專題10 三角形壓軸（測(cè)試）

專題10三角形壓軸目錄TOC\o"1-3"\n\h\z\u真題演練題型01與三角形有關(guān)的多結(jié)論問題（選/填）題型02與三角形有關(guān)的平移問題題型03與三角形有關(guān)的翻折問題題型04與三角形有關(guān)的旋轉(zhuǎn)問題題型05與三角形有關(guān)的全等/相似問題題型06與三角形有關(guān)的最值問題題型07與三角形有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題題型08與三角形有關(guān)的新定義問題題型09與三角形有關(guān)的閱讀理解問題題型10與三角形有關(guān)的存在性問題題型11三角形與幾何圖形綜合題型12三角形與函數(shù)綜合模擬集訓(xùn)

真題演練題型01與三角形有關(guān)的多結(jié)論問題（選/填）1．（2023·陜西寶雞·一模）如圖，在△ABC中，分別以AC，BC為邊作等邊△ACD和等邊△BCE．設(shè)△ACD，△BCE，△ABC的面積分別是S1,S2,S3現(xiàn)有如下結(jié)論：①S1:S2=AC

A．①② B．①③ C．①②③ D．②③2．（2023·浙江湖州·二模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，點(diǎn)D，E分別是邊AB和BC上的兩點(diǎn)，連結(jié)DE，將△BDE沿DE折疊，點(diǎn)B恰好落在AC的中點(diǎn)M處，BM與DE交于點(diǎn)F．下列三個(gè)結(jié)論：①DF=EF；②DM⊥AM；③tan∠CME=113．（2023·遼寧撫順·三模）如圖，在△ABC中，∠BAC=45°，CD⊥AB于點(diǎn)D，AE⊥BC于點(diǎn)E，AE與CD交于點(diǎn)F，連接BF，DE，下列結(jié)論中：①AF=BC；②2cos∠DEB=12，③AE?CE=2ED

題型02與三角形有關(guān)的平移問題4．（2023·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）【問題原型】如圖①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB．若AB=5，BC=3，則CD的長(zhǎng)為________【操作一】如圖，②，將圖①中的，△ACD沿AC翻折得到△ACE，則四邊形AECD的周長(zhǎng)為________；【操作二】如圖③，將圖②中的△ACE沿射線AB方向平移，使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，得到△DGF，點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F．（1）求證：四邊形ADFE是菱形；（2）直接寫出四邊形ADGF的周長(zhǎng)．5．（2023·山東青島·三模）已知：如圖①，△ABC為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，D、E、F分別為AB、AC、BC中點(diǎn)，連接DE、DF、EF．將△BDF向右平移，使點(diǎn)B與點(diǎn)(1)設(shè)△ADE、△BDF、△EFC的面積分別為S1、S2、S3，則S1+S2+S(2)已知：如圖③，∠AOB=∠COD=∠EOF=60°，AD=CF=BE=2，設(shè)△ABO、△FEO、△CDO的面積分別為S1、S2、6．（2023·遼寧沈陽·三模）在平面直角坐標(biāo)系中，△DOE是等腰直角三角形，∠ODE=90°，DO=DE=3，點(diǎn)D在x軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)E在第二象限，矩形ABCO的頂點(diǎn)B4，2，點(diǎn)C在x軸的正半軸上，點(diǎn)A在y軸的正半軸上．將△DOE沿x軸向右平移，得到△D'

(1)如圖1，當(dāng)E'O'經(jīng)過點(diǎn)A(2)設(shè)OO'=t，△D'①如圖②，當(dāng)△D'O'E'與矩形ABCO重疊部分為五邊形時(shí)，D'E'與AB相交于點(diǎn)M，E'O'分別與AB，BC②請(qǐng)直接寫出滿足S=72的所有t的值題型03與三角形有關(guān)的翻折問題7．（2023·江蘇鹽城·模擬預(yù)測(cè)）如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=4，點(diǎn)E、F分別在直線AC、邊BC上，連接EF，將△CEF沿著EF翻折，點(diǎn)C落在邊AB上的點(diǎn)D處.過點(diǎn)D作DM⊥AB，交直線AC于M(1)AC=_____，BC=________；(2)當(dāng)CF=CE時(shí)，求證：△EMD≌△FBD；(3)當(dāng)CMCE=1(4)連接CD交EF于點(diǎn)P，當(dāng)AP+BP取最小值=_時(shí)，EF的值為_．8．（2023·重慶·模擬預(yù)測(cè)）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，過B點(diǎn)作BE⊥AC于點(diǎn)E，點(diǎn)D為線段AC的中點(diǎn)，連接BD(1)如圖1，AB=2，AC=6，求(2)如圖2，將線段DB繞著點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到線段DG，此時(shí)DG⊥AC，連接BG，點(diǎn)F為BG的中點(diǎn)，連接EF，求證：BC=2EF；(3)如圖3，∠ACB=30°，AB=3，點(diǎn)P是線段BD上一點(diǎn)，連接AP，將△APB沿AP翻折到同一平面內(nèi)得到△APB'，連接CB'，將線段繞點(diǎn)CB'順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得線段9．（2023·重慶渝北·二模）等邊△ABC中，點(diǎn)D為直線AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接DC．

(1)如圖1，在平面內(nèi)將線段DC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段CE，連接BE，若D點(diǎn)在AB邊上，且DC=5，tan∠ACD=1(2)如圖2，若點(diǎn)D在AB延長(zhǎng)線上，點(diǎn)G為線段DC上一點(diǎn)，點(diǎn)F在CB延長(zhǎng)線上，連接FG、AG．在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過程中，若∠GAF+∠ABF=180°，且FB?BD=AC，猜想線段CG與線段DG之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．(3)如圖3，將△BDC沿直線BC翻折至△ABC所在的平面內(nèi)得到△BD'C，M點(diǎn)在AB邊上，且AM=14AB，將MA繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到線段AN，點(diǎn)H是直線AC上一動(dòng)點(diǎn)，將△MNH沿直線MH翻折至△MNH所在平面內(nèi)得到△MN'H，在點(diǎn)D題型04與三角形有關(guān)的旋轉(zhuǎn)問題10．（2023·重慶九龍坡·模擬預(yù)測(cè)）在等腰△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，將斜邊AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度得到線段AD，AD交BC于點(diǎn)G，過點(diǎn)C作CF⊥AD于點(diǎn)F．(1)如圖1，當(dāng)旋轉(zhuǎn)22.5°時(shí)，若BG=1，求AC的長(zhǎng)；(2)如圖2，當(dāng)旋轉(zhuǎn)30°時(shí)，連接BD，CD，延長(zhǎng)CF交BD于點(diǎn)E，連接EG，求證：AG=CE+EG；(3)如圖3，點(diǎn)M是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，在線段BM上存在一點(diǎn)N，使NB+NA+NC的值最小時(shí)，若NA=2，請(qǐng)直接寫出△CNM的面積．11．（2023·貴州貴陽·二模）在△ABC中，∠CAB=90°，在△ADE中，∠EAD=90°，已知Rt△ABC和Rt△ADE有公共頂點(diǎn)A，連接BD和(1)如圖①，若AB=AC，AD=AE，當(dāng)△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)α0°<α<360°，BD和CE(2)如圖②，若AD:AE=AB:AC=1:3，當(dāng)Rt△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)α0°<α<360°，（1）中BD(3)在（2）的條件下，若AD=23，AB=3，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)C，B，D三點(diǎn)共線時(shí)，請(qǐng)直接寫出12．（2023·廣東云浮·三模）閱讀下面材料：小明遇到這樣一個(gè)問題：如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D、E在邊BC上，∠DAE=45°．若BD=3，CE=1，求DE小明發(fā)現(xiàn)，將△ABD繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到△ACF，連接EF（如圖2），由圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)以及∠DAE=45°，可證△FAE≌△DAE，得FE=DE．解△FCE，可求得FE（即DE）的長(zhǎng)．(1)請(qǐng)回答：在圖2中，∠FCE=_______，DE=__________；(2)參考小明思考問題的方法，解決下列問題：①已知：如圖3，正方形ABCD，BM，DN分別平分正方形的兩個(gè)外角，且滿足∠MAN=45°，連接MN，若以BM、DN、MN為三邊圍成三角形，則該三角形的形狀是_______．②如圖4，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF=12∠BAD．猜想線段BE、EF題型05與三角形有關(guān)的全等/相似問題13．（2023·遼寧沈陽·模擬預(yù)測(cè)）【問題探究】（1）如圖1，BD、AC相交于點(diǎn)P，連接BC、AD，且∠1=∠2，若PB=6，PC=3，PD=4，則PA的長(zhǎng)為______；（2）如圖2，∠MON=120°，點(diǎn)P是∠MON平分線上的一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)A、B分別在射線OM、ON上，且∠APB=60°，求證：四邊形OAPB的面積是定值；【拓展運(yùn)用】（3）如圖3，某創(chuàng)業(yè)青年小李租用一塊形如四邊形ABCD的田地養(yǎng)蜂、產(chǎn)蜜與售蜜，其中AD∥BC，∠B=90°，AB=120米，AD=60米，BC=110米，點(diǎn)E為入口，點(diǎn)E在AB上，且AE=AD，小李計(jì)劃過點(diǎn)E修一條垂直于CD的筆直小路EF，將田地分為兩部分，四邊形AEFD區(qū)域?yàn)榉涑矃^(qū)，四邊形BCFE區(qū)域?yàn)榉湓粗参锷L(zhǎng)區(qū)，在點(diǎn)F處設(shè)立售蜜點(diǎn)，為了方便取蜜，計(jì)劃再沿AF修一條筆直的小路AF，直接寫出小路14．（2023·安徽合肥·一模）如圖，已知△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D、E分別在AC,AB上，且CD=AE，BD與CE相交于點(diǎn)P．

