高等數(shù)學（工科類）課件 第六章 向量與空間解析幾何

新時代高職數(shù)學系列教材高等數(shù)學（工科類）情景與問題圖6-1分析數(shù)控機床坐標系用右手笛卡兒坐標系作為標準確定.對于數(shù)控車床而言，通常把傳遞切削力的主軸定為Z軸，其中遠離工件的裝夾部件方向為Z軸的正方向，接近工件的裝夾部件方向為Z軸的負方向.X軸一般平行于工件裝夾面且垂直于Z軸.X軸在工件的徑向上，且平行于橫向滑座，刀具遠離工件旋轉中心的方向為X軸的正方向，刀具接近工件旋轉中心的方向為X軸的負方向.最后根據(jù)右手定則確定Y軸的正方向，如圖6-1所示.引例1數(shù)控機床是指采用數(shù)字控制技術對機床的加工過程進行自動控制的一類機床.由于數(shù)控機床的加工是由程序控制完成的，所以坐標系的確定與使用非常重要.試了解數(shù)控機床的坐標系確定標準.引例2學校新購置了一批投影儀，需要在教室內進行安裝，教室長16m、寬8m、高3m.若綜合各種因素，該批次投影儀的最佳投影距離（即投影儀與幕布中心的距離）為5m,且投影儀安裝后支架與墻頂距離為20cm，試問投影儀吊裝到屋頂墻面的什么位置最好？分析

假設幕布的中心就在教室墻面的正中心，投影儀安裝應該在教室屋頂墻面的豎向中心線上.要達到最佳投影距離，就應滿足安裝后投影儀與幕布中心的距離恰好為5m.顯然，教室是空間立體結構，需要考慮如何計算投影儀和幕布中心兩者間的最佳距離，最終求解出投影儀的最佳安裝位置.下面，我們就通過對空間直角坐標系的學習來解決如上類似問題.抽象推理6.1.1空間直角坐標系及點的坐標過空間定點

作三條互相垂直的數(shù)軸，它們都以

為原點且具有相同的長度單位，這三條互相垂直的數(shù)軸分別叫做

軸、

軸和

軸，統(tǒng)稱為坐標軸，

稱為坐標原點.坐標軸的正向符合右手規(guī)則(見圖6-2)：即以右手拇指指向

軸正向，其余四指從

軸的正向旋轉

角度正好轉到

軸的正向.這樣就構成了一個空間直角坐標系，稱為右手直角坐標系，也稱為

坐標系，記作圖6-2在空間直角坐標系中，任意兩條坐標軸可以確定一個平面，稱作坐標面，即面、面、面.這三個坐標面將空間分割成八個部分，每一個部分稱作一個卦限，如圖6-3所示.設為空間任意一點，過分別作垂直于三個坐標軸的平面，與三個坐標軸分別相交于點、和，這三個點在三個坐標軸上的坐標分別為、和，則點唯一確定了有序數(shù)組、和，用表示.反過來，如果給定一有序數(shù)組，和它們分別對應軸、軸和軸上的點、和，過這三點分別作三個坐標軸的垂面，則這三個平面相交于唯一點.這樣,空間的點與有序數(shù)組之間建立起了一一對應的關系.稱為點的坐標，其中三個數(shù)、和分別稱為點的橫坐標、縱坐標和豎坐標．比如，原點的坐標為，軸、軸和

軸上點的坐標分別為、和.、和平面上的點的坐標分別為、和，如圖6-4所示.圖6-4圖6-36.1.2空間兩點間距離公式設和是空間兩已知點，分別過和作平行于三個坐標面的平面，這六個平面圍成一個以為對角線的長方體，如圖6-5所示.假設之間的距離為，則于是空間兩點間的距離公式為：圖6-5拓展：歐式距離也稱歐幾里得距離，以古希臘數(shù)學家歐幾里得命名，是最常見的距離度量，衡量的是多維空間中兩個點之間的絕對距離，也是我們直觀的“兩點之間直線最短”的直線距離。二維空間中的歐式距離就是平面兩點之間的距離，公式為：

