高等應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課件：參數(shù)估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)

總體樣品統(tǒng)計(jì)推斷樣本值抽樣測(cè)量總體規(guī)律參數(shù)估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)

教學(xué)要求:掌握參數(shù)的矩估計(jì)法、最大似然估計(jì)法、區(qū)間估計(jì)法.掌握假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想,會(huì)使用常見的檢驗(yàn)法則.

統(tǒng)計(jì)的發(fā)展可追溯到幾千年以前。最初它是情況的記錄和描述，如一個(gè)國家有多少人、男女比例如何等。社會(huì)的進(jìn)化，尤其是科技的進(jìn)步，給統(tǒng)計(jì)提出了一系列新的問題。資本主義的商業(yè)競(jìng)爭(zhēng)，要對(duì)市場(chǎng)的變化作出迅速的反映，抽樣調(diào)查的理論和方法就有了很快的進(jìn)展；農(nóng)業(yè)品種的改良、工業(yè)技術(shù)的更新，需要試驗(yàn)、要探討變量之間的關(guān)系，回歸分析、實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)等也就隨之形成。1946年克拉美出版了《統(tǒng)計(jì)學(xué)的數(shù)學(xué)方法》一書，把勒貝格(HenryLebesquel875—1941)代數(shù)作為統(tǒng)計(jì)的工具，比較完整地給出了數(shù)理統(tǒng)計(jì)的全貌。數(shù)理統(tǒng)計(jì)的特點(diǎn)是應(yīng)用面廣,分支較多。數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究怎樣收集資料、如何分析、處理資料的學(xué)科。所謂資料，除了數(shù)據(jù)之外，還包括一些情況、圖表、…等原始材料。本書的內(nèi)容只限于數(shù)據(jù)的分析，不論述如何收集資料?；靖拍?/p>

一般說來，要考察研究的對(duì)象，它們的指標(biāo)可以分成以下幾類：

1.計(jì)量的。如身高、體重、溫度、濕度等，它可以取到某一區(qū)間內(nèi)各個(gè)實(shí)數(shù)的值。

2.計(jì)數(shù)的。如一個(gè)班上優(yōu)秀生的人數(shù)，一個(gè)月中下雨的天數(shù)、一批產(chǎn)品中不合件數(shù)等，它可以取整數(shù)值。

3.有序的。如醫(yī)生診斷眼睛結(jié)膜炎，常用“+”，“++”，“+++”表示，不能計(jì)量，但可以表示出輕微、中等、嚴(yán)重等不同的程度，它是有序的。

4.名義的。如不同的地區(qū)用不同的編碼表示；此時(shí)碼值大小已無意義，碼僅僅代號(hào)。一個(gè)統(tǒng)計(jì)問題總有它明確的研究對(duì)象，研究對(duì)象的全體就是總體，總體中的每成員就是個(gè)體。然而統(tǒng)計(jì)問題所關(guān)心的只是個(gè)體的某一特性或某些特性。要了解總體的情況，常用的一個(gè)方法就是抽樣，從總體中隨機(jī)地抽取一個(gè)個(gè)體，它就是樣品。樣品與個(gè)體不同，個(gè)體是確定的，樣品是不確定的。若干個(gè)樣品就構(gòu)成一個(gè)樣本?？傮w中個(gè)體的數(shù)量一般都較多，抽取的樣品又很少，這樣第一個(gè)樣品抽取后不會(huì)改變總體的分布，第二個(gè)樣品與第一個(gè)樣品的分布相同，彼此可以認(rèn)為是獨(dú)立的。一個(gè)樣品取到的值就是樣品值，一個(gè)樣本取到的值就是樣本值。統(tǒng)計(jì)是從手中已有的資料——樣本值，去推斷總體的情況——總體分布F(x)的性質(zhì)，樣本是聯(lián)系兩者的橋梁，總體分布決定了樣本取值的概率規(guī)律，也就是樣本取到樣本值的規(guī)律而可以從樣本值去推斷總體。統(tǒng)計(jì)量：不含末知參數(shù)的樣本函數(shù)。設(shè)是從樣本X中抽取的一個(gè)樣本樣本均值樣本方差常用統(tǒng)計(jì)量及分布來自總體N(

,2)的一個(gè)樣本來自正態(tài)總體N(

,2)U、T統(tǒng)計(jì)量及分布分布來自正態(tài)分布N(0,1)來自正態(tài)分布N(

,

2)卡方統(tǒng)計(jì)量及分布兩個(gè)樣本獨(dú)立概率分布的上分位點(diǎn)簡(jiǎn)介F統(tǒng)計(jì)量及分布，其中

和例設(shè)某種燈泡壽命

2未知，今隨機(jī)抽取5只燈泡，測(cè)得壽命分別為（單位：小時(shí)）：16231527128714321591求

和

2的估計(jì)值。矩估計(jì)步驟：

(1)由總體分布導(dǎo)出樣本的聯(lián)合概率函數(shù)（或聯(lián)合密度）；（2）把樣本聯(lián)合密度中自變量看成常數(shù)，而把參數(shù)看成自變量得到似然函數(shù)；（3）求似然函數(shù)的最大值點(diǎn)；（4）在最大值點(diǎn)的表達(dá)式中用樣本值代入就得參數(shù)的估計(jì)值。最大似然估計(jì)

