考點19 圖形的旋轉(zhuǎn)（解析版） -中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)課程標(biāo)準(zhǔn)考點方法突破

考點19圖形的旋轉(zhuǎn)

課標(biāo)對考點的要求

對圖形的旋轉(zhuǎn)問題，中考命題需要滿足下列要求：

(1)通過具體實例認(rèn)識平面圖形關(guān)于旋轉(zhuǎn)中心的旋轉(zhuǎn)。探索它的基本性質(zhì)：一個圖形和它經(jīng)過旋轉(zhuǎn)所得到

的圖形中，對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心距離相等，兩組對應(yīng)點分別與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角相等。

(2)了解中心對稱、中心對稱圖形的概念，探索它的基本性質(zhì)：成中心對稱的兩個圖形中，對應(yīng)點的連線

經(jīng)過對稱中心，且被對稱中心平分。

(3)探索線段、平行四邊形、正多邊形、圓的中心對稱性質(zhì)。

(4)認(rèn)識并欣賞自然界和現(xiàn)實生活中的中心對稱圖形。

重要考點知識解康

L旋轉(zhuǎn)：在平面內(nèi)，將一個圖形繞一個定點按某個方向轉(zhuǎn)動一個角度，這樣的運動叫做圖形的旋轉(zhuǎn)。這個

定點叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動的角度叫做旋轉(zhuǎn)角。

圖形的旋轉(zhuǎn)三大要素：旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角度.圖形的旋轉(zhuǎn)是圖形上的每一點在平面上繞著某個

固定點旋轉(zhuǎn)固定角度的位置移動，其中對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應(yīng)線段的長度、對應(yīng)角的大小相

等，旋轉(zhuǎn)前后圖形的大小和形狀沒有改變。如下圖所示：

2.旋轉(zhuǎn)對稱中心：把一個圖形繞著一個定點旋轉(zhuǎn)一個角度后，與初始圖形重合，這種圖形叫做旋轉(zhuǎn)對稱圖

形，這個定點叫做旋轉(zhuǎn)對稱中心，旋轉(zhuǎn)的角度叫做旋轉(zhuǎn)角(旋轉(zhuǎn)角大于0°，小于360。)。

3.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

(1)對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等。

(2)對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角。

4.中心對稱圖形與中心對稱

(1)中心對稱圖形：如果把一個圖形繞著某一點旋轉(zhuǎn)180度后能與自身重合，那么我們就說，這個圖形成

中心對稱圖形。

(2)中心對稱：如果把一個圖形繞著某一點旋轉(zhuǎn)180度后能與另一個圖形重合，那么我們就說，這兩個圖

形成中心對稱。

5.中心對稱和中心對稱圖形的區(qū)別

區(qū)別：中心對稱是指兩個全等圖形之間的相互位置關(guān)系，這兩個圖形關(guān)于一點對稱，這個點是對稱

中心，兩個圖形關(guān)于點的對稱也叫做中心對稱.成中心對稱的兩個圖形中，其中一個上所有點關(guān)于

對稱中心的對稱點都在另一個圖形上，反之，另一個圖形上所有點的對稱點，又都在這個圖形上；

而中心對稱圖形是指一個圖形本身成中心對稱.中心對稱圖形上所有點關(guān)于對稱中心的對稱點都在

這個圖形本身上。

如果將中心對稱的兩個圖形看成一個整體(一個圖形)，那么這個圖形就是中心對稱圖形；一個中

心對稱圖形，如果把對稱的部分看成是兩個圖形，那么它們又是關(guān)于中心對稱。

6.中心對稱圖形的判定

如果兩個圖形的對應(yīng)點連線都經(jīng)過某一點，并且被這一點平分，那么這兩個圖形關(guān)于這一點對稱。

7.中心對稱的性質(zhì)

關(guān)于中心對稱的兩個圖形是全等形。

關(guān)于中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心平分。

關(guān)于中心對稱的兩個圖形，對應(yīng)線段平行(或者在同一直線上)且相等。

8.坐標(biāo)系中對稱點的特征

(1)關(guān)于原點對稱的點的特征

兩個點關(guān)于原點對稱時，它們的坐標(biāo)的符號相反，即點P(x,y)關(guān)于原點的對稱點為P'(-x,-y)

(2)關(guān)于x軸對稱的點的特征

兩個點關(guān)于x軸對稱時，它們的坐標(biāo)中，x相等，y的符號相反，即點P(x,y)關(guān)于x軸的對稱點為P'

(x,-y)

(3)關(guān)于y軸對稱的點的特征

兩個點關(guān)于y軸對稱時，它們的坐標(biāo)中，y相等，x的符號相反，即點P(x,y)關(guān)于y軸的對稱點為P'

(-x,y)

9.常見的中心對稱圖形

平行四邊形、矩形、菱形、正方形、正六邊形、圓等.旋轉(zhuǎn)問題包括直線(線段)的旋轉(zhuǎn)問題、三角形的旋

轉(zhuǎn)問題、四邊形的旋轉(zhuǎn)問題、其他圖形的旋轉(zhuǎn)問題.

