2024高考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)專題專題01 二項分布 (典型題型歸類訓(xùn)練)含解析

2024高考數(shù)學(xué)專題專題01二項分布(典型題型歸類訓(xùn)練)

一、必備秘籍

1、伯努利試驗與二項分布

〃意伯努利試驗的定義

①我們把只包含兩個可能結(jié)果的試驗叫做伯努利試驗.

②將一個伯努利試驗獨立地重復(fù)進(jìn)行〃次所組成的隨機(jī)試驗稱為〃重伯努利試驗.

2、二項分布

一般地，在〃重伯努利試驗中，設(shè)每次試驗中事件4發(fā)生的概率為〃

用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為P(X=&)=Cp"(l-p)z(A=0J2,〃)

如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機(jī)變量X服從二項分布(binomialdistribution),

記作XB(JT,p)0

事件X發(fā)生的概率

二、典型題型

題型一：利用二項分布求分布列

1.(2024?陜西榆林?統(tǒng)考一模)某市為提高市民對文明城市創(chuàng)建的認(rèn)識，舉辦了“創(chuàng)建文明城市〃知識競賽,

從所有答卷中隨機(jī)抽取100份作為樣本，將100個樣本數(shù)據(jù)按［30.40)、［40,50)、［50,60)、［60,7。)、［70,80)、

［80,90］分成6組，并整理得到如下頻率分布直方圖.

0.032

0.023..............................—.

0.020...................i—

0.010……T—i—

0.005…廠

30405060708090

⑴請通過頻率分布直方圖估計這100份樣本數(shù)據(jù)的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）.

⑵以樣本頻率估計概率，若競賽成績不低于60分，則被認(rèn)定為成績合格，低于60分說明成績不合格.從參

加知識競賽的市民中隨機(jī)抽取5人，用X表示成績合格的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

2.（2024?廣東中山?中山一中?？寄M預(yù)測）杭州亞運會吉祥物為一組名為“江南憶〃的三個吉祥物“宸宸〃,

“琮琮"，"蓮蓮"，聚焦共同的文化基因，蘊(yùn)含獨特的城市元素.本次亞運會極大地鼓舞了中國人民參與運動

的熱情?.某體能訓(xùn)練營為了激勵參訓(xùn)隊員，在訓(xùn)練之余組織了一個“玩骰子贏禮品”的活動，他們來到一處訓(xùn)

練場地，恰有20步臺階，現(xiàn)有一枚質(zhì)地均勻的骰子，游戲規(guī)則如下：擲一次骰子，出現(xiàn)3的倍數(shù)，則往上

爬兩步臺階，否則爬一步臺階，再重復(fù)以上步驟，當(dāng)隊員到達(dá)第7或第8步臺階時，游戲結(jié)束.規(guī)定：到

達(dá)第7步臺階，認(rèn)定失?。坏竭_(dá)第8步臺階可嬴得一組吉祥物.假設(shè)平地記為第0步臺階.記隊員到達(dá)第〃

步臺階的概率為幾（0<zi<8）,記為=1.

⑴投擲4次后，隊員站在的臺階數(shù)為第X階，求X的分布列；

（2）①求證:數(shù)列{p,「p,i}（1<?<7）是等比數(shù)列；

②求隊員贏得吉祥物的概率.

3.（2024?全國?模擬預(yù)測）網(wǎng)球運動是一項激烈且耗時的運動，對于力量的消耗是很大的，這就需要網(wǎng)球

運動員提高自己的耐力.耐力訓(xùn)練分為無氧和有氧兩種訓(xùn)練方式.某網(wǎng)球俱樂部的運動員在某賽事前展開

了一輪為期90天的封閉集訓(xùn)|,在封閉集訓(xùn)期間每名運動員每天選擇一種方式進(jìn)行耐力訓(xùn)練.由訓(xùn)練計劃知，

在封閉集訓(xùn)期間，若運動員第〃6￡^,〃《89）天進(jìn)行有氧訓(xùn)練，則第〃+1天進(jìn)行有氧訓(xùn)練的概率為京，第

〃+1天進(jìn)行無氧訓(xùn)練的概率為§4；若運動員第〃天進(jìn)行無氧訓(xùn)練，則第〃+i天進(jìn)行有氧訓(xùn)練的概率為7:，第

〃+i天進(jìn)行無氧訓(xùn)練的概率為1.若運動員封閉集訓(xùn)的第1天進(jìn)行有氧訓(xùn)練與無氧訓(xùn)練的概率相等.

⑴封閉集訓(xùn)期間，記3名運動員中第2天進(jìn)行有氧訓(xùn)練的人數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；

⑵封閉集訓(xùn)期間，記某運動員第〃天進(jìn)行有氧訓(xùn)練的概率為2,求己5.

4.（2024?四川綿陽?統(tǒng)考二模）綿陽市37家A級旅游景區(qū)，在2023年國慶中秋雙節(jié)期間，接待人數(shù)和門

票收入大幅增長.綿陽某旅行社隨機(jī)調(diào)查了市區(qū)100位市民平時外出旅游情況，得到的數(shù)據(jù)如下表：

喜歡旅游不喜歡旅游總計

男性203050

女性加?0S0

總計5050100

⑴能否有95%的把握認(rèn)為喜歡旅游與性別有關(guān)？

（2）將頻率視為概率，從全市男性市民中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行訪談，記這2人中喜歡旅游的人數(shù)為求的分

布列與數(shù)學(xué)期望.

附:不…黑券:…

P（K2>k）

0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

題型二：服從二項分布的隨機(jī)變量概率最大問題

1.(2024?云南昆明?統(tǒng)考一模)聊天機(jī)器人(chatterbot)是一個經(jīng)由對話或文字進(jìn)行交談的計算機(jī)程序.

當(dāng)一個問題輸入給聊天機(jī)器人時，它會從數(shù)據(jù)庫中檢索最貼切的結(jié)果進(jìn)行應(yīng)答.在對某款聊天機(jī)器人進(jìn)行測

試時，如果輸入的問題沒有語法錯誤，則應(yīng)答被采納的概率為80%,若出現(xiàn)語法錯誤，則應(yīng)答被采納的概

率為30%.假設(shè)每次輸入的問題出現(xiàn)語法錯誤的概率為10%.

