第03講 平面向量基本定理及其拓展（爪子定理）（高階拓展）（教師版）-2025版高中數(shù)學一輪復(fù)習考點幫

Page第03講平面向量基本定理及其拓展（“爪子定理”）（高階拓展）（3類核心考點精講精練）1.5年真題考點分布5年考情考題示例考點分析關(guān)聯(lián)考點2023年全國乙卷文數(shù)，第6題,5分用基底表示向量數(shù)量積的運算律數(shù)量積的坐標表示2022年新I卷，第3題,5分用基底表示向量無2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較低，分值為5分【備考策略】1.理解平面向量基本定理及其意義2.掌握平面向量的正交分解及其坐標表示3.掌握基底的概念及靈活表示未知向量4.會綜合應(yīng)用平面向量基本定理求解【命題預(yù)測】本節(jié)一般考查平面向量數(shù)量積基本定理的基底表示向量、在平面幾何圖形中的應(yīng)用問題，易理解，易得分，需重點復(fù)習。知識講解1.平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．（1）．基底e1，e2必須是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，零向量不能作為基底．（2）基底給定，同一向量的分解形式唯一．2．平面向量的正交分解把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．應(yīng)用平面向量基本定理應(yīng)注意的問題只要兩個向量不共線，就可以作為平面向量的一組基底，基底可以有無窮多組．利用已知向量表示未知向量，實質(zhì)就是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減運算或數(shù)乘運算.形如條件的應(yīng)用（“爪子定理”）“爪”字型圖及性質(zhì)：（1）已知為不共線的兩個向量，則對于向量，必存在，使得。則三點共線當，則與位于同側(cè)，且位于與之間當，則與位于兩側(cè)時，當，則在線段上；當，則在線段延長線上（2）已知在線段上，且，則3、中確定方法（1）在幾何圖形中通過三點共線即可考慮使用“爪”字型圖完成向量的表示，進而確定（2）若題目中某些向量的數(shù)量積已知，則對于向量方程，可考慮兩邊對同一向量作數(shù)量積運算，從而得到關(guān)于的方程，再進行求解（3）若所給圖形比較特殊（矩形，特殊梯形等），則可通過建系將向量坐標化，從而得到關(guān)于的方程，再進行求解考點一、基底的概念及辨析1．（2024高三·全國·專題練習）下列各組向量中，可以作為基底的是（

）．A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】不共線的非零向量可以作為向量的基底.【詳解】因為與不共線，其余選項中、均共線，所以B選項中的兩向量可以作為基底．故選：B【點睛】本題考查平面向量的基本定理及其意義，屬于基礎(chǔ)題.2．（2024高三·全國·專題練習）如果是平面α內(nèi)一組不共線的向量，那么下列四組向量中，不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底的是（

