專題10 三角形壓軸（測試）

專題10三角形壓軸目錄TOC\o"1-3"\n\h\z\u真題演練題型01與三角形有關(guān)的多結(jié)論問題（選/填）題型02與三角形有關(guān)的平移問題題型03與三角形有關(guān)的翻折問題題型04與三角形有關(guān)的旋轉(zhuǎn)問題題型05與三角形有關(guān)的全等/相似問題題型06與三角形有關(guān)的最值問題題型07與三角形有關(guān)的動點問題題型08與三角形有關(guān)的新定義問題題型09與三角形有關(guān)的閱讀理解問題題型10與三角形有關(guān)的存在性問題題型11三角形與幾何圖形綜合題型12三角形與函數(shù)綜合模擬集訓(xùn)

真題演練題型01與三角形有關(guān)的多結(jié)論問題（選/填）1．（2023·陜西寶雞·一模）如圖，在△ABC中，分別以AC，BC為邊作等邊△ACD和等邊△BCE．設(shè)△ACD，△BCE，△ABC的面積分別是S1,S2,S3現(xiàn)有如下結(jié)論：①S1:S2=AC

A．①② B．①③ C．①②③ D．②③2．（2023·浙江湖州·二模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，點D，E分別是邊AB和BC上的兩點，連結(jié)DE，將△BDE沿DE折疊，點B恰好落在AC的中點M處，BM與DE交于點F．下列三個結(jié)論：①DF=EF；②DM⊥AM；③tan∠CME=113．（2023·遼寧撫順·三模）如圖，在△ABC中，∠BAC=45°，CD⊥AB于點D，AE⊥BC于點E，AE與CD交于點F，連接BF，DE，下列結(jié)論中：①AF=BC；②2cos∠DEB=12，③AE?CE=2ED

題型02與三角形有關(guān)的平移問題4．（2023·吉林長春·模擬預(yù)測）【問題原型】如圖①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB．若AB=5，BC=3，則CD的長為________【操作一】如圖，②，將圖①中的，△ACD沿AC翻折得到△ACE，則四邊形AECD的周長為________；【操作二】如圖③，將圖②中的△ACE沿射線AB方向平移，使點A與點D重合，得到△DGF，點E的對應(yīng)點為點F．（1）求證：四邊形ADFE是菱形；（2）直接寫出四邊形ADGF的周長．5．（2023·山東青島·三模）已知：如圖①，△ABC為邊長為2的等邊三角形，D、E、F分別為AB、AC、BC中點，連接DE、DF、EF．將△BDF向右平移，使點B與點(1)設(shè)△ADE、△BDF、△EFC的面積分別為S1、S2、S3，則S1+S2+S(2)已知：如圖③，∠AOB=∠COD=∠EOF=60°，AD=CF=BE=2，設(shè)△ABO、△FEO、△CDO的面積分別為S1、S2、6．（2023·遼寧沈陽·三模）在平面直角坐標系中，△DOE是等腰直角三角形，∠ODE=90°，DO=DE=3，點D在x軸的負半軸上，點E在第二象限，矩形ABCO的頂點B4，2，點C在x軸的正半軸上，點A在y軸的正半軸上．將△DOE沿x軸向右平移，得到△D'

(1)如圖1，當E'O'經(jīng)過點A(2)設(shè)OO'=t，△D'①如圖②，當△D'O'E'與矩形ABCO重疊部分為五邊形時，D'E'與AB相交于點M，E'O'分別與AB，BC②請直接寫出滿足S=72的所有t的值題型03與三角形有關(guān)的翻折問題7．（2023·江蘇鹽城·模擬預(yù)測）如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=4，點E、F分別在直線AC、邊BC上，連接EF，將△CEF沿著EF翻折，點C落在邊AB上的點D處.過點D作DM⊥AB，交直線AC于M(1)AC=_____，BC=________；(2)當CF=CE時，求證：△EMD≌△FBD；(3)當CMCE=1(4)連接CD交EF于點P，當AP+BP取最小值=_時，EF的值為_．8．（2023·重慶·模擬預(yù)測）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，過B點作BE⊥AC于點E，點D為線段AC的中點，連接BD(1)如圖1，AB=2，AC=6，求(2)如圖2，將線段DB繞著點D逆時針旋轉(zhuǎn)45°得到線段DG，此時DG⊥AC，連接BG，點F為BG的中點，連接EF，求證：BC=2EF；(3)如圖3，∠ACB=30°，AB=3，點P是線段BD上一點，連接AP，將△APB沿AP翻折到同一平面內(nèi)得到△APB'，連接CB'，將線段繞點CB'順時針旋轉(zhuǎn)60°得線段9．（2023·重慶渝北·二模）等邊△ABC中，點D為直線AB上一動點，連接DC．

(1)如圖1，在平面內(nèi)將線段DC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段CE，連接BE，若D點在AB邊上，且DC=5，tan∠ACD=1(2)如圖2，若點D在AB延長線上，點G為線段DC上一點，點F在CB延長線上，連接FG、AG．在點D的運動過程中，若∠GAF+∠ABF=180°，且FB?BD=AC，猜想線段CG與線段DG之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．(3)如圖3，將△BDC沿直線BC翻折至△ABC所在的平面內(nèi)得到△BD'C，M點在AB邊上，且AM=14AB，將MA繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)120°得到線段AN，點H是直線AC上一動點，將△MNH沿直線MH翻折至△MNH所在平面內(nèi)得到△MN'H，在點D題型04與三角形有關(guān)的旋轉(zhuǎn)問題10．（2023·重慶九龍坡·模擬預(yù)測）在等腰△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，將斜邊AC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度得到線段AD，AD交BC于點G，過點C作CF⊥AD于點F．(1)如圖1，當旋轉(zhuǎn)22.5°時，若BG=1，求AC的長；(2)如圖2，當旋轉(zhuǎn)30°時，連接BD，CD，延長CF交BD于點E，連接EG，求證：AG=CE+EG；(3)如圖3，點M是AC邊上一動點，在線段BM上存在一點N，使NB+NA+NC的值最小時，若NA=2，請直接寫出△CNM的面積．11．（2023·貴州貴陽·二模）在△ABC中，∠CAB=90°，在△ADE中，∠EAD=90°，已知Rt△ABC和Rt△ADE有公共頂點A，連接BD和(1)如圖①，若AB=AC，AD=AE，當△ABC繞點A旋轉(zhuǎn)α0°<α<360°，BD和CE(2)如圖②，若AD:AE=AB:AC=1:3，當Rt△ABC繞點A旋轉(zhuǎn)α0°<α<360°，（1）中BD(3)在（2）的條件下，若AD=23，AB=3，在旋轉(zhuǎn)過程中，當C，B，D三點共線時，請直接寫出12．（2023·廣東云浮·三模）閱讀下面材料：小明遇到這樣一個問題：如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D、E在邊BC上，∠DAE=45°．若BD=3，CE=1，求DE小明發(fā)現(xiàn)，將△ABD繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到△ACF，連接EF（如圖2），由圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)以及∠DAE=45°，可證△FAE≌△DAE，得FE=DE．解△FCE，可求得FE（即DE）的長．(1)請回答：在圖2中，∠FCE=_______，DE=__________；(2)參考小明思考問題的方法，解決下列問題：①已知：如圖3，正方形ABCD，BM，DN分別平分正方形的兩個外角，且滿足∠MAN=45°，連接MN，若以BM、DN、MN為三邊圍成三角形，則該三角形的形狀是_______．②如圖4，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分別是邊BC、CD上的點，且∠EAF=12∠BAD．猜想線段BE、EF題型05與三角形有關(guān)的全等/相似問題13．（2023·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）【問題探究】（1）如圖1，BD、AC相交于點P，連接BC、AD，且∠1=∠2，若PB=6，PC=3，PD=4，則PA的長為______；（2）如圖2，∠MON=120°，點P是∠MON平分線上的一個定點，點A、B分別在射線OM、ON上，且∠APB=60°，求證：四邊形OAPB的面積是定值；【拓展運用】（3）如圖3，某創(chuàng)業(yè)青年小李租用一塊形如四邊形ABCD的田地養(yǎng)蜂、產(chǎn)蜜與售蜜，其中AD∥BC，∠B=90°，AB=120米，AD=60米，BC=110米，點E為入口，點E在AB上，且AE=AD，小李計劃過點E修一條垂直于CD的筆直小路EF，將田地分為兩部分，四邊形AEFD區(qū)域為蜂巢區(qū)，四邊形BCFE區(qū)域為蜂源植物生長區(qū)，在點F處設(shè)立售蜜點，為了方便取蜜，計劃再沿AF修一條筆直的小路AF，直接寫出小路14．（2023·安徽合肥·一模）如圖，已知△ABC是等邊三角形，點D、E分別在AC,AB上，且CD=AE，BD與CE相交于點P．