⑴求一個問題的應(yīng)答被采納的概率：

⑵在某次測試中，輸入了8個問題，每個問題的應(yīng)答是否被采納相互獨立，記這些應(yīng)答被采納的個數(shù)為X,

事件X=k(^=0,1,,8)的概率為P(X=Q,求當(dāng)P(X=Q最大時k的值.

2.(2024?江西?校聯(lián)考模擬預(yù)測)近年來，隨著智能手機(jī)的普及，網(wǎng)絡(luò)購物、直播帶貨、網(wǎng)上買菜等新業(yè)

態(tài)迅速進(jìn)入了我們的生活，改變了我們的生活方式.現(xiàn)將一周網(wǎng)上買菜次數(shù)超過3次的市民認(rèn)定為“喜歡網(wǎng)上

買菜”，不超過3次甚至從不在網(wǎng)上買菜的市民認(rèn)定為“不喜歡網(wǎng)上買菜”.某市M社區(qū)為了解該社區(qū)市民網(wǎng)上

買菜情況，隨機(jī)抽取了該社區(qū)100名市民，得到的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示：

喜歡網(wǎng)上買菜不喜歡網(wǎng)上買菜合計

年齡不超過45歲的市民401050

年齡超過45歲的市民203050

合計6040100

⑴是否有99.9%的把握認(rèn)為M社區(qū)的市民是否喜歡網(wǎng)上買菜與年齡有關(guān)？

⑵M社區(qū)的市民李華周一、周二均在網(wǎng)上買菜，且周一從A,8兩個買菜平臺隨機(jī)選擇其中一個下單買菜.

4

如果周一選擇A平臺買菜，那么周二選擇A平臺買菜的概率為(；如果周一選擇8平臺買菜，那么周二選

擇8平臺買菜的概率為：，求李華周二選擇平臺8買菜的概率；

⑶用頻率估計概率，現(xiàn)從團(tuán)社區(qū)市民中隨機(jī)抽取20名市民，記其中喜歡網(wǎng)上買菜的市民人數(shù)為X,事件

“X=k”的概率為P(X=%),求使P(X=k)取得最大值時的女的值.

參考公式：/%+〃)(;/￡)(〃+“其中〃

P^2>k.)0.10.050.010.0050.001

k。2.7063.8416.6357.87910.828

3.(2023?貴州貴陽?校聯(lián)考三模)為了“讓廣大青少年充分認(rèn)識到毒品的危害性，切實提升青少年識毒防毒

拒毒意識''，我市組織開展青少年禁毒知識競賽，團(tuán)員小明每天自覺登錄"禁毒知識競賽AP產(chǎn)'，參加各種學(xué)

習(xí)洱?動.同時熱衷干參與四人賽.每局四人賽是由網(wǎng)絡(luò)隨機(jī)匹配四人進(jìn)行比賽，每題問答正確得20分，第1

個達(dá)到100分的比賽者獲得第1名，贏得該局比賽，該局比賽結(jié)束.每天的四人賽共有20局，前2局是有效

局，根據(jù)得分情況獲得相應(yīng)名次，從而得到相應(yīng)的學(xué)習(xí)積分，第1局獲得第1名的得3分，獲得第2、3名

的得2分，獲得第4名的得1分：第2局獲得第1名的得2分，獲得第2、3、4名的得1分；后18局是無效

局，無論獲得什么名次，均不能獲得學(xué)習(xí)積分.經(jīng)統(tǒng)計，小明每天在第1局四人賽中獲得3分、2分、1分的概

率分別為9,；，：，在第2局四人賽中獲得2分、1分的概率分別為?，

42444

⑴設(shè)小明每天獲得的得分為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

⑵若小明每天賽完20局，設(shè)小明在每局四人賽中獲得第1名從而贏得該局比賽的概率為：，每局是否贏得

4

比賽相互獨立，請問在每天的20局四人賽中，小明贏得多少局的比賽概率最大？

4.（2023?廣東廣州?統(tǒng)考模擬預(yù)測）某款自營生活平臺以及提供配送服務(wù)的生活類軟件主要提供的產(chǎn)品有

水產(chǎn)海鮮，水果，蔬菜，食品，口常用品等.某機(jī)構(gòu)為調(diào)查顧客對該軟件的使用情況，在某地區(qū)隨機(jī)訪問

了100人，訪問結(jié)果如下表所示.

使用人數(shù)未使用人數(shù)

女性顧客4020

男性顧客2020

⑴從被訪問的100人中隨機(jī)抽取2名，求所抽取的都是女性顧客且使用該軟件的概率；

⑵用隨機(jī)抽樣的方法從該地區(qū)抽取10名市民，這10名市民中使用該軟件的人數(shù)記為X,問

左（）=0,1,2,,10）為何值時,尸（X=Z）的值最大？

題型三：建立二項分布模型解決實際問題

1.（2023?全國?模擬預(yù)測）5G技術(shù)是未來信息技術(shù)的核心，而芯片是5G通信技術(shù)的關(guān)鍵之一.我國某科創(chuàng)

企業(yè)要用新技術(shù)對一種芯片進(jìn)行試生產(chǎn).現(xiàn)對這種芯片進(jìn)行自動智能檢測，已知自動智能檢測顯示該種芯片

的次品率為1.5%,且每個芯片是否為次品相互獨立.該企業(yè)現(xiàn)有試生產(chǎn)的芯片10000個，給出下面兩種檢測

方法：

方法1：對10000個芯片逐一進(jìn)行檢測.

方法2：將10000個芯片分為1000組，每組10個，把每組10個芯片串聯(lián)起來組成i個芯片組，對該芯片

組進(jìn)行一次檢測，如果檢測通過，那么可斷定該組10個芯片均為正品，如果不通過，那么再逐一進(jìn)行檢測.

