2024-2025學(xué)年廣東省佛山一中高三（上）月考數(shù)學(xué)試卷（三）（A卷）（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年廣東省佛山一中高三（上）月考數(shù)學(xué)試卷（三）（A卷）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.集合A={x|y=?x2+2x+3}，集合A.(0,1] B.(0,3] C.[?1,+∞) D.[?3,+∞)2.“tanx=tany”是“x=y+2kπ(k∈Z)”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.已知a，b為單位向量，且a?b=0，若c=3a?A.55 B.105 C.4.從社會(huì)效益和經(jīng)濟(jì)效益出發(fā)，某企業(yè)追加投入資金進(jìn)行新興產(chǎn)業(yè)進(jìn)一步優(yōu)化建設(shè).根據(jù)規(guī)劃，本年度追加投入4000萬(wàn)元，以后每年追加投入將比上年減少14，本年度企業(yè)在新興產(chǎn)業(yè)上的收入估計(jì)為2000萬(wàn)元，由于該項(xiàng)建設(shè)對(duì)新興產(chǎn)業(yè)的促進(jìn)作用，預(yù)計(jì)今后的新興產(chǎn)業(yè)收入每年會(huì)比上一年增加1000萬(wàn)元，則至少經(jīng)過______年新興產(chǎn)業(yè)的總收入才會(huì)超過追加的總投入.(

)A.6 B.5 C.4 D.35.設(shè)函數(shù)f(x)=x+1,x≤0x?1,x>0，則方程f(f(x))=0A.4 B.3 C.2 D.16.已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，雙曲線的右支上有一點(diǎn)A，AF1與雙曲線的左支交于BA.3 B.5 C.67.在某次乓乒球單打比賽中，原計(jì)劃每?jī)擅x手各比賽一場(chǎng)，但有3名選手各比賽了2場(chǎng)之后就退出了，這樣，全部比賽只進(jìn)行了50場(chǎng)，那么上述3名選手之間比賽的場(chǎng)數(shù)是(

)A.0 B.1 C.2 D.38.設(shè)函數(shù)f(x)=1x，g(x)=ax2+bx(a,b∈R,a≠0)若y=f(x)的圖象與y=g(x)圖象有且僅有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)A(xA.當(dāng)a<0時(shí)，x1+x2<0，y1+y2>0

B.當(dāng)a<0時(shí)，x1+x2>0，y1二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.復(fù)數(shù)z=1+1?3i3A.z?對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面的第四象限 B.z2?是一個(gè)純虛數(shù)

C.z?10.已知函數(shù)f(x)=x2+2ax,x<1alnx?x,x≥1A.存在實(shí)數(shù)a，使得f(x)是減函數(shù) B.存在實(shí)數(shù)a，使得f(x)恰有1個(gè)零點(diǎn)

C.存在實(shí)數(shù)a，使得f(x)有最小值 D.存在實(shí)數(shù)a，使得f(x)恰有2個(gè)極值點(diǎn)11.如圖，已知矩形ABCD中，|AB|=2，|BC|=3，點(diǎn)E為線段CD上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)D重合)，將△ADE沿AE向上翻折到△APE，連接PB，PC.設(shè)|DE|=x(0<x≤2)，二面角P?AE?B的大小為θ(0<θ<π)，則下列說法正確的有(

)A.若x=1，θ=π2，則cos∠PAB=34

B.若x=1，則存在θ，使得PB⊥平面PAE

C.若x=32，則直線PB與平面ABC所成角的正切值的最大值為34

D.點(diǎn)A三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.中國(guó)客家博物館坐落于有“世界客都”之稱的廣東省梅州市城區(qū)，是一間收藏、研究、展示客家歷史文化的綜合性博物館，其主館是一座圓臺(tái)形建筑，如圖.現(xiàn)有一圓臺(tái)，其上、下底面圓的半徑分別為3米和6米，母線長(zhǎng)為5米，則該圓臺(tái)的體積約為______立方米.(結(jié)果保留整數(shù))13.設(shè)a，b>0，a+b=5，則a+1+b+3的最大值為14.已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F為橢圓x24+y23=1的右焦點(diǎn)，直線l過點(diǎn)F交拋物線于A，B兩點(diǎn)，且|AB|=8.直線l1，l2分別過點(diǎn)A，B且均與x軸平行，在直線l1，l2上分別取點(diǎn)M，N(M,N均在點(diǎn)A，B四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)