(1)求證：△ACE≌△CBD；(2)如圖2，將△CPD沿直線CP翻折得到對應(yīng)的△CPM，過C作CG∥AB，交射線PM于點G，PG與BC相交于點F，連接BG．①試判斷四邊形ABGC的形狀，并說明理由；②若四邊形ABGC的面積為63，PF=1，求CE15．（2023·重慶萬州·模擬預(yù)測）如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，過點C作CD∥AB交過點B的直線于點D，∠ABD=30°，直線BD交AC于(1)如圖1，若AB=2，求BD的長；(2)如圖2，過點A作AG⊥BD交BD于點G，交BC的延長線于E，取線段AB的中點F，連接GF，求證：GF+3(3)在（2）的條件下，過點D作DP⊥AB交AB于點P，若點M是線段GF上任一點，連接BM，將△BGM沿BM折疊，折疊后的三角形記為△BG'M，當3題型06與三角形有關(guān)的最值問題16．（2023·吉林長春·模擬預(yù)測）【問題提出】（1）如圖①，AB為⊙O的一條弦，圓心O到弦AB的距離為4，若⊙O的半徑為7，則⊙O上的點到弦AB的距離最大值為______；【問題探究】（2）如圖②，在△ABC中，∠BAC=60°,AD為BC邊上的高，若AD=6，求△ABC面積的最小值；【問題解決】（3）如圖③，在△ABC中，∠ABC=90°,BD平分∠ABC交AC于點D，點P為BC上一點，BD=802米，∠CDP=45°．則四邊形ABPD17．（2023·河南周口·二模）已知在等腰△ABC中，AB=AC，D為BC中點，連接AD．分別以A、B為圓心，大于12AB的長為半徑畫弧，在AB的兩側(cè)分別交于點M、N，連接MN，MN交AB于點E，交AD于點F，連接ED、(1)如圖1，若△ABC為正三角形，則∠DEC=__________；EDFC(2)如圖2，若AD=BC=2，EF的延長線交AC于點P，求EDFC的值和FP(3)如圖3，若AD=BC=2，把圖2中的△AEF繞著點A旋轉(zhuǎn)，直接寫出EDFC的值，以及BF18．（2023·四川成都·模擬預(yù)測）如圖，在銳角△ABC中，∠B=60°，點D，E分別是BC，AC上的動點，連接AD，

(1)如圖1，若AB>BC，且BD=DE，AD平分∠BAC，求∠CED的度數(shù)．(2)如圖2，若AB=BC，在平面內(nèi)將線段AD繞點D順時針方向旋轉(zhuǎn)60度得到線段DF，連接BF，過點F做FG⊥AB，垂足為點G，在點D運動過程中，猜想線段BD，BA，AG之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．(3)如圖3，若點H為AC下方一點，連接AH，CH，△ACH為等邊三角形，將△ACH沿直線AH翻折得到△AHP．M是線段PB上一點，將△PMH沿直線HM翻折得到△HMN，連接PN，當線段PB取得最小值，且tan∠PHN=83題型07與三角形有關(guān)的動點問題19．（2023·吉林長春·二模）在△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，點D是邊BC上的一點，且BD=2.動點P從點B出發(fā)，沿折線BA?AC以每秒1個單位長度的速度勻速運動，連結(jié)PD，作點B關(guān)于直線PD的對稱點B'，連結(jié)B'P、B'D.設(shè)點P

(1)線段CD的長為______．(2)用含t的代數(shù)式表示線段AP(AP>0)的長．(3)連結(jié)AB'，求(4)當DB'∥AC20．（2023·吉林長春·模擬預(yù)測）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠A=30°,BC=4，動點F從點A出發(fā)沿折線AC?CB向終點B運動，在AC上的速度為每秒3個單位長度，在BC上的速度為每秒1個單位長度．當點F不與點C重合時，以CF為邊在點C的右上方作等邊△CFQ，設(shè)點F的運動時間為t（秒），點F到AB的距離為?(1)AC=______；(2)求?與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍；(3)當點F在AC邊上運動，且點Q到AB的距離為23?，求(4)作點Q關(guān)于直線AB的對稱點為Q'，當以C,F,Q'21．（2023·吉林松原·模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，∠A=∠B=30°，AC=2cm，CD⊥AB于點D．動點P從點A出發(fā)．以3cm/s的速度沿邊AB向點B勻速運動，當點P不與點A、B重合時，過點P作PQ⊥AB交折線AC?CB于點Q，將線段PQ繞點Q逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段QM，連接PM，設(shè)點(1)直接寫出AB=______cm；(2)當點Q在邊AC上時，CQ的長為______cm（用含x的代數(shù)式表示）；(3)當點M落在邊CD上時，求x的值；(4)在點P運動的過程中，作點M關(guān)于直線AB的對稱點N，連接PN、MN，設(shè)四邊形PQMN與△ABC重疊部分圖形的面積為ycm2，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量題型08與三角形有關(guān)的新定義問題22．（2023·四川遂寧·一模）定義1：如圖1，若點H在直線l上，在l的同側(cè)有兩條以H為端點的線段MH、NH，滿足∠1=∠2，則稱MH和NH關(guān)于直線l滿足“光學性質(zhì)”；定義2：如圖2，在△ABC中，△PQR的三個頂點P、Q、R分別在BC、AC、AB上，若RP和QP關(guān)于BC滿足“光學性質(zhì)”，PQ和RQ關(guān)于AC滿足“光學性質(zhì)”，PR和QR關(guān)于AB滿足“光學性質(zhì)”，則稱△PQR為△ABC的光線三角形．閱讀以上定義，并探究問題：在△ABC中，∠A=30°，AB=AC，△DEF三個頂點D、E、F分別在BC、AC、AB上．(1)如圖3，若FE∥BC，DE和FE關(guān)于AC滿足“光學性質(zhì)”，求(2)如圖4，在△ABC中，作CF⊥AB于F，以AB為直徑的圓分別交AC，BC于點E，D．證明：△DEF為△ABC的光線三角形．23．（2023·浙江寧波·二模）定義：兩個相似三角形共邊且位于一個角的平分線兩側(cè)，則稱這樣的兩個相似三角形為疊似三角形．(1)如圖1，四邊形ABCD中，對角線AC平分∠BAD，∠BCD+12∠BAD=180°，求證：△ACB和△ADC(2)如圖2，△ACB和△ADC為疊似三角形，若AB∥CD，AD=4，(3)如圖3，在△ABC中，D是BC上一點，連接AD，點E在AD上，且DE=DC，F(xiàn)為AC中點，且∠BEC=∠AEF，若BC=9，AE=4，求EFBE24．（2023·山東青島·一模）定義：三角形一邊中線的中點和該邊的兩個頂點組成的三角形稱為中原三角形．如圖①，AD是△ABC的中線，F(xiàn)是AD的中點，則△FBC是中原三角形．

(1)求中原三角形與原三角形的面積之比（直接寫出答案）．(2)如圖②，AD是△ABC的中線，E是邊AC上的點，AC=3AE，BE與AD相交于點F，連接CF．求證：△FBC是中原三角形．(3)如圖③，在（2）的條件下，延長CF交AB于點M，連接ME，求△FEM與△ABC的面積之比．題型09與三角形有關(guān)的閱讀理解問題25．（2023·河南新鄉(xiāng)·二模）閱讀下列材料并并完成任務(wù)：數(shù)學活動課上，老師讓同學們探究用尺規(guī)作圖作一條直線的平行線．如圖1，已知在∠AOB中，點M、N分別在射線OA、OB上，且OM＝ON，點P在線段OB上，求作直線PQ，使小琦的作圖方法：如圖2，連接MP，作∠QNP＝∠PMQ，NQ交OA于點Q，作直線PQ，則（1）①通過師生討論，小琦的解法得到贊同，下面是小琦不完整的證明過程請補充完成．∵∠PMO=∠QNP，OM＝ON，∴__________，∴__________，∴∠OPQ=1∵∠ONM=1∴__________，∴__________小穎：我認為小琦的作圖方法很有創(chuàng)意，但是太麻煩了，可以改進如下，作∠OMN的角平分線MC交OB于點P，作MP的垂直平分線EG交OM于點Q，則PQ∥MN．…任務(wù)：(1)小琦得出△PMO≌△QNO的依據(jù)是___________（填序號）．①SSS

②SAS

③AAS

④ASA(2)小穎的作法正確嗎？若正確，請加以證明；(3)如圖4，已知∠AOB＝30°，點M、N分別在射線OA、OB上，且OM＝ON，點P在線段OB上，點Q是射線OA上的一動點，當