⑴按方法2,求一組芯片中恰有1個次品的概率（結(jié)果保留四位有效數(shù)字）；

（2）從平均檢測次數(shù)的角度分析，哪種方法較好？請說明理由.

參考數(shù)據(jù)：0.985屋0.8861，0.985^0.8728，O.98510?0.8597.

2.（2023?山東煙臺?統(tǒng)考二模）某企業(yè)擁有甲、乙兩條零件生產(chǎn)線，為了解零件質(zhì)量情況，采用隨機(jī)抽樣

方法從兩條生產(chǎn)線共抽取180個零件，測量其尺寸（單位：mm）得到如下統(tǒng)計表，其中尺寸位于［55,58）的

零件為一等品，位于［54,55）和［58,59）的零件為二等品，否則零件為三等品.

[53,54][54,55)[55,56)[56,57)[57,58)[58,59)[59,60]

生產(chǎn)線

甲49232824102

乙214151716151

⑴完成2x2列聯(lián)表，依據(jù)。=0.05的獨立性檢驗?zāi)芊裾J(rèn)為零件為一等品與生產(chǎn)線有關(guān)聯(lián)?

非一等品1

□一等品

N二MM

E⑵將樣本頻率O視為概率，從甲、乙兩條生產(chǎn)線中分別隨機(jī)抽取2個零件，每次抽取零件互不影響，以J表

示這4個零件中一等品的數(shù)量，求J的分布列和數(shù)學(xué)期望￡（/：

⑶已知該企業(yè)生產(chǎn)的零件隨機(jī)裝箱出售，每箱60個.產(chǎn)品出廠前，該企業(yè)可自愿選擇是否對每箱零件進(jìn)行

檢驗.若執(zhí)行檢驗，則每個零件的檢驗費用為5元，并將檢驗出的三等品更換為一等品或二等品；若不執(zhí)

行檢驗，則對賣出的每個三等品零件支付120元賠償費用.現(xiàn)而一箱零件隨機(jī)檢驗了10個，檢出了1個三

等品.將從兩條生產(chǎn)線抽取的所有樣本數(shù)據(jù)的頻率視為概率，以整箱檢驗費用與賠償費用之用的期望作為

決策依據(jù)，是否需要對該箱余下的所有零件進(jìn)行檢驗？請說明理由.

n(ad-bc)1

附/=，其中〃=a+〃+c+d：-^.05=3.841.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

3.（2023?河北張家口?統(tǒng)考一模）某醫(yī)療用品生產(chǎn)商用新舊兩臺設(shè)備生產(chǎn)防護(hù)口罩，產(chǎn)品成箱包裝，每箱

500個.

⑴若從新舊兩臺設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品中分別隨機(jī)抽取100箱作為樣本，其中新設(shè)備生產(chǎn)的100箱樣本中有10箱

存在不合格品，舊設(shè)備生產(chǎn)的100箱樣本中有25箱存在不合格品，由樣本數(shù)據(jù)，填寫完成2x2列聯(lián)表，并

依據(jù)小概率值a=0.01的獨立性檢驗，能否認(rèn)為"有不合格品”與“設(shè)備”有關(guān)聯(lián)？

單位：箱

是否有不合

格品無不合格品有不合格品合計

設(shè)備

新

舊

合計

⑵若每箱口罩在出廠前都要做檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品.檢驗時，先從這箱口罩中任取

20個做檢驗，再根據(jù)檢驗結(jié)果決定是否對余下的所有口罩做檢驗.設(shè)每個口罩為不合格品的概率都為

〃（0<〃<1）,且各「1罩是否為不合格品相互獨立.記20個口罩中恰有3件不合格品的概率為了（〃），求）（〃）

最大時P的值P（）.

⑶現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗了20個，結(jié)果恰有3個不合格品，以（2）中確定的％作為〃的值.已知每個口罩的

檢驗費用為0.2元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則生產(chǎn)商要為每個不合格品支付5元的賠償費用.以檢驗

費用與賠償費用之和的期望為決策依據(jù)，是否要對這箱產(chǎn)品余下的480個口罩做檢驗？

附表

a0.1000.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

附：______n(ad-bcY______,其中〃二

=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

4.(2023?全國?東北師大附中校聯(lián)考模擬預(yù)測)調(diào)查問卷中常常涉及到個人隱私或本人不愿正面回答的問

題，被訪人可能拒絕回答，即使回答，也不能期望答案是真實的.某小區(qū)要調(diào)查業(yè)主對物業(yè)工作是否滿意的

真實情況，現(xiàn)利用“隨機(jī)化選答抽樣〃方法制作了具體調(diào)查方案，其操作流程如下：在一個箱子里放3個紅球

和2個白球，被調(diào)查者在摸到球后記住顏色并立即將球放回，如果抽到的是紅球，則回答“你的性別是否為

男性？〃如果抽到的是白球，則回答“你對物業(yè)工作現(xiàn)狀是否滿意？〃兩個問題均用“是〃或"否”回答.

⑴共收取調(diào)查問卷100份，其中答案為“是〃的問卷為60份，求-?個業(yè)主對物業(yè)工作表示滿意的概率，已知

該小區(qū)共有業(yè)主500人，估計該小區(qū)業(yè)主對物業(yè)工作滿意的人數(shù)；

(2)現(xiàn)為了提高對物業(yè)工作滿意的業(yè)主比例，對小區(qū)業(yè)主進(jìn)行隨機(jī)訪談，請表示不滿意的業(yè)主在訪談中提出

兩個有待改進(jìn)的問題.

