第03講 復(fù)數(shù)（解析版）-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)幫

Page第03講復(fù)數(shù)（9類核心考點(diǎn)精講精練）1.5年真題考點(diǎn)分布5年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2024年新I卷，第2題，5分復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算無2024年新Ⅱ卷，第1題，5分復(fù)數(shù)的模無2023年新I卷，第2題，5分復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、共軛復(fù)數(shù)無2023年新Ⅱ卷，第1題，5分復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、復(fù)數(shù)的幾何意義無2022年新I卷，第2題，5分復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、共軛復(fù)數(shù)無2022年新Ⅱ卷，第2題，5分復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算無2021年新I卷，第2題，5分復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、共軛復(fù)數(shù)無2021年新Ⅱ卷，第1題，5分復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、復(fù)數(shù)的幾何意義無2020年新I卷，第1題，5分復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算無2020年新Ⅱ卷，第2題，5分復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算無2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較低，分值為5分【備考策略】1.理解、掌握復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，能夠掌握數(shù)集分類及復(fù)數(shù)分類，需要關(guān)注復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部、及純虛數(shù)2.能正確計(jì)算復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及模長等問題，理解并掌握共軛復(fù)數(shù)3.熟練掌握復(fù)數(shù)的幾何意義即復(fù)數(shù)與復(fù)平面上點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，一般考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、共軛復(fù)數(shù)、模長運(yùn)算、幾何意義，題型較為簡單。知識(shí)講解1．復(fù)數(shù)的定義我們把形如的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i叫做，滿足，虛數(shù)單位的周期為．【答案】虛數(shù)單位42．復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即，其中的a與b分別叫做復(fù)數(shù)z的與．【答案】實(shí)部虛部3．對(duì)于復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)，為實(shí)數(shù)；為虛數(shù)；為純虛數(shù)；為非純虛數(shù).即復(fù)數(shù)【答案】；4．在復(fù)數(shù)集中任取兩個(gè)數(shù)，，規(guī)定與相等當(dāng)且僅當(dāng)，即復(fù)數(shù)相等：?.【答案】5．共軛復(fù)數(shù)（1）定義：當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部，虛部時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)．虛部不等于0的兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)也叫做共軛虛數(shù)．（2）表示方法：復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)用表示，即如果，那么．【答案】相等互為相反數(shù)6．復(fù)數(shù)的幾何意義為方便起見，我們常把復(fù)數(shù)說成點(diǎn)或說成向量，并且規(guī)定，的向量表示同一個(gè)復(fù)數(shù).【答案】相等7．復(fù)平面建立直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做，x軸叫做，y軸叫做．實(shí)軸上的點(diǎn)都表示；除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)．【答案】復(fù)平面實(shí)軸虛軸實(shí)數(shù)8．復(fù)數(shù)的模向量的模稱為復(fù)數(shù)的?；蚪^對(duì)值，記作或．即，其中．如果，那么是一個(gè)實(shí)數(shù)a，它的模就等于．【答案】9．復(fù)數(shù)的加、減法運(yùn)算法則設(shè)，則，．【答案】10．復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算律對(duì)任意，有（1）交換律：．（2）結(jié)合律：．【答案】11．復(fù)數(shù)的乘法（1）復(fù)數(shù)的乘法法則設(shè)是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，那么它們的積．（2）復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算律對(duì)于任意，有交換律結(jié)合律乘法對(duì)加法的分配律【答案】12．設(shè)的三角形式分別是，那么，=.這就是說，兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，積的模等于各復(fù)數(shù)的模的積，積的輻角等于各復(fù)數(shù)的輻角的和.簡記為：模相乘，輻角相加.【答案】13．設(shè)的三角形式分別是，且，那么，.這就是說，兩個(gè)復(fù)數(shù)相除，商的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模所得的商，商的輻角等于被除數(shù)的輻角減去除數(shù)的輻角所得的差.簡記為：模相除，輻角相減.【答案】考點(diǎn)一、復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算1．（2024·全國·高考真題）設(shè)，則（

）A． B．1 C．-1 D．2【答案】D【分析】先根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義寫出，然后根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法計(jì)算.【詳解】依題意得，，故.故選：D2．（2023·全國·高考真題）（