26．（2023·河南南陽·二模）請閱讀下列材料，完成相應(yīng)的任務(wù)．中線是三角形中的重要線段之一，在利用中線解決幾何問題時，常采用倍長中線法添加輔助線．所謂倍長中線法，即延長邊上（不一定是底邊）的中線，使所延長-部分與中線相等，以便構(gòu)造全等三角形，從而運用全等三角形的有關(guān)知識來解決問題的一種方法．如圖①，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，若AB=3，AC=5，求AD的長的取值范圍．解題思路：如圖①，延長AD到點E，使DE=DA，連接CE，則可證得△ECD≌△ABD（依據(jù)），得出EC=AB=3，在△ACE中，AE=2AD，AC=5，CE=3，即可得到AE的取值范圍，進一步得到AD的取值范圍．

任務(wù)：(1)上述解題思路中的“依據(jù)”是___________（填序號）①SAS

②ASA

③AAS

④SSS

⑤HL(2)如圖②，在△ABC中，D為邊BC的中點，已知AB=5，AC=3，AD=2，求BC的長．

(3)如圖③，在矩形ABCD中，AB=46，點E是CD邊的中點，連接AE，點F在直線BC上，且BFCF=12

27．（2023·山西忻州·模擬預(yù)測）閱讀與思考如圖是小強同學的數(shù)學課堂筆記本，請仔細閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù)．平面直角坐標系與直角三角形x年×月ⅹ日星期三原理：根據(jù)直角三角形的定義，性質(zhì)，判定，以直角三角形頂點分三種情況進行分類討論口訣：“兩線一圓”作圖：舉例如下：已知A3，0、B0，4情況一：當A為直角頂點時，過點A作AB的垂線l交直線x=1于點C，則交點即為所求點C．如圖①，有C1情況二：當B為直角頂點時，過點B作AB的垂線l交直線x=1于點C，則交點即為所求點C．如圖②，有C2情況三：當C為直角頂點時，以AB為直徑作圓，則該圓與直線x=1的交點即為所求點C．如圖③，有C3，C方法：一、幾何法：構(gòu)造“K型”或“一線三垂直”相似；二、代數(shù)法：兩點間的距離公式，列方程，解方程，檢驗根；三、解析法：求垂線解析式，聯(lián)立方程組求交點．任務(wù)：(1)上面課堂筆記中的分析過程，主要運用的數(shù)學思想是______（從下面選項中選出兩個即可）；A．數(shù)形結(jié)合

B．統(tǒng)計思想

C．分類討論

D．轉(zhuǎn)化思想(2)選擇一種課堂筆記本中記載的方法，求出“情況一”中C1(3)直接寫出“情況二”中C2的坐標____________(4)請你寫出在“情況三”中，確定C3、C題型10與三角形有關(guān)的存在性問題28．（2023·浙江金華·三模）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4．點D為AC的中點，點E為折線A?B?C上一動點，連接DE，以DE為邊作正方形DEFG（點F為點D繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90°得到），直線FG與直線BC，AC的交點分別為M，N

(1)當點E在線段AB上時，①若AE=ED，求此時AE的長；②若直線FG過點C，求此時正方形DEFG的面積；(2)是否存在點E，使得△CMN是等腰三角形？若存在，求該三角形的腰長，若不存在，請說明理由．29．（2024·廣東湛江·一模）【建立模型】（1）如圖1，點B是線段CD上的一點，AC⊥BC，AB⊥BE，ED⊥BD，垂足分別為C，B，D，AB=BE．求證：△ACB≌△BDE；【類比遷移】（2）如圖2，點A?3,a在反比例函數(shù)y=3x圖象上，連接OA，將OA繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°到OB，若反比例函數(shù)y=kx【拓展延伸】（3）如圖3拋物線y=x2+2x?3與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于C點，已知點Q0,?1，連接AQ，拋物線上是否存在點M，便得題型11三角形與幾何圖形綜合30．（2024·四川達州·模擬預(yù)測）【問題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，在△OAB中，OB=3，若將△OAB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)120°得OA'B'，連接【問題探究】（2）如圖2，已知△ABC是邊長為43的等邊三角形，以BC為邊向外作等邊△BCD，P為△ABC內(nèi)一點，連接AP，BP，CP，將△BPC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60°【實際應(yīng)用】（3）如圖3，在長方形ABCD中，邊AB=10，AD=20，P是BC邊上一動點，Q為△ADP內(nèi)的任意一點，是否存在一點P和一點Q，使得AQ+DQ+PQ有最小值？若存在，請求出此時31．（2023·廣西·三模）知識回顧例如，在證明三角形中位線定理時，就采用了如圖①的倍長中線方式，將三角形轉(zhuǎn)化為平行四邊形使問題得以解決．實踐操作如圖②，在梯形ABCD中，AD∥BC，F(xiàn)是腰DC的中點，請你延長AF交BC延長線于點M，我們易證△ADF≌數(shù)學發(fā)現(xiàn)如圖③，在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分別是兩腰AB、DC的中點，我們把EF叫做梯形ABCD的中位線．請類比三角形的中位線的性質(zhì)，猜想EF和AD、BC有怎樣的位置和數(shù)量關(guān)系？

_（用字母及符號表示）．證明猜想請結(jié)合“實踐操作”完成猜想的證明．已知：求證：證明：

實際應(yīng)用如圖，在?ABCD中，AB=5，BC=8，E是邊BC的中點，F(xiàn)是?ABCD內(nèi)一點，且∠BFC=90°.連接AF并延長，交CD于點G，若EF∥AB，求DG的長．

32．（2023·黑龍江齊齊哈爾·模擬預(yù)測）綜合與實踐旋轉(zhuǎn)是幾何圖形運動中的一種重要變換，通常與我們所學過的全等三角形等等數(shù)學知識相結(jié)合來解決問題，有時我們還能從中探索學習一些新知．小苗在研究三角形旋轉(zhuǎn)過程中，進行如下探究：如圖，已知正方形ABCD和正方形AEFG．

觀察猜想：（1）在圖1中，點E，F(xiàn)，G分別在邊AB，AC，AD上，直接寫出GDFC=實踐發(fā)現(xiàn)：（2）將正方形AEFG繞點A順時針旋轉(zhuǎn)至圖2所示位置，連接DG，F(xiàn)C，請問（1）中的結(jié)論是否發(fā)生變化？并加以證明：聯(lián)系舊知：（3）如果正方形ABCD的邊長為5，正方形AEFG的邊長為3．將正方形AEFG繞點A順時針旋轉(zhuǎn)至圖3所示位置，連接EG交AB于點M，交AC于點N，若NG=22，直接寫出EM的長探求新知：（4）在（3）的條件下，當正方形AEFG繞點A順時針旋轉(zhuǎn)至點E，F(xiàn)，B三點共線時，直接寫出CG的長__________．題型12三角形與函數(shù)綜合33．（2023·寧夏銀川·二模）等面積法是一種常用的、重要的數(shù)學解題方法．它是利用“同一個圖形的面積相等”、“分割圖形后各部分的面積之和等于原圖形的面積”、“同底等高或等底同高的兩個三角形面積相等”等性質(zhì)解決有關(guān)數(shù)學問題．在解題中，靈活運用等面積法解決相關(guān)問題，可以使解題思路清晰，解題過程簡便快捷．請用等面積法的思想解決下列問題：(1)在直角三角形中，兩直角邊長分別為3和4，則該直角三角形斜邊上的高的長為______．(2)如圖1，反比例函數(shù)y=?6xx>0的圖像上有一點P，PA⊥x軸于點A，點B在y(3)如圖2，P是邊長為a的正△ABC內(nèi)任意一點，點O為△ABC的中心，設(shè)點P到△ABC各邊距離分別為?1，?2，?3，連接AP，BP，CP，由等面積法，易知12a?1+?2+?3=S△ABC=3S△OAB，可得?1+(4)如圖4，已知⊙O的半徑為1，點A為⊙O外一點，OA=2，AB切⊙O于點B，弦BC∥OA，連接AC，求圖中陰影部分的面積．（結(jié)果保留(5)我國數(shù)學家祖暅，提出了一個祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”．意思是：兩個等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個幾何體體積相等．如圖所示，某帳篷的造型是兩個全等圓柱垂直相交的公共部分的一半（這個公共部分叫做牟合方蓋），其中曲線AOC和BOD均是以1為半徑的半圓．用任意平行于帳篷底面ABCD的平面截帳篷，所得截面四邊形均為正方形，且該正方形的面積恰好等于與帳篷同底等高的正四棱柱中挖去一個倒放的同底等高的正四棱錐后同高度截面的面積（圖8中陰影部分的面積），因此該帳篷的體積為______．（正棱錐的體積V=13底面積34．（2023·山東聊城·二模）如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），點A的坐標為?1,0，與y軸交于點C0,?3，直線CD:y=2x?3與x軸交于點D．動點M在拋物線上運動，過點M作MP⊥x軸，垂足為點(1)求拋物線的表達式；(2)當點P在線段OD上時，△CDM的面積是否存在最大值，若存在，請求出最大值；若不存在，請說明理由；(3)點M在運動過程中，能否使以C，N，M為頂點的三角形是以35．（2023·西藏日喀則·一模）在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx?4與x軸交于A(?1，0),B(4，0)兩點，與y(1)求這條拋物線的解析式：(2)如圖（甲），在x軸上是否存在點E，使得以E，B，(3)如圖（乙），動點P運動到什么位置時，△PBC面積最大，求出此時P點的坐標和△PBC面積的最大值．36．（2023·山東濟南·二模）如圖，點B坐標為(?1,0)，點A在x軸的正半軸上，四邊形BDEA是平行四邊形，DF⊥x軸于點F，BD=35,tan∠DBA=2，反比例函數(shù)y=kx(k>0)