三維空間中的歐式距離的就是空間兩點之間的距離，公式為：

推廣到維空間，若兩點間坐標為和，則歐式距離公式就是：

例1

求兩點

，

之間的距離.解例2設點在軸上，它到的距離為到點距離的倍，求點的坐標.解因為點在軸上，設點坐標為，由題意有以，，于是

故所求點為或探究：北斗衛(wèi)星導航系統(tǒng)北斗衛(wèi)星導航系統(tǒng)是國家重大科技工程，工程自1994年啟動，2000年完成北斗一號建設，2012年完成北斗二號建設，2020年北斗三號建成并開通服務.至此，我國成為世界上第三個獨立擁有全球衛(wèi)星導航系統(tǒng)的國家.隨著北斗系統(tǒng)建設和服務能力的發(fā)展，相關產品逐步滲透到人類社會生產和人們生活的方方面面，為全球經濟和社會發(fā)展注入新的活力.目前，全球已有120余個國家使用北斗系統(tǒng).2022年上半年，僅手機地圖導航中，北斗定位服務日均使用量已突破1000億次.那么，你知道衛(wèi)星定位導航系統(tǒng)是如何實現(xiàn)精準定位的么？圖6-6衛(wèi)星導航使用的是“三球交匯”原理（如圖6-6所示）.用戶接收機在某一時刻同時接收三顆以上衛(wèi)星信號，測量出用戶接收機至三顆衛(wèi)星的距離，通過星歷解算出衛(wèi)星的空間坐標，利用距離交會法就能解算出用戶接收機的位置.應用與實踐案例1結晶體的基本單位稱為晶胞(圖6-7是食鹽晶胞的示意圖).其中×點代表鈉原子，黑點代表氯原子.建立空間直角坐標系后，試寫出全部鈉原子所在位置的坐標.解把圖中的鈉原子分成上、中、下三層來標示它們所在位置的坐標.下層的原子全部在面上，所以這五個鈉原子所在位置為：，，，，；中層的原子所在的平面平行于面，與軸交點的豎坐標為，所以這四個鈉原子所在位置的坐標分是，，，；上層的原子所在的平面平行于面，與軸交點的豎坐標為1，所以這五個鈉原子所在位置的坐標分別是

，，

，，.圖6-7案例2引例1的求解.解首先將教室置于空間直角坐標系中（如圖6-8所示）.根據(jù)已知，設所求投影儀坐標為，幕布中心點坐標為.由空間兩點間距，解得.因此，投影儀的最佳安裝位置為空間坐標處.圖6-8情景與問題引例1如果兩個人共同提一個重物，為什么夾角越大越費力，你能從數(shù)學的角度解釋這個現(xiàn)象么？分析如圖6-9所示，同樣大小的力作用于一個物體，顯然，夾角越大其向上的分力越小，要想將物體提起就需要更大的力氣.引例2一個物體在常力作用下，沿直線從移動到，求力所作的功.分析根據(jù)物理知識，假設物體的位移為，力和位移的夾角為，則力所做的功為.在實際應用中，常常會遇到類似這種形式的運算，在數(shù)學中把它稱作兩向量的數(shù)量積.圖6-9引例3試分析運動電荷在磁場中受到洛倫茲力的作用.分析由中學的物理知識知道，如果一個運動的單位正電荷在磁場中所受的力為，則它的大是，其中是帶點粒子的速度，是磁場強度，是指與之間的夾角.力的方向垂直于和所決定的平面，且、和三個向量的方向符合右手螺旋法則（即假定右手的大拇指垂直于食指和中指，當食指指向向量的方向，中指指向向量的方向，那么大拇指指向就是的方向）.這個力稱為洛倫茲力.與洛倫茲力類似的例子在物理學及其他學科中還有不少，在數(shù)學上我們將它稱為向量的向量積.抽象推理定義6.1既有大小，又有方向的量叫做向量.在數(shù)學上，向量通常用始點到終點的帶有箭頭的線段表示，如或黑體字母或等（如圖6-10）.向量的模：指向量的大小，也稱作向量的長度，通常用、表示向量的大小.單位向量：長度為的向量，稱為單位向量，用

