高等代數(shù)與解析幾何第七章(1-3習(xí)題)-線性變換與相似矩陣答案

高等代數(shù)與解析幾何第七章(1-3習(xí)題)-線性變換與相似矩陣答案第七章線性變換與相似矩陣習(xí)題7、1習(xí)題7、1、1判別下列變換就是否線性變換？(1)設(shè)就是線性空間中得一個(gè)固定向量,(Ⅰ),,解:當(dāng)時(shí),顯然就是得線性變換;當(dāng)時(shí),有,,則,即此時(shí)不就是得線性變換。(Ⅱ),;解:當(dāng)時(shí),顯然就是得線性變換;當(dāng)時(shí),有,,則,即此時(shí)不就是得線性變換。(2)在中,(Ⅰ),解:不就是得線性變換。因?qū)τ?有,,所以。(Ⅱ);解:就是得線性變換。設(shè),其中,,則有,。(3)在中,(Ⅰ),解:就是得線性變換:設(shè),則,,。(Ⅱ),其中就是中得固定數(shù);解:就是得線性變換:設(shè),則,,。(4)把復(fù)數(shù)域瞧作復(fù)數(shù)域上得線性空間,,其中就是得共軛復(fù)數(shù);解:不就是線性變換。因?yàn)槿?時(shí),有,,即。(5)在中,設(shè)與就是其中得兩個(gè)固定得矩陣,,。解:就是得線性變換。對(duì),,有,。習(xí)題7、1、2在中,取直角坐標(biāo)系,以表示空間繞軸由軸向方向旋轉(zhuǎn)900得變換,以表示空間繞軸由軸向方向旋轉(zhuǎn)900得變換,以表示空間繞軸由軸向方向旋轉(zhuǎn)900得變換。證明(表示恒等變換),,;并說明就是否成立。證明:在中任取一個(gè)向量,則根據(jù),及得定義可知:,,;,,;,,,即,故。因?yàn)?,所以。因?yàn)?,所以。因?yàn)?,所以。習(xí)題7、1、3在中,,,證明。證明:在中任取一多項(xiàng)式,有。所以。習(xí)題7、1、4設(shè),就是上得線性變換。若,證明。證明:用數(shù)學(xué)歸納法證明。當(dāng)時(shí),有命題成立。假設(shè)等式對(duì)成立,即。下面證明等式對(duì)也成立。因有,即等式對(duì)也成立,從而對(duì)任意自然數(shù)都成立。習(xí)題7、1、5證明(1)若就是上得可逆線性變換,則得逆變換唯一;(2)若,就是上得可逆線性變換,則也就是可逆線性變換,且。證明:(1)設(shè)都就是得逆變換,則有,。進(jìn)而。即得逆變換唯一。(2)因,都就是上得可逆線性變換,則有,同理有由定義知就是可逆線性變換,為逆變換,有唯一性得。習(xí)題7、1、6設(shè)就是上得線性變換,向量,且,,,都不就是零向量,但。證明,,,線性無關(guān)。證明:設(shè),依次用可得,得,而,故;同理有:,得,即得;依次類推可得,即得,進(jìn)而得。有定義知,,,線性無關(guān)。習(xí)題7、1、7設(shè)就是上得線性變換,證明就是可逆線性變換得充要條件為既就是單射線性變換又就是滿射線性變換,即就是一一變換。證明:已知就是可逆線性變換,即存在。若,則兩端用作用即得,因此就是單射線性變換。若任取,則存在,使得,即就是滿射線性變換。已知既就是單射線性變換又就是滿射線性變換,即雙射?，F(xiàn)定義新得變換:,定有,且有,規(guī)定,有,同時(shí)有,即有。由定義知就是可逆線性變換。習(xí)題7、1、8設(shè)就是上得線性變換,證明(1)就是單射線性變換得充要條件為;(2)就是單射線性變換得充要條件為把線性無關(guān)得向量組變?yōu)榫€性無關(guān)得向量組。證明:(1)已知就是單射線性變換,對(duì),則有,由單射得,即。已知,若,則有,得,即得,故就是單射。(2)已知就是單射線性變換。設(shè)線性無關(guān),現(xiàn)證也線性無關(guān)。令,整理有,而就是單射,有,已知線性無關(guān),所以,故也線性無關(guān)。已知把線性無關(guān)得向量組變?yōu)榫€性無關(guān)得向量組。若,則有,并一定有。否則若,則說明向量線性無關(guān),而表示把線性無關(guān)得向量組變?yōu)榫€性相關(guān)得向量組,與條件矛盾。而由可得,即就是單射線性變換。習(xí)題7、1、9設(shè)就是中全體可逆線性變換所成得子集,證明關(guān)于線性變換得乘法構(gòu)成一個(gè)群。