重要問題解題思維方法總結(jié)

1.旋轉(zhuǎn)作圖步驟：

(1)根據(jù)題意，確定旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向及旋轉(zhuǎn)角；

(2)找出原圖形的關(guān)鍵點；

（3）連接關(guān)鍵點與旋轉(zhuǎn)中心，按旋轉(zhuǎn)方向與旋轉(zhuǎn)角將它們旋轉(zhuǎn)，得到各關(guān)鍵點的對應(yīng)點；

（4）按原圖形依次連接對應(yīng)點，得到旋轉(zhuǎn)后的圖形.

2.旋轉(zhuǎn)變換的應(yīng)用總結(jié)

（1）求角度；（2）求弧度；（3）求面積；（4）證明線段相等；

（5）證明角相等；（6）證明位置關(guān)系：（7）綜合應(yīng)用。

解題關(guān)鍵就是，要抓住圖形變換過程中的幾何不變性即旋轉(zhuǎn)不變性、數(shù)值不變性等。旋轉(zhuǎn)是一種全等變換,

旋轉(zhuǎn)改變的是圖形的位置，圖形的大小關(guān)系不發(fā)生改變，所以在解答有關(guān)旋轉(zhuǎn)的問題時，要注意挖掘相等

線段、角，因此特殊三角形性質(zhì)的運用、銳角三角函數(shù)建立的邊角關(guān)系起著關(guān)鍵的作用.

3.中心對稱圖形與中心對稱關(guān)系

中心對稱圖形中心對稱

圖

形“C

定如果一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180。后能與如果一個圖形繞某點旋轉(zhuǎn)180。后與

義它自身重合，我們就把這個圖形叫做中心另一個圖形重合，我們就把這兩個圖

對稱圖形，這個點叫做它的對稱中心形叫做成中心對稱

點A與點4,點B與點點C與

對應(yīng)點點、A與點C,點5與點。

點C

性AB=CD,

對應(yīng)線段AB二AB,BC=B'C,AC=AfC

質(zhì)AD=BC

ZA=ZC

對應(yīng)角ZA=ZA\NB=ZC=ZC

NB=ND

區(qū)中心對稱圖形是指具有某種特性的一個

中心對稱是指兩個圖形的關(guān)系

別圖形

把成中心對稱的兩個圖形看成一個

聯(lián)把中心對稱圖形的兩個部分看成“兩個圖

“整體”，則“整體”成為中心對稱

系形”，則這“兩個圖形”成中心對稱

圖形

中考典例解析

【例題1】（2021黑龍江大慶）下列圖形中，是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形的是（）

【答案】A

【解析】根據(jù)中心對稱圖形的定義旋轉(zhuǎn)180。后能夠與原圖形完全重合即是中心對稱圖形，以及軸對稱圖形

的定義：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條

直線叫做對稱軸，即可判斷出答案.

詳解：A、此圖形是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故此選項正確；

B、此圖形不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項錯誤；

C、此圖形是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，故此選項錯誤；

D、此圖形不中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項錯誤.

【例題2】（2021貴州黔東南）如圖，在邊長為2的正方形ABC。中，若將AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°,

使點B落在點夕的位置，連接8夕，過點。作，交BB,的延長線于點E,則8,E的長為（）

匚

B匕----------------1c

A.B.2A/3-2C.-|^D.f/3

t答案】A

【解析】分別延長A。和5E交于點凡

由題知，AB=2fNABF=60°,

/.BF=AB4-cos600=24--1=4,AF=Bfcos600=4x2/,=2M,

2：

ZF=90°-NABr=30°，

：.DF=AF-AD=243~2,

；?EF=DF?cosNF=X返=3-加，

2

由題知，△AB8是等邊三角形，

：,B'E=BF-BB'-EF=4-2-（3-第）=例-1.

D

[例題3](2021黑龍江鶴崗)如圖，正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是一個單位長度，在平面直

角坐標(biāo)系內(nèi)，△A3。的三個頂點坐標(biāo)分別為A(-1,3),8(-4,3),O(0,0).