、 表示.零向量：長度為零的向量，記作或.此時向量的始點與終點重合，方向不定或方向為任意.6.2.1向量的概念圖6-10向量的位置關系：(1)向量平行：兩個非零向量的方向相同或相反，稱為兩向量平行，用

表示.由于零向量的方向是任意的，視作零向量與任意向量平行.(2)兩向量共線:兩向量平行時,當將起點放在一起時,終點在同一直線上.(3)向量共面:如果有個空間向量，起點重合時,起點和所有終點在同一平面上.定義6.2

當兩個向量大小相等、方向相同時，稱兩個向量相等，記作

.注意：根據(jù)向量的定義，向量只與大小和方向有關而與始點的位置無關.因此，當兩向量相等時，總可以將這兩個向量通過平行移動的方式達到完全重合.6.2.2向量的線性運算定義6.3從同一始點出發(fā)的兩向量和，作以

、為鄰邊的平行四邊形，則由始點到對頂點的向量稱為、之和，記為（如圖6-11左）.這種定義法稱為平行四邊形法則，由于向量可以平行移動，可將平行移動至的終點與的始點重合，則由的始點到的終點的向量也稱為、之和，而其首尾相連構成三角形，所以也稱三角形法則（如圖6-11右）.不難看出，三角形法則與平行四邊形法則是等價的.圖6-11向量的加法運算律：(1)交換律：(2)結合律：定義6.4如果向量加向量等于向量，則稱向量為向量與向量之差，記作：，即（如圖6-12）.圖6-12從圖像上不難看出，當兩向量始點重合，它們的差所得到的向量總是從減向量的終點指向被減向量的終點.根據(jù)向量相等的定義平移

、向量至平行四邊形的對邊，同理可以得出：

定義6.5與向量的模相同但方向相反的向量，稱為向量的負向量，記作，即.由此可規(guī)定兩個向量的減法：

.特別地，當

時，有（其中指零向量）.向量與實數(shù)的乘積記作,規(guī)定:(1)是一個向量;(2)其模為:;(3)其方向為:當

時與同向，；

當時與方向相反，；當時,

為零向量.同時規(guī)定：若是零向量，則.數(shù)與向量乘積的運算規(guī)律（為實數(shù)）:(1)結合律:.(2)分配律:;.證明從略.由運算規(guī)律可知，非零向量同方向的單位向量為，因此任意非零向量都可以表示為.例1在中，是邊的中點，設

，

，試用、表示向量

、

和（如圖6-13）.解由，即，得

，又因為

.

所以圖6-136.2.3向量的坐標表達式前面介紹了向量的運算，但還只能用圖形表示.下面通過空間直角坐標系的引入，實現(xiàn)向量與空間中點的一一對應，從而建立向量與有序數(shù)組的對應關系，并最終實現(xiàn)向量幾何運算的代數(shù)化. 設為空間一點，它的坐標為（如圖6-14所示）.根據(jù)向量的運算法則，向量

可以分解為：

習慣上，我們把軸、軸和軸上沿正向的單位向量分別記為，和，稱為坐標的單位向量.由數(shù)量與向量的乘積定義有

，

，從而有.圖6-14上式稱為向量的坐標表達式，也可記為

.其中，分別稱為向量沿、、軸方向的分向量.特別地有，，.有了向量坐標后，可簡化向量加法、減法以及向量與數(shù)的乘法的運算如下：設，.則

而向量的長度為：.顯然,;或例2已知向量

的始點為

，終點為

，求的坐標表示.解根據(jù)題意如圖6-15所示，有圖6-15注意：通過上例可以看出，空間任意兩點間連線構成的向量，其坐標可以表示成向量的終點與始點的對應坐標之差.例3已知，求解