(1)求證：△ACE≌△CBD；(2)如圖2，將△CPD沿直線CP翻折得到對(duì)應(yīng)的△CPM，過C作CG∥AB，交射線PM于點(diǎn)G，PG與BC相交于點(diǎn)F，連接BG．①試判斷四邊形ABGC的形狀，并說明理由；②若四邊形ABGC的面積為63，PF=1，求CE15．（2023·重慶萬州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，過點(diǎn)C作CD∥AB交過點(diǎn)B的直線于點(diǎn)D，∠ABD=30°，直線BD交AC于(1)如圖1，若AB=2，求BD的長(zhǎng)；(2)如圖2，過點(diǎn)A作AG⊥BD交BD于點(diǎn)G，交BC的延長(zhǎng)線于E，取線段AB的中點(diǎn)F，連接GF，求證：GF+3(3)在（2）的條件下，過點(diǎn)D作DP⊥AB交AB于點(diǎn)P，若點(diǎn)M是線段GF上任一點(diǎn)，連接BM，將△BGM沿BM折疊，折疊后的三角形記為△BG'M，當(dāng)3題型06與三角形有關(guān)的最值問題16．（2023·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）【問題提出】（1）如圖①，AB為⊙O的一條弦，圓心O到弦AB的距離為4，若⊙O的半徑為7，則⊙O上的點(diǎn)到弦AB的距離最大值為______；【問題探究】（2）如圖②，在△ABC中，∠BAC=60°,AD為BC邊上的高，若AD=6，求△ABC面積的最小值；【問題解決】（3）如圖③，在△ABC中，∠ABC=90°,BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，點(diǎn)P為BC上一點(diǎn)，BD=802米，∠CDP=45°．則四邊形ABPD17．（2023·河南周口·二模）已知在等腰△ABC中，AB=AC，D為BC中點(diǎn)，連接AD．分別以A、B為圓心，大于12AB的長(zhǎng)為半徑畫弧，在AB的兩側(cè)分別交于點(diǎn)M、N，連接MN，MN交AB于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，連接ED、(1)如圖1，若△ABC為正三角形，則∠DEC=__________；EDFC(2)如圖2，若AD=BC=2，EF的延長(zhǎng)線交AC于點(diǎn)P，求EDFC的值和FP(3)如圖3，若AD=BC=2，把圖2中的△AEF繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，直接寫出EDFC的值，以及BF18．（2023·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在銳角△ABC中，∠B=60°，點(diǎn)D，E分別是BC，AC上的動(dòng)點(diǎn)，連接AD，

(1)如圖1，若AB>BC，且BD=DE，AD平分∠BAC，求∠CED的度數(shù)．(2)如圖2，若AB=BC，在平面內(nèi)將線段AD繞點(diǎn)D順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60度得到線段DF，連接BF，過點(diǎn)F做FG⊥AB，垂足為點(diǎn)G，在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)過程中，猜想線段BD，BA，AG之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．(3)如圖3，若點(diǎn)H為AC下方一點(diǎn)，連接AH，CH，△ACH為等邊三角形，將△ACH沿直線AH翻折得到△AHP．M是線段PB上一點(diǎn)，將△PMH沿直線HM翻折得到△HMN，連接PN，當(dāng)線段PB取得最小值，且tan∠PHN=83題型07與三角形有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題19．（2023·吉林長(zhǎng)春·二模）在△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，點(diǎn)D是邊BC上的一點(diǎn)，且BD=2.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿折線BA?AC以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速運(yùn)動(dòng)，連結(jié)PD，作點(diǎn)B關(guān)于直線PD的對(duì)稱點(diǎn)B'，連結(jié)B'P、B'D.設(shè)點(diǎn)P

(1)線段CD的長(zhǎng)為______．(2)用含t的代數(shù)式表示線段AP(AP>0)的長(zhǎng)．(3)連結(jié)AB'，求(4)當(dāng)DB'∥AC20．（2023·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠A=30°,BC=4，動(dòng)點(diǎn)F從點(diǎn)A出發(fā)沿折線AC?CB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，在AC上的速度為每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度，在BC上的速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度．當(dāng)點(diǎn)F不與點(diǎn)C重合時(shí)，以CF為邊在點(diǎn)C的右上方作等邊△CFQ，設(shè)點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒），點(diǎn)F到AB的距離為?(1)AC=______；(2)求?與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍；(3)當(dāng)點(diǎn)F在AC邊上運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)Q到AB的距離為23?，求(4)作點(diǎn)Q關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)為Q'，當(dāng)以C,F,Q'21．（2023·吉林松原·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，∠A=∠B=30°，AC=2cm，CD⊥AB于點(diǎn)D．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)．以3cm/s的速度沿邊AB向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合時(shí)，過點(diǎn)P作PQ⊥AB交折線AC?CB于點(diǎn)Q，將線段PQ繞點(diǎn)Q逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段QM，連接PM，設(shè)點(diǎn)(1)直接寫出AB=______cm；(2)當(dāng)點(diǎn)Q在邊AC上時(shí)，CQ的長(zhǎng)為______cm（用含x的代數(shù)式表示）；(3)當(dāng)點(diǎn)M落在邊CD上時(shí)，求x的值；(4)在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，作點(diǎn)M關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)N，連接PN、MN，設(shè)四邊形PQMN與△ABC重疊部分圖形的面積為ycm2，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量題型08與三角形有關(guān)的新定義問題22．（2023·四川遂寧·一模）定義1：如圖1，若點(diǎn)H在直線l上，在l的同側(cè)有兩條以H為端點(diǎn)的線段MH、NH，滿足∠1=∠2，則稱MH和NH關(guān)于直線l滿足“光學(xué)性質(zhì)”；定義2：如圖2，在△ABC中，△PQR的三個(gè)頂點(diǎn)P、Q、R分別在BC、AC、AB上，若RP和QP關(guān)于BC滿足“光學(xué)性質(zhì)”，PQ和RQ關(guān)于AC滿足“光學(xué)性質(zhì)”，PR和QR關(guān)于AB滿足“光學(xué)性質(zhì)”，則稱△PQR為△ABC的光線三角形．閱讀以上定義，并探究問題：在△ABC中，∠A=30°，AB=AC，△DEF三個(gè)頂點(diǎn)D、E、F分別在BC、AC、AB上．(1)如圖3，若FE∥BC，DE和FE關(guān)于AC滿足“光學(xué)性質(zhì)”，求(2)如圖4，在△ABC中，作CF⊥AB于F，以AB為直徑的圓分別交AC，BC于點(diǎn)E，D．證明：△DEF為△ABC的光線三角形．23．（2023·浙江寧波·二模）定義：兩個(gè)相似三角形共邊且位于一個(gè)角的平分線兩側(cè)，則稱這樣的兩個(gè)相似三角形為疊似三角形．(1)如圖1，四邊形ABCD中，對(duì)角線AC平分∠BAD，∠BCD+12∠BAD=180°，求證：△ACB和△ADC(2)如圖2，△ACB和△ADC為疊似三角形，若AB∥CD，AD=4，(3)如圖3，在△ABC中，D是BC上一點(diǎn)，連接AD，點(diǎn)E在AD上，且DE=DC，F(xiàn)為AC中點(diǎn)，且∠BEC=∠AEF，若BC=9，AE=4，求EFBE24．（2023·山東青島·一模）定義：三角形一邊中線的中點(diǎn)和該邊的兩個(gè)頂點(diǎn)組成的三角形稱為中原三角形．如圖①，AD是△ABC的中線，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)，則△FBC是中原三角形．

(1)求中原三角形與原三角形的面積之比（直接寫出答案）．(2)如圖②，AD是△ABC的中線，E是邊AC上的點(diǎn)，AC=3AE，BE與AD相交于點(diǎn)F，連接CF．求證：△FBC是中原三角形．(3)如圖③，在（2）的條件下，延長(zhǎng)CF交AB于點(diǎn)M，連接ME，求△FEM與△ABC的面積之比．題型09與三角形有關(guān)的閱讀理解問題25．（2023·河南新鄉(xiāng)·二模）閱讀下列材料并并完成任務(wù)：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師讓同學(xué)們探究用尺規(guī)作圖作一條直線的平行線．如圖1，已知在∠AOB中，點(diǎn)M、N分別在射線OA、OB上，且OM＝ON，點(diǎn)P在線段OB上，求作直線PQ，使小琦的作圖方法：如圖2，連接MP，作∠QNP＝∠PMQ，NQ交OA于點(diǎn)Q，作直線PQ，則（1）①通過師生討論，小琦的解法得到贊同，下面是小琦不完整的證明過程請(qǐng)補(bǔ)充完成．∵∠PMO=∠QNP，OM＝ON，∴__________，∴__________，∴∠OPQ=1∵∠ONM=1∴__________，∴__________小穎：我認(rèn)為小琦的作圖方法很有創(chuàng)意，但是太麻煩了，可以改進(jìn)如下，作∠OMN的角平分線MC交OB于點(diǎn)P，作MP的垂直平分線EG交OM于點(diǎn)Q，則PQ∥MN．…任務(wù)：(1)小琦得出△PMO≌△QNO的依據(jù)是___________（填序號(hào)）．①SSS

②SAS

③AAS

④ASA(2)小穎的作法正確嗎？若正確，請(qǐng)加以證明；(3)如圖4，已知∠AOB＝30°，點(diǎn)M、N分別在射線OA、OB上，且OM＝ON，點(diǎn)P在線段OB上，點(diǎn)Q是射線OA上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)