(1)畫出4人鳥。關(guān)于x軸對稱的△48iO,并寫出點4的坐標(biāo)；

(2)畫出△ABO繞點。順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到的△42&O,并寫出點4的坐標(biāo)；

(3)在(2)的條件下，求點4旋轉(zhuǎn)到點A2所經(jīng)過的路徑長(結(jié)果保留n).

【答案】見解析。

【解析】利用軸對稱的性質(zhì)分別作出A,B的對稱點Ai,囪即可.利用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)分別作出A,8的對

應(yīng)點啟，外即可.利用弧長公式/=2翳，求解即可.

180

(1)如圖，△AiBiO即為所求，點Ai的坐標(biāo)(?1,-3)；

(2)如圖，△A282O即為所求，點4的坐標(biāo)(3,1)；

(3)點A旋轉(zhuǎn)到點4所經(jīng)過的路徑長=907二/元=2/更n

1802

【例題4】（2021廣西貴港）已知在△ABC中，。為8C邊的中點，連接A。，將△AOC繞點O順時針方

向旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角為鈍角），得到△EOF,連接AE,CF.

(1)如圖1,當(dāng)NBAC=90°且AB=AC時,則AE與CF滿足的數(shù)量關(guān)系是

(2)如圖2,當(dāng)N84c=90°且A5W4C時,（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請寫出證明過程：若

不成立，請說明理由.

（3）如圖3,延長AO到點￡>,使。。=。4,連接OE,當(dāng)AO=C〃=5,8C=6時，求OE的長.

圖1圖2圖3

【答案】見解析。

【解析】（1）結(jié)論：AE=CF.

理由：如圖1中,

圖1

???AB=AC,ZBAC=90°，OC=OB,

：?OA=OC=OB,AO.LBC,

VZAOC=ZEOF=W,AZAOE=ZCOF,

,：OA=OC,OE=OF,??.△AOEgZkCO尸(SAS),：,AE=CF.

（2）結(jié)論成立.

理由：如圖2中,

圖2

VZBAC=90°,OC=OB,：,OA=OC=OB,

VZAOC=ZEOFt:?/AOE=/COF,

*：OA=OC,OE=OF,???△AOEg△COF(SAS)，：,AE=CF.

(3)如圖3中，

圖3

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知OE=OA,

?：OA=OD,：.OE=OA=OD=5,：.ZAED=90°,

*：OA=OEyOC=OF,/AOE=NCOF,

.0A=OE

"ocOF'

A.,.延=怨，

CFOC

?；CF=OA=5,

53

?"E=空，

3

???D￡=VAD2-AE2=^102-(-y-)

跨點問題綜合訓(xùn)練

一、選擇題

1.（2021黑龍江鶴崗）下列圖形中，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（）

【答案】D

【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解.

解：A.是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不合題意;

B.是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不合題意;

C.是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故木選項不合題意;

D.既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故本選項符合題意.

2.（2021湖南益陽）以下有關(guān)勾股定理證明的圖形中，不是中心對稱圖形的是（）

【解析】根據(jù)中心對稱圖形的概念求解.用一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°,如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的

圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形.

A.不是中心對稱圖形，符合題意;

B.是中心對稱圖形，不符合題意;

是中心對稱圖形，不符合題意;

D.是中心對稱圖形，不符合題意.

3.（2021蘇州）如圖，在方格紙中，將RtZ\408繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到RtZ\A'O'B（）

OB

AA\

rA\(y

、/、

/\

OB05A

【答案】B

【解析】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)過程中圖形和大小都不發(fā)生變化，根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)判斷即可.

4選項是原圖形的對稱圖形故不正確；

8選項是RtaAOB繞點8按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到RtZ\4'O'8,故5正確；

。選項旋轉(zhuǎn)后的形狀發(fā)生了改變，故C不正確：

。選項是按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°,故。不正確.

4.（2021大連）如圖，在△A4C中，NAC4=90°,ZBAC=af將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△

A9C,點8的對應(yīng)點8在邊AC上（不與點4,。重合），則N448的度數(shù)為（）

A.aB.a-45°C.45°-aD.90c-a

【答案】C

【解析】由旋轉(zhuǎn)知4c=4C,NBAC=NC4B,NACY=90°,從而得出△ACA是等腰直.角三角形，即可

解決問題.

???將△A8C繞點。順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ASC,

：.AC=ACtNBAC=NCAE,N4C4'=90°,

:.△ACT是等腰直角三角形，

???NC4N=45°,

,:7RAC=a,

：.ZCAB'=a,

，NA4b=45°-a.