(i)若物業(yè)對每一個待改進(jìn)的問題均提出一個相應(yīng)的解決方案，該方案需要由5名業(yè)主委員會代表投票決

定是否可行.每位代表投贊同票的概率均為：，方案需至少3人投贊成票，方能予以通過，并最終解決該問

題，求某個問題能夠被解決的概率區(qū);

(ii)假設(shè)業(yè)主所提問題各不相同，每一個問題能夠被解決的概率都為并且都相互獨立.物業(yè)每解決一

個問題，業(yè)主滿意的比例將提高一個百分點.為了讓業(yè)主滿意的比例提高到80%,試估計至少要訪談多少位

業(yè)主？

三、專項訓(xùn)練

1.(2023?湖南永州?統(tǒng)考二模)在某網(wǎng)絡(luò)平臺組織的禁毒知以挑戰(zhàn)賽中，挑戰(zhàn)賽規(guī)則如下：每局回答3道

題，若回答正確的次數(shù)不低于2次，該局得3分，否則得1分，每次回答的結(jié)果相互獨立.已知甲、乙兩

人參加挑戰(zhàn)賽，兩人答對每道題的概率均為g.

⑴若甲參加了3局禁毒知以挑戰(zhàn)賽，設(shè)甲得分為隨機(jī)變量X,求X的分布列與期望；

⑵若甲參加了2〃(〃wN’)局禁毒知識挑戰(zhàn)賽，乙參加了2〃+2(〃仁!<)局禁毒知識挑戰(zhàn)賽，記甲在禁毒知識

挑戰(zhàn)賽中獲得的總分大于4〃的概率為四,乙在禁毒知識挑戰(zhàn)賽中獲得的總分大于4〃+4的概率為生，證明:

P\<Pi.

2.（2024?廣東廣州?廣州市培正中學(xué)校考二模）某校高二（1）班的元旦聯(lián)歡會設(shè)計了一項抽獎游戲：準(zhǔn)備

了10張相同的卡片，其中只在6張卡片上印有“獎〃字.

⑴采取放回抽樣方式，從中依次抽取3張卡片，求抽到印有“獎〃字卡片張數(shù)X的分布列、數(shù)學(xué)期望及方差;

（2）采取不放回抽樣方式，從中依次抽取3張卡片，求第一次抽到印有“獎〃字卡片的條件下，第三次抽到未印

有“獎”字卡片的概率.

3.（2023?陜西榆林?校考模擬預(yù)測）由于人類的破壞與棲息地的喪失等因素，地球上瀕臨滅絕生物的比例

正在以驚人的速度增長.在工業(yè)社會以前，鳥類平均每300年滅絕一種，獸類平均每8000年滅絕一種，但是

自工業(yè)社會以來，地球物種滅絕的速度已經(jīng)超出自然滅絕率的1000倍.所以保護(hù)動物刻不容緩，全世界都在

號召保護(hù)動物，動物保護(hù)的核心內(nèi)容是禁止虐待、殘害任何動物，禁止獵殺和捕食野生動物，某動物保護(hù)

機(jī)構(gòu)為了調(diào)查研究人們“保護(hù)動物意識的強(qiáng)弱與性別是否有關(guān)聯(lián)"，從某市市民中隨機(jī)抽取400名進(jìn)行調(diào)查,

得到統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：

保護(hù)動物意識強(qiáng)保護(hù)動物意識弱合計

男性14060200

女性8()120200

合計2201804(X)

⑴根據(jù)以上數(shù)據(jù)，依據(jù)小概率值a=0.00l的獨立性檢驗，能否認(rèn)為人們保護(hù)動物意識的強(qiáng)弱與性別有關(guān)聯(lián)？

⑵將頻率視為概率，現(xiàn)從該市女性的市民中用隨機(jī)抽樣的方法每次抽取1人，共抽取4次.記被抽取的4人中

“保護(hù)動物意識強(qiáng)”的人數(shù)為X,若每次抽取的結(jié)果是相互獨立的，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

n(ad-bc)~

參考公式：%其中〃=〃+Z?+c+d.

(a+b)(c+d)(a-￥c)(b+d)'

附:

a0.100.050.0100.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

4.（2024?全國?模擬預(yù)測）某地文旅部門為了增強(qiáng)游客對本地旅游景區(qū)的了解，提高旅游景區(qū)的知名度和

吸引力，促進(jìn)旅游業(yè)的發(fā)展，在2023年中秋國慶雙節(jié)之際舉辦“十佳旅游景區(qū)〃評選活動，在史持“公平、公

正公開”的前提卜，經(jīng)過景區(qū)介紹、景區(qū)參觀、評選投票、結(jié)果發(fā)布、頒發(fā)獎牌等環(huán)節(jié)，當(dāng)?shù)氐?個“自然景

觀類景區(qū)〃和4個“人文景觀類景區(qū)〃榮獲“十佳旅游景區(qū)”的稱號.評選活動結(jié)束后，文旅部門為了進(jìn)一步提

升“十佳旅游景區(qū)”的影響力和美譽(yù)度，擬從這10個景區(qū)中選取部分景區(qū)進(jìn)行重點推介.

⑴若文旅部門從這10個景區(qū)中先隨機(jī)選取1個景區(qū)面向本地的大學(xué)生群體進(jìn)行重點推介、再選取另?個景

區(qū)面向本地的中學(xué)生群體進(jìn)行重點推介，記面向大學(xué)生群體重點推介的景區(qū)是“自然景觀類景區(qū)”為事件4,

面向中學(xué)生群體重點推介的景區(qū)是“人文景觀類景區(qū)”為事件從求P（8|A）,P⑻;

⑵現(xiàn)需要從“十佳旅游景區(qū)'’中選4個景區(qū)，且每次選1個景區(qū)（可以重復(fù)），分別向北京、上海、廣州、

深圳這四個一線城市進(jìn)行重點推介，記選取的景區(qū)中“人文景觀類景區(qū)”的個數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期

望.

5.（2023?仝國?模擬預(yù)測）為慶祝中國共產(chǎn)黨成立102周年，某市開展了黨史知識競賽活動，競賽結(jié)束后,

為了解本次競賽的成績情況，從所有參賽學(xué)生中隨機(jī)抽取了200名學(xué)生的競賽成績作為樣本，數(shù)據(jù)整理后,

統(tǒng)計結(jié)果如表所示.

[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

成績區(qū)間

頻數(shù)10314380279

假設(shè)用樣本頻率估計總體概率，且每個學(xué)牛的競賽成績相互獨立.