26．（2023·河南南陽·二模）請(qǐng)閱讀下列材料，完成相應(yīng)的任務(wù)．中線是三角形中的重要線段之一，在利用中線解決幾何問題時(shí)，常采用倍長(zhǎng)中線法添加輔助線．所謂倍長(zhǎng)中線法，即延長(zhǎng)邊上（不一定是底邊）的中線，使所延長(zhǎng)-部分與中線相等，以便構(gòu)造全等三角形，從而運(yùn)用全等三角形的有關(guān)知識(shí)來解決問題的一種方法．如圖①，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，若AB=3，AC=5，求AD的長(zhǎng)的取值范圍．解題思路：如圖①，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE=DA，連接CE，則可證得△ECD≌△ABD（依據(jù)），得出EC=AB=3，在△ACE中，AE=2AD，AC=5，CE=3，即可得到AE的取值范圍，進(jìn)一步得到AD的取值范圍．

任務(wù)：(1)上述解題思路中的“依據(jù)”是___________（填序號(hào)）①SAS

②ASA

③AAS

④SSS

⑤HL(2)如圖②，在△ABC中，D為邊BC的中點(diǎn)，已知AB=5，AC=3，AD=2，求BC的長(zhǎng)．

(3)如圖③，在矩形ABCD中，AB=46，點(diǎn)E是CD邊的中點(diǎn)，連接AE，點(diǎn)F在直線BC上，且BFCF=12

27．（2023·山西忻州·模擬預(yù)測(cè)）閱讀與思考如圖是小強(qiáng)同學(xué)的數(shù)學(xué)課堂筆記本，請(qǐng)仔細(xì)閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù)．平面直角坐標(biāo)系與直角三角形x年×月ⅹ日星期三原理：根據(jù)直角三角形的定義，性質(zhì)，判定，以直角三角形頂點(diǎn)分三種情況進(jìn)行分類討論口訣：“兩線一圓”作圖：舉例如下：已知A3，0、B0，4情況一：當(dāng)A為直角頂點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)A作AB的垂線l交直線x=1于點(diǎn)C，則交點(diǎn)即為所求點(diǎn)C．如圖①，有C1情況二：當(dāng)B為直角頂點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)B作AB的垂線l交直線x=1于點(diǎn)C，則交點(diǎn)即為所求點(diǎn)C．如圖②，有C2情況三：當(dāng)C為直角頂點(diǎn)時(shí)，以AB為直徑作圓，則該圓與直線x=1的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)C．如圖③，有C3，C方法：一、幾何法：構(gòu)造“K型”或“一線三垂直”相似；二、代數(shù)法：兩點(diǎn)間的距離公式，列方程，解方程，檢驗(yàn)根；三、解析法：求垂線解析式，聯(lián)立方程組求交點(diǎn)．任務(wù)：(1)上面課堂筆記中的分析過程，主要運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想是______（從下面選項(xiàng)中選出兩個(gè)即可）；A．?dāng)?shù)形結(jié)合

B．統(tǒng)計(jì)思想

C．分類討論

D．轉(zhuǎn)化思想(2)選擇一種課堂筆記本中記載的方法，求出“情況一”中C1(3)直接寫出“情況二”中C2的坐標(biāo)____________(4)請(qǐng)你寫出在“情況三”中，確定C3、C題型10與三角形有關(guān)的存在性問題28．（2023·浙江金華·三模）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4．點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E為折線A?B?C上一動(dòng)點(diǎn)，連接DE，以DE為邊作正方形DEFG（點(diǎn)F為點(diǎn)D繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到），直線FG與直線BC，AC的交點(diǎn)分別為M，N

(1)當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上時(shí)，①若AE=ED，求此時(shí)AE的長(zhǎng)；②若直線FG過點(diǎn)C，求此時(shí)正方形DEFG的面積；(2)是否存在點(diǎn)E，使得△CMN是等腰三角形？若存在，求該三角形的腰長(zhǎng)，若不存在，請(qǐng)說明理由．29．（2024·廣東湛江·一模）【建立模型】（1）如圖1，點(diǎn)B是線段CD上的一點(diǎn)，AC⊥BC，AB⊥BE，ED⊥BD，垂足分別為C，B，D，AB=BE．求證：△ACB≌△BDE；【類比遷移】（2）如圖2，點(diǎn)A?3,a在反比例函數(shù)y=3x圖象上，連接OA，將OA繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到OB，若反比例函數(shù)y=kx【拓展延伸】（3）如圖3拋物線y=x2+2x?3與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于C點(diǎn)，已知點(diǎn)Q0,?1，連接AQ，拋物線上是否存在點(diǎn)M，便得題型11三角形與幾何圖形綜合30．（2024·四川達(dá)州·模擬預(yù)測(cè)）【問題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，在△OAB中，OB=3，若將△OAB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得OA'B'，連接【問題探究】（2）如圖2，已知△ABC是邊長(zhǎng)為43的等邊三角形，以BC為邊向外作等邊△BCD，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接AP，BP，CP，將△BPC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°【實(shí)際應(yīng)用】（3）如圖3，在長(zhǎng)方形ABCD中，邊AB=10，AD=20，P是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，Q為△ADP內(nèi)的任意一點(diǎn)，是否存在一點(diǎn)P和一點(diǎn)Q，使得AQ+DQ+PQ有最小值？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)31．（2023·廣西·三模）知識(shí)回顧例如，在證明三角形中位線定理時(shí)，就采用了如圖①的倍長(zhǎng)中線方式，將三角形轉(zhuǎn)化為平行四邊形使問題得以解決．實(shí)踐操作如圖②，在梯形ABCD中，AD∥BC，F(xiàn)是腰DC的中點(diǎn)，請(qǐng)你延長(zhǎng)AF交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，我們易證△ADF≌數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)如圖③，在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分別是兩腰AB、DC的中點(diǎn)，我們把EF叫做梯形ABCD的中位線．請(qǐng)類比三角形的中位線的性質(zhì)，猜想EF和AD、BC有怎樣的位置和數(shù)量關(guān)系？

_（用字母及符號(hào)表示）．證明猜想請(qǐng)結(jié)合“實(shí)踐操作”完成猜想的證明．已知：求證：證明：

實(shí)際應(yīng)用如圖，在?ABCD中，AB=5，BC=8，E是邊BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是?ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且∠BFC=90°.連接AF并延長(zhǎng)，交CD于點(diǎn)G，若EF∥AB，求DG的長(zhǎng)．

32．（2023·黑龍江齊齊哈爾·模擬預(yù)測(cè)）綜合與實(shí)踐旋轉(zhuǎn)是幾何圖形運(yùn)動(dòng)中的一種重要變換，通常與我們所學(xué)過的全等三角形等等數(shù)學(xué)知識(shí)相結(jié)合來解決問題，有時(shí)我們還能從中探索學(xué)習(xí)一些新知．小苗在研究三角形旋轉(zhuǎn)過程中，進(jìn)行如下探究：如圖，已知正方形ABCD和正方形AEFG．

觀察猜想：（1）在圖1中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別在邊AB，AC，AD上，直接寫出GDFC=實(shí)踐發(fā)現(xiàn)：（2）將正方形AEFG繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2所示位置，連接DG，F(xiàn)C，請(qǐng)問（1）中的結(jié)論是否發(fā)生變化？并加以證明：聯(lián)系舊知：（3）如果正方形ABCD的邊長(zhǎng)為5，正方形AEFG的邊長(zhǎng)為3．將正方形AEFG繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖3所示位置，連接EG交AB于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)N，若NG=22，直接寫出EM的長(zhǎng)探求新知：（4）在（3）的條件下，當(dāng)正方形AEFG繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)E，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線時(shí)，直接寫出CG的長(zhǎng)__________．題型12三角形與函數(shù)綜合33．（2023·寧夏銀川·二模）等面積法是一種常用的、重要的數(shù)學(xué)解題方法．它是利用“同一個(gè)圖形的面積相等”、“分割圖形后各部分的面積之和等于原圖形的面積”、“同底等高或等底同高的兩個(gè)三角形面積相等”等性質(zhì)解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題．在解題中，靈活運(yùn)用等面積法解決相關(guān)問題，可以使解題思路清晰，解題過程簡(jiǎn)便快捷．請(qǐng)用等面積法的思想解決下列問題：(1)在直角三角形中，兩直角邊長(zhǎng)分別為3和4，則該直角三角形斜邊上的高的長(zhǎng)為______．(2)如圖1，反比例函數(shù)y=?6xx>0的圖像上有一點(diǎn)P，PA⊥x軸于點(diǎn)A，點(diǎn)B在y(3)如圖2，P是邊長(zhǎng)為a的正△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，點(diǎn)O為△ABC的中心，設(shè)點(diǎn)P到△ABC各邊距離分別為?1，?2，?3，連接AP，BP，CP，由等面積法，易知12a?1+?2+?3=S△ABC=3S△OAB，可得?1+(4)如圖4，已知⊙O的半徑為1，點(diǎn)A為⊙O外一點(diǎn)，OA=2，AB切⊙O于點(diǎn)B，弦BC∥OA，連接AC，求圖中陰影部分的面積．（結(jié)果保留(5)我國(guó)數(shù)學(xué)家祖暅，提出了一個(gè)祖暅原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異”．意思是：兩個(gè)等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個(gè)幾何體體積相等．如圖所示，某帳篷的造型是兩個(gè)全等圓柱垂直相交的公共部分的一半（這個(gè)公共部分叫做牟合方蓋），其中曲線AOC和BOD均是以1為半徑的半圓．用任意平行于帳篷底面ABCD的平面截帳篷，所得截面四邊形均為正方形，且該正方形的面積恰好等于與帳篷同底等高的正四棱柱中挖去一個(gè)倒放的同底等高的正四棱錐后同高度截面的面積（圖8中陰影部分的面積），因此該帳篷的體積為______．（正棱錐的體積V=13底面積34．（2023·山東聊城·二模）如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），點(diǎn)A的坐標(biāo)為?1,0，與y軸交于點(diǎn)C0,?3，直線CD:y=2x?3與x軸交于點(diǎn)D．動(dòng)點(diǎn)M在拋物線上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)M作MP⊥x軸，垂足為點(diǎn)(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)當(dāng)點(diǎn)P在線段OD上時(shí)，△CDM的面積是否存在最大值，若存在，請(qǐng)求出最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)點(diǎn)M在運(yùn)動(dòng)過程中，能否使以C，N，M為頂點(diǎn)的三角形是以35．（2023·西藏日喀則·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx?4與x軸交于A(?1，0),B(4，0)兩點(diǎn)，與y(1)求這條拋物線的解析式：(2)如圖（甲），在x軸上是否存在點(diǎn)E，使得以E，B，(3)如圖（乙），動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△PBC面積最大，求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和△PBC面積的最大值．36．（2023·山東濟(jì)南·二模）如圖，點(diǎn)B坐標(biāo)為(?1,0)，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，四邊形BDEA是平行四邊形，DF⊥x軸于點(diǎn)F，BD=35,tan∠DBA=2，反比例函數(shù)y=kx(k>0)