5.（2021浙江衢州）如圖.將菱形ABC。繞點4逆時針旋轉(zhuǎn)Na得到菱形A"CD',NB=/0.當(dāng)

AC平分/夕AC'時，Na與N0滿足的數(shù)量關(guān)系是（）

A.Za=2ZpB.2Za=3Zp

C.4Za+Zp=180°D.3Za+2Zp=l80°

【答案】C

【解析】???AC平分NB'AC,

，N8AC=NCAC,

??,菱形ABC。繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)Na得到菱形A*CDr,

.\ZBAB,=ZC4C=a,

〈AC平分NBA。，

/.ZBAC=ZD/1C,

???N848'=NOAC,

:.NBAB'=ZB'AC=ZCAC=ND4C=a,

■:AD1/BC,

.*.4a+p=180°.

6.（2022武漢模擬）下列圖形中是中心對稱圖形的是（）

*收9☆興

ABCD

【答案】i）

【解析】根據(jù)中心對稱圖形是圖形沿對稱中心旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合的圖形。所給圖形中只有D繞著中

心旋轉(zhuǎn)180°后能與自身重合，故選D。

7.下列圖形是中心對稱圖形的是（）

?③⑩西

ABCD

【答案】A.

【解析】根據(jù)中心對稱圖形的概念,中心對稱圖形是圖形沿對稱中心旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合.A.???該圖形

旋轉(zhuǎn)180°后能與原圖形重合，，該圖形是中心對稱圖形；

B.???該圖形旋轉(zhuǎn)180°后不能與原圖形重合，，該圖形不是中心對稱圖形；

C.???該圖形旋轉(zhuǎn)180°后不能與原圖形重合，，該圖形不是中心對稱圖形；

D.???該圖形旋轉(zhuǎn)180°后不能與原圖形重合，，該圖形不是中心對稱圖形.

8.下列圖案中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

A區(qū)殺內(nèi)

ABCD

【答案】D

【解析】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折

疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合.根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖

形的概念，結(jié)合選項所給圖形進行判斷即可.

A.是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；

B.是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，符合題意；

C.是中心對稱圖形.不是軸對稱圖形,不符合題意：

D.不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，不符合題意.

9.（2021湖南邵陽）下列四個圖形中，是中心對稱圖形的是（）

【答案】C

【解析】根據(jù)中心對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解.把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180。，如果旋轉(zhuǎn)

后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，這個點叫做對稱中心.

A.不是中心對稱圖形，故本選項不合題意:

B.不是中心對稱圖形，故本選項不合題意;

C.是中心對稱圖形，故本選項符合題意；

D.不是中心對稱圖形，故本選項不合題意.

10.（2021遼寧本溪）下列漂亮的圖案中似乎包含了一些曲線，其實它們這種神韻是由多條線段呈現(xiàn)出來

的，這些圖案中既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（）

【答案】A

【解析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念，對各選項分析判斷即可得解.

4.既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故本選項符合題意;

B.是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；

C.是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；

D.是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不合題意.

11.（2021黑龍江大慶）如圖，尸是線段上除端點外一點，將繞正方形A3CO的頂點A順

時針旋轉(zhuǎn)90。，得到△A5E.連接"交AB于點下列結(jié)論正確的是（）

A.ZE4F=12（TB.AE:EF=\：y/3C.AF2=EHEF【）.EB:AD=EH:HF

【答案】D

【解析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：NEA尸=90。.故A選項錯誤；

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：NE4尸=90。，EA=AF,則尸是等腰直角三角形，

:?EF:及AE,即AE：EF=\：/，故5選項錯誤；

EAEF

若C選項正確，則A/2=人62=石”?砂，即的=3，

EHEA

???ZAEF=ZHEA=45°,

:.REhF~4EHA,

：.ZEAH=ZEFA,

而NE杉1=45。，NEAHW45。,

:.乙EAH豐乙EFA,

，假設(shè)不成立，故。選項錯誤；

???四邊形A8CO是正方形，

：,CD//AB,HPBH//CF,AD=BC,

:,EB：BC=EH：HF,即E8：AD=EH：HF,故。選項正確。

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，

正確運用反證法是解題的關(guān)鍵.

12.（2020?孝感）如圖，點E在正方形4BC。的邊C￡＞上，將△AOE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°到△48尸的

位置，連接EF,過點A作EF的垂線，垂足為點H,與BC交于點G.若BG=3,CG=2,則CE的長為（）

【答案】B

【解析】連接EG,根據(jù)AG垂直平分EE即可得出EG=FG,設(shè)CE=x,則QE=5?x=BF,FG=EG=8

-x,再根據(jù)RtZkCEG中，C用+CG?=EG?,即可得到CE的長.