(1)求反比例函數(shù)解析式及C點坐標；(2)若線段BD上一點P，使得∠DCP=∠BDF(3)過點C作CG∥y軸，交DE于點G，點M為直線CG上的一個動點，H為反比例函數(shù)上的動點，是否存在這樣的點H、M，使得以C、H、M為頂點的三角形與△ABE相似？若存在，求出所有滿足條件的模擬集訓(xùn)（時間：60分鐘）一、單選題1．（2024·四川廣元·二模）如圖，在等邊三角形ABC中，D是邊BC上的中點，DE∥AB．將△CDE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)α(0°<α<360°)，得到△CD'E'，連接AD'，AE

A．60°或90° B．90°或120° C．60°或300° D．120°或150°2．（2024·安徽馬鞍山·一模）如圖，D，E分別在等邊△ABC的邊AB，BC上，且BD=CE，CD與AE交于點F．延長CD到點P，使∠BPD=30°，若AF=a，CF=b，則下列結(jié)論錯誤的是（）A．∠AFD=60° B．BF的長度的最小值等于3C．PC的長度為a+3b D．△ACF的面積的最大值是△ABC3．（2024·河南信陽·一模）如圖1，已知?ABCD的邊長AB為43，∠B=30°，AE⊥BC于點E．現(xiàn)將△ABE沿BC方向以每秒1個單位的速度勻速運動，運動的△ABE與?ABCD重疊部分的面積S與運動時間t的函數(shù)圖象如圖2，則當t為9時，S的值是（

A．833 B．33 C．934．（2024·河北衡水·一模）如圖，在△ABC中，∠B=∠C=65°，將△MNC沿MN折疊得△MNC'，若MC'與△ABC的邊平行，則A．57.5° B．25° C．57.5°或25° D．115°或25°5．（2024·安徽·一模）如圖，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，AB=BC，CD=DE，∠ABC=∠CDE=90°，點A，C，E共線，點F和點G分別是BD和AE的中點，AE=4，連接AF，CF，

A．CF+FG的最小值是2 B．S△BCD的最大值為C．S△ABC+S△CDE的最小值為22 二、填空題6．（23-24九年級下·四川成都·階段練習）如圖，△ABC是等邊三角形，AB=4，點D在邊AC上由C向A運動，點E在邊BC上由B向C運動，且CD=BE，連接BD、AE交于點P，將邊AC繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到CM，在射線CM上截取線段CF，使CF=3AC，在D、E的運動過程中，求12

7．（2023·浙江金華·三模）如圖是某品牌電腦支架，整體支架由3組支撐條和2組活動條組成，支撐條AB=BC=28cm，CD=24cm，相連兩根支撐條可繞交點轉(zhuǎn)動，活動條EF，GH一端分別與支撐條BC，CD中點連接，并且可繞固定支點E與支點G轉(zhuǎn)動，通過轉(zhuǎn)動活動條，將末端點F與點H分別卡入支撐條AB及BC上的孔洞中，以此來完成支架調(diào)節(jié)，其中活動條GH=16cm．將電腦支架調(diào)節(jié)到如圖2所示，底部一組支撐條貼合水平桌面，調(diào)節(jié)活動條EF，使得∠ABC=30°，調(diào)節(jié)活動條GH使得GH⊥CD，此時活動條末端點H到桌面的距離為______，如圖3某電腦鍵盤面與顯示屏面長度相等，即MP=NP，將其放置到上述狀態(tài)電腦支架上，使點M與點C重合，此時點P恰好與點D重合，開合電腦顯示屏，點N到桌面的最大高度是

三、解答題8．（2024·遼寧大連·模擬預(yù)測）【問題呈現(xiàn)】如圖1，∠MPN的頂點在正方形ABCD兩條對角線的交點處，∠MPN=90°，將∠MPN繞點P旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中，∠MPN的兩邊分別與正方形ABCD的邊AD和CD交于點E、F（點F與點C，D不重合）．探索線段DE、DF、AD之間的數(shù)量關(guān)系．【問題初探】（1）愛動腦筋的小悅發(fā)現(xiàn)，通過證明兩個三角形全等，可以得到結(jié)論．請你寫出線段DE、DF、AD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；【問題引申】（2）如圖2，將圖1中的正方形ABCD改為∠ADC=120°的菱形，∠EPF=60°，其他條件不變，請你幫小悅得出此時線段DE、DF、AD之間的數(shù)量關(guān)系是______；【問題解決】（3）如圖3，在（2）的條件下，當菱形的邊長為8，點P運動至與A點距離恰好為7的位置，且∠EPF旋轉(zhuǎn)至DF=1時，DE的長度為__________．9．（2024·江蘇連云港·一模）問題情景：如圖1，在平面直角坐標系xOy中，矩形ABCD的邊AB=4，BC=10．矩形頂點C從O點出發(fā)沿x軸的正半軸向右運動，矩形的另一個頂點B隨之在y軸的正半軸上運動，當點B回到O點時運動也隨之停止．問題提出：如圖2．（1）當OC=5時，點A的坐標為__________；（2）在運動過程中，求OA的最大值；問題探究：（3）如圖3，點P為線段AD上一點，AP=2．①在運動過程中，tan∠POC②從運動開始到運動停止，請直接寫出點P所走過的路程．10．（2024·遼寧大連·一模）【概念感知】兩個二次函數(shù)只有一次項系數(shù)不同，就稱這兩個函數(shù)為“異b族二次函數(shù)”．【概念理解】如圖1，二次函數(shù)y=?12x2+32x+2的圖象C1交x軸于點A,B，交y軸于點C，點D為線段BC的中點，二次函數(shù)y=ax2+bx+c與（1）求二次函數(shù)y=ax【拓展應(yīng)用】（2）如圖2，直線EF∥BC，交拋物線C1于E,F，當四邊形CDEF（3）如圖3，點P為x軸上一點，過點P作x軸的垂線分別交拋物線C1,C2于點M，N，連接MC,NC，當

專題10三角形壓軸目錄TOC\o"1-3"\n\h\z\u真題演練題型01與三角形有關(guān)的多結(jié)論問題（選/填）題型02與三角形有關(guān)的平移問題題型03與三角形有關(guān)的翻折問題題型04與三角形有關(guān)的旋轉(zhuǎn)問題題型05與三角形有關(guān)的全等/相似問題題型06與三角形有關(guān)的最值問題題型07與三角形有關(guān)的動點問題題型08與三角形有關(guān)的新定義問題題型09與三角形有關(guān)的閱讀理解問題題型10與三角形有關(guān)的存在性問題題型11三角形與幾何圖形綜合題型12三角形與函數(shù)綜合模擬集訓(xùn)

真題演練題型01與三角形有關(guān)的多結(jié)論問題（選/填）1．（2023·陜西寶雞·一模）如圖，在△ABC中，分別以AC，BC為邊作等邊△ACD和等邊△BCE．設(shè)△ACD，△BCE，△ABC的面積分別是S1,S2,S3現(xiàn)有如下結(jié)論：①S1:S2=AC