）A．與 B．與C．與 D．與【答案】D【分析】分別驗證四個選項中的兩向量是否共線即可選出正確答案.【詳解】選項A中，設(shè)，無解，則兩向量不共線；選項B中，設(shè)，則，無解，則兩向量不共線；選項C中，設(shè)，則，無解，則兩向量不共線；選項D中，，所以兩向量是共線向量．故選:D.【點睛】本題考查了基底的涵義，考查了兩向量是否共線的判定.本題的關(guān)鍵是判斷兩向量是否共線.3．（2023高三·福建·階段練習）下列向量組中，可以用來表示該平面內(nèi)的任意一個向量的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】根據(jù)平面向量基本定理可知，表示平面內(nèi)的任意向量的兩個向量不能共線，結(jié)合選項，即可判斷.【詳解】表示平面內(nèi)的任意一個向量的兩個向量不能共線，A.向量是零向量，所以不能表示平面內(nèi)的任意向量，故A錯誤；B.，兩個向量共線，所以不能表示平面內(nèi)的任意向量，故B錯誤；C.，兩個向量共線，所以不能表示平面內(nèi)的任意向量，故C錯誤；D.不存在實數(shù)，使，所以向量不共線，所以可以表示平面內(nèi)的任意向量，故D正確.故選：D1．（2023·陜西西安·一模）設(shè)，下列向量中，可與向量組成基底的向量是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)構(gòu)成基地向量的條件不共線的兩個非零向量解決.【詳解】對于AB項，若時，，不滿足構(gòu)成基向量的條件，所以AB都錯誤；對于D項，若時，不滿足構(gòu)成基向量的條件，所以D錯誤；對于C項，因為，又因為恒成立，說明與不共線，復(fù)合構(gòu)成基向量的條件，所以C正確.故選：C2．（2023高三·全國·專題練習）設(shè)為平面內(nèi)的一個基底，則下面四組向量中不能作為基底的是（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】C【分析】根據(jù)基底的概念確定正確答案.【詳解】平面向量的基底由兩個不共線的非零向量組成，C選項中，，即和為共線向量，所以它們不能作為基底.其它選項中的兩個向量都沒有倍數(shù)關(guān)系，所以可以作為基底.故選：C考點二、平面向量的基本定理綜合1．（2022·全國·高考真題）在中，點D在邊AB上，．記，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)幾何條件以及平面向量的線性運算即可解出．【詳解】因為點D在邊AB上，，所以，即，所以．故選：B．2．（全國·高考真題）在△中，為邊上的中線，為的中點，則A． B．C． D．【答案】A【分析】分析：首先將圖畫出來，接著應(yīng)用三角形中線向量的特征，求得，之后應(yīng)用向量的加法運算法則三角形法則，得到，之后將其合并，得到，下一步應(yīng)用相反向量，求得，從而求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)向量的運算法則，可得，所以，故選A.【點睛】該題考查的是有關(guān)平面向量基本定理的有關(guān)問題，涉及到的知識點有三角形的中線向量、向量加法的三角形法則、共線向量的表示以及相反向量的問題，在解題的過程中，需要認真對待每一步運算.3．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）在中，是的中點，與相交于點，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量的線性運算、三點共線等知識列方程組，由此求得正確答案.【詳解】設(shè)，由是的中點，得，由，得，所以，且，由與相交于點可知，點在線段上，也在線段上，由三點共線的條件可得，解得，所以.故選：B1．（廣東·高考真題）在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點O，E是線段OD的中點，AE的延長線與CD交于點F，若，，則A． B． C． D．【答案】B【分析】利用平面幾何知識求解【詳解】如圖，可知=，選B.【點睛】本題考查向量的運算及其幾何意義，同時要注意利用平面幾何知識的應(yīng)用，2．（2024·山西呂梁·三模）已知等邊的邊長為1，點分別為的中點，若，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】取為基底，利用平面向量基本定理結(jié)合已知條件求解即可.【詳解】在中，取為基底，則，因為點分別為的中點，,所以，所以.故選：B.3．（22-23高一下·河南洛陽·階段練習）在中，點是的中點，點分的比為與相交于，設(shè)，則向量（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由三點共線性質(zhì)以及平面向量基本定理解方程組即可得解.【詳解】

由題意三點共線，所以存在，使得，同理三點共線，所以存在，使得，由平面向量基本定理可得，解得，所以.故選：C.考點三、“爪子定理”的綜合應(yīng)用1．（全國·高考真題）設(shè)為所在平面內(nèi)一點，且，則（）A.B.C.D.答案：A解析：由圖可想到“爪字形圖得：，解得：如圖，在中，，是上的一點，若，則實數(shù)的值為（）A.B.C.D.解：觀察到三點共線，利用“爪”字型圖，可得，且，由可得，所以，由已知可得：，所以答案：C如圖，在中，，是上的一點，若，則實數(shù)的值為（）A.B.C.D.解：觀察到三點共線，利用“爪”字型圖，可得，且，由可得，所以，由已知可得：，所以答案：C1．（2024·云南昆明·一模）在中，點滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用平面向量的加減法則，根據(jù)向量定比分點代入化簡即可得出結(jié)果.【詳解】如下圖所示：易知；即可得.故選：C2．（2024·廣東廣州·一模）已知在中，點在邊上，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量的線性運算即可.【詳解】在中，，又點在邊上，且，則，故選：A.

