遼寧省撫順德才高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年高二繽紛勤學(xué)班上學(xué)期階段驗(yàn)收數(shù)學(xué)試卷

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)2024-2025學(xué)年度上學(xué)期繽紛勤學(xué)階段驗(yàn)收考試高二數(shù)學(xué)試卷滿(mǎn)分：150分考試時(shí)間：120分鐘一、單選題（每題5分，共40分）1．復(fù)數(shù)滿(mǎn)足：（其中是虛數(shù)單位），則的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出水平放置的平面圖形的直觀圖為如圖所示的，已知，則的面積為（

）A． B． C．8 D．3．已知某圓錐的側(cè)面積為，軸截面面積為1，則該圓錐的母線與底面所成的角為（

）A． B． C． D．4．如圖，某同學(xué)為測(cè)量南京大報(bào)恩寺琉璃塔的高度，在琉璃塔的正東方向找到一座建筑物，高約為，在地面上點(diǎn)處（，，三點(diǎn)共線）測(cè)得建筑物頂部和琉璃塔頂部的仰角分別為和，在處測(cè)得塔頂部的仰角為，則琉璃塔的高度約為（

）A．78 B．74 C．64 D．525．如圖，在長(zhǎng)方體中，已知為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．6．已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，，下面可使得有兩組解的的值為（

）A． B． C． D．7．在正四棱柱中，，設(shè)，則（

）A．2 B． C．4 D．88．如圖所示的實(shí)驗(yàn)裝置中，兩個(gè)互相垂直的正方形框架的邊長(zhǎng)均為1，活動(dòng)彈子分別在對(duì)角線上移動(dòng)，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題9．設(shè)l，m，n是不同的直線，α，β是不同的平面，則下列判斷錯(cuò)誤的是（

）A．若，，，則B．若，，，則C．若直線，，且l⊥m，l⊥n，則D．若l，m是異面直線，，，且，，則10．在中，下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則為等腰三角形B．若，則是直角三角形C．若，則是鈍角三角形D．若，則是等邊三角形11．如圖，點(diǎn)是棱長(zhǎng)為2的正方體的表面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．當(dāng)在平面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四棱錐的體積不變B．當(dāng)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，與所成角的取值范圍是C．若是的中點(diǎn)，當(dāng)在底面上運(yùn)動(dòng)，且滿(mǎn)足平面時(shí)，長(zhǎng)度的最小值是D．使直線與平面所成的角為的點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為三、填空題12．已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z和均為純虛數(shù)，則.13．已知三棱錐，若兩兩垂直，且，則三棱錐外接球的表面積為.14．正三棱柱中，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且滿(mǎn)足，當(dāng)直線與平面所成的角取最大值時(shí)，的值為．四、解答題15．已知復(fù)數(shù)，且為純虛數(shù).(1)求復(fù)數(shù)；(2)若，求復(fù)數(shù)及.16．已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且(1)求角A；(2)若為邊上一點(diǎn)，為的平分線，且，求的面積17．如圖：三棱柱中，，是的中點(diǎn)．(1)在線段上是否存在一點(diǎn)，使得四邊形為梯形?說(shuō)明理由；(2)若點(diǎn)是棱所在直線上的點(diǎn)，設(shè)，當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)的值．18．在中，角的對(duì)邊是，已知．(1)求角；(2)若點(diǎn)在邊上，且，求面積的最大值．19．如圖，在三棱柱中，平面，E，F(xiàn)，G分別是棱AB，BC，上的動(dòng)點(diǎn)，且．

