第01講 導數(shù)的概念、運算及幾何意義（學生版）-2025版高中數(shù)學一輪復習考點幫

Page第01講導數(shù)的概念、運算及幾何意義（8類核心考點精講精練）1.5年真題考點分布5年考情考題示例考點分析關(guān)聯(lián)考點2024年新I卷，第13題,5分已知切線斜率求參數(shù)公切線問題直線的點斜式方程2024年新Ⅱ卷，第16題,15分求在曲線上一點處的切線方程利用導數(shù)研究含參函數(shù)單調(diào)性根據(jù)極值求參數(shù)2022年新I卷，第10題,5分求在曲線上一點處的切線方程利用導數(shù)研究函數(shù)的零點求已知函數(shù)的極值點2022年新I卷，第12題,5分函數(shù)與導函數(shù)圖象之間的關(guān)系抽象函數(shù)的奇偶性函數(shù)對稱性的應用2022年新I卷，第15題,5分求過一點的切線方程求某點處的導數(shù)值2022年新Ⅱ卷，第14題,5分求過一點的切線方程無2021年新I卷，第7題,5分求過一點的切線方程利用導數(shù)研究函數(shù)圖象及性質(zhì)2021年新Ⅱ卷，第16題,5分兩條切線平行、垂直、重合(公切線)問題直線的點斜式方程及辨析2020年新I卷，第21題,12分求在曲線上一點處的切線方程利用導數(shù)研究不等式恒成立問題2020年新Ⅱ卷，第22題,12分求在曲線上一點處的切線方程利用導數(shù)研究不等式恒成立問題2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設題穩(wěn)定，難度較低，分值為5分左右【備考策略】1理解導數(shù)概念的實際背景，理解導數(shù)是關(guān)于瞬時變化率的數(shù)學表達，了解導數(shù)的本質(zhì)與思想,了解極限思想2能通過函數(shù)圖象直觀理解導數(shù)的幾何意3能利用給出的基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和導數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導數(shù)，能求簡單的復合函數(shù)的導數(shù)并.熟練使用導數(shù)公式表4能理解導數(shù)的幾何意義并會求切線方程【命題預測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，一般會考查在曲線上一點的切線方程或過一點的切線方程，需加強復習備考知識講解函數(shù)在處的導數(shù)(1)定義：稱函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的瞬時變化率eq^\o(,\s\do4(Δx→0))eq\f(f(x0＋Δx)－f(x0),Δx)＝eq^\o(,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)為函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù)，記作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f(x0＋Δx)－f(x0),Δx)。函數(shù)的導函數(shù)如果函數(shù)y＝f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)的每一點處都有導數(shù)，其導數(shù)值在(a，b)內(nèi)構(gòu)成一個新函數(shù)，函數(shù)f′(x)＝limeq\o(,\s\up6(,Δx→0))eq\f(f(x＋Δx)－f(x),Δx)稱為函數(shù)y＝f(x)在開區(qū)間內(nèi)的導函數(shù).八大常用函數(shù)的求導公式（1）（為常數(shù)）（2），例：，，，（3）（4）（5）（6）（7）（8）導數(shù)的四則運算和的導數(shù)：差的導數(shù)：積的導數(shù)：（前導后不導前不導后導）商的導數(shù)：，復合函數(shù)的求導公式函數(shù)中，設（內(nèi)函數(shù)），則（外函數(shù)）導數(shù)的幾何意義導數(shù)的幾何意義函數(shù)在處的導數(shù)就是曲線在點處的切線的斜率，即．直線的點斜式方程直線的點斜式方程：已知直線過點，斜率為，則直線的點斜式方程為：【注】曲線的切線的求法：若已知曲線過點P(x0，y0)，求曲線過點P的切線，則需分點P(x0，y0)是切點和不是切點兩種情況求解．（1）當點P(x0，y0)是切點時，切線方程為；（2）當點P(x0，y0)不是切點時，可分以下幾步完成：第一步：設出切點坐標；第二步：寫出過的切線方程為；第三步：將點P的坐標(x0，y0)代入切線方程求出x1；第四步：將x1的值代入方程，可得過點P(x0，y0)的切線方程．考點一、導數(shù)的計算1．（2024高三·全國·專題練習）求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)；(2)；(3)；(4)．(5)(6)(7)(8)2．（2024高三·全國·專題練習）求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)；(2)；(3)；(4)．1．（2024高三·全國·專題練習）求下列函數(shù)的導數(shù)(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．2．（2024高三·全國·專題練習）求下列函數(shù)的導數(shù)．(1)(2)；(3)(4).3．（23-24高三上·山西臨汾·階段練習）求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)(2)(3)(4)(5)(6)考點二、求曲線切線的斜率或傾斜角1．（全國·高考真題）曲線在點（1,1）處切線的斜率等于（