3．（2023·湖北武漢·華中師大一附中?？寄M預(yù)測）如圖，在中，點在的延長線上，，如果，那么（

）

A． B．C． D．【答案】B【分析】用向量的線性運算把向量分解成形式即可得答案.【詳解】∵，∴，故選：B．4．（2023·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）（多選）在中，記，，點在直線上，且.若，則的值可能為（

）A． B． C． D．2【答案】BC【分析】分點內(nèi)分與外分線段討論，再由向量的線性運算求解即可.【詳解】當點在線段上時，如圖，，所以，當點在線段的延長線上時，如圖，，則，故選：BC.1．（2024·上海浦東新·三模）給定平面上的一組向量、，則以下四組向量中不能構(gòu)成平面向量的基底的是（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】C【分析】根據(jù)平面向量共線定理，結(jié)合選項，進行逐一分析即可.【詳解】對A：不存在實數(shù)，使得，故和不共線，可作基底；對B：不存在實數(shù)，使得，故和不共線，可作基底；對C：對和，因為是不共線的兩個非零向量，且存在實數(shù)，使得，故和共線，不可作基底；對D：不存在實數(shù)，使得，故和不共線，可作基底.故選：C.2．（2024·浙江紹興·二模）已知四邊形是平行四邊形，，，記，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用平面向量的線性運算求解即得.【詳解】在中，，，，，所以.

故選：A3．（2024·全國·模擬預(yù)測）在平行四邊形中，，記，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由向量的線性運算，用表示【詳解】因為，則有，所以.故選：B．4．（2024·山東濟南·二模）在中，為邊的中點，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】借助平面向量的線性運算及平面向量基本定理計算即可得解.【詳解】因為為邊的中點，，所以.故選：D.5．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知等邊三角形的邊長為2，為的中心，，垂足為，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接并延長，交于點，根據(jù)為的中心，易得為的中點，E為的中點，利用平面向量的線性運算求解.【詳解】解：如圖所示：

連接并延長，交于點，因為為的中心，所以為的中點．又為的中點，，，故選：B．6．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）在梯形中，為線段的中點，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先用向量和三角形減法法則得，再對它們進行線性運算轉(zhuǎn)化為，此時繼續(xù)找到，從而可得結(jié)果.【詳解】由圖可得：，由為線段的中點可得，，再由可得，，又因為，代入得：，故選：A.7．（2024·四川·模擬預(yù)測）已知平行四邊形中，為中點.為線段上靠近點的四等分點，設(shè)，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用向量的線性運算可得答案.【詳解】如圖所示，由題意可得，而，故選：C.8．（2024·黑龍江·模擬預(yù)測）已知在梯形中，且滿足，E為中點，F(xiàn)為線段上靠近點B的三等分點，設(shè)，，則（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平面向量線性運算法則計算可得.【詳解】如圖所示，由題意可得，而.故選：C．9．（2024·廣東汕頭·三模）已知四邊形是平行四邊形，，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用向量的加法，結(jié)合共線向量求解即得.【詳解】在中，由，，得.故選：A10．（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測）在中，，若，線段與交于點，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)中線性質(zhì)得出，再由平面向量線性運算即可求得結(jié)果.【詳解】如下圖所示：

由可得分別為的中點，由中線性質(zhì)可得，又，所以，因此.故選：B一、單選題1．（2024·福建漳州·模擬預(yù)測）在中，是邊上一點，且是的中點，記，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平面向量的線性運算法則進行運算即可.【詳解】，故選：D．