(1)求反比例函數(shù)解析式及C點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若線段BD上一點(diǎn)P，使得∠DCP=∠BDF(3)過點(diǎn)C作CG∥y軸，交DE于點(diǎn)G，點(diǎn)M為直線CG上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，H為反比例函數(shù)上的動(dòng)點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)H、M，使得以C、H、M為頂點(diǎn)的三角形與△ABE相似？若存在，求出所有滿足條件的模擬集訓(xùn)（時(shí)間：60分鐘）一、單選題1．（2024·四川廣元·二模）如圖，在等邊三角形ABC中，D是邊BC上的中點(diǎn)，DE∥AB．將△CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α(0°<α<360°)，得到△CD'E'，連接AD'，AE

A．60°或90° B．90°或120° C．60°或300° D．120°或150°2．（2024·安徽馬鞍山·一模）如圖，D，E分別在等邊△ABC的邊AB，BC上，且BD=CE，CD與AE交于點(diǎn)F．延長(zhǎng)CD到點(diǎn)P，使∠BPD=30°，若AF=a，CF=b，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．∠AFD=60° B．BF的長(zhǎng)度的最小值等于3C．PC的長(zhǎng)度為a+3b D．△ACF的面積的最大值是△ABC3．（2024·河南信陽·一模）如圖1，已知?ABCD的邊長(zhǎng)AB為43，∠B=30°，AE⊥BC于點(diǎn)E．現(xiàn)將△ABE沿BC方向以每秒1個(gè)單位的速度勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的△ABE與?ABCD重疊部分的面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的函數(shù)圖象如圖2，則當(dāng)t為9時(shí)，S的值是（

A．833 B．33 C．934．（2024·河北衡水·一模）如圖，在△ABC中，∠B=∠C=65°，將△MNC沿MN折疊得△MNC'，若MC'與△ABC的邊平行，則A．57.5° B．25° C．57.5°或25° D．115°或25°5．（2024·安徽·一模）如圖，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，AB=BC，CD=DE，∠ABC=∠CDE=90°，點(diǎn)A，C，E共線，點(diǎn)F和點(diǎn)G分別是BD和AE的中點(diǎn)，AE=4，連接AF，CF，

A．CF+FG的最小值是2 B．S△BCD的最大值為C．S△ABC+S△CDE的最小值為22 二、填空題6．（23-24九年級(jí)下·四川成都·階段練習(xí)）如圖，△ABC是等邊三角形，AB=4，點(diǎn)D在邊AC上由C向A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E在邊BC上由B向C運(yùn)動(dòng)，且CD=BE，連接BD、AE交于點(diǎn)P，將邊AC繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到CM，在射線CM上截取線段CF，使CF=3AC，在D、E的運(yùn)動(dòng)過程中，求12

7．（2023·浙江金華·三模）如圖是某品牌電腦支架，整體支架由3組支撐條和2組活動(dòng)條組成，支撐條AB=BC=28cm，CD=24cm，相連兩根支撐條可繞交點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，活動(dòng)條EF，GH一端分別與支撐條BC，CD中點(diǎn)連接，并且可繞固定支點(diǎn)E與支點(diǎn)G轉(zhuǎn)動(dòng)，通過轉(zhuǎn)動(dòng)活動(dòng)條，將末端點(diǎn)F與點(diǎn)H分別卡入支撐條AB及BC上的孔洞中，以此來完成支架調(diào)節(jié)，其中活動(dòng)條GH=16cm．將電腦支架調(diào)節(jié)到如圖2所示，底部一組支撐條貼合水平桌面，調(diào)節(jié)活動(dòng)條EF，使得∠ABC=30°，調(diào)節(jié)活動(dòng)條GH使得GH⊥CD，此時(shí)活動(dòng)條末端點(diǎn)H到桌面的距離為______，如圖3某電腦鍵盤面與顯示屏面長(zhǎng)度相等，即MP=NP，將其放置到上述狀態(tài)電腦支架上，使點(diǎn)M與點(diǎn)C重合，此時(shí)點(diǎn)P恰好與點(diǎn)D重合，開合電腦顯示屏，點(diǎn)N到桌面的最大高度是

三、解答題8．（2024·遼寧大連·模擬預(yù)測(cè)）【問題呈現(xiàn)】如圖1，∠MPN的頂點(diǎn)在正方形ABCD兩條對(duì)角線的交點(diǎn)處，∠MPN=90°，將∠MPN繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中，∠MPN的兩邊分別與正方形ABCD的邊AD和CD交于點(diǎn)E、F（點(diǎn)F與點(diǎn)C，D不重合）．探索線段DE、DF、AD之間的數(shù)量關(guān)系．【問題初探】（1）愛動(dòng)腦筋的小悅發(fā)現(xiàn)，通過證明兩個(gè)三角形全等，可以得到結(jié)論．請(qǐng)你寫出線段DE、DF、AD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；【問題引申】（2）如圖2，將圖1中的正方形ABCD改為∠ADC=120°的菱形，∠EPF=60°，其他條件不變，請(qǐng)你幫小悅得出此時(shí)線段DE、DF、AD之間的數(shù)量關(guān)系是______；【問題解決】（3）如圖3，在（2）的條件下，當(dāng)菱形的邊長(zhǎng)為8，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)至與A點(diǎn)距離恰好為7的位置，且∠EPF旋轉(zhuǎn)至DF=1時(shí)，DE的長(zhǎng)度為__________．9．（2024·江蘇連云港·一模）問題情景：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形ABCD的邊AB=4，BC=10．矩形頂點(diǎn)C從O點(diǎn)出發(fā)沿x軸的正半軸向右運(yùn)動(dòng)，矩形的另一個(gè)頂點(diǎn)B隨之在y軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)B回到O點(diǎn)時(shí)運(yùn)動(dòng)也隨之停止．問題提出：如圖2．（1）當(dāng)OC=5時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為__________；（2）在運(yùn)動(dòng)過程中，求OA的最大值；問題探究：（3）如圖3，點(diǎn)P為線段AD上一點(diǎn)，AP=2．①在運(yùn)動(dòng)過程中，tan∠POC②從運(yùn)動(dòng)開始到運(yùn)動(dòng)停止，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P所走過的路程．10．（2024·遼寧大連·一模）【概念感知】?jī)蓚€(gè)二次函數(shù)只有一次項(xiàng)系數(shù)不同，就稱這兩個(gè)函數(shù)為“異b族二次函數(shù)”．【概念理解】如圖1，二次函數(shù)y=?12x2+32x+2的圖象C1交x軸于點(diǎn)A,B，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)D為線段BC的中點(diǎn)，二次函數(shù)y=ax2+bx+c與（1）求二次函數(shù)y=ax【拓展應(yīng)用】（2）如圖2，直線EF∥BC，交拋物線C1于E,F，當(dāng)四邊形CDEF（3）如圖3，點(diǎn)P為x軸上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線分別交拋物線C1,C2于點(diǎn)M，N，連接MC,NC，當(dāng)

專題10三角形壓軸目錄TOC\o"1-3"\n\h\z\u真題演練題型01與三角形有關(guān)的多結(jié)論問題（選/填）題型02與三角形有關(guān)的平移問題題型03與三角形有關(guān)的翻折問題題型04與三角形有關(guān)的旋轉(zhuǎn)問題題型05與三角形有關(guān)的全等/相似問題題型06與三角形有關(guān)的最值問題題型07與三角形有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題題型08與三角形有關(guān)的新定義問題題型09與三角形有關(guān)的閱讀理解問題題型10與三角形有關(guān)的存在性問題題型11三角形與幾何圖形綜合題型12三角形與函數(shù)綜合模擬集訓(xùn)

真題演練題型01與三角形有關(guān)的多結(jié)論問題（選/填）1．（2023·陜西寶雞·一模）如圖，在△ABC中，分別以AC，BC為邊作等邊△ACD和等邊△BCE．設(shè)△ACD，△BCE，△ABC的面積分別是S1,S2,S3現(xiàn)有如下結(jié)論：①S1:S2=AC