⑴為了激勵學(xué)生學(xué)習(xí)黨史的熱情，決定對競賽成績優(yōu)異的學(xué)生進(jìn)行表彰，如果獲得表彰的學(xué)生占樣本總?cè)?/p>

數(shù)的20%,試估計獲獎分?jǐn)?shù)線；

⑵該市決定從全市成績不低于8（）分的學(xué)生中隨機(jī)抽取4人參加省級黨史知識競賽，成績在［90.100］的人數(shù)

為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

6.（2023?全國?模擬預(yù)測）某國衛(wèi)生與公共服務(wù)部門數(shù)據(jù)顯示，在近兩周里，該國某州新冠肺炎確診病例

數(shù)新增46%.在對確診病例的密切接觸者進(jìn)行醫(yī)學(xué)觀察后發(fā)現(xiàn)，其中未接種過新冠疫苗者感染病毒的比例

較大.對該州120個密切接觸者樣本的醫(yī)學(xué)觀察結(jié)束后，統(tǒng)計了其疫苗接種與感染病毒情況，得到下面的

列聯(lián)表（單位：人）.

感染病毒情況

接種疫苗情況

感染未感染

未接種2030

已接種1060

⑴是否有99.5%的把握認(rèn)為密切接觸者感染病毒與未接種新冠疫苗有關(guān)？

⑵以樣本中結(jié)束醫(yī)學(xué)觀察的密切接觸者感染病毒的頻率估計概率，現(xiàn)從該地區(qū)結(jié)束醫(yī)學(xué)觀察的密切接觸者

中隨機(jī)抽取4人統(tǒng)計感染病毒的人數(shù)，求其中至少有2人感染病毒的概率.

⑶該國現(xiàn)有?個中風(fēng)險村莊，當(dāng)?shù)卣疀Q定對村莊內(nèi)所有住戶進(jìn)行排查.在排查期間，發(fā)現(xiàn)?戶3口之家

與確診患者有過密切接觸，這種情況下醫(yī)護(hù)人員要對其家庭成員逐一進(jìn)行病毒檢測，每名成員進(jìn)行檢測后

即告知結(jié)果，若檢測結(jié)果呈陽性，則該家庭被確定為“感染高危家庭”.假設(shè)該家庭每個成員檢測呈陽性的概

率均為）且相互獨立，記該家庭至少檢測了2名成員才被確定為“感染高危家庭”的概率為了（〃）,

求當(dāng)P為何值時，/（P）最大.

n(ad-bc)~

附：Z2其中〃=〃+/?+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

0.1000.0500.0100.0050.001

k°2.7063.8416.6357.87910.828

7.（2023?貴州?清華中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）某工廠的質(zhì)檢部門對擬購買的一批原料進(jìn)行抽樣檢驗，以判定

是接收還是拒收這批原料.現(xiàn)有如下兩種抽樣檢驗方案：

方案一：隨機(jī)抽取一個容量為10的樣本，并全部檢驗，若樣本中不合格數(shù)不超過1個，則認(rèn)為這批原料合

格，予以接收；

方案二：先隨機(jī)抽取一個容量為5的樣本，全部檢驗，若都合格，則予以接收；若樣本中不合格數(shù)超過1

個，則拒收：若樣本中不合格數(shù)為1個，則再抽取一個容量為5的樣本，并全部檢驗，且只有第二批樣本

全部合格才予以接收.

假設(shè)擬購進(jìn)的這批原料的合格率為〃（0<〃<1），并用〃作為原料中每件產(chǎn)品是合格品的概率.若每件產(chǎn)品所

需的檢驗費用為3元，且費用由工廠承擔(dān).

2

⑴若〃二§,即方案二中所需的檢驗費用為隨機(jī)變量X,求X的分布列與期望；

⑵分別計算兩種方案中這批原料通過檢驗的概率，若你是原料供應(yīng)商，你希望質(zhì)檢部門采取哪種檢驗方案?

說明理由.

8.（2023?廣東汕頭??？家荒＃┪髅芬?梅"為名，實際上不是梅子，而是李子，中文正規(guī)名叫"歐洲李"，素

有“奇跡水果〃的美譽(yù).因此，每批西梅進(jìn)入市場之前，會對其進(jìn)行檢測，現(xiàn)隨機(jī)抽取了10箱西梅，其中有4

箱測定為一等品.

⑴現(xiàn)從這10箱中任取3箱，求恰好有1箱是一等品的概率；

⑵以這10箱的檢測結(jié)果來估計這一批西梅的情況，若從這一批西梅中隨機(jī)抽取3箱，記J表示抽到一等品

的箱數(shù)，求4的分布列和期望.

9.（2023?四川涼山?二模）某市為了更好地了解全體中小學(xué)生感染某種病毒后的情況，以便及時補(bǔ)充醫(yī)療

資源，從全市中小學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名該病毒抗原檢測為陽性的中小學(xué)生監(jiān)測其健康狀況，100名中小

學(xué)生感染某種病毒后的疼痛指數(shù)為X,并以此為樣本得到了如卜圖所示的表格：

疼痛指數(shù)XX<IO10<X<90X>9()

人數(shù)10819

名稱無癥狀感染者輕癥感染者重癥感染者

⑴統(tǒng)計學(xué)中常用心=市情表示在事件A發(fā)生的條件下事件3發(fā)生的似然比.現(xiàn)從樣本中隨機(jī)抽取1名學(xué)

生，記事件A為“該名學(xué)生為有癥狀感染者（輕癥感染者和重癥感染者統(tǒng)稱為有狀感染者）〃，事件8為“該

名學(xué)生為重癥感染者”，求事件人發(fā)生的條件下事件8發(fā)生的似然比；

⑵若該市所有該病毒抗原檢測為陽性的中小學(xué)生的疼痛指數(shù)X近似服從正態(tài)分布N（5O,CT2），且

P（X>90）=-^.若從該市眾多抗原檢測為陽性的中小學(xué)生中隨機(jī)地抽取3名，設(shè)這3名學(xué)生中輕癥感染者

人數(shù)為匕求丫的概率分布列及數(shù)學(xué)期望.