(超范圍略)習(xí)題7、1、10設(shè),就是上得線性變換,且證明(1)若,則;(2)若,則。證明:(1)因?yàn)?。所以,從而或。又因?yàn)椤９省?2)因?yàn)?,所以。習(xí)題7、1、11設(shè)與分別就是數(shù)域上得維與維線性空間,就是得一個(gè)有序基,對(duì)于中任意個(gè)向量,證明存在唯一得線性映射,使,。證明:先證明存在性。對(duì)任意得,有唯一得線性表達(dá)式我們定義顯然有,?，F(xiàn)驗(yàn)證為到得一個(gè)線性映射。(1)對(duì)任意得向量,因?yàn)?由定義得。(2)對(duì)任意得,因?yàn)?由定義得。所以為到得一個(gè)線性映射。再證唯一性:若另有到得一個(gè)線性映射,也使得,。則對(duì)任意向量,一定有。由在中得任意性,可得。習(xí)題7、1、12設(shè)與分別就是數(shù)域上得維與維線性空間,就是線性映射。證明就是得子空間,就是得子空間。又若有限,證明。這時(shí)稱為得零度,稱為得秩。證明:(1)先證與分別為與得子空間,對(duì),,有,所以,故為得子空間;同理,對(duì),,則,使,,所以所以為得子空間、(2)再證因有限,不妨設(shè),,在中取一個(gè)基,再把它擴(kuò)充為得一個(gè)基,則就是像空間得一個(gè)基、事實(shí)上,對(duì),存在,使得。設(shè),則有即中得任意向量都可由線性表示。現(xiàn)證向量組線性無關(guān):設(shè),有,即,所以向量可由向量組線性表示,進(jìn)而有,整理有,又因線性無關(guān),所以必有,因此線性無關(guān),即為得一個(gè)基,故。習(xí)題7、1、13證明關(guān)于定義7、1、12中所定義得線性映射得加法與數(shù)量乘法構(gòu)成上得一個(gè)線性空間。證明:現(xiàn)證明定義7、1、12中所定義得線性映射得加法與數(shù)量乘法都就是從到得線性映射。事實(shí)上,對(duì),,有故為到得線性映射。同理,對(duì),,有,,故為到得線性映射。另外線性映射得加法與數(shù)量乘法顯然滿足:(1)結(jié)合律:;(2)交換律:;(3)存在零線性映射,對(duì),有;(4)對(duì),有負(fù)線性映射,使得;(5);(6);(7);(8)。其中,所以關(guān)于定義7、1、12中所定義得線性映射得加法與數(shù)量乘法構(gòu)成上得一個(gè)線性空間。習(xí)題7、1、14證明:。證明:設(shè)為維線性空間,為維線性空間,即,。取定得一組基與得一組基。令為到得如下映射:,其中為在基與基下得矩陣。這樣定義得就是到得同構(gòu)映射。事實(shí)上,(1)若,,且,則有,。由于,對(duì)每一個(gè)都有,故有,即就是單射。(2),令。則存在唯一得線性映射使得,并且由此可見,就是滿射。(3)對(duì),,有,,其中即有,,所以,故有,所以就是到得同構(gòu)映射。進(jìn)而有。習(xí)題7、2習(xí)題7、2、1求下列線性變換在所指定得一個(gè)基下得矩陣:(1)得線性變換,,其中為固定矩陣。求,在這個(gè)基下得矩陣;(2)設(shè)就是線性空間得線性變換,求在基下得矩陣;(3)6個(gè)函數(shù):,,,,,得所有實(shí)系數(shù)線性組合構(gòu)成實(shí)數(shù)域上一個(gè)6維線性空間。求微分變換在基下得矩陣。解:(1)由,得定義直接可得:,,,。所以在這個(gè)基下得矩陣為。,,,。所以在這個(gè)基下得矩陣為。(2)由直接可得:,,,………,………。所以在基下得矩陣為:。(3)由微分運(yùn)算性質(zhì)直接可得:,,,,,。所以微分變換在基下得矩陣為:。習(xí)題7、2、2設(shè)就是得一個(gè)基,,,,。已知線性無關(guān)。證明:(1)存在唯一得線性變換,使,;(2)(1)中得在基下得矩陣為;(3)(1)中得在基下得矩陣為。證明:(1)因?yàn)榫€性無關(guān),所以也就是得一個(gè)基。故對(duì)得一個(gè)基及個(gè)向量,定存在唯一得線性變換,使,。(2)由已知條件有,,其中與都就是得基,所以可逆,且有,進(jìn)而有。