為了解高中學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)課是否喜愛是否和性別有關(guān)，隨機(jī)調(diào)查220名高中學(xué)生，將他們的意見進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到如下的2×2列聯(lián)表．喜愛數(shù)學(xué)課不喜愛數(shù)學(xué)課合計(jì)男生9020110女生7040110合計(jì)16060220(1)根據(jù)上面的列聯(lián)表判斷，能否有99%的把握認(rèn)為“喜愛數(shù)學(xué)課與性別”有關(guān)；

(2)為培養(yǎng)學(xué)習(xí)興趣，從不喜愛數(shù)學(xué)課的學(xué)生中進(jìn)行進(jìn)一步了解，從上述調(diào)查的不喜愛數(shù)學(xué)課的人員中按分層抽樣抽取6人，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽出2名進(jìn)行電話回訪，求抽到的2人中至少有1名“男生”的概率．

參考公式：K2P(0.100.050.0100.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.82816.(本小題12分)

如圖所示的幾何體是由一個(gè)直三棱柱和半個(gè)圓柱拼接而成其中，∠FAB=90°，AB=AF=2，點(diǎn)G為弧CD的中點(diǎn)，且C，G，D，E四點(diǎn)共面．

(1)證明：D，G，B，F(xiàn)四點(diǎn)共面；

(2)若平面BDF與平面ABG所成銳二面角的余弦值為216，求AD長(zhǎng)．17.(本小題12分)

已知函數(shù)f(x)=tanx?sinx，g(x)=x?sinx，x∈(0,π2)．

(1)證明：關(guān)于x的方程f(x)?g(x)=x在(0,π2)上有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根；

(2)當(dāng)x∈(0,π18.(本小題12分)

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為3，直線l：y=x?1與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)D(x0,y0)在雙曲線C上．

(1)求線段AB中點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)若a=1，過點(diǎn)D作斜率為2x0y0的直線l′與直線19.(本小題12分)

已知有窮數(shù)列A：a1,a2,?,aN(N∈N?,N≥3)滿足ai∈{?1,0,1}(i=1，2，?，N).給定正整數(shù)m，若存在正整數(shù)s，t(s≠t)，使得對(duì)任意的k∈{0,1,2,?,m?1}，都有as+k=at+k，則稱數(shù)列A是m?連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列．

(1)判斷數(shù)列A：1，?1，0，?1，0，?1，1是否是3?連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列，并說明理由；

(2)若項(xiàng)數(shù)為N的任意數(shù)列A都是2?連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列，求N的最小值；

(3)若數(shù)列A：a1，a2，?，aN不是4?連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列，而數(shù)列A1：a1，a2，?，aN，?1，數(shù)列A2：a1，a參考答案1.C

2.B

3.C

4.C

5.B

6.D

7.B

8.B

9.BCD

10.ABD

11.AD

12.264

13.314.815.解：(1)∵K2=n(ad?bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=220×(90×40?20×70)2110×110×160×60=556≈9.167>6.635，