A．①② B．①③ C．①②③ D．②③【答案】C【分析】①根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方可證；②根據(jù)CD=AC∠ACE=∠DCBCE=BC，即可求得全等（SAS）；③設(shè)AC=a，BC=b，根據(jù)面積公式分別計(jì)算出S【詳解】解：①S1∵△ADC與△BCE是等邊三角形，∴∠∴△ADC∽△BCE，∴S1②△BCD≌△ECA正確，∵△ADC與△BCE是等邊三角形，∴∠ACD=∠BCE=60°，CD=AC∴∠ACD+即∠ACE=在△ACE與△DCB中，CD=AC∠ACE=∠DCB∴△BCD≌△ECA（SAS）；③若AC⊥BC，則S1設(shè)等邊三角形ADC的邊長(zhǎng)為a，等邊三角形BCE邊長(zhǎng)為b，則△ADC的高為32a，△BCE的高為32∴S∴S∵S∴S∴S故答案是：①②③．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定，等邊三角形的性質(zhì)，面積公式以及相似三角形面積的比等于相似比的平方，熟知各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023·浙江湖州·二模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，點(diǎn)D，E分別是邊AB和BC上的兩點(diǎn)，連結(jié)DE，將△BDE沿DE折疊，點(diǎn)B恰好落在AC的中點(diǎn)M處，BM與DE交于點(diǎn)F．下列三個(gè)結(jié)論：①DF=EF；②DM⊥AM；③tan∠CME=11【答案】③【分析】①由折疊的性質(zhì)可得ED是BM的垂直平分線，假設(shè)DF=EF，則四邊形BDME為菱形，MB平分∠ABC，由∠ACB=90°，∠B=30°，M是AC的中點(diǎn)，得出BM不是∠ABC的平分線，即可判斷，②由BM不是∠ABC的平分線，可得∠MDA=∠DBM+∠DMB≠30°，在△ADM中∠MAD+∠MDA=60°+∠MDA≠90°，即可判斷，③設(shè)CM=a，ME=x，應(yīng)用勾股定理，表示出CE的長(zhǎng)度，在Rt△CME中，ME2本題考查了折疊的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是：熟練掌握折疊的性質(zhì)．【詳解】解：由折疊的性質(zhì)可得：EB=EM，DB=DM，∴ED是BM的垂直平分線，假設(shè)DF=EF，則四邊形BDME為菱形，∴∠EBF=∠DBF，即：MB平分∠ABC，∵∠ACB=90°，∠B=30°，M是AC的中點(diǎn)，∴BM不是∠ABC的平分線，∴假設(shè)DF=EF錯(cuò)誤，故①錯(cuò)誤，∵BM不是∠ABC的平分線，∴∠DBM=∠DBM≠15°，∴∠MDA=∠DBM+∠DMB≠30°，∴∠MAD+∠MDA=60°+∠MDA≠90°，故②錯(cuò)誤，設(shè)CM=a，ME=x，則：AM=a，EB=x，AC=2a，AB=2AC=4a，由勾股定理得：BC=A∴CE=BC?BE=23在Rt△CME中，ME2=CM∴CE=23∴tan∠CME=綜上所述，只有③正確，故答案為：③．3．（2023·遼寧撫順·三模）如圖，在△ABC中，∠BAC=45°，CD⊥AB于點(diǎn)D，AE⊥BC于點(diǎn)E，AE與CD交于點(diǎn)F，連接BF，DE，下列結(jié)論中：①AF=BC；②2cos∠DEB=12，③AE?CE=2ED

【答案】①③④【分析】①②只要證明△ADF≌△CDB即可解決問題．③如圖1中，作DM⊥AE于M，DN⊥BC于N，易證△DMF≌△DNB，四邊形DMEN是正方形，想辦法證明AE?CE=BC+EF?EC=EF+BE=2EN=2DE，即可．④如圖2中，延長(zhǎng)FE到H，使得FH=FB．連接HC、BH．想辦法證明△BFH是等邊三角形，AC=AH【詳解】解：∵AE⊥BC，CD⊥AB，∴∠AEC=∠ADC=∠CDB=∵∠AFD=∴∠DAF=∵CD⊥AB,∠BAC=45°∴∠ACD=90°?45°=45°=∴AD=DC，在△ADF和△CDB中，∠DAF＝∴△ADF≌△CDB（ASA），∴AF=BC，DF=DB，故①正確，∴∠DFB=取BF的中點(diǎn)O，連接OD、OE．

∵∠BDF=∴OE=OF=OB=OD，∴E、F、D、B四點(diǎn)共圓，∴∠DEB=∴2cos如圖1中，作DM⊥AE于M，DN⊥BC于N，則四邊形DMEN是矩形，∵∠DEB=45°，∠∴∠AED=90°?45°=45°=∴DM=DN，∵DF=DB，∴Rt△DMF≌∴MF=BN，EM=EN，∴EF+EB=EM?FM+EN+NB=2EM=2EN，∵cos∠DEB=∴EN=2∴AE?CE=BC+EF?EC=EF+BE=2EN=2DE如圖2中，延長(zhǎng)FE到H，使得FH=FB．連接HC、BH．

∵∠CAE=30°，∠CAD=45°，∴∠DAF=15°，∠∵∠DFB=45°∴∠AFB=120°∴∠BFH=60°∵FH=BF，∴△BFH是等邊三角形，∴BF=BH，∵BC⊥FH，∴FE=EH，∴CF=CH，∴∠CFH=∴∠ACH=75°∴∠ACH=∴AC=AH，∵AF+FB=AF+FH=AH，∴AF+BF=AC，∴AF+BFAC=1故答案為：①③④．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造特殊三角形解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題．題型02與三角形有關(guān)的平移問題4．（2023·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）【問題原型】如圖①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB．若AB=5，BC=3，則CD的長(zhǎng)為________【操作一】如圖，②，將圖①中的，△ACD沿AC翻折得到△ACE，則四邊形AECD的周長(zhǎng)為________；【操作二】如圖③，將圖②中的△ACE沿射線AB方向平移，使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，得到△DGF，點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F．（1）求證：四邊形ADFE是菱形；（2）直接寫出四邊形ADGF的周長(zhǎng)．【答案】問題原型：125；操作一：565【分析】問題原型：首先利用勾股定理解得AC的值，再利用面積法解得CD的長(zhǎng)即可；操作一：首先利用勾股定理解得AD的值，再根據(jù)折疊的性質(zhì)可得CE=CD，AE=AD，然后計(jì)算四邊形AECD的周長(zhǎng)即可；操作二：（1）首先根據(jù)平移的性質(zhì)可得AE=DF，AE∥DF，可證明四邊形ADFE為平行四邊形，再結(jié)合AE=AD，即可證明四邊形ADFE為菱形；（2）連接DE，交AC于點(diǎn)O，首先根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AF⊥DE，OA=OF=12AF，利用面積法解得OE的值，再利用勾股定理解得OA=AE【詳解】解：?jiǎn)栴}原型：∵∠ACB=90°，AB=5，BC=3，∴AC=A∵CD⊥AB，∴S△ABC∴12解得CD=12故答案為：125操作一：∵CD⊥AB，AC=4，CD=12∴AD=A∵△ACD沿AC翻折得到△ACE，∴∠AEC=∠ADC=90°，CE=CD=125，∴四邊形AECD的周長(zhǎng)=AE+CE+CD+AD=16故答案為：565操作二：（1）∵△ACE沿射線AB方向平移得到△DGF，∴由平移的性質(zhì)可得AE=DF，AE∥∴四邊形ADFE為平行四邊形，∵AE=AD，∴四邊形ADFE為菱形；（2）如下圖，連接DE，交AC于點(diǎn)O，∵四邊形ADFE為菱形，∴AF⊥DE，OA=OF=1∴S△ACE即12×16∴在Rt△AOE中，OA=∴AF=2OA=128∵△ACE沿射線AB方向平移得到△DGF，∴FG=CE=125，∴四邊形ADGF的周長(zhǎng)=AF+FG+DG+AD=128【點(diǎn)睛】本題主要考查了平移的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、勾股定理、菱形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握折疊的性質(zhì)和平移的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．5．（2023·山東青島·三模）已知：如圖①，△ABC為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，D、E、F分別為AB、AC、BC中點(diǎn)，連接DE、DF、EF．將△BDF向右平移，使點(diǎn)B與點(diǎn)(1)設(shè)△ADE、△BDF、△EFC的面積分別為S1、S2、S3，則S1+S2+S(2)已知：如圖③，∠AOB=∠COD=∠EOF=60°，AD=CF=BE=2，設(shè)△ABO、△FEO、△CDO的面積分別為S1、S2、【答案】(1)<(2)結(jié)論成立，理由見解析【分析】（1）利用等邊三角形的性質(zhì)，證明△ADE∽△ABC,△BDF∽△ABC,△EFC∽△ABC，求出△ABC的面積，即可得到（2）延長(zhǎng)OB到H使BH=OE，延長(zhǎng)OA到G使AG=OD，連接HG，證明△GHO是等邊三角形，且面積為3，再證明△MGA≌△CODSAS【詳解】（1）解：∵D、E、F分別為AB、AC、∴DE=BF=CF=AD=AE=BD=GC=DF=EF=1，∴△ADE、△BDF、△EFC都是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，∴△ADE∽∴DE∴△ADE、△BDF、△EFC的高等于△ABC高的12∴△ADE、△BDF、△EFC的面積都等于△ABC面積的14如圖，設(shè)△ABC的高為h，∵∠ABC=60°,AB=2，∴?=AB·sin∴S∵S∴S故答案為：<；（2）結(jié)論成立證明：延長(zhǎng)OB到H使BH=OE，延長(zhǎng)OA到G使AG=OD，連接HG，∵OA+AG=OA+DO=AD=2OB+BH=OB+OE=BE=2∠AOB=60°∴△GHO是等邊三角形∵OG=OH=HG=2∴在HG上取點(diǎn)M，使MG=OC∵HM+MG=HG=2OC+OF=CF=2∴HM=OF在△MGA和△COD中，MG=CO∠G=∠COD=60°∴△MGA≌同理可證：△MHB≌∴S2由圖形可知：S△ABO∴即S1【點(diǎn)睛】本題中綜合考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，由于知識(shí)點(diǎn)比較多，本題的難度比較大．6．（2023·遼寧沈陽·三模）在平面直角坐標(biāo)系中，△DOE是等腰直角三角形，∠ODE=90°，DO=DE=3，點(diǎn)D在x軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)E在第二象限，矩形ABCO的頂點(diǎn)B4，2，點(diǎn)C在x軸的正半軸上，點(diǎn)A在y軸的正半軸上．將△DOE沿x軸向右平移，得到△D'