10.（2023?廣東?統(tǒng)考模擬預(yù)測）某工廠車間有6臺相同型號的雙器，各臺機(jī)器相互獨立工作，工作時發(fā)生

故障的概率都是。，且一臺機(jī)器的故障由一個維修工處理.已知此廠共有甲、乙、丙3名維修工，現(xiàn)有兩

種配備方案，方案一：由甲、乙、丙三人維護(hù)，每人負(fù)責(zé)2臺機(jī)器；方案二：由甲乙兩人共同維護(hù)6臺機(jī)

器，丙負(fù)責(zé)其他工作.

⑴對于方案一，設(shè)X為甲維護(hù)的機(jī)器某一時刻發(fā)生故障的臺數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望E（X）；

⑵在兩種方案下，分別計算某一時刻機(jī)器發(fā)生故障時不能得到及時維修的概率，并以此為依據(jù)來判斷，哪

種方案能使工廠的生產(chǎn)效率更高？

專題01二項分布(典型題型歸類訓(xùn)練)

一、必備秘籍

1、伯努利試驗與二項分布

〃重伯努利試驗的定義

①我們把只包含兩個可能結(jié)果的試驗叫做伯努利試驗.

②將一個伯努利試驗獨立地重復(fù)進(jìn)行〃次所組成的隨機(jī)試驗稱為〃重伯努利試驗.

2、二項分布

一般地，在〃重伯努利試驗中，設(shè)每次試驗中事件4發(fā)生的概率為〃

用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為P(X=k)=C,"(l-pF(4=04,2,???〃)

如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機(jī)變量X服從二項分布(binomialdistribution),

記作XBgp).

事件彳發(fā)生的概率

事件彳發(fā)生的概率/

P(A=A-1)=(*?〃］士?(|1-〃尸(其中人0,12…向

火"2八”事件彳發(fā)生的次數(shù)

二、典型題型

題型一：利用二項分布求分布列

1.(2024?陜西揄林?統(tǒng)考一模)某市為提高市民對文明城市創(chuàng)建的認(rèn)識，舉辦了“創(chuàng)建文明城市〃知識競賽,

從所有答卷中隨機(jī)抽取100份作為樣本，將1。0個樣本數(shù)據(jù)按［30,40)、［40,50)、［50,60)、［60,70)、［70,80)、

［8Q90］分成6組，并整理得到如下頻率分布直方圖.

⑴請通過頻率分布直方圖估計這100份樣本數(shù)據(jù)的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）.

⑵以樣本頻率估計概率，若競賽成績不低于60分，則被認(rèn)定為成績合格，低于60分說明成績不合格.從參

加知識競賽的市民中隨機(jī)抽取5人，用X表示成績合格的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

【答案】（1）68.3

⑵分布列見解析，F(xiàn)（X）=j

【分析】（1）將每個矩形底邊的中點值乘以對應(yīng)矩形的面積，再將所得結(jié)果全部相加，即可得出這100份

樣本數(shù)據(jù)的平均值；

（2）由題意可知，利用二項分布可得出隨機(jī)變量X的分布列，利用二項分布的期望公式可

求得E（X）的值.

【詳解】（1）解：由頻率分布直方圖可知，100份樣本數(shù)據(jù)的平均值為

x=（35x0.005+45x0.0104-55x0.010+65x0.020+75x0.032+85x0.023）x10=68.3.

（2）解；競賽成績不低于60分的頻率為（0.020+0.032+0.023）xl（）=0.75=1,

低于60分的頻率為(0.005+0.010+0.010)x10=0.25=；.

由題意可知，P（x=（））=q*礪,

3(I115

尸3=1)心通1024

90_45

?(x=2)=c；

《1024~512

270135

1024~512

4405243

加4）=鳴小,P(X=5

10241024

所以X的分布列為

X012345

11545135243

405

P102410245125121024

1024

期望E（X）=5x；3=%15

2.（2024?廣東中山?中山一中校考模擬預(yù)測）杭州亞運會吉祥物為一組名為“江南憶”的三個吉祥物“宸宸〃,

“琮琮"，"蓮蓮"，聚焦共同的文化基因，蘊(yùn)含獨特的城市元素.本次亞運會極大地鼓舞了中國人民參與運動

的熱情.某體能訓(xùn)練營為了激勵參訓(xùn)隊員，在訓(xùn)練之余組織了一個“玩骰子贏禮品”的活動，他們來到一處訓(xùn)

練場地，恰有20步臺階，現(xiàn)有一枚質(zhì)地均勻的骰子，游戲規(guī)則如下：擲一次骰子，出現(xiàn)3的倍數(shù)，則往上

爬兩步臺階，否則爬一步臺階，再重復(fù)以上步驟，當(dāng)隊員到達(dá)第7或第8步臺階時，游戲結(jié)束.規(guī)定：到

達(dá)第7步臺階，認(rèn)定失?。旱竭_(dá)第8步臺階可贏得一組吉祥物.假設(shè)平地記為第。步臺階.記隊員到達(dá)第〃

步臺階的概率為凡（0</Z<8）,記為=1.

⑴投擲4次后，隊員站在的臺階數(shù)為第X階，求X的分布列：

（2）①求證：數(shù)列{p.-p,i}（1<//<7）是等比數(shù)列；

②求隊員贏得吉祥物的概率.

【答案】（1）答案見解析

⑵①證明見解析；②黑

21o/

91

【分析】（I）由題意可得爬一步臺階的概率為：，爬兩步臺階的概率為：，列出隨機(jī)變量X可能取值，求

出對應(yīng)的概率，求出分布列即可；

（2）（i）由題意可得月-%=-：,分類討論到達(dá)第〃步臺階的情況，求出對應(yīng)的概率，進(jìn)而

=一（〃”「PT）（〃=2,3「?,7）,結(jié)合等比數(shù)列的定義即可證明；（ii）由⑴，根據(jù)等比數(shù)列

的通項公式可得p“-p,i=bgj，利用累加法求得p“二HTj（〃印2…,7）,令〃=8計算即可求

解.

