2024-2025學(xué)年廣東省“金太陽聯(lián)考”高二（上）期中考試數(shù)學(xué)試題（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年廣東省“金太陽聯(lián)考”高二（上）期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.直線y=x+45的傾斜角為(

)A.π3 B.3π4 C.π42.(8+i)(1?i)=(

)A.7?9i B.9?9i C.7?7i D.9?7i3.已知集合A={x|x<3}，B={x∈N|?3<2?x<3}，則A∩B=(

)A.{?1,0,1,2} B.{1,2} C.{0,1,2} D.{0,1,2,3}4.已知直線l1:x+ay?20=0與l2:2x+(a+1)y?10=0.若l1A.?1 B.1 C.13 D.5.已知向量a=(2,k,3)，b=(2,5,0)，c=(0,2,1).若a，b，c共面，則k=A.11 B.?1 C.9 D.36.直線l:x+y+5=0截圓N:(x+2)2+(y?1)A.23 B.1 C.4 7.芻甍是中國古代算數(shù)中的一種幾何體，是底面為矩形的屋脊?fàn)畹男w.現(xiàn)有一個芻甍如圖所示，底面BCDE為矩形，AF//平面BCDE，△ABE和△CDF是全等的正三角形，BC=3，BE=2，∠ABC=π3，則異面直線AE與BD所成角的余弦值為(

)A.1326 B.C.213138.已知A(2,0)，B(10,0)，若直線tx?4y+2=0上存在點P，使得PA?PB=0，則t的取值范圍為A.[?3,215] B.[?215.3]二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知直線l:(m+2)x+(3?m)y?5=0過定點P.則下列結(jié)論正確的是(

)A.P的坐標(biāo)為(1,1)

B.當(dāng)m=1時，l在y軸上的截距為52

C.若l與直線6x+y+3=0垂直，則m=3

D.點P在圓x10.已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分圖象如圖所示，其中M(1,0)，N(5,0)A.ω=πB.φ=?π4

C.f(x)在[6,8]D.f(x)在[0,40]上恰有10個零點11.若E?平面γ，F(xiàn)∈平面γ，EF⊥平面γ，則稱點F為點E在平面γ內(nèi)的正投影，記為F=tγ(E).如圖，在直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，BC=2AD，AD⊥AB，P，N分別為AA1，CC1的中點，DQ=3QDA.若A1N=2A1Q?2A1P+μA1B，則μ=1

B.存在點H，使得H三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知圓C:x2+y2?4x?2y?11=0，則圓13.某校高三年級男生共600人，女生共400人，現(xiàn)按性別進行分層，用分層隨機抽樣的方法從高三年級所有學(xué)生中抽取5人組成某活動志愿者小隊，則被抽取的女生人數(shù)為

.若從被抽取的這5人中抽取2人作為志愿者小隊隊長，則恰有1個男隊長的概率為

．14.已知球O是棱長為6的正四面體ABCD的內(nèi)切球，MN是球O的一條直徑，H為該正四面體表面上的動點，則HM?HN的最大值為

．15.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且2sinC=3sinA，a=2，b=7．

(1)求B的大小;

16.已知在△ABC中，A(2,6)，B(?2,?2)，C(5,?3)．(1)求直線AB的方程;(2)求△ABC的外接圓的標(biāo)準方程;(3)過點B作△ABC的外接圓的切線，求該切線方程．17.如圖，在六面體ABCDFE中，四邊形ABCD是正方形，AE，DF，BG都垂直于平面ABCD，且AE=3，DF=2，BG=1，M，N分別是EG，BC的中點．