解：如圖所示，連接石G,

由旋轉(zhuǎn)可得，△4OE也△48F,

：.AE=AF,DE=BF,

又???AG_LEF,

???〃為E尸的中點,

???AG垂直平分EF,

:?EG=FG,

設(shè)CE=x,貝I]OE=5?x=5尸，F(xiàn)G=8-x,

：,EG=S-x,

VZC=90°,

???Rt^CEG中，CE1+CG1=EG2,BP?+22=(8-x)2

解得廣享

.,.CE的長為一。

4

13.（2020?青島）如圖，將△ABC先向上平移1個單位，再繞點P按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90。，得到△>!'B'

C,則點4的對應(yīng)點A'的坐標(biāo)是（）

C.(3,-2)D.(-1,4)

【答案】D

【解析】根據(jù)平移和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，將△A3C先向上平移1個單位,再繞點?按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°,得到

△A'B'C,即可得點A的對應(yīng)點A'的坐標(biāo).

則點A的對應(yīng)點A'的坐標(biāo)是（-1,4）.

14.：2020?齊齊哈爾）有兩個直角三角形紙板，一個含45°角,另一個含30°角，如圖①所示疊放，先

將含30°角的紙板固定不動，再將含45°角的紙板繞頂點4順時針旋轉(zhuǎn)，使BC〃。&如圖②所示，則旋

轉(zhuǎn)角NBA力的度數(shù)為（）

圖①圖②

A.15°B.30°C.45°D.60,

【答案】D

【解析】由平行線的性質(zhì)可得NC^=NO=90°,由外角的性質(zhì)可求NBA。的度數(shù).

如圖，設(shè)AD與8C交于點F,

AZCM=ZD=90°，

???/C剛=N8+NBAO=60°+ZBAD,

???/胡。=30°

15.（2020?棗莊）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點6在第一象限，點A在％軸的正半軸上，Z1AOB

=ZB=30°,OA=2.將△AO8繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)90°,點3的對應(yīng)點8的坐標(biāo)是（）

【答案】A

【解析】如圖，過點"作&〃_Ly軸于H.解直角三角形求出‘H,B'"即可.

H=A'B'cos600=1,B'H=A'B'sin600=V3,

，OH=2+1=3,

:?B'（-V3,3）o

16.（2020?蘇州）如圖，在△ABC中，NBAC=108°,將△43C繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△ABC.若

點9恰好落在8C邊上，且AB'=CB',則NC的度數(shù)為（）

A.18°B.20°C.24°D.28c

【答案】C

【解析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得NC=/C,AB=AB\由等腰三角形的性質(zhì)可得/C=NC49,NB=N48B,

由三角形的外角性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可求解.

：.4C=4CAB,

：.N48'B=NC+NC4B'=2NC,

??,將44BC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△48C,

???NC=NC,AB=AB\

：.ZB=NAB'B=2/C,

???NB+NC+NCAB=180°,

A3ZC=180°-108°，

，/C=24°,

，NC=NC=24°o

二、填空題

1.（2021吉林）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為（0,3），點8的坐標(biāo)為（4,0）,連接A8,

若將ZkABO繞點8順時針旋轉(zhuǎn)90°,得到△4'B0',則點A'的坐標(biāo)為.

【答案】（7,4）.

【解析】作AC_Lx軸于點C,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得8C=AY7=OA=3,4C=0B=08=4,進而求解.

解：作AC_Lx軸于點C,

由旋轉(zhuǎn)可得/。'=90°,O，B_Lx軸，

???四邊形O'6cA為矩形，

???8C=AO'=OA=3,4'C=O'B=OB=4,

???點4坐標(biāo)為（7,4）.

2.（2021蘇州）如圖，射線OM,ON互相垂直，點8位于射線OM的上方，且在線段04的垂直平分線

/上,AB=5.將線段48繞點。按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到對應(yīng)線段A'夕，若點夕恰好落在射線ON上.

【解析】設(shè)0A的垂直平分線與0A交于C,將線段AB繞點0按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到對應(yīng)線段A'B',過

A，作AH_LON于H,過。作C0_LON于D,如圖：

???0A=8,AB=5,

???0B=4,0C=AC=4,cosNBOC=更=9區(qū)=旦，

OB4OB5

,?,線段48繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到對應(yīng)線段A'B',。隨之旋轉(zhuǎn)到C,

：?BC=BC=3,A'C=AC=4,

■:NECD=ZB'CO-ZDCO=900-ZDCO=ZBOC,

???cos/8cO=￡

3

RtZ\8CO中，,，=&,即

B‘C’555

.?.(70=里

3

'：AE//ON,

???N80C=NC/V￡

???sinZCAE=sinZB'OC=sinZ80C=2

5

RlZXA'CE中.C'E=旦即￡1_^=2,

A'C'545

.??（7七=里

5

.?.DE=CD+CE=—.