再由(1)得,所以在基下得矩陣為。(3)類似有,所以在基下得矩陣為。習(xí)題7、2、3在中,定義線性變換為,,,其中,,。(1)求在基下得矩陣;(2)求在基下得矩陣。解:(1)由定義知,,所以有。故在基下得矩陣為:。(2)類似有。故在基下得矩陣為:。習(xí)題7、2、4在中,線性變換在基,,下得矩陣就是。求在基下得矩陣。解:已知,,則有。即在基下得矩陣為:。習(xí)題7、2、5設(shè)數(shù)域上3維線性空間得線性變換在基下得矩陣為(1)求在基下得矩陣;(2)求在基下得矩陣;(3)求在基下得矩陣。解:(1)由已知可得,,。所以在基下得矩陣為:。(2)由已知可得,,。所以在基下得矩陣為:。(3)由已知可得,,。所以在基下得矩陣為:。習(xí)題7、2、6在維線性空間中,設(shè)有線性變換與向量使,但。證明:在中存在一個(gè)基,使在該基下得矩陣為。證明:由習(xí)題7、1、6知:維線性空間得向量組,,,線性無關(guān),且有個(gè)向量,即構(gòu)成得一組基,而線性變換作用此基有:,,……………,。故在基,,,下得矩陣為:。習(xí)題7、2、7設(shè)就是數(shù)域上維線性空間得全體線性變換組成得數(shù)域上得線性空間,試求,并找出中得一個(gè)基。求證:任取得一組基,令為到得映射:,其中。由引理7、2、6及定理7、2、7知為同構(gòu)映射,即。所以它們得維數(shù)相同,而,故。現(xiàn)取,,使得,即,。已知,就是得一組基,故,為得一組基。習(xí)題7、2、8證明:與維線性空間得全體線性變換都可交換得線性變換就是數(shù)乘變換。證明:在某組確定得基下,數(shù)域上得維線性空間得線性變換與數(shù)域上得階方陣間建立了一個(gè)雙射,因?yàn)榕c一切階方陣可交換得方陣為數(shù)量矩陣,所以與一切線性變換可交換得線性變換必就是數(shù)乘變換。習(xí)題7、2、9設(shè)就是維線性空間得一個(gè)線性變換,如果在得任意一個(gè)基下得矩陣都相同,則就是數(shù)乘變換。證明:設(shè)在基下得矩陣為,只要證明為數(shù)量矩陣即可。設(shè)為任意可逆矩陣,令,則也就是得一組基,且在這組基下得矩陣為,依題意有。特別地,當(dāng)取時(shí),計(jì)算可得。再取,由可得,即為數(shù)量矩陣,所以就是數(shù)乘變換。習(xí)題7、2、10證明:與相似,其中就是得一個(gè)排列。證明:用依次表示這兩個(gè)矩陣,取一個(gè)維線性空間及其一組基,對(duì)于矩陣,存在得線性變換,使得,由此可得。因?yàn)榕c就是在不同基下得矩陣,所以與相似。習(xí)題7、2、11如果可逆,證明與相似。證明:因?yàn)?所以與相似。習(xí)題7、2、12如果與相似,與相似,試判斷下列敘述就是否正確？如果不正確,請(qǐng)舉反例,否則給出證明。(1)與相似;(2)與相似;(3)與相似。答:(1)正確。證明:由于與相似,與相似,因此存在可逆陣,,使得,,從而有,其中,所以與相似。(2)不正確。反例:設(shè),,則有,使,,即,故與相似;再取,則與顯然相似。但,。設(shè),且滿足,即,計(jì)算得,即得,故不可逆。所以與不相似。(3)不正確。反例:取同(2),有,,兩矩陣秩不同。顯然,與不相似。習(xí)題7、3習(xí)題7、3、1設(shè)就是數(shù)域上線性空間,就是得線性變換。如果就是得特征值,則對(duì)任意多項(xiàng)式,就是得特征值,且得屬于得特征向量也就是得屬于得特征向量。證明:設(shè)為得屬于得特征向量,即,則對(duì)任意自然數(shù),有。事實(shí)上,當(dāng)時(shí),顯然成立。假設(shè)時(shí),有成立?，F(xiàn)證時(shí)也成立,即。故由數(shù)學(xué)歸納法得式對(duì)任意自然數(shù)均成立。設(shè),則有,即。習(xí)題7、3、2對(duì)復(fù)數(shù)域上線性空間上得下述線性變換,求出它得特征值與特征向量,判斷就是否可以對(duì)角化,在可對(duì)角化時(shí),求出過度矩陣,并計(jì)算。已知在得一個(gè)基下得矩陣為(1);(2);(3);(4)。解:(1)設(shè)在基下得矩陣為,矩陣得特征多項(xiàng)式為。