(1)證明：FM//平面ABCD．(2)若AB=2，求點N到平面AMF的距離．18.如圖，在四棱臺ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD(1)證明：BD⊥平面ACC(2)求直線DD1與平面(3)棱BC上是否存在一點P，使得二面角P?AD1?D的余弦值為211?19.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯，與歐幾里得、阿基米德并稱古希臘三大數(shù)學(xué)家.他的著作《圓錐曲線論》是古代數(shù)學(xué)光輝的科學(xué)成果，其中一發(fā)現(xiàn)可表述為“平面內(nèi)到兩個定點A，B的距離之比|PA||PB|為定值λ(λ≠1)的點P的軌跡是圓”，后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.如平面內(nèi)動點T到兩個定點A(?3,0)，O(0,0)的距離之比|TA||TO|為定值2，則點T的軌跡就是阿氏圓，記為C(1)求C的方程;(2)若C與x軸分別交于E，F(xiàn)兩點，不在x軸上的點H是直線l:x=4上的動點，直線HE，HF分別與C的另一個交點為M，N，證明直線MN經(jīng)過定點，并求出該定點的坐標(biāo)．

參考答案1.C

2.D

3.C

4.B

5.A

6.D

7.A

8.B

9.ABD

10.ABD

11.ABC

12.4

13.2；314.12

15.解：(1)因為2sinC=3sinA，所以2c=3a.

因為a=2，所以c=3，又b=7，

由余弦定理，得cos?B=a2+c2?b22ac=4+9?72×2×3=12．

因為016.解：(1)已知A(2,6)，B(?2,?2)，

∴AB直線的斜率為6+22+2=2，

∴直線AB的方程為y+2=2(x+2)，即2x?y+2=0．

(2)設(shè)△ABC外接圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，

則4+36+2D+6E+F=04+4?2D?2E+F=025+9+5D?3E+F=0，求得D=?4E=?2F=?20,

故△ABC外接圓方程為x2+y2?4x?2y?20=0，

即△ABC的外接圓的標(biāo)準方程(x?2)2+(y?1)2=25．

(3)當(dāng)切線的斜率不存在時，x=?2，不符合；

當(dāng)切線的斜率存在時，設(shè)切線方程為y+2=k(x+2)即kx?y+2k?2=0，

△ABC的外接圓17.(1)證明：因為AE，DF，BG都垂直于平面ABCD，所以AE//BG//DF．

取AB的中點H，連接MH，DH，

則MH//AE，且MH=AE+BG2=2，

所以MH//DF且MH=DF，所以四邊形DFMH為平行四邊形，

所以FM//DH．

又因為FM?平面ABCD，DH?平面ABCD，所以FM/?/平面ABCD．

(2)解：連接AN.以D為坐標(biāo)原點，DA，DC，DF所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則A(2,0,0)，F(xiàn)(0,0,2)，M(2,1,2)，N(1,2,0)，

所以AN=(?1,2,0)，AM=(0,1,2)，AF=(?2,0,2)．

設(shè)平面AMF的法向量為n=(x,y,z)，

則AM?n=y+2z=0，AF?n=?2x+2z=0，

取x=1，得y=?2，z=118.解：(1)證明：因為底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD．又因為AA1⊥平面ABCD，BD?平面ABCD因為AA1∩AC=A，且AA1，AC?平面AC(2)解：以AB，AD，AA1所在直線分別為x，y，則A(0,0,0)，B(6,0,0)，B1(3,0,2)，C(6,6,0)，D(0,6,0)，所以BC=(0,6,0)，BB1設(shè)平面BCC1B則m?BC=6設(shè)直線DD1與平面BCC則sinθ=|cos<故直線DD1與平面BCC(3)解：若存在點P滿足題意，則可設(shè)點P(6,λ,0)，其中λ∈[0,6]，則AP=(6,λ,0)，A設(shè)平面AD1P的法向量為n=(x易得平面ADD1的一個法向量為所以|cos<n·v>|=|故棱BC上存在一點P，當(dāng)BP=2時，二面角P?AD1?D

19.解：(1)設(shè)T(x,y)，由題意可知，|TA||TO|=2，

即：(x+3)2+y2=2x2(2)由圓C與x軸分別交于E，F(xiàn)兩點，

不妨設(shè)E(?1,0)，F(xiàn)(3,0)，又H為