8

而ATMON,CDLON,

，四邊形A'EDH是矩形，

??.AH=OE,即4到ON的距離是2生

5

故答案為：24

5

3.（2021浙江溫州）如圖，。。與△OAB的邊AB相切，切點為B.將△OAB繞點8按順時針方向旋轉(zhuǎn)得

到A。'A'B,邊A'B交線段AO于點C.若NA'=25°,則NOCB=___度.

【解析】根據(jù)切線的性質(zhì)得到NOBA=90°,連接。0',如圖，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得NA=NA'=25°,

ZABA'=/OBO‘，BO=BO',則判斷△OO'B為等邊三角形得到NOB。'=60°,所以NABA'=

60°,然后利用三角形外角性質(zhì)計算NOC8.

解：:。。與△OA5的邊AB相切，

：.OBVAB,

，N03A=90°,

連接。。'，如圖，

???△0A8繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到a。'4'B,

???NA=NA'=25°,ZABAr=NOBO',

9：OB=OO',

???△OO'B為等邊三角形，

：.ZOBO'=60°,

AZABA1=60°,

，N0C8=NA+NA8C=250+60°=85’.

4.(2020?天水)如圖，在邊長為6的正方形ABCD內(nèi)作NEA廣=45°,AE交BC于點E,AF交CD于點

F,連接EF,將尸繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG.若。尸=3,則5E的長為.

【答案】2

【解析】據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，△AWWZXABG,然后即可得到。尸=8G,ZDAF=ZBAG,然后根據(jù)題目中

的條件，可以得到△EAGgZiEAR再根據(jù)。尸=3,A8=6和勾股定理，可以得到OE的長，本題得以解決.

由題意可得，

△A。尸且△人灰；,

:,DF=BG,ZDAF=/BAG,

ZDAB=90°,NE4尸=45°,

???NZ)A尸+NEAB=45°,

/.ZBAG+ZE/1B=45＜，,

：.ZEAF=ZEAG,

在△E4G和△￡?!產(chǎn)中，

AG=AF

Z.EAG=LEAFY

UE=AE

/.△￡AG^AE4F(SAS),

:?GE=FE,

設(shè)BE=x,則GE=BG+8E=3+x,CE=6-x,

:.EF=3+x,

VCD=6,DF=3,

:?CF=3,

VZC=90°,

:.(6-x)2+32=(3+x)

解得，x=2,

V2V2

5.（2020?衡陽）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點Pl的坐標(biāo)為（一，一），將線段OPi繞點。按順時針

22

方向旋轉(zhuǎn)45°,再將其長度伸長為OPi的2倍，得到線段OP2；又將線段OP2繞點。按順時針方向旋轉(zhuǎn)

45°,長度伸長為。P2的2倍，得到線段。P3；如此下去，得到線段02,OP5,…，。分（〃為正整數(shù)），

【答案】（?22叫（企，-220,8XV2）.

【解析】根據(jù)題意得出OPi=LOP2=2,OP3=4,如此下去，得到線段OP4=8=23,0?5=16=24-,

OPn=2ni,再利用旋轉(zhuǎn)角度得出點P2020的坐標(biāo)與點P5的坐標(biāo)在同一直線上，進而得出答案.

???點為的坐標(biāo)為（立，—）,將線段OP］繞點。按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°,再將其長度伸長為OPi的2倍,

22

得到線段。尸2;

：.OP\=\t。尸2=2,

??.0尸3=4,如此下去，得到線段0尸4=23,0尸5=2’…，

nl

：.OPr=2f

由題意可得出線段每旋轉(zhuǎn)8次旋轉(zhuǎn)一周,

???2020+8=252…4,

...點P2020的坐標(biāo)與點尸5的坐標(biāo)在同一直線上，正好在第三象限的角平分線上,

???點P2020的坐標(biāo)是（-2加8乂V2,-22018XV2）.

故答案為：(-2238x72,-220,8XV2).

6.（2020?濱州）如圖，點P是正方形ABCD內(nèi)一點，且點尸到點A、B、C的距離分別為20、顯、4,

則正方形ABCD的面積為

【答案】14+4、區(qū)

【解析】如圖，將aABP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△CBM,連接PM,過點B作BHVPM于H.

：.PM=>/2PB=2,

VPC=4,PA=CM=2>[3,

:?Pd=C^+PM2,

???/尸MC=90°,

■:乙BPM=/BMP=45°,

：?NCMB=NAPB=135°,

???NAPB+N3PM=180°,

???A,P,M共線，

:?PH=HM,

:.RH=PH=HM=1.