(1)如圖1，當(dāng)E'O'經(jīng)過點(diǎn)A(2)設(shè)OO'=t，△D'①如圖②，當(dāng)△D'O'E'與矩形ABCO重疊部分為五邊形時(shí)，D'E'與AB相交于點(diǎn)M，E'O'分別與AB，BC②請(qǐng)直接寫出滿足S=72的所有t的值【答案】(1)y=?x+2(2)①S=?12t2+4t?4，4<t<6【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)可得△AOO'是等腰直角三角形，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得OO（2）①根據(jù)S=S矩形BCD'M?S△BPN，即可求得S=?12t2+4t?4，再結(jié)合題意列不等式組即可求得4<t<6；②分五種情況討論：當(dāng)0<t≤2時(shí)，△D'O'E'與矩形ABCO重疊部分為三角形；當(dāng)2<t<3【詳解】（1）解：如圖①，當(dāng)E'O'，∵矩形ABCO的頂點(diǎn)B4∴OA=BC=2，由平移的性質(zhì)可得：△D∴∠E∵∠AOO∴△AOO∴OO∴A0設(shè)直線O'A的解析式為將A0，2解得：k=?1b=2∴直線O'A的解析式為：（2）解：①如圖②，當(dāng)△D'O

∵矩形ABCO中，AB=OC=4，∴四邊形BCD設(shè)OO'=t∴CD'=∵∠O∴△BPN是等腰直角三角形，∴BN=BP=6?t，∴S=S∵t>4∴4<t<6；②當(dāng)0<t≤2時(shí)，△D'O

重疊部分的面積為：S=S∵S=7∴12t∵0<t≤2，∴t=±7不符合題意，此時(shí)重疊部分面積不可能為7當(dāng)2<t<3時(shí)，△D'O

則OD∴S=S∴2t?2=7解得：t=11∵2<t<3，∴t=11當(dāng)3≤t≤4時(shí)，重疊部分為梯形，S=12×當(dāng)4<t<6時(shí)，△D'O由①知：S=?1∴?1解得：t1=3（舍去），當(dāng)6≤t<7時(shí)，重疊部分為矩形BCD

∵CD∴S=S當(dāng)27?t=7綜上所述，滿足S=72的所有t的值為【點(diǎn)睛】本題是矩形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，平移變換的性質(zhì)，三角形、梯形、矩形面積，代定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式等知識(shí)，解題關(guān)鍵是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想．題型03與三角形有關(guān)的翻折問題7．（2023·江蘇鹽城·模擬預(yù)測(cè)）如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=4，點(diǎn)E、F分別在直線AC、邊BC上，連接EF，將△CEF沿著EF翻折，點(diǎn)C落在邊AB上的點(diǎn)D處.過點(diǎn)D作DM⊥AB，交直線AC于M(1)AC=______，BC=_______；(2)當(dāng)CF=CE時(shí)，求證：△EMD≌△FBD；(3)當(dāng)CMCE=1(4)連接CD交EF于點(diǎn)P，當(dāng)AP+BP取最小值=_______時(shí)，EF的值為_________【答案】(1)2；2(2)見解析(3)AD=3?5或(4)19，1421【分析】本題考查了全等三角形的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，（1）解直角三角形ABC求得結(jié)果；（2）可推出∠AMD=∠B，DE=CE=CF=DF，∠EDM=∠BDF，從而得出結(jié)論；（3）分為兩種情形：當(dāng)點(diǎn)M在CE上時(shí)，作FG⊥AB于G，可證得△EMD∽△FBD，從而?DFBF=DEEM=2，進(jìn)而求得DF，BF，解三角形BDF求得BG和DG，進(jìn)而求得結(jié)果；當(dāng)點(diǎn)M在（4）由CP=DP得出點(diǎn)P在△ABC的一條中位線所在的直線l上運(yùn)動(dòng)，作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)X，連接BX，交l于點(diǎn)P'，當(dāng)點(diǎn)P在P'處時(shí)，D在V處，AP+PB最小為BX的值，在Rt△ACX中求得AX的值，進(jìn)而求得BX，連接CX，作VS⊥BC于S，可得△CXP'≌△VBP'，從而求得BV=CX=1，依次求出VS，BS，CS，CV，CP'，根據(jù)△CFP'∽△CVS得出CFCV【詳解】（1）解：Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=4∴AC=4?cos60°=2，故答案為：2，23（2）證明：∵DM⊥AB，∠ACB=90°，∴∠ADM=90°，∠A+∠B=90°，∴∠A+∠AMD=90°，∴∠AMD=∠B，由折疊得：∠EDF=90°，DF=CF，DE=CE，∴∠EDF=∠BDM=90°，DE=DF，∴∠EDM=∠BDF，∴△EMD≌△FBD(AAS)（3）解：如圖1，當(dāng)點(diǎn)M在CE上時(shí)，作FG⊥AB于G，由上知：∠AMD=∠B，∠EDM=∠BDF，∴△EMD∽△FBD，∴?DF∵DE=CE，CMCE∴DFBF∵CF=DF，BC=23∴BF=233∴BG=233∴DG=D∴AD=AB?BG?DG=4?1?5如圖2，當(dāng)點(diǎn)M在EC的延長(zhǎng)線上時(shí)，作FH⊥AB于H，同理上可知：?DF∵CF=DF，CF+BF=23∴BF=35×2∴FH=335∴DH=(∴AD=4?9綜上所述：AD=3?5或11?（4）解：如圖3，由對(duì)稱可得：CP=DP，∴點(diǎn)P在△ABC的一條中位線所在的直線l上運(yùn)動(dòng)，作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)X，連接BX，交l于點(diǎn)P'，當(dāng)點(diǎn)P在P'處時(shí)，D在V處，AP+PB最小為BX的值，∵AX=AC?cos∴BX=A連接CX，作VS⊥BC于S，∵CP'又CX∥AB，則∴△CXP∴BV=CX=AC?sin∴VS=12BV=∴CS=BC?BS=23∴CV=V∴CP=CV∵∠BCA=90°，VS⊥BC∴VS∴△CFP∴CFCV∴CF7∴CF=7∵VS∴△CSV∽△ECF，∴EFCV∴EF7∴EF=14故答案為：19，14218．（2023·重慶·模擬預(yù)測(cè)）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，過B點(diǎn)作BE⊥AC于點(diǎn)E，點(diǎn)D為線段AC的中點(diǎn)，連接BD(1)如圖1，AB=2，AC=6，求(2)如圖2，將線段DB繞著點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到線段DG，此時(shí)DG⊥AC，連接BG，點(diǎn)F為BG的中點(diǎn)，連接EF，求證：BC=2EF；(3)如圖3，∠ACB=30°，AB=3，點(diǎn)P是線段BD上一點(diǎn)，連接AP，將△APB沿AP翻折到同一平面內(nèi)得到△APB'，連接CB'，將線段繞點(diǎn)CB'順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得線段【答案】(1)ED=(2)見解析(3)9【分析】（1）證明△ABE∽△ACB，利用相似三角形的性質(zhì)求出AE=23，則（2）過點(diǎn)D作DH⊥BC于點(diǎn)H，過點(diǎn)F作FJ⊥AC于點(diǎn)J．連接FD，則BE∥FJ∥GD，先證明FE=DF，進(jìn)一步證明BD=AD=DC，再證明∠DBH=∠BDF=22.5°，即可證明△BFD≌△DHB，得到DF=BF，則BH=EF，再證明BH=HC，即可證明BC=2EF；（3）如圖3中，以AC為邊向上作等邊三角形ACK，連接BK，證明△ACB'≌△KCQ，得到AB'=QK，則QK=3，求出BK=37，則BQ的最小值為37?3，此時(shí)B．Q．K共線，作CJ⊥BK【詳解】（1）解：∵BE⊥AC，∴∠AEB=∠CEB=90°，∵∠A=∠A，∴△ABE∽△ACB，∴ABAE=∴AE=2∵點(diǎn)D為線段AC的中點(diǎn)，∴AD=DC=1∴DE=AD?AE=7（2）證明：過點(diǎn)D作DH⊥BC于點(diǎn)H，過點(diǎn)F作FJ⊥AC于點(diǎn)J．連接FD．