2．（2024·遼寧·二模）已知平行四邊形ABCD，點P在的內(nèi)部（不含邊界），則下列選項中，可能的關(guān)系式為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，設(shè)，結(jié)合平面向量的基本定理，逐項判定，即可求解.【詳解】設(shè)，由平面向量的基本定理，可得：當時，此時點P在直線BD上；當時，此時點P在點A和直線BD之間；當時，此時點P在點C和直線BD之間；當時，此時點P在過點C且與直線BD平行的直線上，對于A中，由向量，滿足，所以點在內(nèi)部，所以A錯誤；對于B中，由，滿足，所以點在上，所以B錯誤；對于C中，由，滿足，所以點可能在內(nèi)部，所以C正確；對于D中，由，滿足，此時點P在過點C且與直線BD平行的直線上，所以D錯誤.故選：C.3．（2023·湖南·一模）在中，點滿足為重心，設(shè)，則可表示為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量的線性運算、三角形的重心等知識求得正確答案.【詳解】..故選：C4．（22-23高三上·全國·階段練習）在平行四邊形中，，，若，則（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】D【分析】根據(jù)向量的加減運算及數(shù)乘運算可得，從而得解.【詳解】，，，，，，，．故選：D．5．（2024·內(nèi)蒙古包頭·一模）如圖，在菱形中，，，分別為上的點，，．若線段上存在一點，使得，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】以為基底可表示出，由三點共線可構(gòu)造方程求得，將所求數(shù)量積化為，根據(jù)數(shù)量積的定義和運算律可求得結(jié)果.【詳解】，，，，，，三點共線，，解得：，，.故選：A.6．（2024·河北衡水·模擬預(yù)測）在中，是的中點，直線分別與交于點，且，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量運算法則，利用表示，結(jié)合向量三點共線的定理列式運算求解.【詳解】由，得.因為共線，所以，解得.故選：B.7．（2024·寧夏銀川·模擬預(yù)測）在中，，過點的直線分別交直線、于點、，且，其中，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意以為基底表示出，再根據(jù)三點共線，利用共線定理可得，再由基本不等式即可求得的最小值為.【詳解】如下圖所示：因為，易知，又，所以，易知三點共線，利用共線定理可得，又，，所以；當且僅當，即時，等號成立，所以的最小值為.故選：C二、多選題8．（2024·河北廊坊·模擬預(yù)測）如圖，在矩形中，是的中點，是上的一點，且，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】利用向量加法法則運算判斷AB，先用加法法則求得，再利用數(shù)量積的定義及運算律求解判斷CD.【詳解】，故A正確，B錯誤；因為，所以，故C錯誤，D正確.故選：AD.三、填空題9．（23-24高三上·天津和平·階段練習）如圖，在中，，點是的中點，點在邊上，交于點，設(shè)，則；點是線段上的一個動點，則的最大值為．

【答案】/【分析】利用平面向量的基本定理計算即可得空一，利用平面向量數(shù)量積的運算律計算即可得空二.【詳解】

設(shè)，由題意可知，，則，因為不共線，所以有，此時；可設(shè)，則，當重合時取得等號.故答案為：；.10．（2024·天津·模擬預(yù)測）如圖，在中，，，，D是邊上一點，且.若，記，則；若點P滿足與共線，，則的值為.【答案】/或【分析】把兩邊用表示即可得解；利用共線向量建立，之間的數(shù)乘關(guān)系，進而結(jié)合第一空把用表示，利用垂直向量點積為零可得解．【詳解】，∴，∴，則，又，∴，所以；∵與共線，∴可設(shè)，，∵，∴，∴=，=，∴=，①∵，∴，，，②把②代入①并整理得：∴，∵，∴，∴，解得：，∴或，故的值為或．故答案為：；或．1．（2020·山東·高考真題）已知平行四邊形，點，分別是，的中點（如圖所示），設(shè)，