A．①② B．①③ C．①②③ D．②③【答案】C【分析】①根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方可證；②根據(jù)CD=AC∠ACE=∠DCBCE=BC，即可求得全等（SAS）；③設(shè)AC=a，BC=b，根據(jù)面積公式分別計算出S【詳解】解：①S1∵△ADC與△BCE是等邊三角形，∴∠∴△ADC∽△BCE，∴S1②△BCD≌△ECA正確，∵△ADC與△BCE是等邊三角形，∴∠ACD=∠BCE=60°，CD=AC∴∠ACD+即∠ACE=在△ACE與△DCB中，CD=AC∠ACE=∠DCB∴△BCD≌△ECA（SAS）；③若AC⊥BC，則S1設(shè)等邊三角形ADC的邊長為a，等邊三角形BCE邊長為b，則△ADC的高為32a，△BCE的高為32∴S∴S∵S∴S∴S故答案是：①②③．【點睛】本題考查了三角形全等的判定，等邊三角形的性質(zhì)，面積公式以及相似三角形面積的比等于相似比的平方，熟知各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023·浙江湖州·二模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，點D，E分別是邊AB和BC上的兩點，連結(jié)DE，將△BDE沿DE折疊，點B恰好落在AC的中點M處，BM與DE交于點F．下列三個結(jié)論：①DF=EF；②DM⊥AM；③tan∠CME=11【答案】③【分析】①由折疊的性質(zhì)可得ED是BM的垂直平分線，假設(shè)DF=EF，則四邊形BDME為菱形，MB平分∠ABC，由∠ACB=90°，∠B=30°，M是AC的中點，得出BM不是∠ABC的平分線，即可判斷，②由BM不是∠ABC的平分線，可得∠MDA=∠DBM+∠DMB≠30°，在△ADM中∠MAD+∠MDA=60°+∠MDA≠90°，即可判斷，③設(shè)CM=a，ME=x，應(yīng)用勾股定理，表示出CE的長度，在Rt△CME中，ME2本題考查了折疊的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是：熟練掌握折疊的性質(zhì)．【詳解】解：由折疊的性質(zhì)可得：EB=EM，DB=DM，∴ED是BM的垂直平分線，假設(shè)DF=EF，則四邊形BDME為菱形，∴∠EBF=∠DBF，即：MB平分∠ABC，∵∠ACB=90°，∠B=30°，M是AC的中點，∴BM不是∠ABC的平分線，∴假設(shè)DF=EF錯誤，故①錯誤，∵BM不是∠ABC的平分線，∴∠DBM=∠DBM≠15°，∴∠MDA=∠DBM+∠DMB≠30°，∴∠MAD+∠MDA=60°+∠MDA≠90°，故②錯誤，設(shè)CM=a，ME=x，則：AM=a，EB=x，AC=2a，AB=2AC=4a，由勾股定理得：BC=A∴CE=BC?BE=23在Rt△CME中，ME2=CM∴CE=23∴tan∠CME=綜上所述，只有③正確，故答案為：③．3．（2023·遼寧撫順·三模）如圖，在△ABC中，∠BAC=45°，CD⊥AB于點D，AE⊥BC于點E，AE與CD交于點F，連接BF，DE，下列結(jié)論中：①AF=BC；②2cos∠DEB=12，③AE?CE=2ED

【答案】①③④【分析】①②只要證明△ADF≌△CDB即可解決問題．③如圖1中，作DM⊥AE于M，DN⊥BC于N，易證△DMF≌△DNB，四邊形DMEN是正方形，想辦法證明AE?CE=BC+EF?EC=EF+BE=2EN=2DE，即可．④如圖2中，延長FE到H，使得FH=FB．連接HC、BH．想辦法證明△BFH是等邊三角形，AC=AH【詳解】解：∵AE⊥BC，CD⊥AB，∴∠AEC=∠ADC=∠CDB=∵∠AFD=∴∠DAF=∵CD⊥AB,∠BAC=45°∴∠ACD=90°?45°=45°=∴AD=DC，在△ADF和△CDB中，∠DAF＝∴△ADF≌△CDB（ASA），∴AF=BC，DF=DB，故①正確，∴∠DFB=取BF的中點O，連接OD、OE．

∵∠BDF=∴OE=OF=OB=OD，∴E、F、D、B四點共圓，∴∠DEB=∴2cos如圖1中，作DM⊥AE于M，DN⊥BC于N，則四邊形DMEN是矩形，∵∠DEB=45°，∠∴∠AED=90°?45°=45°=∴DM=DN，∵DF=DB，∴Rt△DMF≌∴MF=BN，EM=EN，∴EF+EB=EM?FM+EN+NB=2EM=2EN，∵cos∠DEB=∴EN=2∴AE?CE=BC+EF?EC=EF+BE=2EN=2DE如圖2中，延長FE到H，使得FH=FB．連接HC、BH．

∵∠CAE=30°，∠CAD=45°，∴∠DAF=15°，∠∵∠DFB=45°∴∠AFB=120°∴∠BFH=60°∵FH=BF，∴△BFH是等邊三角形，∴BF=BH，∵BC⊥FH，∴FE=EH，∴CF=CH，∴∠CFH=∴∠ACH=75°∴∠ACH=∴AC=AH，∵AF+FB=AF+FH=AH，∴AF+BF=AC，∴AF+BFAC=1故答案為：①③④．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造特殊三角形解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題．題型02與三角形有關(guān)的平移問題4．（2023·吉林長春·模擬預(yù)測）【問題原型】如圖①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB．若AB=5，BC=3，則CD的長為________【操作一】如圖，②，將圖①中的，△ACD沿AC翻折得到△ACE，則四邊形AECD的周長為________；【操作二】如圖③，將圖②中的△ACE沿射線AB方向平移，使點A與點D重合，得到△DGF，點E的對應(yīng)點為點F．（1）求證：四邊形ADFE是菱形；（2）直接寫出四邊形ADGF的周長．【答案】問題原型：125；操作一：565【分析】問題原型：首先利用勾股定理解得AC的值，再利用面積法解得CD的長即可；操作一：首先利用勾股定理解得AD的值，再根據(jù)折疊的性質(zhì)可得CE=CD，AE=AD，然后計算四邊形AECD的周長即可；操作二：（1）首先根據(jù)平移的性質(zhì)可得AE=DF，AE∥DF，可證明四邊形ADFE為平行四邊形，再結(jié)合AE=AD，即可證明四邊形ADFE為菱形；（2）連接DE，交AC于點O，首先根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AF⊥DE，OA=OF=12AF，利用面積法解得OE的值，再利用勾股定理解得OA=AE【詳解】解：問題原型：∵∠ACB=90°，AB=5，BC=3，∴AC=A∵CD⊥AB，∴S△ABC∴12解得CD=12故答案為：125操作一：∵CD⊥AB，AC=4，CD=12∴AD=A∵△ACD沿AC翻折得到△ACE，∴∠AEC=∠ADC=90°，CE=CD=125，∴四邊形AECD的周長=AE+CE+CD+AD=16故答案為：565操作二：（1）∵△ACE沿射線AB方向平移得到△DGF，∴由平移的性質(zhì)可得AE=DF，AE∥∴四邊形ADFE為平行四邊形，∵AE=AD，∴四邊形ADFE為菱形；（2）如下圖，連接DE，交AC于點O，∵四邊形ADFE為菱形，∴AF⊥DE，OA=OF=1∴S△ACE即12×16∴在Rt△AOE中，OA=∴AF=2OA=128∵△ACE沿射線AB方向平移得到△DGF，∴FG=CE=125，∴四邊形ADGF的周長=AF+FG+DG+AD=128【點睛】本題主要考查了平移的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、勾股定理、菱形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握折疊的性質(zhì)和平移的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．5．（2023·山東青島·三模）已知：如圖①，△ABC為邊長為2的等邊三角形，D、E、F分別為AB、AC、BC中點，連接DE、DF、EF．將△BDF向右平移，使點B與點(1)設(shè)△ADE、△BDF、△EFC的面積分別為S1、S2、S3，則S1+S2+S(2)已知：如圖③，∠AOB=∠COD=∠EOF=60°，AD=CF=BE=2，設(shè)△ABO、△FEO、△CDO的面積分別為S1、S2、【答案】(1)<(2)結(jié)論成立，理由見解析【分析】（1）利用等邊三角形的性質(zhì)，證明△ADE∽△ABC,△BDF∽△ABC,△EFC∽△ABC，求出△ABC的面積，即可得到（2）延長OB到H使BH=OE，延長OA到G使AG=OD，連接HG，證明△GHO是等邊三角形，且面積為3，再證明△MGA≌△CODSAS【詳解】（1）解：∵D、E、F分別為AB、AC、∴DE=BF=CF=AD=AE=BD=GC=DF=EF=1，∴△ADE、△BDF、△EFC都是邊長為1的等邊三角形，∴△ADE∽∴DE∴△ADE、△BDF、△EFC的高等于△ABC高的12∴△ADE、△BDF、△EFC的面積都等于△ABC面積的14如圖，設(shè)△ABC的高為h，∵∠ABC=60°,AB=2，∴?=AB·sin∴S∵S∴S故答案為：<；（2）結(jié)論成立證明：延長OB到H使BH=OE，延長OA到G使AG=OD，連接HG，∵OA+AG=OA+DO=AD=2OB+BH=OB+OE=BE=2∠AOB=60°∴△GHO是等邊三角形∵OG=OH=HG=2∴在HG上取點M，使MG=OC∵HM+MG=HG=2OC+OF=CF=2∴HM=OF在△MGA和△COD中，MG=CO∠G=∠COD=60°∴△MGA≌同理可證：△MHB≌∴S2由圖形可知：S△ABO∴即S1【點睛】本題中綜合考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形等知識點，由于知識點比較多，本題的難度比較大．6．（2023·遼寧沈陽·三模）在平面直角坐標系中，△DOE是等腰直角三角形，∠ODE=90°，DO=DE=3，點D在x軸的負半軸上，點E在第二象限，矩形ABCO的頂點B4，2，點C在x軸的正半軸上，點A在y軸的正半軸上．將△DOE沿x軸向右平移，得到△D'

