2023年江西省初中學業(yè)水平考試·數學

數學試卷第頁（共頁）2023年江西省初中學業(yè)水平考試·數學一、單項選擇題(本大題共6小題，每小題3分，共18分)1.下列各數中，正整數是()A.3 B.2.1 C.0 D.－21.A【解析】由題可知，3是正整數，2.1是正分數，0既不是正數也不是負數，－2是負整數，2.下列圖形中，是中心對稱圖形的是()2.B【解析】選項A，D中的圖形是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形；選項C中的圖形既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故A，C，D不符合題意；選項B中的圖形是中心對稱圖形，故選項B符合條件．3.若a－4有意義，則a的值可以是(A.－1 B.0 C.2 D.63.D【解析】∵二次根式a－4有意義，∴a－4≥0，解得a≥4，結合選項可知選項4.計算(2m2)3的結果為()A.8m6 B.6m6C.2m6 D.2m54.A【解析】(2m2)3＝23·(m2)3＝8m6.5.如圖，平面鏡MN放置在水平地面CD上，墻面PD⊥CD于點D，一束光線AO照射到鏡面MN上，反射光線為OB，點B在PD上，若∠AOC＝35°，則∠OBD的度數為()A.35° B.45° C.55° D.65°5.C【解析】由光線的反射角等于入射角得出∠BOD＝∠AOC＝35°，再由直角三角形的性質求出∠OBD即可．根據題意得，∠BOD＝∠AOC＝35°，∵PD⊥CD，∴△OBD是直角三角形，∴∠BOD＋∠OBD＝90°，∴∠OBD＝90°－∠BOD＝90°－35°＝55°.6.如圖，點A，B，C，D均在直線l上，點P在直線l外，則經過其中任意三個點，最多可畫出圓的個數為()A.3個 B.4個 C.5個 D.6個6.D【解析】∵過不在同一直線上的三個點一定能作一個圓，∴要經過題中所給的3個點畫圓，除選定直線l外的點P外，再在直線l上的A，B，C，D四個點中任選其中2個即可畫圓．∵從A，B，C，D四個點中任選其中2個點的方法可以是：AB，AC，AD，BC，BD，CD共6種，∴最多可以畫出圓的個數為6.二、填空題(本大題共6小題，每小題3分，共18分)7.單項式－5ab的系數為________．7.-5【解析】單項式－5ab的系數為－5.8.我國海洋經濟復蘇態(tài)勢強勁．在建和新開工海上風電項目建設總規(guī)模約1

800萬千瓦，比上一年同期翻一番，將18

000

000用科學記數法表示應為________．8.1.8×107【解析】1800萬＝18

000

000＝1.8×107.9.化簡：(a＋1)2－a2＝________．9.2a＋1【解析】(a＋1)2－a2＝a2＋2a＋1－a2＝2a＋1.10.將含30°角的直角三角板和直尺按如圖所示的方式放置，已知∠α＝60°，點B，C表示的刻度分別為1cm，3cm，則線段AB的長為________cm.10.2【解析】如解圖，由題意可知BC＝3－1＝2cm，∠A＝60°，BC∥DE，∴∠ACB＝∠α＝60°，又∵∠A＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC＝2cm.11.《周髀算經》中記載了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指兩條邊呈直角的曲尺(即圖中的ABC)．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可測量物體的高度．如圖，點A，B，Q在同一水平線上，∠ABC和∠AQP均為直角，AP與BC相交于點D.測得AB＝40cm，BD＝20cm，AQ＝12m，則樹高PQ＝________m.11.6【解析】∵∠ABC和∠AQP均為直角，∴BC∥PQ，∴△ABD∽△AQP，∴BDAB＝PQAQ