）A． B．1 C． D．【答案】C【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算求解即可.【詳解】故選：C.1．（2024·天津·高考真題）已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)．【答案】【分析】借助復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則計(jì)算即可得.【詳解】.故答案為：.2．（2023·全國·高考真題）設(shè)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意首先計(jì)算復(fù)數(shù)的值，然后利用共軛復(fù)數(shù)的定義確定其共軛復(fù)數(shù)即可.【詳解】由題意可得，則.故選：B.3．（2024·河南·三模）已知為虛數(shù)單位，（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)乘法、除法運(yùn)算化簡即可.【詳解】.故選：D考點(diǎn)二、求復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部1．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知，則的實(shí)部是（

）A． B．i C．0 D．1【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算化簡，由實(shí)部定義可得.【詳解】因?yàn)?，所以z的實(shí)部是0.故選：C．2．（2024·黑龍江·三模）若，則的虛部為（

）A． B．1 C．3 D．【答案】A【分析】先利用乘法運(yùn)算法則化簡復(fù)數(shù)，然后化簡得，即可求出其虛部.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以，則的虛部為.故選：A1．（2024·重慶·三模）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，則z的虛部為（）A． B． C．3 D．【答案】A【分析】設(shè)復(fù)數(shù)，根據(jù)題意，列出方程，結(jié)合復(fù)數(shù)相等，求得的值，即可求解.【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)，因?yàn)閺?fù)數(shù)z滿足，可得，即，則，，解得，所以復(fù)數(shù)的虛部為.故選：A.2．（2024·陜西·二模）復(fù)數(shù)的實(shí)部為（

）A．1 B．3 C． D．【答案】B【分析】通過復(fù)數(shù)的運(yùn)算將復(fù)數(shù)化簡成的形式，即可得到實(shí)部.【詳解】由，可得復(fù)數(shù)的實(shí)部為3，故選：.3．（2024·江西鷹潭·二模）已知，則的虛部為（

）A． B． C． D．2【答案】D【分析】利用復(fù)數(shù)的乘方運(yùn)算和四則運(yùn)算法則求出復(fù)數(shù)，繼而得的虛部.【詳解】由，則，的虛部為2.故選：D.考點(diǎn)三、復(fù)數(shù)相等1．（2023·全國·高考真題）設(shè)，則（

）A．-1 B．0

· C．1 D．2【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算以及復(fù)數(shù)相等即可解出．【詳解】因?yàn)椋?，解得：．故選：C.2．（2022·浙江·高考真題）已知（為虛數(shù)單位），則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用復(fù)數(shù)相等的條件可求.【詳解】，而為實(shí)數(shù)，故，故選：B.1．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知為虛數(shù)單位，，滿足，則（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡，再根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件得出方程組，求出、的值，即可得解.【詳解】因?yàn)?，又且，所以，故．故選：D．2．（2024·安徽合肥·三模）已知，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】設(shè)，則，根據(jù)題意，結(jié)合復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算和相等復(fù)數(shù)建立方程組，解之即可求解.【詳解】設(shè)，則，因?yàn)椋?，即，所以，解得，所以．故選：D．3．（2024·河北保定·三模）若復(fù)數(shù)滿足，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，根據(jù)復(fù)數(shù)相等，即可列式求.【詳解】設(shè)，則，所以，由，得，則，所以，解得.故選：B.考點(diǎn)四、復(fù)數(shù)的分類及純虛數(shù)概念考查1．（2024·河北·二模）已知復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，則（

）A． B． C． D．2【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則計(jì)算得到，再根據(jù)實(shí)數(shù)的定義求解即可.【詳解】因?yàn)槭菍?shí)數(shù)，所以，即.故選：D.2．（2024·河南·三模）已知復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則的值為（

）A．2 B．1 C． D．【答案】C【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出z，根據(jù)復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，列出相應(yīng)等式和不等式，即可求得答案.【詳解】，由題意得，所以，故選：C．1．（2024·遼寧大連·二模）設(shè)，則“”是“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”的（

）A．充分必要條件 B．必要不充分條件C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】由復(fù)數(shù)為純虛數(shù)求得的值，再根據(jù)充分必要條件關(guān)系判斷.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)為純虛數(shù)，所以，解得，所以是復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的充要條件.故選：A.2．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）若復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)等于（