6.2.4向量的模與方向余弦定義6.6非零向量與三條坐標軸正向的夾角稱為向量的方向角.如圖6-16所示，向量

與軸、軸和

軸正向的夾角分別為、、（

.方向角的余弦及稱為向量的方向余弦.不妨設

，由立體幾何知識得出：

，

得：

，其中為與同向的單位向量.圖6-16例4設，.求向量的長度及方向余弦，并求的坐標表達式.解

,,

例5設向量的兩個方向余弦為

，又

，求向量的坐標.解假設所求向量為，因，則所以，或例6已知作用于一質點的三個力，求其合力的大小和方向余弦.解合力，即

.所以，

，方向余弦6.2.5向量的數(shù)量積與向量積定義6.7兩個向量的長度與它們之間的夾角余弦的乘積稱作向量的數(shù)量積（也稱點積），記作

，為兩個向量正方向之間不超過的夾角.根據(jù)數(shù)量積的定義，可以得到：；若與均為非零向量，則.顯然.而由，可知.(2)數(shù)量積滿足下列規(guī)律：交換律:;分配律:;結合律:

（為實數(shù)）.證明從略.下面對兩個向量數(shù)量積的計算公式進行推導：設

.則

.即

.利用數(shù)量積的坐標表達式，對任意向量還有如下性質：(1)如果

則由

可得

；(2)如果

均為非零向量，有

；(3).例7設

.求與之間的夾角余弦.解

；

例8已知三點

、

、

,求.

解從到的向量記為，從到的向量記為，則就是向量與的夾角.

所以

.從而，.例9求在坐標面上與向量

垂直的單位向量.解設所求向量為

.又因為是單位向量且與垂直，所以

.即有，解得

或

.探究：互聯(lián)網(wǎng)時代，信息的采集、傳播的速度和規(guī)模達到空前水平，實現(xiàn)了全球的信息共享與交互.互聯(lián)網(wǎng)已經成為信息社會必不可少的基礎設施.借助互聯(lián)網(wǎng)技術的發(fā)展，每天在我們所生活的這個世界出現(xiàn)了海量的信息，我們稱之為"信息爆炸".那么，我們如何利用計算機將這些海量數(shù)據(jù)實現(xiàn)自動分類呢？通過建立實詞詞庫，并按某篇信息中實詞出現(xiàn)的頻率賦值為，從而將實詞詞庫向量化，形成特征向量表達

.類似地，計算出另一篇信息的特征向量

，通過余弦公式判斷兩篇信息是否重復或相似（越相似，值越接近1），就可以進行信息判斷和處理了.定義6.8設向量由兩個向量滿足下列條件所確定：(1)的模等于；

的方向規(guī)定為：，并且按順序符合右手法則（見圖6-17）.則稱向量為向量的向量積（也稱為叉積），記作

.圖6-17引例3中，洛倫茲力可表示為.注意：兩個向量向量積的模有直觀幾何解釋，即是以（始點重合）為鄰邊的平行四邊形的面積.由向量積的定義可得：（1）；（2）若

均為非零向量，則.例如.另外，由定義易得

而.對于任意向量

，滿足如下向量積運算規(guī)律：反交換律：

；分配律：

；數(shù)乘結合率：(為實數(shù)）.證明從略.下面討論向量積的坐標表示式.設.則利用二階行列式，可將上式改寫為（6.1）為了便于記憶，利用三階行列式的計算規(guī)律把（6.1）式記為（6.2）進一步可得，兩向量平行的充要條件為

，其中分母不同時為零.例10已知

，問

與平行嗎？解

.顯然有

，所以.例11已知的頂點分別是，，，求的面積.解由向量積的定義有，=.而，所以

=.例12求同時垂直于向量

和的單位向量.解由向量積的定義可知，若

，則同時垂直于

和.因此，

與平行的單位向量為：

6.2.6空間平面與空間直線的方程1.空間平面如果一個非零向量垂直于一平面．則稱此向量為該平面的法線向量，簡稱法向量．易知，平面上的任一向量均與該平面的法向量垂直，而一個平面的法向量有無窮多個.設平面通過一定點且其法向量為下面來建立該平面的方程.設點

為平面上任意一點（如圖6-18），則點

在平面上的充要條件是即

由于圖6-18故.（6.3）由點的任意性，平面上的任一點都滿足方程（6.3）.反之，不在該平面上的點的坐標都不滿足方程（6.3）.因此，方程（6.3）就是所求的平面的方程，稱為平面的點法式方程.