例設(shè)來自正態(tài)總體，求

和

2的最大似然估計(jì)。解的密度函數(shù)為

聯(lián)合密度為便于求導(dǎo)如果參數(shù)

的估計(jì)值滿足則稱為參數(shù)

的無偏估計(jì)。有效性若

1，

2都是

的無偏估計(jì)，而且D(

1)D(

2),則稱

1比

2有效。無偏估計(jì)步驟：明確問題，參數(shù)相應(yīng)的點(diǎn)估計(jì)量，由它導(dǎo)出與參數(shù)有關(guān)的分布，利用這個(gè)分布給出區(qū)間估計(jì)。為置信度，置信區(qū)間為區(qū)間估計(jì)

2已知

2未知從正態(tài)分布N(,1)中抽取容量為4的樣本，樣本均值為13.2，求

的置信度為0.95的置信區(qū)間。解例1用某儀器測(cè)量溫度,重復(fù)5次,測(cè)得1250

,1265

,

1245

,1260

,1275,設(shè)測(cè)得數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布,試求溫度真值所在得范圍（=0.005）。解例2(1)將實(shí)際問題用統(tǒng)計(jì)的術(shù)語敘述成一個(gè)假設(shè)檢驗(yàn)的問題；明確原假設(shè)H0和對(duì)立假設(shè)H1的內(nèi)容和它們的實(shí)際意義，要注意正確選用H0;(2)尋找與命題H0有關(guān)的統(tǒng)計(jì)量;

通常用t(x1,x2,···,xn)表示，說明它是由樣本x1,x2,···,xn確定的函數(shù)(3)求得在H0成立時(shí)，t(x1,x2,···,xn)的分布

假設(shè)檢驗(yàn)步驟(4)確定顯著性水平

，對(duì)給定的

,去查統(tǒng)計(jì)量t相應(yīng)的分位點(diǎn)的值，這個(gè)值就是判斷H0是否成立的臨界值。(5)由樣本值去計(jì)算統(tǒng)計(jì)量t的數(shù)值、將它與臨界值比較，從而作出判斷。

這五個(gè)步驟中，(2)與(3)是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)者們研究解決的，它涉及較多的數(shù)學(xué)推導(dǎo)和理論分析，實(shí)際工作者只需注意(1)、(4)、(5)這三步，把問題提清楚，在書上找到有關(guān)的統(tǒng)計(jì)量及相應(yīng)的表，查表后對(duì)給定的顯著性水平

確定臨界值，再計(jì)算統(tǒng)計(jì)量的值來判斷H0是否成立。判別滿足則接受H0，拒絕H1例已知某鋼鐵廠的鐵水含碳量在正常情況下服從N(4.55,0.1102),現(xiàn)測(cè)得9爐鐵水，其含碳量分別為：4.274.324.524.444.514.554.354.284.45，如果標(biāo)準(zhǔn)差沒有改變，總體均值是否有顯著變化？解（1）建立零假設(shè)H0和對(duì)立假設(shè)H1(2)選擇統(tǒng)計(jì)量U檢驗(yàn)法（3）選擇顯著性水平

，查臨界值

1-/2(4)判斷得出結(jié)論含碳量與原來相比有顯著差異。例由于工業(yè)排水引起附近水質(zhì)污染，測(cè)得魚的蛋白質(zhì)中含汞的濃度（p.p.m）為:0.370.2660.1350.0950.1010.2130.2280.1670.7660.054,從過去大量的資料判斷,魚的蛋白質(zhì)中含汞的濃度服從正態(tài)分布,并且從工藝過程分析可以推算出理論上含汞的濃度為0.10,問從這組數(shù)據(jù)來看,實(shí)測(cè)值與理論值是否符合?T檢驗(yàn)法解實(shí)測(cè)值與理論值是相等的。例某車間生產(chǎn)銅絲，生產(chǎn)一向比較穩(wěn)定，今從產(chǎn)品中任意抽取10根檢查折斷力，得數(shù)據(jù)如下(單位：kg)：578572570568572570572596584570，問：是否可相信該車間生產(chǎn)的銅絲的折斷力的方差為64？2檢驗(yàn)解可相信該車間生產(chǎn)的銅絲的折斷力的方差為64否定域臨界值統(tǒng)計(jì)量問題說明：（1）假設(shè)檢驗(yàn)的依據(jù)是小概率原理（在一次試驗(yàn)中可以認(rèn)為基本上不可能發(fā)生），如果在一次試驗(yàn)中，小概率事件沒有發(fā)生，則接受零假設(shè)H0；否則，就拒絕零假設(shè)H0（2）檢驗(yàn)要檢驗(yàn)假設(shè)H0

是否正確，是根據(jù)一次試驗(yàn)得到的樣本作出的判斷，因此無論拒絕H