）A． B． C． D．2【答案】D【分析】由復(fù)數(shù)的除法把化簡，表示成復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，由虛部為0，求的值.【詳解】，若復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，則，即.故選：D.考點(diǎn)五、復(fù)數(shù)的幾何意義1．（2023·全國·高考真題）在復(fù)平面內(nèi)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）．A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義分析判斷.【詳解】因?yàn)椋瑒t所求復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第一象限.故選：A.2．（2021·全國·高考真題）復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】利用復(fù)數(shù)的除法可化簡，從而可求對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置.【詳解】，所以該復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，該點(diǎn)在第一象限，故選：A.3．（2024·山西·三模）已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是．【答案】【分析】整理得到不等式組，解出即可.【詳解】由于，故點(diǎn)位于第四象限，因此，解得，即的取值范圍是.故答案為：.1．（2024·山東·二模）已知復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】由題意求出，進(jìn)而解出，判斷在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限即可.【詳解】由題意知：，所以，所以在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限.故選：D.2．（2024·江西·模擬預(yù)測(cè)）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，由復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)可以得出對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，再結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則，即可得解.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，所以，所以．故選：A．3．（2024·江西·模擬預(yù)測(cè)）若復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，求得，得到，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解.【詳解】由，可得，則，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為．故選：D.考點(diǎn)六、復(fù)數(shù)的模長及與模相關(guān)的軌跡問題1．（2024·全國·高考真題）已知，則（

）A．0 B．1 C． D．2【答案】C【分析】由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式直接計(jì)算即可.【詳解】若，則.故選：C.2．（2023·全國·高考真題）（

）A．1 B．2 C． D．5【答案】C【分析】由題意首先化簡，然后計(jì)算其模即可.【詳解】由題意可得，則.故選：C.3．（2024·廣東揭陽·二模）已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，且，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，再利用模長公式即可得.【詳解】由題意得，所以，則.故選：B.1．（2024·福建南平·二模）若復(fù)數(shù)滿足，則（

）A．1 B． C． D．2【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算法則化簡復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式計(jì)算即可.【詳解】由題意可知，復(fù)數(shù)滿足，則可轉(zhuǎn)化為，所以.故選：A.2．（2024·貴州畢節(jié)·三模）若復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A．1 B．5 C．7 D．25【答案】B【分析】由復(fù)數(shù)的乘法和除法運(yùn)算化簡即可求出，再由復(fù)數(shù)的模長公式求解即可.【詳解】因?yàn)?，則，即，故.故選：B.3．（2024·遼寧·二模）已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足，則的最小值為（

）A． B．1 C． D．3【答案】B【分析】利用復(fù)數(shù)的幾何意義及圓中最值問題數(shù)形結(jié)合計(jì)算即可.【詳解】的幾何意義是復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z到點(diǎn)的距離為1，即點(diǎn)Z在以點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓上，的幾何意義是點(diǎn)Z到點(diǎn)的距離．如圖所示，故．故選：B．考點(diǎn)七、復(fù)數(shù)的三角形式1．（2024·黑龍江哈爾濱·三模）復(fù)數(shù)是虛數(shù)單位在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，設(shè)是以軸的非負(fù)半軸為始邊，以所在的射線為終邊的角，則，把叫做復(fù)數(shù)的三角形式，利用復(fù)數(shù)的三角形式可以進(jìn)行復(fù)數(shù)的指數(shù)運(yùn)算，，例如：，，復(fù)數(shù)滿足：，則可能取值為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的三角形及運(yùn)算，利用復(fù)數(shù)相等可得，即可得解.【詳解】設(shè)，則，所以，，即，所以故時(shí)，，故可取，故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：理解復(fù)數(shù)三角形及三角形下復(fù)數(shù)的指數(shù)運(yùn)算是解題的關(guān)鍵，通過三角形的運(yùn)算，再利用復(fù)數(shù)相等，建立方程即可得出所求復(fù)數(shù)的一般形式.2．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·一模）棣莫弗公式（其中i為虛數(shù)單位）是由法國數(shù)學(xué)家棣莫弗（1667-1754）發(fā)現(xiàn)的，根據(jù)棣莫弗公式可知，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】由棣莫弗公式化簡結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義即可得出答案.【詳解】，在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第二象限.故選：B.1．（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測(cè)）法國數(shù)學(xué)家棣莫弗（1667-1754年）發(fā)現(xiàn)了棣莫弗定理：設(shè)兩個(gè)復(fù)數(shù)，，則.設(shè)，則的虛部為（