，∴2040＝P12.如圖，在?ABCD中，

∠B＝60°，BC＝2AB，將AB繞點A逆時針旋轉角α(0°＜α＜360°)得到AP，連接PC，PD.當△PCD為直角三角形時，旋轉角α的度數為________．12.90°或180°或270°【解析】如解圖，點P的運動軌跡在以A為圓心，AB長為半徑的圓上，連接AC交⊙A于點P1，延長CA交⊙A于點P2，延長BA交⊙A于點P3，連接P1D，P2D，P3D.∵∠B＝60°，BC＝2AB，∴∠BAC＝90°，①∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠P1CD＝90°，∴△P1CD為直角三角形，∵點P1在AC上，∴α＝∠BAP1＝90°；②∠P2CD＝90°，即可求得α＝360°－∠P2AB＝360°－90°＝270°；③∵AB＝CD，∴AP3＝CD，又∵AB∥CD，∠ACD＝90°，∴四邊形ACDP3為矩形，∴∠CDP3＝90°，∴△P3CD為直角三角形，∴α＝180°.綜上所述，旋轉角α的度數為90°或180°或270°.三、解答題(本大題共6小題，共30分)13.（1）計算：83＋tan45°－30（2）如圖，AB＝AD，AC平分∠BAD.求證：△ABC≌△ADC.13.解：原式＝2＋1－1＝2；證明：∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，在△ABC和△ADC中AB＝AD，∠14.如圖是4×4的正方形網格，請僅用無刻度的直尺按要求完成以下作圖(保留作圖痕跡)．(1)在圖①中作銳角△ABC，使點C在格點上；(2)在圖②中的線段AB上作點Q，使PQ最短．14.解：(1)如解圖①，△ABC即為所求作(答案不唯一，作出其中一個即可)；(2)如解圖②，點Q即為所求作．15.化簡(xx＋1＋xx－1)·(1)甲同學解法的依據是________，乙同學解法的依據是________；(填序號)①等式的基本性質；②分式的基本性質；③乘法分配律；④乘法交換律．(2)請選擇一種解法，寫出完整的解答過程．15.解：(1)②，③；(2)選擇甲同學解法：原式＝[x（x－1）（x＋1）（x－1）＋x（x＋1【一題多解】選擇乙同學解法：原式＝xx＋1·x2－1x＋xx－1·x2－1x＝xx＋1·（x＋1）（x－116.為了弘揚雷鋒精神，某校組織“學雷鋒，爭做新時代好少年”的宣傳活動．根據活動要求，每班需要2名宣傳員．某班班主任決定從甲、乙、丙、丁4名同學中隨機選取2名同學作為宣傳員．(1)“甲、乙同學都被選為宣傳員”是________事件；(填“必然”、“不可能”或“隨機”)(2)請用畫樹狀圖法或列表法，求甲、丁同學都被選為宣傳員的概率．16.解：(1)隨機；(2)根據題意，列表如下：

第一名第二名

甲乙丙丁甲(乙，甲)(丙，甲)(丁，甲)乙(甲，乙)(丙，乙)(丁，乙)丙(甲，丙)(乙，丙)(丁，丙)丁(甲，丁)(乙，丁)(丙，丁)由表格可知，共有12種等可能的結果，甲、丁同學都被選為宣傳員的結果有2種，∴P(甲、丁同學都被選為宣傳員)＝212＝1一題多解

根據題意，畫樹狀圖如解圖：由樹狀圖可得，共有12種等可能的結果，甲、丁同學都被選為宣傳員的結果有2種，∴P(甲、丁同學都被選為宣傳員)＝212＝117.如圖，已知直線y＝x＋b與反比例函數y＝kx(x＞0)的圖象交于點A(2，3)，與y軸交于點B，過點B作x軸的平行線交反比例函數y＝kx(x＞0)的圖象于點(1)求直線AB和反比例函數圖象的表達式；(2)求△ABC的面積．17.解：(1)∵直線y＝x＋b與反比例函數y＝kx(x>0)的圖象交于點A(2，3)，∴當y＝3時，x＝2.∴b＝1，k＝6，∴直線AB的表達式為y＝x＋1；反比例函數的表達式為y＝6x((2)令y＝x＋1中，x＝0，得y＝1，∴B(0，1)，設點A到BC的距離為h，∵點C在反比例函數y＝6x(x>0)圖象上，且BC∥x軸，∴點C縱坐標為把y＝1代入y＝6x得x＝6，∴點C坐標為(6，1)，∴BC＝6，(∵A(2，3)，∴h＝3－1＝2，∴S△ABC＝12BC·h＝12×6×2＝6，∴S△ABC四、解答題(本大題共3小題，每小題8分，共24分)18.今年植樹節(jié)，某班同學共同種植一批樹苗，如果每人種3棵，則剩余20棵；如果每人種4棵，則還缺25棵．(1)求該班的學生人數；(2)這批樹苗只有甲、乙兩種，其中甲樹苗每棵30元，乙樹苗每棵40元．購買這批樹苗的總費用沒有超過5

400元，請問至少購買了甲樹苗多少棵？18.解：(1)設該班的學生人數為x人．由題意得，3x＋20＝4x－25，解得x＝45，答：該班的學生人數為45人；(2)由(1)可知樹苗總數為3×45＋20＝155(棵)，設購買了甲樹苗y棵，30y＋40(155－y)≤5400(6分)解得y≥80，答：至少購買了甲樹苗80棵.

19.圖①是某紅色文化主題公園內的雕塑，將其抽象成如圖②所示的示意圖，已知點B，A，D，E均在同一直線上，AB＝AC＝AD，測得∠B＝55°，BC＝1.8m，DE＝2m．(結果保留小數點后一位)(1)連接CD，求證：DC⊥BC；(2)求雕塑的高(即點E到直線BC的距離)．(參考數據：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43)19.(1)證明：∵AB＝AC＝AD，∴∠ABC＝∠ACB，∠ACD＝∠ADC，∵在△BCD中，∠B＋∠BCD＋∠BDC＝180°，∴2∠ACB＋2∠ACD＝180°，∴∠ACB＋∠ACD＝90°，∴DC⊥BC；一題多解

證明：∵AB＝AC＝AD，∴點B，C，D在以點A為圓心，BD為直徑的圓上，∴∠BCD＝90°，即DC⊥BC；(2)解：如解圖，過點E作EF⊥BC，交直線BC于點F，∵∠B＝55°，BC＝1.8m，DE＝2m，在Rt△BCD中，cosB＝BCBD＝1.8BD，∴BD＝1.8cosB≈1.80.57≈3.16m，∴BE＝3.16＋2＝5.16m，在Rt△BEF中，sinB＝EF答：雕塑的高(即點E到直線BC的距離)約為4.2m．20.如圖，在△ABC中，AB＝4，∠C＝64°，以AB為直徑的⊙O與AC相交于點D，E為A?上一點，且∠ADE＝(1)求B?的長(2)若∠EAD＝76°，求證：CB為⊙O的切線．20.(1)解：如解圖，連接OE，∵∠ADE＝40°，∴∠AOE＝2∠ADE＝80°.