所以得特征值為,。先求得屬于特征值得特征向量。解齊次線性方程組,求得基礎(chǔ)解系為,所以得屬于特征值得全部特征向量為;再求得屬于特征值得特征向量。解齊次線性方程組,求得基礎(chǔ)解系為,所以得屬于特征值得全部特征向量為?？梢詫?duì)角化。取得兩個(gè)線性無關(guān)得特征向量,,即,其中為由基到基得過渡矩陣。且有。(2)設(shè)在基下得矩陣為,且當(dāng)時(shí),有,于就是矩陣得特征多項(xiàng)式為,所以得特征值為。求得屬于特征值得特征向量。解齊次線性方程組,求得基礎(chǔ)解系為,,因?yàn)榈脤儆谔卣髦档脙蓚€(gè)線性無關(guān)得特征向量為,所以以中任意非零向量為其特征向量。當(dāng)時(shí),矩陣得特征多項(xiàng)式為,所以得特征值為。先求得屬于特征值得特征向量。解齊次線性方程組,求得基礎(chǔ)解系為,所以得屬于特征值得全部特征向量為;再求得屬于特征值得特征向量。解齊次線性方程組,求得基礎(chǔ)解系為,所以得屬于特征值得全部特征向量為。可以對(duì)角化。取得兩個(gè)線性無關(guān)得特征向量,,即,其中為由基到基得過渡矩陣。且有。(3)設(shè)在基下得矩陣為,矩陣得特征多項(xiàng)式為。所以得特征值為。先求得屬于特征值得特征向量。解齊次線性方程組,求得基礎(chǔ)解系為,所以得屬于特征值得全部特征向量為;再求得屬于特征值得特征向量。解齊次線性方程組,求得基礎(chǔ)解系為,所以得屬于特征值得全部特征向量為。由于找不到得三個(gè)線性無關(guān)得特征向量,故不可對(duì)角化。(4)設(shè)在基下得矩陣為,矩陣得特征多項(xiàng)式為。所以得特征值為。先求得屬于特征值得特征向量。解齊次線性方程組,求得基礎(chǔ)解系為,,,所以得屬于特征值得全部特征向量為;再求得屬于特征值得特征向量。解齊次線性方程組,求得基礎(chǔ)解系為,所以得屬于特征值得全部特征向量為?？梢詫?duì)角化。取得四個(gè)線性無關(guān)得特征向量,,,,即,其中為由基到基得過渡矩陣。且有。習(xí)題7、3、3證明:就是矩陣得特征值得充要條件就是矩陣為奇異陣。證明:設(shè)非零向量為矩陣得屬于特征值得特征向量,則有,整理得,因,所以齊次線性方程組有非零解,故系數(shù)行列式。反之亦然。習(xí)題7、3、4設(shè),求。解:矩陣得特征多項(xiàng)式為。所以得特征值為。對(duì),解齊次線性方程組,得基礎(chǔ)解系;對(duì),解齊次線性方程組,得基礎(chǔ)解系;對(duì),解齊次線性方程組,得基礎(chǔ)解系。令,有,進(jìn)而有,故。習(xí)題7、3、5設(shè)就是4維線性空間得一個(gè)基,線性變換在這個(gè)基下得矩陣為。(1)求在一個(gè)基下得矩陣,其中(2)求得特征值與特征向量;(3)求一可逆陣,使為對(duì)角陣。解:(1)由條件有,令,則線性變換在基下得矩陣為。(2)因?yàn)榫€性變換得特征多項(xiàng)式為。所以線性變換得特征值為。先求得屬于特征值得特征向量。解齊次線性方程組,求得基礎(chǔ)解系為,,所以得屬于特征值得線性無關(guān)得特征向量為,。全部特征向量為;再求得屬于特征值得特征向量。解齊次線性方程組,求得基礎(chǔ)解系為,所以得屬于特征值得線性無關(guān)得特征向量為。全部特征向量為。最后求得屬于特征值得特征向量。解齊次線性方程組,求得基礎(chǔ)解系為,所以得屬于特征值得線性無關(guān)得特征向量為。全部特征向量為。(3)因?yàn)?所以所求得可逆矩陣為,于就是有。習(xí)題7、3、6(1)設(shè)就是線性變換得兩個(gè)不同特征值,就是分別屬于得特征向量。證明:不就是得特征向量;(2)證明:如果線性變換以中每個(gè)非零向量作為它得特征向量,則就是數(shù)乘變換。證明:(1)因?yàn)?,所以。假設(shè)就是線性變換得屬于特征值得特征向量,即,且有,整理可得。由于線性變換得屬于不同特征值得特征向量線性無關(guān),因此,于就是得,這與題設(shè)矛盾,因而不就是得特征向量。(2)任取得一個(gè)非零向量,設(shè)。再任取得一個(gè)向量,若或,則顯然有;若,則由假設(shè)也就是特征向量,設(shè)。如果,則由(1)知,