】(1)由/(x)=-gx3+/+i,得/，(x)=f2+2x,

令/(x)>0,W-X2+2X>0,解得0<X<2.

所以/(x)的單調遞增區(qū)間為(0,2)

(2)令_f(x)=0,解得x=0或x=2.

當x變化時，/'(無)，〃x)的變化情況如下表所示：

X(-8,0)0(0,2)2(2,+oo)

/'(X)-0十0-

7

/(x)單調遞減1單調遞增單調遞減

3

由函數g(x)=/(x)-左有且僅有三個零點，

得方程"X)=左(左eR)有且僅有三個不等的實數根，

所以函數>=/(X)的圖象與直線>=左有且僅有三個交點.

顯然，當X->-8時，當Xf+8時，.

所以由上表可知，“X)的極小值為"0)=1,“X)的極大值為/(2)=不

故w

4.(2024?廣東茂名?一模)設函數/(x)=e*+asinx,xe［0,+oo).

⑴當0=-1時，/(x"加+1在［0,+功上恒成立，求實數b的取值范圍;

(2)若a>0J(x)在［0,+力)上存在零點，求實數。的取值范圍.

【答案】⑴(-鞏。］

【分析】(1)構建函數"x)=e*-6x-siru-1,通過導數判斷函數〃(x)單調性，進而求解實數。的取值范圍;

(2)分離參數-：=罷，令g(x)=罷，xe［0,+?),利用導數求函數g(x)在指定區(qū)間的最值，即

gOOmm"-1"g(X)max得解.

【詳解】(1)當a=-l時，/(x)=ex-sinx,

所以不等式轉化為e，-加-sinx-120,在乩+動上恒成立.

令/z(x)=e"-bx-sinx-1,

所以〃'(x)=ex-cosx—b.

x

當工￡［0,+8)時，Q_cos%20恒成立.

若6W0,則/(x)20在［0,+動上恒成立，

//(%)在［0,+功上單調遞增，

故〃(可之“0)=0,符合題意；

若6>0,令函數加(x)=eX-cosx-6，

rx

則m(x)=e+siiix20在［0,+動上恒成立，

所以加(x)在［0,+。)上單調遞增，

因為加(0)=一6<0,且當％->+°0時，機+8.

所以*0G(0,+oo),加(％)=e"-cosy。二0,

故當X￡(0,/)時，〃'(力=冽(力<。，%(x)單調遞減，

當X￡(%,+8)時,Ar(x)=m(x)>0,〃(x)單調遞增，

貝U〃(x)min=〃(％)=3。一區(qū)o-sinXo-l</z(O)=O,不符合題意.

綜上所述，實數b的取值范圍為(-8,0］；

(2)因為/(x)=e"+Qsinx,xe［0,+oo),

令/(%)=0，即e"+tzsinx=0，

1sinx

所以—一=］.

ae

令gW=h，%式。，+8)，

令g'(x)=0，得%=癡+,左cN.

所以當X￡(：+2^^+2左兀］時，sin［x-；)〉0,g(x)單調遞減；

當x￡［0,,xe［彳+2be,7+2版)時，sin(x—<0,g(x)單調遞增.

57r

所以當x=7+2E?eN時，g(x)取得極小值，

即當X=?,寧,…時,g(x)取得極小值.

▽出%.5兀.13乃V2如包

44

XM7^sin—=sin—=...=-—>0<e<e<

5兀1371

所以g<g<???

所以g(x)2g

JT

當x=7+2億左￡N,g(x)取得極大值,

即當'個，…時，g(')取得極大值?

又因為sin烏=sin型=V2巴9K

0<e7<eT<---?

44

所以g[:J>g9兀

71

所以g(x)4g

所以當xe[0,+8),_*e\4g(x)4*e：

3消<I%

所以-

2a2

又因為。＞0,

所以“2后學時，〃龍)在［°，+")上存在零點，

所以實數。的取值范圍為］后e7,+co.

【點睛】思路點睛：本題可從以下方面解題

(1)構建函數，利用導數判斷函數的單調性，通過函數的單調性求參數的取值范圍；

(2)分離參數，將零點問題轉化為函數的交點問題，并利用導數判斷函數的單調性，進而求函數的最值.