）A． B． C．1 D．0【答案】B【分析】變形復(fù)數(shù)，根據(jù)題中定義進(jìn)行計(jì)算，即可判定.【詳解】，所以,所以的虛部為.故選:B.2．（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)，則（

）A．2022 B．2023 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意結(jié)合復(fù)數(shù)運(yùn)算可得的方程的根為，進(jìn)而整理可得，取即可得結(jié)果.【詳解】設(shè)，則，由題意可得：可得關(guān)于的方程的根為，故，整理得，即，令，可得，且2022為偶數(shù)，所以.故選：B.考點(diǎn)八、歐拉公式1．（2024·四川綿陽·模擬預(yù)測(cè)）歐拉公式把自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，虛數(shù)單位，和聯(lián)系在一起，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧美，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”.則（

）A． B．0 C．1 D．【答案】B【分析】把代入歐拉公式即可?！驹斀狻?故選：B2．（2022·重慶北碚·模擬預(yù)測(cè)）歐拉是世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家之一，在很多領(lǐng)域中都有杰出的貢獻(xiàn)．由《物理世界》發(fā)起的一項(xiàng)調(diào)查表明，人們把歐拉恒等式“”與麥克斯韋方程組并稱為“史上最偉大的公式”．其中，歐拉恒等式是歐拉公式：的一種特殊情況．根據(jù)歐拉公式，（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】化簡復(fù)數(shù)，利用復(fù)數(shù)的模長公式可求得結(jié)果.【詳解】，因此，.故選：C.1．（2023·云南昆明·一模）歐拉公式：將復(fù)指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)聯(lián)系起來，在復(fù)變函數(shù)中占有非常重要的地位，根據(jù)歐拉公式，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義結(jié)合象限角的三角函數(shù)值的符號(hào)分析判斷【詳解】由題意可得：對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，∵，則，故位于第二象限.故選：B.2．（2024·浙江紹興·模擬預(yù)測(cè)）已知，則在下列表達(dá)式中表示的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題設(shè)的表達(dá)式求出的表達(dá)式，再代入選項(xiàng)逐一檢驗(yàn)即得.【詳解】因，則，對(duì)于A，，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B，，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D，由B項(xiàng)知，，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：A.考點(diǎn)九、復(fù)數(shù)多選題1．（2024·福建福州·三模）已知復(fù)數(shù)，下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．C．若，則或 D．若且，則【答案】BCD【分析】通過列舉特殊復(fù)數(shù)驗(yàn)證A；設(shè)，則，通過復(fù)數(shù)計(jì)算即可判斷B；由得，即可判斷C；設(shè)，通過復(fù)數(shù)計(jì)算即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，設(shè)，則，所以，而，所以，故A不正確；對(duì)于B，設(shè)，則，故B正確；對(duì)于C，若，所以，所以，所以或，所以至少有一個(gè)為0，故C正確.對(duì)于D，設(shè)，則，所以，而，所以，故D正確.故選：BCD.2．（2024·福建莆田·三模）若z是非零復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】BCD【分析】利用共軛復(fù)數(shù)的定義可判定A、C，利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則結(jié)合模長公式可判定B、D.【詳解】對(duì)于A，由，得，則A錯(cuò)誤.對(duì)于B，因?yàn)?，所以，解得或（舍去），則B正確.對(duì)于C，設(shè)（，且），則，所以，則C正確.對(duì)于D，由，得.設(shè)（，且），則，，從而，則D正確.故選：BCD3．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)滿足：為純虛數(shù)，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．的最小值為3 D．的最小值為3【答案】ABD【分析】借助復(fù)數(shù)的基本概念與模長運(yùn)算可得A；借助復(fù)數(shù)的幾何意義計(jì)算可得B；借助圓與直線的距離可得C、D.【詳解】對(duì)A：為純虛數(shù)，可設(shè)選項(xiàng)A正確；對(duì)B：設(shè)，，則，即，則所對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是以為圓心，以2為半徑的圓，，選項(xiàng)B正確；對(duì)C：為純虛數(shù)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)在軸上（除去原點(diǎn)），所對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是以為圓心，以2為半徑的圓，的取值范圍為，無最小值，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)D：，表示點(diǎn)到以為圓心，以2為半徑的圓上的點(diǎn)的距離，為純虛數(shù)或0，在軸上（除去點(diǎn)），當(dāng)時(shí)取得最小值3，∴選項(xiàng)D正確.故選：ABD．1．（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）已知，都是復(fù)數(shù)，下列正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】AD【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義及復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算即可判斷A；舉出反例即可判斷BC；根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算及復(fù)數(shù)的模的計(jì)算公式即可判斷D.【詳解】設(shè)，對(duì)于A，若，則，故，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，則，所以，，同理，所以，所以，故D正確.故選：AD.2．（2024·山東濟(jì)寧·三模）已知復(fù)數(shù)，則下列說法中正確的是（