）.A． B． C．2 D．12．（全國·高考真題）曲線在點處的切線的傾斜角為（

）A． B． C． D．1．（2024·上海嘉定·二模）已知曲線上有一點，則過點的切線的斜率為．2．（2024·福建廈門·一模）已知直線與曲線在原點處相切，則的傾斜角為（

）A． B． C． D．考點三、求在曲線上一點的切線方程1．（2021·全國·高考真題）曲線在點處的切線方程為．2．（2023·全國·高考真題）曲線在點處的切線方程為（

）A． B． C． D．3．（2024·全國·高考真題）設函數(shù)，則曲線在點處的切線與兩坐標軸所圍成的三角形的面積為（

）A． B． C． D．1．（2024·全國·模擬預測）函數(shù)的圖象在點處的切線方程為（

）A． B． C． D．2．（2024·河北保定·三模）曲線在點處的切線與兩坐標軸所圍成的三角形的面積為（

）A． B． C． D．3．（2024·湖北·模擬預測）寫出函數(shù)的一條斜率為正的切線方程：．考點四、求過一點的切線方程1．（2022·全國·高考真題）曲線過坐標原點的兩條切線的方程為，．2．（2024·貴州·模擬預測）過點作曲線的切線，請寫出切線的方程.1．（2023·全國·模擬預測）過原點可以作曲線的兩條切線，則這兩條切線方程為（

）A．和 B．和C．和 D．和2．（2024·全國·模擬預測）過坐標原點作曲線的切線，則切線共有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條考點五、已知切線（斜率）求參數(shù)1．（全國·高考真題）曲線在點處的切線的斜率為，則．2．（2024·湖南長沙·二模）已知，，直線與曲線相切，則的最小值是（

）A．4 B．3 C．2 D．11．（2024·四川遂寧·三模）曲線在點處切線的斜率為3，則實數(shù)．2．（2024·浙江紹興·二模）函數(shù)在點處的切線與直線平行，則（

）A． B． C． D．3．（2024高三下·全國·專題練習）已知函數(shù)，若曲線在處的切線方程為，則．考點六、兩條切線平行、垂直問題1．（2021·全國·高考真題）已知函數(shù)，函數(shù)的圖象在點和點的兩條切線互相垂直，且分別交y軸于M，N兩點，則取值范圍是．2．（2023·四川涼山·一模）函數(shù)在區(qū)間的圖象上存在兩條相互垂直的切線，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．3．（2024·河北邢臺·二模）已知函數(shù)的圖像在，兩個不同點處的切線相互平行，則下面等式可能成立的是（

）A． B． C． D．1．（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)的圖象上存在不同的兩點，使得曲線在點處的切線都與直線垂直，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（山東·高考真題）若函數(shù)的圖象上存在兩點，使得函數(shù)的圖象在這兩點處的切線互相垂直，則稱具有性質(zhì)．下列函數(shù)中具有性質(zhì)的是A． B． C． D．3．（2024·河南·模擬預測）已知函數(shù)的圖象經(jīng)過兩點，且的圖象在處的切線互相垂直，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．（2024·河南·三模）已知函數(shù)點，在曲線上（在第一象限），過，的切線相互平行，且分別交軸于，兩點，則的最小值為．考點七、公切線問題1．（2024·全國·高考真題）若曲線在點處的切線也是曲線的切線，則.2．（全國·高考真題）若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則．3．（2024·廣東茂名·一模）曲線與曲線有公切線，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．1．（2024·河北滄州·模擬預測）已知直線是曲線和的公切線，則實數(shù)a=．2．（2024·上?！と＃┰O曲線和曲線在它們的公共點處有相同的切線，則的值為.3．（2024·福建泉州·模擬預測）若曲線與恰有兩條公切線，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．考點八、切線（方程）的綜合應用1．（2021·全國·高考真題）若過點可以作曲線的兩條切線，則（