∵BE⊥AC，∴BE∥FJ∥GD，∵BF=FG，∴EJ=JD，∴FE=DF，∵∠BDG=45°，∴∠EDB=45°，∵∠ABC=90°，∴BD=AD=DC，∵∠ADB=∠DBC+∠DCB=45°，∴∠DBC=∠DCB=22.5°，∵DB=DG，∴∠BDF=∠GDF=22.5°，∴∠DBH=∠BDF=22.5°，∵BD=DB，∴△BFD≌△DHBAAS∴DF=BH，∴BH=EF，∵DB=DC，∴BH=HC，∴BC=2EF；（3）解：如圖3中，以AC為邊向上作等邊三角形ACK，連接BK．

∵∠B∴∠ACB∵CA=CK，∴△ACB∴AB∵AB=AB∴QK=3，∵∠ABC=90°，∴AC=CK=2AB=6，∴BK=C∵BQ≥BK?QK=37∴BQ的最小值為37?3，此時(shí)B．Q．作CJ⊥BK于點(diǎn)J，∵12∴CJ=3∴此時(shí)△BCQ的面積=1【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定等等，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．9．（2023·重慶渝北·二模）等邊△ABC中，點(diǎn)D為直線AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接DC．

(1)如圖1，在平面內(nèi)將線段DC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段CE，連接BE，若D點(diǎn)在AB邊上，且DC=5，tan∠ACD=1(2)如圖2，若點(diǎn)D在AB延長(zhǎng)線上，點(diǎn)G為線段DC上一點(diǎn)，點(diǎn)F在CB延長(zhǎng)線上，連接FG、AG．在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過程中，若∠GAF+∠ABF=180°，且FB?BD=AC，猜想線段CG與線段DG之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．(3)如圖3，將△BDC沿直線BC翻折至△ABC所在的平面內(nèi)得到△BD'C，M點(diǎn)在AB邊上，且AM=14AB，將MA繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到線段AN，點(diǎn)H是直線AC上一動(dòng)點(diǎn)，將△MNH沿直線MH翻折至△MNH所在平面內(nèi)得到△MN'H，在點(diǎn)D【答案】(1)23(2)DG=CG，證明見解析(3)21【分析】（1）作DF⊥AC，在Rt△DFC中，由tan∠ACD=12，求出DF長(zhǎng)度，結(jié)合∠BAC=60°，求出（2）作CH∥AB，與AG延長(zhǎng)線交于點(diǎn)H，連接DH，由CH∥AB，可得∠ABF=∠ACH=120°，結(jié)合∠GAF+∠ABF=180°，可得∠FAB=∠HAC，由△FAB≌△HACASA，得到FB=CH，結(jié)合FB?BD=AC（3）根據(jù)折疊的性質(zhì)，找到D'的軌跡，根據(jù)垂線段最短，確定MN'的位置，進(jìn)而求出BD'、BD、AN、NH的長(zhǎng)度，作DE∥N'H【詳解】（1）解：過點(diǎn)D，作DF⊥AC，于點(diǎn)F，

∵DC=5，tan設(shè)AF=a，則FC=2a，在Rt△DFC中，DF2+FC∴DF=a=1，F(xiàn)C=2a=2，∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC=∠ACB=60°，CA=CB，∴AD=DF∵DC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段CE，∴∠DCE=60°，CD=CE，∴∠ACB?∠DCB=∠DCE?∠DCB，即：∠ACD=∠BCE，∴△ACD≌△BCESAS∴AD=BE=2故答案為：BE的長(zhǎng)度是23（2）解：過點(diǎn)C作CH∥AB，與AG延長(zhǎng)線交于點(diǎn)H，連接

∵∠ABC=∠BAC=60°，CH∥∴∠ABF=120°，∠BAC+∠ACH=180°，即：∠ABF=∠ACH=120°，∵∠GAF+∠ABF=180°，∴∠GAF=60°，∴∠GAF?∠BAG=∠BAC?∠BAG，即：∠FAB=∠HAC，又∵AB=AC，∴△FAB≌△HACASA∴FB=CH，∵FB?BD=AC，即：FB=AC+BD，∴CH=FB=AC+BD=AB+BD=AD，∴四邊形DACH為平行四邊形，∴DG=CG，（3）解：過點(diǎn)B作GI∥AC，連接MD'、N'D，過點(diǎn)D作DE∥N'H，交AC延長(zhǎng)線于點(diǎn)