）A． B．C．“”是“”的必要不充分條件 D．“”是“”的充分不必要條件【答案】AC【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)加法、乘法、乘方運(yùn)算，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義計(jì)算，依次判斷選項(xiàng)即可.【詳解】A：設(shè)，則，所以，，則，故A正確；B：設(shè)，則，所以，，則，故B錯(cuò)誤；C：由選項(xiàng)A知，，，又，所以，不一定有，即推不出；由，得，則，則，即，所以“”是“”的必要不充分條件，故C正確；D：設(shè)，則，若，則，即，推不出；若，則，又，同理可得，所以，；所以“”是“”的必要不充分條件，故D錯(cuò)誤.故選：AC3．（2024·重慶渝中·模擬預(yù)測(cè)）已知方程的兩個(gè)復(fù)數(shù)根分別為，則（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】解方程求出，再結(jié)合共軛復(fù)數(shù)、模的意義及復(fù)數(shù)運(yùn)算逐項(xiàng)判斷即可各個(gè)選項(xiàng).【詳解】方程可轉(zhuǎn)化為，解得或，不妨設(shè)，，對(duì)于A，顯然，故A正確；對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，則，故C正確；對(duì)于D，，故D正確.故選：ACD.一、單選題1．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）已知i是虛數(shù)單位，若為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A．0 B．1 C．2 D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用復(fù)數(shù)的乘法計(jì)算，再借助純虛數(shù)的定義求解即得.【詳解】依題意，是純虛數(shù)，于是，解得，所以實(shí)數(shù)a的值為.故選：D2．（2024·河北·三模）已知復(fù)數(shù)滿足，則的共軛復(fù)數(shù)的虛部是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知求得，可求的共軛復(fù)數(shù)的虛部.【詳解】由，可得，所以，所以，所以，所以的共軛復(fù)數(shù)的虛部是.故選：D.3．（2024·河南洛陽·模擬預(yù)測(cè)）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法法則及共軛復(fù)數(shù)的定義即可求解.【詳解】，所以.故選：B．4．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，是復(fù)數(shù)，則下列命題中是假命題的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【分析】對(duì)于A，利用復(fù)數(shù)模的定義即可判斷；對(duì)于B，利用共軛復(fù)數(shù)的定義即可判斷；對(duì)于C，利用復(fù)數(shù)共軛復(fù)數(shù)相乘的性質(zhì)即可判斷；對(duì)于D，舉反例即可判斷.【詳解】設(shè)，，其中．對(duì)于A，，，所以，故A正確；對(duì)于B，，，，所以，故B正確；對(duì)于C，，，由，得．因?yàn)?，，所以不一定成立，如，，此時(shí)，而，，即，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，得，，，所以，故D正確﹒故選:C．5．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題設(shè)求出，從而求出的值.【詳解】由題知，，所以.故選：A.6．（2024·山東泰安·二模）若復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B．2 C． D．1【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘、除法運(yùn)算可得，則，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】由，得，所以，故.故選：C二、多選題7．（2024·安徽蚌埠·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)（為實(shí)數(shù)），若，則的值可能為（