(1)求證：；(2)若平面與平面的夾角的余弦值為，求．答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)2024-2025學(xué)年度上學(xué)期繽紛勤學(xué)階段驗(yàn)收考試數(shù)學(xué)答案A1．D【詳解】由，得，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第四象限．故選：D.2．A【詳解】因?yàn)?，所以是直角三角形且，可得，所以的面積，則的面積．3．C【詳解】設(shè)圓錐的母線為，底面半徑為，高為，由題意可得：，解得，設(shè)該圓錐的母線與底面所成的角為，則，可得，所以該圓錐的母線與底面所成的角為.故選：C.4．A【詳解】根據(jù)題意，可得，，在中，.在中，，，所以，在中，由正弦定理得，即，即，解得，在中，，，所以.故選：A.5．A【詳解】取的中點(diǎn)F，連接EF，CF，，又為的中點(diǎn)，在長(zhǎng)方體中，可得，所以為異面直線BD與CE所成的角或其補(bǔ)角，因?yàn)?，所以，，所以在中，由余弦定理?6．D【詳解】要使得有兩組解，則，又，得到，故選：D.7．C【詳解】在正四棱柱中，，.8．B【詳解】以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，A1,0,0，設(shè)，則，則單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以時(shí)，最小值為，時(shí)，最大值為，所以.9．ABC【詳解】對(duì)于A，若，，，則l與m可能平行，可能相交，也可能異面，A錯(cuò)誤．對(duì)于B，若，，，則l與m可能平行，可能相交，也可能異面，B錯(cuò)誤．對(duì)于C，沒(méi)有說(shuō)m，n是相交直線，所以不能得到，C錯(cuò)誤．對(duì)于D，因?yàn)?，設(shè)平面平面，，所以，因?yàn)閘，m是異面直線，，所以l，a相交，因?yàn)?，，，所以，因?yàn)?，，l，a相交，所以，D正確．10．CD【詳解】對(duì)于A，中，若，則有或，當(dāng)時(shí)，，為等腰三角形；當(dāng)時(shí)，，為直角三角形，故A選項(xiàng)不正確，對(duì)于B，中，若，則或，即或，因此不一定是直角三角形，故B選項(xiàng)不正確；對(duì)于C，中，若，則根據(jù)正弦定理得，余弦定理得，則為鈍角，是鈍角三角形，故C選項(xiàng)正確；對(duì)于D，中，若，則，即，由，得，所以，，是等邊三角形，故D選項(xiàng)正確．故選：CD．11．ABD【詳解】對(duì)A：如圖：

當(dāng)在平面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四棱錐的底面面積為定值4，高為點(diǎn)到平面的距離為定值2，所以為定值.故A正確；對(duì)B：如圖

當(dāng)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，與所成角就是與所成的角，因?yàn)闉榈冗吶切?，所以?dāng)點(diǎn)與線段的端點(diǎn)重合時(shí)，與所成的角最小，為，當(dāng)點(diǎn)為線段中點(diǎn)時(shí)，與所成的角最大，為.故B正確；對(duì)C：如圖：

因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，當(dāng)在底面上運(yùn)動(dòng)，且滿(mǎn)足平面時(shí)，所在的平面為如圖正六邊形，正六邊形的邊長(zhǎng)為，當(dāng)點(diǎn)與中點(diǎn)重合時(shí)，最小，為.故C錯(cuò)誤；對(duì)D：如圖：

使直線與平面所成的角為的點(diǎn)P的軌跡為對(duì)角線、以及平面內(nèi)以為圓心，以2為半徑的圓的，故點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為：.故D正確.故選：ABD12．【詳解】由題意設(shè)，則是純虛數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)，解得，所以.故答案為：.13．【詳解】在三棱錐中，因?yàn)镻A，PB，PC兩兩垂直，且，以PA，PB，PC為棱構(gòu)造一個(gè)長(zhǎng)方體，則這個(gè)長(zhǎng)方體的外接球就是三棱錐的外接球，由題意可知，這個(gè)長(zhǎng)方體的體對(duì)角線的中點(diǎn)是三棱錐的外接球的球心，三棱錐的外接球半徑為，所以外接球的表面積為.故答案為：.14．/【詳解】

如圖，正三棱柱中，取中點(diǎn)，連接，則，則平面，不妨設(shè)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，于是，則，取平面ABC的一個(gè)法向量為，設(shè)直線PN與平面ABC所成的角為，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)角最大．15．(1)(2)，【詳解】（1）由，所以，又為純虛數(shù)，所以，解得，所以復(fù)數(shù)；（2）由（1）知，所以，故，.16．(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)?，由正弦定理可得，且，即，整理可得，且，則，可得，又因?yàn)?，則，可得，所以.（2）因?yàn)闉榈钠椒志€，則，因?yàn)?，則，即，可得，在中，由余弦定理可得，即，整理可得，解得或（舍去），所以的面積.17．(1)存在，為中點(diǎn).(2)【詳解】（1）為中點(diǎn)，四邊形為梯形，理由如下：為中點(diǎn)，連接，又是的中點(diǎn)，則有且，三棱柱中，且，所以有且，故為中點(diǎn)，四邊形為梯形；（2）依題意，，，則有，，，，，則，即，解得.18．(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)?，由正弦定理得，整理得到，即，又B∈0,π，所以，得到，又，所以.（2））因?yàn)?，所以，又，又由余弦定理，得到，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，所以面積的最大值為.19