∵GI∥AC，∴∠IBC=∠BCA=∠ABC=60°，∴直線AB與直線GI關(guān)于直線BC對(duì)稱，即：D'的運(yùn)動(dòng)軌跡為直線GI∵N'D'當(dāng)MD'⊥GI，點(diǎn)N'在線段MD∵將MA繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到線段AN，AM=14AB∴∠NAM=120°，AN=AM=14AB=∴MN=MN'=由折疊的性質(zhì)可知，∠NMH=∠N∵∠N∴∠NMH?∠NMA=∠N'MH?∠∴∠NMH=∠AMN+∠AMH=30°+90°=120°，∴N'H=NH=3∴∠NHN∵DE∥∴S△DN'H=∴AD?AB=AE?AC，即BD=CE=3∴HE=AC?AH+CE=AC?NH?AN∴HF=3∴S△D故答案為：213【點(diǎn)睛】本題考查了，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)與判定，折疊的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）證明△ACD≌△BCESAS，解△DAC；（2）找到△FAB≌△HACASA；（3）找到D'的運(yùn)動(dòng)軌跡，N題型04與三角形有關(guān)的旋轉(zhuǎn)問題10．（2023·重慶九龍坡·模擬預(yù)測(cè)）在等腰△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，將斜邊AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度得到線段AD，AD交BC于點(diǎn)G，過點(diǎn)C作CF⊥AD于點(diǎn)F．(1)如圖1，當(dāng)旋轉(zhuǎn)22.5°時(shí)，若BG=1，求AC的長(zhǎng)；(2)如圖2，當(dāng)旋轉(zhuǎn)30°時(shí)，連接BD，CD，延長(zhǎng)CF交BD于點(diǎn)E，連接EG，求證：AG=CE+EG；(3)如圖3，點(diǎn)M是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，在線段BM上存在一點(diǎn)N，使NB+NA+NC的值最小時(shí)，若NA=2，請(qǐng)直接寫出△CNM的面積．【答案】(1)2+(2)見解析(3)3【分析】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是會(huì)添加輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化的思想思考問題（1）過點(diǎn)G作GH⊥AC于點(diǎn)H，得到HG=BG=1，即可求得CG=2，再由BC=AB=BG+CG，勾股定理求得AC（2）延長(zhǎng)CF交AB于點(diǎn)T，連接BT，求得Rt△AGB≌Rt△CTB，可得AG=CT，BT=BG，由BD∥（3）將△BCN繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△BPQ，連接NQ、AP，當(dāng)點(diǎn)P、Q、N、A四點(diǎn)共線時(shí)，NB+NA+NC的值最小，此時(shí)BM是等腰直角三角形ABC的一條中線，即可求得△CNM的面積【詳解】（1）解：如圖1，當(dāng)旋轉(zhuǎn)22.5°時(shí)，則∠CAG=∠GAB=22.5°，過點(diǎn)G作GH⊥AC于點(diǎn)H，則GH=BG=1，在等腰Rt△CGH中，∠BCA=45°則CG=2則BC=BG+CG=2在等腰Rt△ABCAC=2（2）證明：如圖2，過點(diǎn)D作DM⊥AC于點(diǎn)M，過點(diǎn)B作BN⊥AC于點(diǎn)N，∵∠DAM=30°，∴DM=∵∠ABC=90°，AB=AC，∴BN=而AC=AD，∴DM=BN又DM⊥AC，BN⊥AC，∴四邊形BDMN是矩形∴BD延長(zhǎng)CE交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)T，∵CF⊥AD，∴∠CFG=∠ABC=90°，∵∠AGB=∠CGF，∴∠TCG=∠GAB，∵∠ABG=∠CBT=90°，BA=BC，∴△ABG≌△CBT∴AG=CT，BG=BT，∵BD∥∴∠EBG=∠ACB=45°，則∠EBT=90°?∠EBG=45°=∠EBG，∵BT=BG，BE=BE，∴△BEG≌∴ET=EG，∴AG=CT=CE+ET=CE+EG；（3）解：如圖3，將△CBN繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△PBQ，連接QN，AP．則PQ=CN，△BQN是等邊三角形，∴BN=NQ，∠BNQ=∠BQN=60°，∵CN+AN+BN=PQ+QN+NA≥AP，∴當(dāng)P，Q，N，A共線時(shí)，NC+BN+AN的值最?。藭r(shí)∠ABP=90°+60°=150°，PB=AB，∠BAN=15°，并且△BQN是等邊三角形，∠BNQ=60°，∴∠ABN=60°?15°=45°，∵∠ABC=90°，∴∠ABN=∠CBN=45°，∵BA=BC，∴BM⊥AC，且CM=AM又∠MAN=45°?15°=30°，∴NM=12AN=1∴CM=AM=3∴△CNM的面積=111．（2023·貴州貴陽·二模）在△ABC中，∠CAB=90°，在△ADE中，∠EAD=90°，已知Rt△ABC和Rt△ADE有公共頂點(diǎn)A，連接BD和(1)如圖①，若AB=AC，AD=AE，當(dāng)△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)α0°<α<360°，BD和CE(2)如圖②，若AD:AE=AB:AC=1:3，當(dāng)Rt△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)α0°<α<360°，（1）中BD(3)在（2）的條件下，若AD=23，AB=3，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)C，B，D三點(diǎn)共線時(shí)，請(qǐng)直接寫出【答案】(1)BD=CE，BD⊥CE(2)CE=3BD，(3)313?1【分析】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)：（1）根據(jù)SAS證明△BAD≌△CAE得BD=CE，再證明∠OAD=∠EHO=90°，可得BD⊥CE；（2）延長(zhǎng)DB交CE于H，與AE交于O，證明△BAD∽△CAE可得結(jié)論；（3）分兩種情況討論：運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)求出AC，AE，由勾股定理求出DE，在Rt△ECD中，運(yùn)用勾股定理求出BD，從而可求出CE【詳解】（1）證明：如圖，延長(zhǎng)DB交CE于H，與AE交于O∵△ADE和△ABC是等腰直角三角形，∴AB=AC，AD=AE，又∠CAE+∠EAB=∠DAB+∠EAB=90°,∴∠BAD=∠CAE，∴△BAD≌△CAESAS∴BD=CE，∠BDA=∠CEA，∵∠DOA=∠HOE，∴∠OAD=∠EHO=90°，∴CE⊥BD，故答案為：BD=CE，BD⊥CE；（2）解：CE=3BD，延長(zhǎng)DB交CE于H，與AE交于O，∵ADAE=AB∴△BAD∽△CAE，∴BDCE=1∴CE=3∵∠BOA=∠EOH，∴∠OAD=∠EHO=90°，∴BD⊥CE綜上BD⊥CE，CE=（3）解：①如圖：由（2）知△BAD∽△CAE，BDCE=AB∵AB=3∴AC=3，在Rt△ABC中，由勾股定理得BC=∵AD=23∴AE=6在Rt△AED中，由勾股定理得DE=∵C，B，D三點(diǎn)共線，且∠ECD=90°∴在Rt△ECD中，由勾股定理得即4∴BD=39∴CE=3②如圖：由（2）知△BAD∽△CAE，BDCE=AB∵AB=3∴AC=3，由勾股定理得BC=A∵AD=23∴AE=6，在Rt△AED中，DE=∵C，B，D三點(diǎn)共線，且∠ECD=90°，∴在Rt△ECD中，由勾股定理得D即43∴BD=39+∴CE=3綜上，當(dāng)C，B，D三點(diǎn)共線時(shí)，CE的長(zhǎng)度為313?1212．（2023·廣東云浮·三模）閱讀下面材料：小明遇到這樣一個(gè)問題：如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D、E在邊BC上，∠DAE=45°．若BD=3，CE=1，求DE小明發(fā)現(xiàn)，將△ABD繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到△ACF，連接EF（如圖2），由圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)以及∠DAE=45°，可證△FAE≌△DAE，得FE=DE．解△FCE，可求得FE（即DE）的長(zhǎng)．(1)請(qǐng)回答：在圖2中，∠FCE=_______，DE=_______(2)參考小明思考問題的方法，解決下列問題：①已知：如圖3，正方形ABCD，BM，DN分別平分正方形的兩個(gè)外角，且滿足∠MAN=45°，連接MN，若以BM、DN、MN為三邊圍成三角形，則該三角形的形狀是_______．②如圖4，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF=12∠BAD．猜想線段BE、EF【答案】(1)90°，10(2)①直角三角形；②線段BE、EF、DF之間的數(shù)量關(guān)系為：EF=BE+DF，理由見解析【分析】（1）先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得到∠FCE=90°，進(jìn)而利用勾股定理求得EF=10，證明△FAE≌△DAESAS證得（2）①將△ABM繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，使AB與AD重合，得到△ADF，連接NF交AD的延長(zhǎng)線于P，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)和正方形的性質(zhì)證得△FDN是直角三角形，F(xiàn)D=BM，再證明△FAN≌△MANSAS，得到MN=FN②將△ABE繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使AB與AD重合，得到△ADG，根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)和已知可證得BE=DG，點(diǎn)F，D，G在同一條直線上，同樣證明△AEF≌△AGFSAS，得到EF=FG，由FG=DG+DF=BE+DF【詳解】（1）解：∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠ACB=45°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：∠ACF=∠B=45°，CF=BD=3，AF=AD，∠BAD=∠CAF，∴∠FCE=∠ACF+∠ACB=45°+45°=90°，在Rt△EFC中，EF=∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，∴∠BAD+∠CAE=45°，∴∠CAF+∠CAE=45°，即∠FAE=45°，∴∠FAE=∠DAE，在△FAE和△DAE中，AF=AD∠FAE=∠DAE∴△FAE≌△DAESAS∴EF=DE，∴DE=10故答案為：90°，10；（2）解：①BM、DN、MN為三邊圍成三角形，則該三角形的形狀是直角三角形，理由如下：將△ABM繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，使AB與AD重合，得到△ADF，連接NF交AD的延長(zhǎng)線于P，如圖3所示：∴AF=AM，DF=BM，∠DAF=∠BAM，∠ADF=∠ABM，∵正方形ABCD，BM、DN分別平分正方形的兩個(gè)外角，∴∠ABM=90°+45°=135°，∠PDN=45°，∠BAD=90°，∴∠ADF=135°，∴∠FDP=180°?135°=45°，∴∠FDP+∠PDN=45°+45°=90°，∴∠FDN=90°，∴△FDN是直角三角形，∵∠MAN=45°，∵∠BAM+∠DAN=45°，∴∠DAF+∠DAN=45°，即∠FAN=45°，∴∠FAN=∠MAN，在△FAN和△MAN中，AF=AM∠FAN=∠MAN∴△FAN≌△MANSAS∴MN=FN，∵FD=BM，F(xiàn)N=MN，∴以BM，DN，MN為三邊圍成的三角形為直角三角形，故答案為：直角三角形；②線段BE，EF，DF之間的數(shù)量關(guān)系為：EF=BE+DF，理由如下：將△ABE繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使AB與AD重合，得到△ADG，如圖4所示：∴BE=DG，AE=AG，∠DAG=∠BAE，∠B=∠ADG，∵∠B+∠ADC=180°，∴∠ADG+∠ADC=180°，即點(diǎn)F，D，G在同一條直線上，∵∠DAG=∠BAE，∴∠GAE=∠BAD，∵∠EAF=1∴∠GAF=∠EAF，在△AEF和△AGF中，AF=AC∠EAF=∠GAF∴△AEF≌△AGFSAS∴EF=FG，∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、正方形的性質(zhì)、直角三角形的判定等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與運(yùn)用，利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)構(gòu)造全等三角形求解是解答的關(guān)鍵．題型05與三角形有關(guān)的全等/相似問題13．（2023·遼寧沈陽·模擬預(yù)測(cè)）【問題探究】（1）如圖1，BD、AC相交于點(diǎn)P，連接BC、AD，且∠1=∠2，若PB=6，PC=3，PD=4，則PA的長(zhǎng)為______；（2）如圖2，∠MON=120°，點(diǎn)P是∠MON平分線上的一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)A、B分別在射線OM、ON上，且∠APB=60°，求證：四邊形OAPB的面積是定值；【拓展運(yùn)用】（3）如圖3，某創(chuàng)業(yè)青年小李租用一塊形如四邊形ABCD的田地養(yǎng)蜂、產(chǎn)蜜與售蜜，其中AD∥BC，∠B=90°，AB=120米，AD=60米，BC=110米，點(diǎn)E為入口，點(diǎn)E在AB上，且AE=AD，小李計(jì)劃過點(diǎn)E修一條垂直于CD的筆直小路EF，將田地分為兩部分，四邊形AEFD區(qū)域?yàn)榉涑矃^(qū)，四邊形BCFE區(qū)域?yàn)榉湓粗参锷L(zhǎng)區(qū)，在點(diǎn)F處設(shè)立售蜜點(diǎn)，為了方便取蜜，計(jì)劃再沿AF修一條筆直的小路AF，直接寫出小路【答案】（1）8；（2）證明見解析；（3）7202【分析】（1）根據(jù)8字型模型證明兩個(gè)三角形相似即可解答；（2）過點(diǎn)P分別作OM、ON的垂線，垂足分別為C、D，證明△PAC≌△PBDAAS，可得AC=BD，再證明Rt△PCO≌Rt△PDOHL（3）過點(diǎn)A作AG⊥EF于點(diǎn)G，過點(diǎn)A作CD的垂線，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，可得四邊形AGFH是矩形，證明四邊形AGFH是正方形，再過點(diǎn)C作AD的垂線，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，可得四邊形ABCM是矩形，證明△CDM∽△ADH，對(duì)應(yīng)邊成比例求出AH的長(zhǎng)，進(jìn)而可以解決問題．【詳解】（1）解：∵∠1=∠2，∠APD=∠BPC，∴△DAP∽△CBP，∴PD∴4∴PA=8．故答案為：8；（2）證明：如圖2，過點(diǎn)P分別作OM、ON的垂線，垂足分別為C、D，∴∠ACP=∠BDP=90°，∵OP平分∠MON，PC⊥OM，PD⊥ON，∴PC=PD，∵∠AOP=∠BOP=60°，∠APB=60°，∠MON=120°，∴∠PAO+∠PBO=180°，∵∠PBO+∠PBD=180°，∴∠PAC=∠PBD，∴△PAC≌△PBDAAS∴AC=BD，在Rt△PCO和Rt△PDO中，PC=PD，∴Rt∴OC=OD，在Rt△PCO中，∠POC=60°∴∠OPC=30°，∴CO=1∴PC=3∴四邊形OAPB的面積=S∵PC=PD=32OP∴四邊形OAPB的面積=1∵點(diǎn)P是∠MON平分線上的一個(gè)定點(diǎn)，即OP為定長(zhǎng)，∴四邊形OAPB的面積是定值；（3）解：如圖3，過點(diǎn)A作AG⊥EF于點(diǎn)G，過點(diǎn)A作CD的垂線，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，