2I

【詳解】（1）由題意得每輪游戲爬一步臺階的概率為:，爬兩步臺階的概率為:，

JJ

所以隨機(jī)變量X可能取值為4,5,6,7,8,

可得P（X=4）=圖喑P（X=5）心*

P（X=6）=Cx&）x?嗡P（X=7）=*（J）*哈

I

所以X的分布列:

X45678

163281

24

8?8?

P8?8181

（2）（i）證明：〃=1,即爬一步臺階，是第1次擲骰子,

21

向上點數(shù)不是3的倍數(shù)概率PL.,則〃/為=-：

到達(dá)第〃步臺階有兩種情況：

①前一輪爬到第〃-2步臺階，乂擲骰子是3的倍數(shù)得爬兩步臺階，其概率為gp,一2,

②前一輪爬到第n-l步臺階，又?jǐn)S骰子不是3的倍數(shù)爬一步臺階，其概率為:P.「

17

所以〃”=5〃“-2+5〃2（〃=2,3/、7）,

則外一〃2=一,（/人一〃”.2）（〃=23…,7），

所以數(shù)列（〃=12…,7）是首項為公比為的等比數(shù)列.

（ii）因為數(shù)列｛0-〃,1｝是首項為-；，公比為-;的等比數(shù)列，

（?Y?1/?\2/?v1

-

所以〃“一p”l=--，所以P|_Po=_Q，P2~P\=--，…Al-Pn-\=-，

各式相加，得：P”_Po=一；1一（一3），所以〃"=；+；一：（〃=1,2「..,7）,

所以活動參與者得到紀(jì)念品的概率為

547

2187

3.（2024?全國?模擬預(yù)測）網(wǎng)球運動是一項激烈且耗時的運動，對于力量的消耗是很大的，這就需要網(wǎng)球

運動員提高自己的耐力.耐力訓(xùn)練分為無氧和有氧兩種訓(xùn)練方式.某網(wǎng)球俱樂部的運動員在某賽事前展開

了一輪為期90天的封閉集訓(xùn)在封閉集訓(xùn)期間每名運動員每天選擇一種方式進(jìn)行耐力訓(xùn)練.由訓(xùn)練計劃知，

在封閉集訓(xùn)期間，若運動員第〃（，，GN,,〃￡89）天進(jìn)行有氧訓(xùn)練，則第〃+1天進(jìn)行有氧訓(xùn)練的概率為第

47

〃+i天進(jìn)行無氧訓(xùn)練的概率為3；若運動員第〃天進(jìn)行無氧訓(xùn)練，則第〃+i天進(jìn)行有氧訓(xùn)練的概率為5,第

〃+1天進(jìn)行無氧訓(xùn)練的概率為:.若運動員封閉集訓(xùn)的第1天進(jìn)行有氧訓(xùn)練與無氧訓(xùn)練的概率相等.

⑴封閉集訓(xùn)期間，記3名運動員中第2天進(jìn)行有氧訓(xùn)練的人數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；

⑵封閉集訓(xùn)期間，記某運動員第"天進(jìn)行有氧訓(xùn)練的概率為2,求巴5.

【答案】⑴分布列見解析，2

【分析】（1）分別求出運動員第2天進(jìn)行有氧訓(xùn)練與無氧訓(xùn)練的概率，判斷X服從二項分布并求概率，列

分布列，求數(shù)學(xué)期望；

（2）求匕討，匕的遞推關(guān)系，構(gòu)造數(shù)列［并證其為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項公式求結(jié)果.

【詳解】（1）設(shè)運動員第2天進(jìn)行有氧訓(xùn)練為事件M,第2天進(jìn)行無氧訓(xùn)練為事件M

1517122P(N)=；x4I23I

則p(M)=2x己+±x±+-x-=一

292918392993

所以3名運動員第2天進(jìn)行有氧訓(xùn)練的人數(shù)X~，可知X=0,1,2,3,

則P—。)咽心，P(X=l)=C；x|x(^=|,

尸(X=2)=需"gP(X=3)同.

所以X的分布列為

X0123

2

148

P9

27927

2

所以E(X)=3x§=2.

5797

（2）依題意可得時廣匕x§+（|-即時I=一§匕+§（〃wZ,且〃工89）.

則￡用一171=一12（4一i7Ad（〃eN”，且〃《89），且7=51一7五=一五3工°，

所以數(shù)列｛與-5｝是首項為一/，公比為的等比數(shù)列,

n-1

732丫77

貝I」匕——=--X二I，即"Ax+一,

II22<-922I9；II

2r+z=_±xm\z.

所以％=-A

22xI911133(9J11

4.（2024?四川綿陽?統(tǒng)考二模）綿陽市37家A級旅游景區(qū)，在2023年國慶中秋雙節(jié)期間，接待人數(shù)和門

票收入大幅增長.綿陽某旅行社隨機(jī)調(diào)查了市區(qū)100位市民平時外出旅游情況，得到的數(shù)據(jù)如下表：

喜歡旅游不喜歡旅游總計

男性203050

女性302050

總計5050100

⑴能否有95%的把握認(rèn)為喜歡旅游與性別有關(guān)？

⑵將頻率視為概率，從全市男性市民中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行訪談，記這2人中喜歡旅游的人數(shù)為求&的分

布列與數(shù)學(xué)期望.

(a+/?)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)

0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【答案】（1）有95%的把握認(rèn)為喜歡旅游與性別有關(guān)

4

⑵分布列見解析，￡（^）=~

【分析】（1）將表中數(shù)據(jù)代入K?的計算公式并將計算結(jié)果與3.841比較大小，由此可知結(jié)果；

（2）根據(jù)條件判斷出4：《2,1；然后計算出g在不同取值下的概率，由此可求分布列，根據(jù)分布列可求

E（處

【詳解】⑴因為六J00x（20x20_30x30）2=4〉3.841,

50x50x50x50

所以有95%的把握認(rèn)為喜歡旅游與性別有關(guān).