：,AH=2y/3+\f

：.AB2=AH2+BH2=(2V3+I)2+l2=14+4V3,

，正方形ABCD的面積為14+4、氏

三、解答題

1.（2021貴州畢節(jié)）如圖1,在Rt△力BC中，NB4C=90°,AB=AC,。為△ABC內(nèi)一點，將線段A。

繞點4逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到AE,連接CE,8。的延長線與CE交于點尸.

（1）求證：BD=CE,BD上CE；

（2）如圖2,連接ARDC,已知N8OC=135°,判斷A尸與。C的位置關(guān)系，并說明理由.

【答案】（1）見解答過程；（2）4/〃CD,理由見解答.

【解析】（1）通過SAS證明可得BD=CE,ZABD=ZACE,再利用三角形內(nèi)角和定理

可證3O_LCE；

（2）作AG_L6尸，AH.LCE,由全等知AG=A〃，從而得到A/平分N5五E,證出/A尸。=NGDC=45",

從而證出平行.

【解答】證明（1）如圖1,??,線段AO繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到AE,

：.AD=AEtZDAE=90°,

VZBAC=90°,

：.ZBAC=ZDAEf

：.ZBAD=ZCAE,

在△ABD和△C4E中,

rAB=AC

</BAD=NCAE,

AD=AE

A45D^AC4E(SAS)，

:?BD=CE,NABD=NACE,

XVNAOB=NCOF,

???NMC=N84C=90°,

；?BDLCE；

(2)AF//CD,理由如下：

如圖2,作4G_L8尸于G,AH_LCE于”,

由(1)知△ABOg△CAE,

：.AG=AH,

又?.?4G_LB凡AHYCE,

???A尸平分

又?；NBFE=900，

/.ZAFD=45n,

VZBDC=135°,

：.ZFDC=45°,

:.NAFD=NGDC,

：.AF//CD.

2.（2020?綏化）如圖，在邊長均為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，點4,點8,點。均為格點

（每個小正方形的頂點叫做格點）.

（1）作點4關(guān)于點。的對稱點Ai；

（2）連接48,將線段A1B繞點4順時針旋轉(zhuǎn)90°得點8對應(yīng)點Bi,畫出旋轉(zhuǎn)后的線段A1B1；

(3)連接AB1,求出四邊形的面積.

【解析】(1)依據(jù)中心對稱的性質(zhì)，即可得到點4關(guān)于點。的對稱點4;

(2)依據(jù)線段4B繞點4順時針旋轉(zhuǎn)90°得點8對應(yīng)點Bi,即可得出旋轉(zhuǎn)后的線段AIBI；

(2)依據(jù)割補法進行計算，即可得到四邊形48481的面積.

解：(1)如圖所示，點4即為所求；

(2)如圖所示，線段4助即為所求；

%

(3)如圖，連接8B1,過點A作AEJLBBi,過點4作4F_LB8i,則

四邊形4四陽的面積=Su皿+5必啊=卜8義2+卜8乂4=24.

3.(2020?黔西南州)規(guī)定：在平面內(nèi)，如果一個圖形繞一個定點旋轉(zhuǎn)一定的角度a(0°<a<180°)后

能與自身重合，那么就稱這個圖形是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，轉(zhuǎn)動的這個角度a稱為這個圖形的一個旋轉(zhuǎn)角.例如:

正方形繞著兩條對角線的交點O旋轉(zhuǎn)90°或180°后，能與自身重合(如圖1),所以正方形是旋轉(zhuǎn)對稱

圖形，且有兩個旋轉(zhuǎn)角.

根據(jù)以上規(guī)定，回答問題：

(1)下列圖形是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，但不是中心對稱圖形的是一；

A.矩形B.正五邊形C.菱形D.正六邊形

（2）下列圖形中，是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，且有一個旋轉(zhuǎn)角是60度的有:（填序號）；

（3）下列三個命題：①中心對稱圖形是旋轉(zhuǎn)對稱圖形；②等腰三角形是旋轉(zhuǎn)對稱圖形；③圓是旋轉(zhuǎn)對稱

圖形.具中真命題的個數(shù)有一個；

A.0B.1C.2D.3

（4）如圖2的旋轉(zhuǎn)對稱圖形由等腰直角三角形和圓構(gòu)成，旋轉(zhuǎn)角有45°,90°,135°,180°,將圖形補

充完整.

【答案】見解析。

【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)圖形，中心對稱圖形的定義判斷即可.

（2）旋轉(zhuǎn)對稱圖形，且有一個旋轉(zhuǎn)角是60度判斷即可.