∴有99%的把握認(rèn)為“喜愛數(shù)學(xué)課與性別有關(guān)”．

(2)從不喜愛數(shù)學(xué)課的人員中按分層抽樣法抽取6人，男生應(yīng)抽取2人，設(shè)為A，B，女生應(yīng)抽取4人，

設(shè)為a，b，c，d，從中隨機(jī)抽出2人，總的情況為：

(A,B)，(A,a)，(A,b)，(A,c)，(A,d)，(B,a)，(B,b)，

(B,c)，(B,d)，(a,b)，(a,c)，(a,d)，(b,c)，(b,d)16.解：(1)證明：解析一：

連接DG，因?yàn)锳B⊥AF，AF=AB，

所以直棱柱的底面為等腰直角三角形，∠DCE=45°，

在半圓DGC上，G是弧CD中點(diǎn)，所以∠GDC=45°，

所以DG/?/EC，又EC//FB，

所以DG//FB，B、F、D、G四點(diǎn)共面．

解析二：

直三棱柱中，AB⊥AF，以A為原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，

AF=AB=2，設(shè)AD=?，

A(0,0,0)B(0,2,0)，F(xiàn)(2,0,0)，D(0,0,?)，G(?1,1,?)，

則DG=(?1,1,0)，F(xiàn)B=(?2,2,0)，F(xiàn)B=2DG，

所以DG//FB，B、F、D、G四點(diǎn)共面．

(2)直棱柱中，AB⊥AF，以A為原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，

AF=AB=2，設(shè)AD=?，F(xiàn)(2,0,0)，B(0,2,0)，D(0,0,?)，

FD=(?2,0,?)，BF=(2,?2,0)，

設(shè)平面BFD的法向量為n=(x,y,z)．

則n?FD=0n?BF=0，有?2x+?z=0,2x?2y=0.，化簡(jiǎn)得x=?2z,x=y,，取n=(?,?,2)，

A(0,0,0)，B(0,2,0)，G(?1,1,?)，AB=(0,2,0)，AG=(?11,?)，

設(shè)平面ABG的法向量為m=(r,s.t)，

則m?AB=0m?AG=017.解：(1)證明：令?(x)=f(x)?g(x)?x，則?(x)=tanx?2x，

所以?′(x)=1cos2x?2=1?2cos2xcos2x=(1+2cosx)(1?2cosx)cos2x

因此當(dāng)x∈(0,π4)時(shí)，cosx>22，?′(x)<0，當(dāng)x∈(π4,π2)時(shí)，?′(x)>0，

所以?(x)=tanx?2x在x∈(0,π4)上單調(diào)遞減，在x∈(π4,π2)單調(diào)遞增，

又因?yàn)?(π4)<0,?(5π12)=tan(5π12)?5π6=2+3?5π6>2+1.7?2.5>0

所以?(x)=tanx?2x在x∈(0,π4)無(wú)零點(diǎn)，在x∈(π4,π2)只有一個(gè)零點(diǎn)，

因此方程有且僅有一個(gè)根

(2)令φ(x)=f(x)?ag(x)=tanx?sinx?a(x?sinx)，

則φ′(x)=1cos2x?cosx?a(1?cosx)=(1?cos3x)cos2x?a(1?cosx)

①若a≤0，則當(dāng)x∈(0,π2)時(shí)，φ′(x)>0，

所以φ(x)在(0,π2)上單調(diào)遞增，又φ(0)=0，所以φ(x)>0恒成立；

②當(dāng)1<a≤3，則φ′′(x)=2sinxcos318.解：(1)依題意，雙曲線C的離心率e=ca=1+b2a2=3，則b2=2a2，

故雙曲線C的方程為2x2?y2?2a2=0，

聯(lián)立2x2?y2?2a2=0y=x?1，得x2+2x?2a2?1=0，且Δ>0，

設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，則x1+x2=?2,x1x2=?2a2?1，

設(shè)線段AB的中點(diǎn)為E(x′,y′)，故x′=?1，

將x′=?1代入直線l：y=x?1，得y′=?2，

故線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(?1,?2)．

(2)依題意，a=1，則雙曲線C的方程為x2?y22=1，

直線l′：y?y0=2x0y0(x?x019.解：(1)數(shù)列A是3?連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列，理由如下：

數(shù)列A：1，?1，0，?1，0，?1，1中，a2=a4=?1，a3=a5=0，a4=a6=?1，

即有a2+k=a4+k(k=0,1,2)，所以數(shù)列A是3?連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列．

(2)設(shè)集合S={(x,y)|x∈{?1，0，1}，y∈{?1,0,1}}，則S中的元素個(gè)數(shù)為32=9，

因?yàn)樵跀?shù)列A中ai∈{?1,0,1}(i=1，2，?，N)，所以(ai,ai+1)∈S(i=1,2,?,N?1)，

若N≥11，則N?1≥10>9，所以在(a1,a2)，(a2,a3)，(a3,a4)，?，(aN?1,aN)這N?1個(gè)有序數(shù)對(duì)中，

至少有兩個(gè)有序數(shù)對(duì)相同，即存在正整數(shù)s，t(s≠t)，使得as=at，as+1=at+1，

所以當(dāng)項(xiàng)數(shù)N≥11時(shí)，數(shù)列A一定是2?連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列，

若N=3，數(shù)列0，0，1不是2?連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列；

若N=4，數(shù)列0，0，1，1不是2?連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列；

若N=5，數(shù)列0，0，1，1，0不是2?連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列；

若N=6，數(shù)列0，0，1，1，0，?