(1)如圖1，當E'O'經(jīng)過點A(2)設(shè)OO'=t，△D'①如圖②，當△D'O'E'與矩形ABCO重疊部分為五邊形時，D'E'與AB相交于點M，E'O'分別與AB，BC②請直接寫出滿足S=72的所有t的值【答案】(1)y=?x+2(2)①S=?12t2+4t?4，4<t<6【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)可得△AOO'是等腰直角三角形，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得OO（2）①根據(jù)S=S矩形BCD'M?S△BPN，即可求得S=?12t2+4t?4，再結(jié)合題意列不等式組即可求得4<t<6；②分五種情況討論：當0<t≤2時，△D'O'E'與矩形ABCO重疊部分為三角形；當2<t<3【詳解】（1）解：如圖①，當E'O'，∵矩形ABCO的頂點B4∴OA=BC=2，由平移的性質(zhì)可得：△D∴∠E∵∠AOO∴△AOO∴OO∴A0設(shè)直線O'A的解析式為將A0，2解得：k=?1b=2∴直線O'A的解析式為：（2）解：①如圖②，當△D'O

∵矩形ABCO中，AB=OC=4，∴四邊形BCD設(shè)OO'=t∴CD'=∵∠O∴△BPN是等腰直角三角形，∴BN=BP=6?t，∴S=S∵t>4∴4<t<6；②當0<t≤2時，△D'O

重疊部分的面積為：S=S∵S=7∴12t∵0<t≤2，∴t=±7不符合題意，此時重疊部分面積不可能為7當2<t<3時，△D'O

則OD∴S=S∴2t?2=7解得：t=11∵2<t<3，∴t=11當3≤t≤4時，重疊部分為梯形，S=12×當4<t<6時，△D'O由①知：S=?1∴?1解得：t1=3（舍去），當6≤t<7時，重疊部分為矩形BCD

∵CD∴S=S當27?t=7綜上所述，滿足S=72的所有t的值為【點睛】本題是矩形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，平移變換的性質(zhì)，三角形、梯形、矩形面積，代定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式等知識，解題關(guān)鍵是運用數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想．題型03與三角形有關(guān)的翻折問題7．（2023·江蘇鹽城·模擬預(yù)測）如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=4，點E、F分別在直線AC、邊BC上，連接EF，將△CEF沿著EF翻折，點C落在邊AB上的點D處.過點D作DM⊥AB，交直線AC于M(1)AC=______，BC=_______；(2)當CF=CE時，求證：△EMD≌△FBD；(3)當CMCE=1(4)連接CD交EF于點P，當AP+BP取最小值=_______時，EF的值為_________【答案】(1)2；2(2)見解析(3)AD=3?5或(4)19，1421【分析】本題考查了全等三角形的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，（1）解直角三角形ABC求得結(jié)果；（2）可推出∠AMD=∠B，DE=CE=CF=DF，∠EDM=∠BDF，從而得出結(jié)論；（3）分為兩種情形：當點M在CE上時，作FG⊥AB于G，可證得△EMD∽△FBD，從而?DFBF=DEEM=2，進而求得DF，BF，解三角形BDF求得BG和DG，進而求得結(jié)果；當點M在（4）由CP=DP得出點P在△ABC的一條中位線所在的直線l上運動，作點A關(guān)于直線l的對稱點X，連接BX，交l于點P'，當點P在P'處時，D在V處，AP+PB最小為BX的值，在Rt△ACX中求得AX的值，進而求得BX，連接CX，作VS⊥BC于S，可得△CXP'≌△VBP'，從而求得BV=CX=1，依次求出VS，BS，CS，CV，CP'，根據(jù)△CFP'∽△CVS得出CFCV【詳解】（1）解：Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=4∴AC=4?cos60°=2，故答案為：2，23（2）證明：∵DM⊥AB，∠ACB=90°，∴∠ADM=90°，∠A+∠B=90°，∴∠A+∠AMD=90°，∴∠AMD=∠B，由折疊得：∠EDF=90°，DF=CF，DE=CE，∴∠EDF=∠BDM=90°，DE=DF，∴∠EDM=∠BDF，∴△EMD≌△FBD(AAS)（3）解：如圖1，當點M在CE上時，作FG⊥AB于G，由上知：∠AMD=∠B，∠EDM=∠BDF，∴△EMD∽△FBD，∴?DF∵DE=CE，CMCE∴DFBF∵CF=DF，BC=23∴BF=233∴BG=233∴DG=D∴AD=AB?BG?DG=4?1?5如圖2，當點M在EC的延長線上時，作FH⊥AB于H，同理上可知：?DF∵CF=DF，CF+BF=23∴BF=35×2∴FH=335∴DH=(∴AD=4?9綜上所述：AD=3?5或11?（4）解：如圖3，由對稱可得：CP=DP，∴點P在△ABC的一條中位線所在的直線l上運動，作點A關(guān)于直線l的對稱點X，連接BX，交l于點P'，當點P在P'處時，D在V處，AP+PB最小為BX的值，∵AX=AC?cos∴BX=A連接CX，作VS⊥BC于S，∵CP'又CX∥AB，則∴△CXP∴BV=CX=AC?sin∴VS=12BV=∴CS=BC?BS=23∴CV=V∴CP=CV∵∠BCA=90°，VS⊥BC∴VS∴△CFP∴CFCV∴CF7∴CF=7∵VS∴△CSV∽△ECF，∴EFCV∴EF7∴EF=14故答案為：19，14218．（2023·重慶·模擬預(yù)測）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，過B點作BE⊥AC于點E，點D為線段AC的中點，連接BD(1)如圖1，AB=2，AC=6，求(2)如圖2，將線段DB繞著點D逆時針旋轉(zhuǎn)45°得到線段DG，此時DG⊥AC，連接BG，點F為BG的中點，連接EF，求證：BC=2EF；(3)如圖3，∠ACB=30°，AB=3，點P是線段BD上一點，連接AP，將△APB沿AP翻折到同一平面內(nèi)得到△APB'，連接CB'，將線段繞點CB'順時針旋轉(zhuǎn)60°得線段【答案】(1)ED=(2)見解析(3)9【分析】（1）證明△ABE∽△ACB，利用相似三角形的性質(zhì)求出AE=23，則（2）過點D作DH⊥BC于點H，過點F作FJ⊥AC于點J．連接FD，則BE∥FJ∥GD，先證明FE=DF，進一步證明BD=AD=DC，再證明∠DBH=∠BDF=22.5°，即可證明△BFD≌△DHB，得到DF=BF，則BH=EF，再證明BH=HC，即可證明BC=2EF；（3）如圖3中，以AC為邊向上作等邊三角形ACK，連接BK，證明△ACB'≌△KCQ，得到AB'=QK，則QK=3，求出BK=37，則BQ的最小值為37?3，此時B．Q．K共線，作CJ⊥BK【詳解】（1）解：∵BE⊥AC，∴∠AEB=∠CEB=90°，∵∠A=∠A，∴△ABE∽△ACB，∴ABAE=∴AE=2∵點D為線段AC的中點，∴AD=DC=1∴DE=AD?AE=7（2）證明：過點D作DH⊥BC于點H，過點F作FJ⊥AC于點J．連接FD．

∵BE⊥AC，∴BE∥FJ∥GD，∵BF=FG，∴EJ=JD，∴FE=DF，∵∠BDG=45°，∴∠EDB=45°，∵∠ABC=90°，∴BD=AD=DC，∵∠ADB=∠DBC+∠DCB=45°，∴∠DBC=∠DCB=22.5°，∵DB=DG，∴∠BDF=∠GDF=22.5°，∴∠DBH=∠BDF=22.5°，∵BD=DB，∴△BFD≌△DHBAAS∴DF=BH，∴BH=EF，∵DB=DC，∴BH=HC，∴BC=2EF；（3）解：如圖3中，以AC為邊向上作等邊三角形ACK，連接BK．