∴∠BOE＝180°－∠AOE＝100°.∵AB＝4，∴OB＝2，∴l(xiāng)B?＝100π×2(2)證明：∵OA＝OE，∠AOE＝80°，∴∠OAE＝180°－∠∵∠EAD＝76°，∴∠BAC＝26°.

∵∠C＝64°，∴∠ABC＝180°－∠BAC－∠C＝180°－26°－64°＝90°，∵點B在圓上，AB為⊙O直徑，∴CB為⊙O的切線．五、解答題(本大題共2小題，每小題9分，共18分)21.為了解中學生的視力情況，某區(qū)衛(wèi)健部門決定隨機抽取本區(qū)部分初、高中學生進行調查，并對他們的視力數據進行整理，得到如下統(tǒng)計表和統(tǒng)計圖．整理描述初中學生視力情況統(tǒng)計表視力人數百分比0.6及以下84%0.7168%0.82814%0.93417%1.0m34%1.1及以上46n合計200100%(1)m＝________，n＝________；(2)被調查的高中學生視力情況的樣本容量為________；(3)①小胡說：“初中學生的視力水平比高中學生的好．”請你對小胡的說法進行判斷，并選擇一個能反映總體的統(tǒng)計量說明理由；②約定：視力未達到1.0為視力不良．若該區(qū)有26

000名中學生，估計該區(qū)有多少名中學生視力不良？并對視力保護提出一條合理化建議．21.解：(1)68，23%

；【解法提示】

視力1.0的學生數為：m＝200×34%＝68，視力1.1以上的人數所占百分比是：n＝46200×100%＝(2)320；【解法提示】被調查的高中學生視力情況的樣本容量為14＋44＋60＋82＋65＋55＝320.(3)①小胡說的說法正確，理由如下：初中生的視力眾數是1.0，高中生視力的眾數是0.9，∴初中學生的視力水平比高中學生的好；(答案不唯一)②方法一：(1－68＋46＋65＋55方法二：26

000×8＋16答：該區(qū)大約有14

300名中學生視力不良．對視力保護提出的建議是：堅持做眼保健操，加強體育鍛煉，養(yǎng)成正確的閱讀習慣，保護個人視力．(言之有理即可)22.課本再現我們知道，菱形的對角線互相垂直．反過來，對角線互相垂直的平行四邊形是菱形嗎？可以發(fā)現并證明菱形的一個判定定理：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．(1)為了證明該定理，小明同學畫出了圖形(如圖①)，并寫出了“已知”和“求證”，請你完成證明過程．已知：在?ABCD中，對角線BD⊥AC，垂點為O.求證：?ABCD是菱形．(2)如圖②，在?ABCD中，對角線AC和BD相交于點O，AD＝5，AC＝8，BD＝6.①求證：?ABCD是菱形；②延長BC至點E，連接OE交CD于點F，若∠E＝12∠ACD，求OFE22.(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO＝CO，BO＝DO，∵AC⊥BD，垂足為點O，∴AC與BD相互垂直平分，∴AB＝AD.∴平行四邊形ABCD是菱形；(2)①證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，且AC＝8，BD＝6，∴AO＝4，DO＝3，∵AD＝5，∴AD2＝AO2＋DO2;

∴△AOD是直角三角形且∠AOD＝90°，∴AC⊥BD；又∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴四邊形ABCD為菱形；②解：如解圖，過點O作OG∥BC交CD于點G，由題意及(2)①易知菱形ABCD

中，AC⊥BD

，BO＝3，CO＝4，BC＝5，AC平分∠BCD，∵在菱形ABCD

中，CA平分∠BCD，∴∠BCO＝∠OCD＝12∠BCD∵∠E＝12∠ACD＝12∠OCD，∠BCO＝∠E＋∠COE，∴∠BCO＝2∠E，∴∠COE＝∠E，∴CE＝OC＝∵OG∥BC，∴OG為△BDC的中位線，∴OG＝12BC＝52，△OFG∽△EFC，∴OGEC＝OFEF

，∴524＝六、解答題(本大題共12分)23.綜合與實踐某興趣小組開展綜合實踐活動：在Rt△ABC中，∠C＝90°，D為AC上一點，CD＝2.動點P以每秒1個單位的速度從C點出發(fā)，在三角形邊上沿C→B→A勻速運動，到達點A時停止，以DP為邊作正方形DPEF.設點P的運動時間為ts，正方形DPEF的面積為S，探究S與t的關系．(1)如圖①，當點P由點C運動到點B時，①當t＝1時，S＝________；②S關于t的函數解析式為________．(2)