（2）由表中數(shù)據(jù)可知：從全市男性市名中隨機(jī)抽取一人，該人喜歡旅游的概率為/202

（2、

由題意可知：兒BY,g的可能取值為o,L2.

所以P（10）=Cx/箝電V，

Sy」-箝自1d

所以4的分布列為:

o1244,、24

所以E(/=Ox六+以公+2、玄=與(b￡#^)=2x-=-).

4J/rJJ?_*aJ

題型二：服從二項分布的隨機(jī)變量概率最大問題

1.（2024?云南昆明?統(tǒng)考一模）聊天機(jī)器人（chatterbot）是一個經(jīng)由對話或文字進(jìn)行交談的計算機(jī)程序.

當(dāng)一個問題輸入給聊天機(jī)器人時，它會從數(shù)據(jù)庫中檢索最貼切的結(jié)果進(jìn)行應(yīng)答.在對某款聊天機(jī)器人進(jìn)行測

試時，如果輸入的問題沒有語法錯誤，則應(yīng)答被采納的概率為80%,若出現(xiàn)語法錯誤，則應(yīng)答被采納的概

率為30%.假設(shè)每次輸入的問題出現(xiàn)語法錯誤的概率為10%.

⑴求一個問題的應(yīng)答被采納的概率；

（2）在某次測試中，輸入了8個問題，每個問題的應(yīng)答是否被采納相互獨立，記這些應(yīng)答被采納的個數(shù)為X,

事件X=*（攵=0/，,8）的概率為P（X=k）,求當(dāng)P（X=Q最大時欠的值.

【答案】（1）0.75

（2）6

【分析】（1）根據(jù)全概率公式即可求解，

（2）根據(jù)二項分布的概率公式，利用不等式即可求解最值.

【詳解】（1）記"輸入的問題沒有語法錯誤〃為事件A,"一次應(yīng)答被采納"為事件〃，

由題意尸（a=0.1,夕（4人）=0.8,。（4區(qū)）=0.3,則

P（A）=l-P（4）=0.9,

P（8）=P（A8）+P（%3）=P（A）P（B|A）+P?P（8國=0.9x0.8+0.1x0.3=0.75.

（2）依題意，X8（8,5，P（X=Q=C《）￡（!）I,

444

尸(X=⑷2/(X=%+1),

當(dāng)代*=外最大時，有

P(X=k'\^P(X=k-iY

解得:kwN,

44

故當(dāng)P（X=幻最大時，k=6.

2.（2024?江西?校聯(lián)考模擬預(yù)測）近年來，隨著智能手機(jī)的普及，網(wǎng)絡(luò)購物、宜播帶貨、網(wǎng)上買菜等新業(yè)

態(tài)迅速進(jìn)入了我們的生活，改變了我們的生活方式.現(xiàn)將一周網(wǎng)上買菜次數(shù)超過3次的市民認(rèn)定為“喜歡網(wǎng)上

買菜〃，不超過3次甚至從不在網(wǎng)上買菜的市民認(rèn)定為“不喜歡網(wǎng)上買菜”.某市M社區(qū)為了解該社區(qū)市民網(wǎng)上

買菜情況，隨機(jī)抽取了該社區(qū)100名市民，得到的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示：

喜歡網(wǎng)上買菜不喜歡網(wǎng)上買菜合計

年齡不超過45歲的市民401050

年齡超過45歲的市民203050

合計6040100

⑴是否有99.9%的把握認(rèn)為M社區(qū)的市民是否喜歡網(wǎng)上買菜與年齡有關(guān)？

⑵M社區(qū)的市民李華周一、周二均在網(wǎng)上買菜，且周一從A,8兩個買菜平臺隨機(jī)選擇其中一個下單買菜.

如果周一選擇A平臺買菜，那么周二選擇A平臺買菜的概率為如果周一選擇8平臺買菜，那么周二選

擇8平臺買菜的概率為：，求李華周二選擇平臺8買菜的概率；

⑶用頻率估計概率，現(xiàn)從“社區(qū)市民中隨機(jī)抽取20名市民，記其中喜歡網(wǎng)上買菜的市民人數(shù)為X,事件

“X=k”的概率為P（X=%）,求使P（X=k）取得最大值時的女的值.

n(ad-bcy

參考公式：Z其中n=a+b+c+d.

(a+Z?)(c+d)(a+c)(Z?+d)

尸（土2幻

0.10.050.010.0050.001

k。2.7063.8416.6357.87910.828

【答案】（1）有99.9%的把握認(rèn)為M社區(qū)的市民是否喜歡網(wǎng)上買英與年齡有關(guān).

噓

⑶12

【分析】（1）根據(jù)題意，計算出爐的值即可求解;

（2）根據(jù)概率的乘法公式求解；

（3）利用二項分布求出P（X=k）,然后計算，可得結(jié)果.

【詳解】（1）零假設(shè)社區(qū)的市民是否喜歡網(wǎng)上買菜與年齡無關(guān),

由題可?得，

2_〃(6以一反)2100x(40x30-10x20)2

?16.667>10.828,

(a+b)(c+ci)(a+c)(b+d)50x50x60x40

所以零假設(shè)不成立,

所以有99.9%的把握認(rèn)為M社區(qū)的市民是否喜歡網(wǎng)上買菜與年齡有關(guān).

(2)周二選擇8平臺買菜的情況有：

①周一選擇A平臺買菜，周二選擇8平臺買菜，概率為令=[,

②周一選擇8平臺買菜，周二選擇8平臺買菜，概率為

JJJ

所以李華周二選擇平臺8買菜的概率為[+6=荒13.

(3)由表知，喜歡網(wǎng)上買菜的頻率為黑=：,則X:5(20,1),

1UU〉D

MVm204

所以尸(X=/)=G0x-X-伙=0,1,2,L,20).

、5Jk5,

設(shè)L3

令/=3(2；/)>],解得k<12.6,尸(.E=%)>p(x=々—1)；

乙K

,二3(2f,解得