∵∠B∴∠ACB∵CA=CK，∴△ACB∴AB∵AB=AB∴QK=3，∵∠ABC=90°，∴AC=CK=2AB=6，∴BK=C∵BQ≥BK?QK=37∴BQ的最小值為37?3，此時B．Q．作CJ⊥BK于點J，∵12∴CJ=3∴此時△BCQ的面積=1【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定等等，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．9．（2023·重慶渝北·二模）等邊△ABC中，點D為直線AB上一動點，連接DC．

(1)如圖1，在平面內(nèi)將線段DC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段CE，連接BE，若D點在AB邊上，且DC=5，tan∠ACD=1(2)如圖2，若點D在AB延長線上，點G為線段DC上一點，點F在CB延長線上，連接FG、AG．在點D的運動過程中，若∠GAF+∠ABF=180°，且FB?BD=AC，猜想線段CG與線段DG之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．(3)如圖3，將△BDC沿直線BC翻折至△ABC所在的平面內(nèi)得到△BD'C，M點在AB邊上，且AM=14AB，將MA繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)120°得到線段AN，點H是直線AC上一動點，將△MNH沿直線MH翻折至△MNH所在平面內(nèi)得到△MN'H，在點D【答案】(1)23(2)DG=CG，證明見解析(3)21【分析】（1）作DF⊥AC，在Rt△DFC中，由tan∠ACD=12，求出DF長度，結(jié)合∠BAC=60°，求出（2）作CH∥AB，與AG延長線交于點H，連接DH，由CH∥AB，可得∠ABF=∠ACH=120°，結(jié)合∠GAF+∠ABF=180°，可得∠FAB=∠HAC，由△FAB≌△HACASA，得到FB=CH，結(jié)合FB?BD=AC（3）根據(jù)折疊的性質(zhì)，找到D'的軌跡，根據(jù)垂線段最短，確定MN'的位置，進而求出BD'、BD、AN、NH的長度，作DE∥N'H【詳解】（1）解：過點D，作DF⊥AC，于點F，

∵DC=5，tan設(shè)AF=a，則FC=2a，在Rt△DFC中，DF2+FC∴DF=a=1，F(xiàn)C=2a=2，∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC=∠ACB=60°，CA=CB，∴AD=DF∵DC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段CE，∴∠DCE=60°，CD=CE，∴∠ACB?∠DCB=∠DCE?∠DCB，即：∠ACD=∠BCE，∴△ACD≌△BCESAS∴AD=BE=2故答案為：BE的長度是23（2）解：過點C作CH∥AB，與AG延長線交于點H，連接

∵∠ABC=∠BAC=60°，CH∥∴∠ABF=120°，∠BAC+∠ACH=180°，即：∠ABF=∠ACH=120°，∵∠GAF+∠ABF=180°，∴∠GAF=60°，∴∠GAF?∠BAG=∠BAC?∠BAG，即：∠FAB=∠HAC，又∵AB=AC，∴△FAB≌△HACASA∴FB=CH，∵FB?BD=AC，即：FB=AC+BD，∴CH=FB=AC+BD=AB+BD=AD，∴四邊形DACH為平行四邊形，∴DG=CG，（3）解：過點B作GI∥AC，連接MD'、N'D，過點D作DE∥N'H，交AC延長線于點