方程（6.3）整理后可得到一個三元一次方程.（6.4）其中.反過來，可證明任何一個三元一次方程都代表了某一平面方程.于是，方程（6.4）便被稱為平面的一般式方程，且為其法向量.特殊地，若，則平面過原點；若

或或，則平面分別平行于軸、軸、軸；若或

或，則平面分別過軸、軸、軸.例13求過點

且以為法向量的平面的方程.解根據(jù)平面的點法式方程,得所求平面的方程為:

,即

.例14求與平面

平行且過點的平面的方程.解因所求平面與已知平面平行，因而所求平面的法向量便可取為已知平面的法向量：

.由點法式，可得所求的平面方程為：

即例15已知平面上三點

，求此平面方程.解

所求平面的法向量為.由點法式得平面方程:,即.例16平面過三定點

，且

，求該平面的方程.解根據(jù)題意可知，，.所以平面的法向量

可取為

.又根據(jù)已知點的坐標可求得所以,

取定點為，代入平面的點法式方程并化簡便可得由于1，上式兩邊除以，得圖6-19（6.5）注意：式(6.5)稱為平面的截距式方程，分別稱為平面在軸、軸和軸上的截距.設兩平面

和的法向量分別為，稱這兩個平面法向量的夾角（銳角）為這兩個平面的夾角（如圖6-20），則：

易知，（1）（2）圖6-20例17求兩平面

和

的夾角.解兩平面的法向量分別為：

，因此

所以，所求夾角為.2.空間直線空間直線可看作兩平面的交線，于是直線方程可以通過這兩個平面的方程聯(lián)立獲得.即

（6.7）其中，

與不成比例.（6.7）式稱為直線的一般式.我們都清楚，過定點且與一條非零向量平行的直線可以被唯一確定下來.假設定點為

，非零向量為

，又設直線上任意一點為(如圖6-21)，則

.顯然向量與向量平行，滿足

.（6.8）圖6-21式（6.8）稱為直線的點向式方程，又稱為直線的對稱式方程或標準方程，其中稱為直線的方向向量.注意：我們約定當分母為時，其對應分子也為.顯然，直線的點向式可以轉化為一般式.其實，式(6.8)可以改寫為兩個平面方程的聯(lián)立:

同時，設

，可得

（6.9）式(6.9)稱為直線的參數(shù)方程，其中為參變量.例18已知直線的一般式為求此直線的對稱式與參數(shù)方程.解法一：對一般式方程利用消元法，消去，得

,

即.同樣的，對一般式方程利用消元法，消去，得.所以對稱式方程為:

又令

，則可得直線的參數(shù)方程為例19求過點

且過直線

的平面方程.解由直線方程易知，點為已知直線上的點.同時，直線的方向向量為.設所求平面的法向量為，顯然

，.所以所求平面方程為:

,即.稱兩條直線相交所形成的銳角為兩直線的夾角.設兩直線和的方向向量分別為，于是（6.10）易知：（1）（2）類似地，直線和平面的夾角可以由直線的方向向量和平面的法向量之間的夾角（銳角）獲得（如圖6-22）.設直線的方向向量為

，平面的法向量為，則

易知：（1）（2）圖6-22例20已知直線

和平面

.求

和的夾角.解由題意可知直線的方向向量為

，平面的法向量為，則即應用與實踐案例1長方體中，

，

，，點在棱上，且，點在棱

上，且

，點，分別是

，的中點（如圖6-23左），求證：.