（3）根據(jù)旋轉(zhuǎn)圖形的定義判斷即可.

（4）根據(jù)要求畫出圖形即可.

解：U）是旋轉(zhuǎn)圖形，不是中心對稱圖形是正五邊形，故選艮

（2）是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，且有一個旋轉(zhuǎn)角是60度的有（1）（3）（5）.故答案為（1）（3）（5）.

（3）命題中①③正確，故選C

（4）圖形如圖所示：

圖2

4.(2020?達州)如圖，AABC中，BC=2AB,。、E分別是邊8C、4C的中點.將4006繞點E旋轉(zhuǎn)180

度,得△AFE.

(1)判斷四邊形A8。尸的形狀，并證明；

(2)已知A8=3,AD+BF=8,求四邊形ABD尸的面積S.

【答案】見解析。

【解析】(1)結(jié)論：四邊形ABD尸是菱形.

YCD=DB,CE=EA,

：.DE!/AB,AB=2DE,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，DE=EF,

：.AB=DF,AB//DF,

:.四邊形ABDF是平行四邊形，

?：BC=2AB,BD=DC,

1?BA=BD,

四邊形ABDF是菱形.

(2)連接8凡A。交于點。

???四邊形A8OF是菱形，

：.ADLBF,OB=OF,AO=。。，設(shè)OA=x,OB=yf

(2x+2y=8

則有

lx2+y2=3Z，

，x+y=4.

..AT+2x)M-y=16>

.*.2r)j=7.

:?S發(fā)彩ABDF=/xBF'XAD=2xy=7.

5.（2020?黑龍江龍東）如圖①，在RtZXABC中，N4CB=90°,4c=8C,點￡）、E分別在AC、8C邊上,

DC=EC,連接OE、AE.BD,點M、N、P分別是AE、BD、AB的中點，連接PM、PN、MN.

（1）BE與MN的數(shù)量關(guān)系是

（2）將△DEC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)到圖②和圖③的位置，判斷8七與MN有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出你的猜

想，并利用圖②或圖③進行證明.

【答案】見解析。

【分析】（1）如圖①中，只要證明△PMN的等腰直角三角形，再利用三角形的中位線定理即可解決問題.

（2）如圖②中，結(jié)論仍然成立.連接AO,延長8E交4。于點”.由推出N

DAC=NEBC,即可推出3”_1_皿由M、N、P分別為AE、BD、44的中點，推出PM=jfiE,

PN//AD,PN=S。，推出PM=PN,NMPN=90°,可得BE=2PM=2x*MN=0MN.

解：U）如圖①中,

圖①

*：AM=ME,AP=PB,:.PM〃BE,PM=%E,

?:BN=DN,AP=PB,：.PN//ADtPN=*D,

???AC=BC,CD=CE,:?AD=BE,：?PM=PN,

VZACB=90°,.,.4C_L8C,

^PM/ZBC,PN//AC,：.PM±PN,

'△PMN的等腰直角三角形''M2度PM''M2在?夕E,

：.BE=y/2MN,

故答案為BE=?MN.

(2)如圖②中，結(jié)論仍然成立.

圖②

理由：連接AZ),延長BE交AO于點H.

和△CQE是等腰直角三角形，

:?CD=CE,CA=CB,NACB=NDCE=90°,

???ZACB-NACE=NDCE-4ACE,

：.ZACD=ZECB,

(A4S),:?BE=AD,ZDAC=ZEBC,

VZAHB=18O0-QHAB+/ABH)=180°-(45°+ZHAC+ZABH)

=/1R0°-(4S°+/HRC+/ARH)=1X0°-90°=90°,

：.BHLAD,

CM、N、P分別為AE、BD、AB的中點,

:.PM〃BE,PM=jfiE,PN//AD,PN=|AD,

[PM=PN,/MPN=90°,

:?BE=2PM=2X號MN=y[2MN.

6.(2020?武威)如圖，點M,N分別在正方形A3CO的邊8C,CO上，且NK4N=45°.把△AQN繞點

4順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△A8E.

(1)求證：l\AEMmXANM.

(2)若BM=3,ON=2,求正方形ABC￡>的邊長.

【答案】見解析。

【解析】(1)想辦法證明NMAE=NM4N=45°,根據(jù)SAS證明三角形全等即可.

(2)設(shè)CO=8C=x,則CM=x-3,CN=x-2,在RtZXMCN中，利用勾股定理構(gòu)建方程即可解決問題.

(1)證明：?:4ADN<4ABE,

:?/DAN=NBAE,DN=BE,

VZZ)AB=90°,NM4N=45°,

AZMAE=ZBAE+ZBAM=Z