∵GI∥AC，∴∠IBC=∠BCA=∠ABC=60°，∴直線AB與直線GI關(guān)于直線BC對稱，即：D'的運動軌跡為直線GI∵N'D'當MD'⊥GI，點N'在線段MD∵將MA繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)120°得到線段AN，AM=14AB∴∠NAM=120°，AN=AM=14AB=∴MN=MN'=由折疊的性質(zhì)可知，∠NMH=∠N∵∠N∴∠NMH?∠NMA=∠N'MH?∠∴∠NMH=∠AMN+∠AMH=30°+90°=120°，∴N'H=NH=3∴∠NHN∵DE∥∴S△DN'H=∴AD?AB=AE?AC，即BD=CE=3∴HE=AC?AH+CE=AC?NH?AN∴HF=3∴S△D故答案為：213【點睛】本題考查了，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)與判定，折疊的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）證明△ACD≌△BCESAS，解△DAC；（2）找到△FAB≌△HACASA；（3）找到D'的運動軌跡，N題型04與三角形有關(guān)的旋轉(zhuǎn)問題10．（2023·重慶九龍坡·模擬預(yù)測）在等腰△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，將斜邊AC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度得到線段AD，AD交BC于點G，過點C作CF⊥AD于點F．(1)如圖1，當旋轉(zhuǎn)22.5°時，若BG=1，求AC的長；(2)如圖2，當旋轉(zhuǎn)30°時，連接BD，CD，延長CF交BD于點E，連接EG，求證：AG=CE+EG；(3)如圖3，點M是AC邊上一動點，在線段BM上存在一點N，使NB+NA+NC的值最小時，若NA=2，請直接寫出△CNM的面積．【答案】(1)2+(2)見解析(3)3【分析】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是會添加輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學會轉(zhuǎn)化的思想思考問題（1）過點G作GH⊥AC于點H，得到HG=BG=1，即可求得CG=2，再由BC=AB=BG+CG，勾股定理求得AC（2）延長CF交AB于點T，連接BT，求得Rt△AGB≌Rt△CTB，可得AG=CT，BT=BG，由BD∥（3）將△BCN繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△BPQ，連接NQ、AP，當點P、Q、N、A四點共線時，NB+NA+NC的值最小，此時BM是等腰直角三角形ABC的一條中線，即可求得△CNM的面積【詳解】（1）解：如圖1，當旋轉(zhuǎn)22.5°時，則∠CAG=∠GAB=22.5°，過點G作GH⊥AC于點H，則GH=BG=1，在等腰Rt△CGH中，∠BCA=45°則CG=2則BC=BG+CG=2在等腰Rt△ABCAC=2（2）證明：如圖2，過點D作DM⊥AC于點M，過點B作BN⊥AC于點N，∵∠DAM=30°，∴DM=∵∠ABC=90°，AB=AC，∴BN=而AC=AD，∴DM=BN又DM⊥AC，BN⊥AC，∴四邊形BDMN是矩形∴BD延長CE交BA的延長線于點T，∵CF⊥AD，∴∠CFG=∠ABC=90°，∵∠AGB=∠CGF，∴∠TCG=∠GAB，∵∠ABG=∠CBT=90°，BA=BC，∴△ABG≌△CBT∴AG=CT，BG=BT，∵BD∥∴∠EBG=∠ACB=45°，則∠EBT=90°?∠EBG=45°=∠EBG，∵BT=BG，BE=BE，∴△BEG≌∴ET=EG，∴AG=CT=CE+ET=CE+EG；（3）解：如圖3，將△CBN繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△PBQ，連接QN，AP．則PQ=CN，△BQN是等邊三角形，∴BN=NQ，∠BNQ=∠BQN=60°，∵CN+AN+BN=PQ+QN+NA≥AP，∴當P，Q，N，A共線時，NC+BN+AN的值最?。藭r∠ABP=90°+60°=150°，PB=AB，∠BAN=15°，并且△BQN是等邊三角形，∠BNQ=60°，∴∠ABN=60°?15°=45°，∵∠ABC=90°，∴∠ABN=∠CBN=45°，∵BA=BC，∴BM⊥AC，且CM=AM又∠MAN=45°?15°=30°，∴NM=12AN=1∴CM=AM=3∴△CNM的面積=111．（2023·貴州貴陽·二模）在△ABC中，∠CAB=90°，在△ADE中，∠EAD=90°，已知Rt△ABC和Rt△ADE有公共頂點A，連接BD和(1)如圖①，若AB=AC，AD=AE，當△ABC繞點A旋轉(zhuǎn)α0°<α<360°，BD和CE(2)如圖②，若AD:AE=AB:AC=1:3，當Rt△ABC繞點A旋轉(zhuǎn)α0°<α<360°，（1）中BD(3)在（2）的條件下，若AD=23，AB=3，在旋轉(zhuǎn)過程中，當C，B，D三點共線時，請直接寫出【答案】(1)BD=CE，BD⊥CE(2)CE=3BD，(3)313?1【分析】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識：（1）根據(jù)SAS證明△BAD≌△CAE得BD=CE，再證明∠OAD=∠EHO=90°，可得BD⊥CE；（2）延長DB交CE于H，與AE交于O，證明△BAD∽△CAE可得結(jié)論；（3）分兩種情況討論：運用相似三角形的性質(zhì)求出AC，AE，由勾股定理求出DE，在Rt△ECD中，運用勾股定理求出BD，從而可求出CE【詳解】（1）證明：如圖，延長DB交CE于H，與AE交于O∵△ADE和△ABC是等腰直角三角形，∴AB=AC，AD=AE，又∠CAE+∠EAB=∠DAB+∠EAB=90°,∴∠BAD=∠CAE，∴△BAD≌△CAESAS∴BD=CE，∠BDA=∠CEA，∵∠DOA=∠HOE，∴∠OAD=∠EHO=90°，∴CE⊥BD，故答案為：BD=CE，BD⊥CE；（2）解：CE=3BD，延長DB交CE于H，與AE交于O，∵ADAE=AB∴△BAD∽△CAE，∴BDCE=1∴CE=3∵∠BOA=∠EOH，∴∠OAD=∠EHO=90°，∴BD⊥CE綜上BD⊥CE，CE=（3）解：①如圖：由（2）知△BAD∽△CAE，BDCE=AB∵AB=3∴AC=3，在Rt△ABC中，由勾股定理得BC=∵AD=23∴AE=6在Rt△AED中，由勾股定理得DE=∵C，B，D三點共線，且∠ECD=90°∴在Rt△ECD中，由勾股定理得即4∴BD=39∴CE=3②如圖：由（2）知△BAD∽△CAE，BDCE=AB∵AB=3∴AC=3，由勾股定理得BC=A∵AD=23∴AE=6，在Rt△AED中，DE=∵C，B，D三點共線，且∠ECD=90°，∴在Rt△ECD中，由勾股定理得D即43∴BD=39+∴CE=3綜上，當C，B，D三點共線時，CE的長度為313?1212．（2023·廣東云浮·三模）閱讀下面材料：小明遇到這樣一個問題：如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D、E在邊BC上，∠DAE=45°．若BD=3，CE=1，求DE小明發(fā)現(xiàn)，將△ABD繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到△ACF，連接EF（如圖2），由圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)以及∠DAE=45°，可證△FAE≌△DAE，得FE=DE．解△FCE，可求得FE（即DE）的長．(1)請回答：在圖2中，∠FCE=_______，DE=_______(2)參考小明思考問題的方法，解決下列問題：①已知：如圖3，正方形ABCD，BM，DN分別平分正方形的兩個外角，且滿足∠MAN=45°，連接MN，若以BM、DN、MN為三邊圍成三角形，則該三角形的形狀是_______．②如圖4，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分別是邊BC、CD上的點，且∠EAF=12∠BAD．猜想線段BE、EF【答案】(1)90°，10(2)①直角三角形；②線段BE、EF、DF之間的數(shù)量關(guān)系為：EF=BE+DF，理由見解析【分析】（1）先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得到∠FCE=90°，進而利用勾股定理求得EF=10，證明△FAE≌△DAESAS證得（2）①將△ABM繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°，使AB與AD重合，得到△ADF，連接NF交AD的延長線于P，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)和正方形的性質(zhì)證得△FDN是直角三角形，F(xiàn)D=BM，再證明△FAN≌△MANSAS，得到MN=FN②將△ABE繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使AB與AD重合，得到△ADG，根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)和已知可證得BE=DG，點F，D，G在同一條直線上，同樣證明△AEF≌△AGFSAS，得到EF=FG，由FG=DG+DF=BE+DF【詳解】（1）解：∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠ACB=45°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：∠ACF=∠B=45°，CF=BD=3，AF=AD，∠BAD=∠CAF，∴∠FCE=∠ACF+∠ACB=45°+45°=90°，在Rt△EFC中，EF=∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，∴∠BAD+∠CAE=45°，∴∠CAF+∠CAE=45°，即∠FAE=45°，∴∠FAE=∠DAE，在△FAE和△DAE中，AF=AD∠FAE=∠DAE∴△FAE≌△DAESAS∴EF=DE，∴DE=10故答案為：90°，10；（2）解：①BM、DN、MN為三邊圍成三角形，則該三角形的形狀是直角三角形，理由如下：將△ABM繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°，使AB與AD重合，得到△ADF，連接NF交AD的延長線于P，如圖3所示：∴AF=AM，DF=BM，∠DAF=∠BAM，∠ADF=∠ABM，∵正方形ABCD，BM、DN分別平分正方形的兩個外角，∴∠ABM=90°+45°=135°，∠PDN=45°，∠BAD=90°，∴∠ADF=135°，∴∠FDP=180°?135°=45°，∴∠FDP+∠PDN=45°+45°=90°，∴∠FDN=90°，∴△FDN是直角三角形，∵∠MAN=45°，∵∠BAM+∠DAN=45°，∴∠DAF+∠DAN=45°，即∠FAN=45°，∴∠FAN=∠MAN，在△FAN和△MAN中，AF=AM∠FAN=∠MAN∴△FAN≌△MANSAS∴MN=FN，∵FD=BM，F(xiàn)N=MN，∴以BM，DN，MN為三邊圍成的三角形為直角三角形，故答案為：直角三角形；②線段BE，EF，DF之間的數(shù)量關(guān)系為：EF=BE+DF，理由如下：將△ABE繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使AB與AD重合，得到△ADG，如圖4所示：∴BE=DG，AE=AG，∠DAG=∠BAE，∠B=∠ADG，∵∠B+∠ADC=180°，∴∠ADG+∠ADC=180°，即點F，D，G在同一條直線上，∵∠DAG=∠BAE，∴∠GAE=∠BAD，∵∠EAF=1∴∠GAF=∠EAF，在△AEF和△AGF中，AF=AC∠EAF=∠GAF∴△AEF≌△AGFSAS∴EF=FG，∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF．【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、正方形的性質(zhì)、直角三角形的判定等知識，熟練掌握相關(guān)知識的聯(lián)系與運用，利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)構(gòu)造全等三角形求解是解答的關(guān)鍵．題型05與三角形有關(guān)的全等/相似問題13．（2023·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）【問題探究】（1）如圖1，BD、AC相交于點P，連接BC、AD，且∠1=∠2，若PB=6，PC=3，PD=4，則PA的長為______；（2）如圖2，∠MON=120°，點P是∠MON平分線上的一個定點，點A、B分別在射線OM、ON上，且∠APB=60°，求證：四邊形OAPB的面積是定值；【拓展運用】（3）如圖3，某創(chuàng)業(yè)青年小李租用一塊形如四邊形ABCD的田地養(yǎng)蜂、產(chǎn)蜜與售蜜，其中AD∥BC，∠B=90°，AB=120米，AD=60米，BC=110米，點E為入口，點E在AB上，且AE=AD，小李計劃過點E修一條垂直于CD的筆直小路EF，將田地分為兩部分，四邊形AEFD區(qū)域為蜂巢區(qū)，四邊形BCFE區(qū)域為蜂源植物生長區(qū)，在點F處設(shè)立售蜜點，為了方便取蜜，計劃再沿AF修一條筆直的小路AF，直接寫出小路【答案】（1）8；（2）證明見解析；（3）7202【分析】（1）根據(jù)8字型模型證明兩個三角形相似即可解答；（2）過點P分別作OM、ON的垂線，垂足分別為C、D，證明△PAC≌△PBDAAS，可得AC=BD，再證明Rt△PCO≌Rt△PDOHL（3）過點A作AG⊥EF于點G，過點A作CD的垂線，交CD的延長線于點H，可得四邊形AGFH是矩形，證明四邊形AGFH是正方形，再過點C作AD的垂線，交AD的延長線于點M，可得四邊形ABCM是矩形，證明△CDM∽△ADH，對應(yīng)邊成比例求出AH的長，進而可以解決問題．【詳解】（1）解：∵∠1=∠2，∠APD=∠BPC，∴△DAP∽△CBP，∴PD∴4∴PA=8．故答案為：8；（2）證明：如圖2，過點P分別作OM、ON的垂線，垂足分別為C、D，∴∠ACP=∠BDP=90°，∵OP平分∠MON，PC⊥OM，PD⊥ON，∴PC=PD，∵∠AOP=∠BOP=60°，∠APB=60°，∠MON=120°，∴∠PAO+∠PBO=180°，∵∠PBO+∠PBD=180°，∴∠PAC=∠PBD，∴△PAC≌△PBDAAS∴AC=BD，在Rt△PCO和Rt△PDO中，PC=PD，∴Rt∴OC=OD，在Rt△PCO中，∠POC=60°∴∠OPC=30°，∴CO=1∴PC=3∴四邊形OAPB的面積=S∵PC=PD=32OP∴四邊形OAPB的面積=1∵點P是∠MON平分線上的一個定點，即OP為定長，∴四邊形OAPB的面積是定值；（3）解：如圖3，過點A作AG⊥EF于點G，過點A作CD的垂線，交CD的延長線于點H，