圖6-23解建立空間直角坐標系(如圖6-23右)，則長方體頂點坐標為，

，

，

，，.由此，已知

，有

，所以同理可得：.因而

.顯然，

.又因為

，所以案例2已知正方體

中，、

是棱、的中點，求直線

和所成角的余弦值（如圖6-24左）．

解設正方體的棱長為，建立空間直角坐標系（如圖6-24右），則，，

，

，.由此，設和成的角為，則所以，直線

和

所成角的余弦值是圖6-24案例3如圖6-25，質量為的小滑塊，由靜止開始從傾角為的固定光滑斜面頂端A滑至底端B，A點距離水平地面的高度為，求滑塊滑到B點時重力的瞬時功率.解重力的功率也是向量的數(shù)量積，即

，其中速度

，為重力與速度之間的夾角，由圖6-25可知

，因此滑塊滑到B點時重力的瞬時功率.圖6-25案例4剛體以等角速度

繞軸旋轉，試表示剛體上一點的線速度.解

設點

到旋轉軸

的距離為，再在軸上任取一點作向量，并以表示與的夾角，那么.設線速度為，那么由物理學可知

，垂直于與，且的指向是使、、符合右手法則，如圖6-26，因此有.圖6-26情景與問題引例1

雙曲冷卻塔(如圖6-27)是火電廠、核電站的循環(huán)水自然通風冷卻的一種構筑物.由于其具有占地面積小，布置緊湊，水量損失小、冷卻效果不受風力影響、維護相對簡便、節(jié)約能源等特點而得到廣泛使用.試分析雙曲冷卻塔外表面的數(shù)學模型.分析雙曲冷卻塔的外表面是由空間中滿足特定特征的點匯集而成.從側平面觀察，塔身呈雙曲線型，可以看作是由雙曲線繞豎軸旋轉而成，數(shù)學上稱作單葉旋轉雙曲面.它是如何旋轉而成的呢？空間表達式如何表示呢？本節(jié)就來介紹一些典型空間曲面方程.圖6-276.3.1球心在點、半徑為的球面方程已知一個以點

為球心、為半徑的空間球面，設點

是球面上任一點.由空間兩點間距離公式，有方程即

（6.12）式（6.12）就是球面上點的坐標所滿足的方程.反之，不在球面上的點的坐標就不能滿足這個方程，故方程（6.12）即為球心在，半徑為的球面的方程，并稱此方程為球面標準方程.其特點是缺、

項，且平方項各系數(shù)相同.將上式整合簡記為方程

該方程便被稱作球面的一般方程.例1方程表示怎樣的曲面？解原方程可以改寫為因此，它表示一個球心在

，半徑為的球面.6.3.2母線平行于坐標軸的柱面定義6.9設有一條曲線，過上每一點作與平行的直線，這些直線所形成的面稱為柱面，稱為柱面的準線，這些相互平行的直線稱為柱面的母線.如圖6-28左圖所示.

圖6-28我們僅討論準線在坐標面上，而母線垂直于該坐標面的柱面(如圖6-28右圖).例2分析方程表示什么曲面？分析：在坐標面上，方程表示圓心在原點，半徑為的圓.在空間直角坐標系中，由于方程缺

，這意味著不論空間中點的坐標怎樣，凡坐標和坐標滿足這方程的點，都在方程所表示的曲面上；反之，凡是點的坐標和坐標不滿足這個方程的，不論坐標怎樣，這些點都不在曲面上，即點在曲面上的充要條件是點

在圓

上.而是在過點

且平行于軸的直線上，這就是說方程表示：由通過坐標面上的圓上每一點且平行于軸（即垂直于坐標面）的直線所組成，即方程表示柱面，該柱面稱為圓柱面(如圖6-29).圖6-29注意：一般地，如果方程中缺，即

，表示準線在

坐標面上，母線平行于軸的柱面.類似地，方程表示母線平行于軸的柱面方程，表示母線平行于軸的柱面方程.例3作方程的圖形.解因方程缺，所以它表示母線平行于軸，準線為坐標面上的拋物線的柱面.該柱面稱為拋物柱面（如圖6-30）.圖6-30例4方程表示什么曲面？解由于方程中缺

，所以它表示母線平行于軸的柱面.它的準線是

坐標面上的橢圓.方程表示一個橢圓柱面（如圖6-31）.

圖6-316.3.3旋轉曲面定義6.10一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋轉曲面，這條直線稱為旋轉軸.下面我們討論旋轉軸為坐標軸的旋轉曲面方程.設在坐標面上曲線的方程為

.求曲線繞軸旋轉得到的旋轉曲面方程.