）A． B．C． D．2．（23-24高二下·遼寧本溪·期中）若過點可以作曲線的兩條切線，則（

）A． B．C． D．3．（2024·廣東廣州·模擬預測）已知直線恒在曲線的上方，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．1．（2024·全國·模擬預測）若直線與曲線相切，則的最小值為（

）A． B．－2 C．－1 D．01．2．（2024·全國·模擬預測）若直線與曲線（且）無公共點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2024·重慶·模擬預測）已知直線與曲線相切于點，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．一、單選題1．（2024·貴州六盤水·三模）已知曲線的一條切線方程為，則實數(shù)（）A． B． C．1 D．22．（2024·河北保定·三模）已知二次函數(shù)（且）的圖象與曲線交于點P，與x軸交于點A（異于點O），若曲線在點P處的切線為l，且l與AP垂直，則a的值為（

）A． B． C． D．3．（2024·全國·模擬預測）若函數(shù)，點是曲線上任意一點，則點到直線的距離的最小值為（

）A． B． C． D．4．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·二模）已知曲線在處的切線與直線垂直，則（

）A．3 B． C．7 D．5．（23-24高二下·山東棗莊·期中）若點是曲線上任意一點，則點到直線的最小距離為（

）A．1 B． C． D．6．（2024·河南·模擬預測）函數(shù)與直線相切于點，則點的橫坐標為（

）A． B．1 C．2 D．二、填空題7．（2024·湖北武漢·模擬預測）已知曲線在點處的切線的傾斜角為,則的值為.8．（2024·山西朔州·模擬預測）已知A，B分別為曲線和直線上的點，則的最小值為.9．（2024·陜西安康·模擬預測）已知函數(shù)的圖象在點處的切線方程是，若，則的值為.10．（2024·四川·模擬預測）已知，直線與曲線相切，則．一、單選題1．（2024·四川德陽·二模）已知直線與曲線相切，則的值為（

）A． B．1 C． D．2．（2024·遼寧大連·一模）斜率為的直線與曲線和圓都相切，則實數(shù)的值為（

）A．或 B．或 C．或 D．或3．（2024·重慶渝中·模擬預測）若斜率為1的直線與曲線和圓都相切，則實數(shù)的值為（

）A． B．1 C．3 D．或34．（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)，若直線是曲線與曲線的公切線，則的方程為（

）A． B．C． D．5．（2024·浙江金華·三模）若存在直線與曲線，都相切，則a的范圍為（

）A． B． C． D．二、填空題6．（2024·陜西安康·模擬預測）已知，若曲線與直線相切，則．7．（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)的圖象上存在不同的兩點，使得曲線在點處的切線都與直線垂直，則實數(shù)的取值范圍是．8．（2024·黑龍江齊齊哈爾·一模）若直線為曲線的一條切線，則的最大值為.9．（2024·山東臨沂·二模）若直線與曲線相切，則的取值范圍為.10．（23-24高三上·江蘇無錫·期末）已知函數(shù)，若函數(shù)的圖象在點和點處的兩條切線相互平行且分別交軸于、兩點，則的取值范圍為.1．（2020·全國·高考真題）曲線的一條切線的斜率為2，則該切線的方程為.2．（2020·全國·高考真題）函數(shù)的圖像在點處的切線方程為（

）A． B．C． D．3．（2019·江蘇·高考真題）在平面直角坐標系中，點A在曲線y=lnx上，且該曲線在點A處的切線經(jīng)過點（-e，-1)(e為自然對數(shù)的底數(shù)），則點A的坐標是.4．（2019·天津·高考真題）曲線在點處的切線方程為