(3)本題計算量較大，注意導數求解過程中的容易出現的問題，以及單調性的分析要注意取值范圍.

即時竄L

1.(2024?廣東汕頭?三模)已知函數/(x)=xe-辦2).

⑴若曲線y=〃x)在無=-1處的切線與丁軸垂直，求＞=/(x)的極值.

(2)若/(X)在(0,+8)只有一個零點，求0.

【答案】⑴極小值-L無極大值；

e

⑵Q=-.

4

【分析】(1)求出函數八%)的導數，結合幾何意義求出。，再分析單調性求出極值.

(2)由函數零點的意義，等價變形得。=%在(0,+8)只有一解，轉化為直線與函數圖象只有一個交點求解.

【詳解】(1)函數/(x)=xe-"2)的定義域為R,求導得/，(%)=(%+1)1-3加，/(—1)=—3〃，

依題意，/(-1)=0,則a=0,f(x)=xex,f\x)=(1+x)ex,

當了<-1時,r?<o,當x>-1時，/V)>0,

因此函數/(%)在(-8,-1)上單調遞減，在(-1,+8)上單調遞增,

所以函數“X)在X=-1處取得極小值/(-I)無極大值.

e

(2)函數/⑴二武^-^馬在⑼+⑹只有一個零點，等價于>=/-依2在(0,+co)只有一個零點，

設g(x)=e="2,則函數g(x)在(0,+co)只有一個零點,當且僅當g(x)=0在(0,+功只有一解,

即在(0,+co)只有一解，于是曲線^=號(尤>0)與直線>=。只有一個公共點，

XX

令夕(x)=￡7a>0),求導得夕'(x)=e2),當xv2時，(p(x)<0,當x>2時，(p(x)>0,

'XX

因此函數。(幻在(0,2)上單調遞減，在(2,+8)上單調遞增，

2

函數9(、)在％=2取得極小值同時也是最小值°(2)=e=,

當X-0時，9(x)f+8；當Xf+co時，9a)f+00,

2

所以/(X)在(0,+8)只有一個零點口寸，e

4

2.(2024?福建泉州?模擬預測)已知函數［(x)=d一辦+2,Q￡R.

⑴若x=-2是函數/(x)的極值點，求。的值，并求其單調區(qū)間；

⑵若函數/（X）在1,3上僅有2個零點，求。的取值范圍.

【答案】⑴。=12：/（x）的增區(qū)間是（7,-2）和（2,+8）,減區(qū)間是（-2,2）；

c55

（2）3<a<—

【分析】（1）首先根據/'（-2）=0,求。的值，根據導數和函數單調性的關系，即可求解函數的單調區(qū)間；

22「1-

（2）首先參變分離為。=/+）再構造函數g（x）=/+『xe-,3,并判斷函數在區(qū)間的單調性，極值

和端點值，根據圖象的交點個數，即可求解.

【詳解】（1）/'（x）=3尤2一口/（-2）=12-o=0,得a=12,

當a=12時，/〈X）=3x?-12=0,得x=-2或x=2,

x,r（x）,/（x）的變化情況如下表所示，

X(-8,-2)-2(-2,2)2(2,+(?)

/（X）+0-0+

/'（X）增區(qū)間極大值18減區(qū)間極小值-14增區(qū)間

所以函數〃X）的增區(qū)間是（_叫_2）和（2,+8）,減區(qū)間是（-2,2）；

（2）令/（x）=-辦+2=0,xe；,3,

21

令g(x)=]2+丁XE]，3

3

、22(x-1),曰1

g'(x)=2x——-=-—-~~-=0?佝x=l,

如下表，

1

X1(⑶3

3

g'(x)-0+

5529

g(x)減區(qū)間極小值3增區(qū)間

~9T

因為函數/(X)在1,3上僅有2個零點，即>與V=g(x)有2個交點，如圖:

即3<aW.

3.(2024?全國?模擬預測)己知函數〃x)=hx+丘的單調遞增區(qū)間為(0,1).

⑴求函數“X)的圖象在點(ej(e))處的切線方程；

(2)若函數g(x)=￡-/(x)有兩個零點，求實數。的取值范圍.