）A． B． C．1 D．3【答案】BC【分析】根據(jù)題意結(jié)合復(fù)數(shù)的模長公式運(yùn)算求解即可.【詳解】由題意可知：，解得，結(jié)合選項(xiàng)可知：BC正確；AD錯(cuò)誤.故選：BC.8．（2023·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)為虛數(shù)單位，下列關(guān)于復(fù)數(shù)的命題正確的有（

）A． B．若互為共軛復(fù)數(shù)，則C．若，則 D．若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則【答案】ABD【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，復(fù)數(shù)的模值運(yùn)算，純虛數(shù)的定義即可判斷.【詳解】解：由題意得：對(duì)于選項(xiàng)A：令則所以，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：令，，所以，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：令，，根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算可知：，，，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則，即，故D正確.故選：ABD三、填空題9．（2024·上?！と＃┰O(shè)（為虛數(shù)單位），若z為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值為．【答案】【分析】根據(jù)給定的條件，利用純虛數(shù)的定義列式計(jì)算即得.【詳解】由為純虛數(shù)，得，解得，所以實(shí)數(shù)m的值為.故答案為：10．（2024·廣東·二模）設(shè)，為虛數(shù)單位，定義，則復(fù)數(shù)的模為．【答案】【分析】根據(jù)給定的定義求出復(fù)數(shù)，再利用模的意義計(jì)算得解.【詳解】依題意，，所以復(fù)數(shù)的模為.故答案為：一、單選題1．（2024·河北保定·二模）復(fù)數(shù)（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)乘除法以及模長計(jì)算公式，整理化簡即可求得結(jié)果.【詳解】.故選：D.2．（2024·浙江杭州·三模）已知復(fù)數(shù)滿足，則的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求出，再利用共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)求出，最后利用復(fù)數(shù)和對(duì)應(yīng)點(diǎn)的關(guān)系求解即可.【詳解】由題意得，故，故，顯然在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是，在第四象限，故D正確.故選：D3．（2024·江蘇南通·三模）已知為復(fù)數(shù)，則“”是“”的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．非充分非必要條件【答案】A【分析】正向可得，則正向成立，反向利用待定系數(shù)法計(jì)算即可得或，則必要性不成立.【詳解】若，則，則，故充分性成立；若，設(shè)，則，，則，或與不一定相等，則必要性不成立，則“”是“”的充分非必要條件，故選：A4．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于虛軸上，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用復(fù)數(shù)除法法則得到，從而得到方程，求出答案.【詳解】在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于虛軸上，∴，即.故選：D5．（2024·廣東廣州·三模）當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】先對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行化簡，再確定實(shí)部和虛部的符號(hào)即可得解．【詳解】因?yàn)?，所以，故?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于第一象限，故選：A．6．（2024·安徽·模擬預(yù)測(cè)）若為虛數(shù)單位，，則的最大值為（

）A．2 B． C．4 D．【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可得復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為以點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓，進(jìn)而求出的最大值.【詳解】根據(jù)題意，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為以點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓，所求式子的幾何意義表示點(diǎn)到圓上點(diǎn)的距離的最大值，如圖所示，最大值為.故選：D.7．（2024·河南商丘·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)和滿足，則（

）A．1 B． C． D．2【答案】A【分析】設(shè)，利用復(fù)數(shù)的模長結(jié)合已知組成方程組，解出即可.【詳解】設(shè)因?yàn)?，所以，即，①又，所以，即，②又，所以，即，③②③可得，④把①代入④可得，所以，故A正確；故選：A.二、多選題8．（2024·福建寧德·三模）已知是兩個(gè)復(fù)數(shù)，下列結(jié)論中正確的是（

）A．若，則 B．若為實(shí)數(shù)，則C．若均為純虛數(shù)，則為實(shí)數(shù) D．若為實(shí)數(shù)，則均為純虛數(shù)【答案】AC【分析】根據(jù)題意，復(fù)數(shù)，根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則和復(fù)數(shù)的概念，結(jié)合選項(xiàng)，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)，則，對(duì)于A中，由，且，可得，所以，所以，所以A正確；對(duì)于B中，由，可得，即，但與不一定相等，所以與不一定相等，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，由均為純虛數(shù)，可得，