第12講 圓錐曲線中的軌跡方程（教師版）-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)幫

Page圓錐曲線中的軌跡方程（5類核心考點(diǎn)精講精練）1.5年真題考點(diǎn)分布5年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2024年新I卷，第11題,6分求平面軌跡方程由方程研究曲線的性質(zhì)2024年新Ⅱ卷，第5題,5分求平面軌跡方程無2023年新I卷，第22題,12分求平面軌跡方程由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(不含參)基本(均值)不等式的應(yīng)用求直線與拋物線相交所得弦的弦長2021年新I卷，第21題,12分求雙曲線的軌跡方程雙曲線中的定值問題2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，設(shè)題不定，難度中等或偏難，分值為5-17分【備考策略】1.理解、掌握圓錐曲線的定義2.會用方法求解軌跡方程的相關(guān)計(jì)算【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，小題和大題都會作為載體命題，同學(xué)們要會結(jié)合公式運(yùn)算，需強(qiáng)化訓(xùn)練復(fù)習(xí)知識講解求軌跡方程的5種常用方法

1直接法:直接將條件翻譯成等式，整理化簡后即得動點(diǎn)的軌跡方程，這種求軌跡方程的方法通常叫做直接法。

2定義法:如果能夠確定動點(diǎn)的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可利用曲線的定義寫出方程，這種求軌跡方程的方法叫做定義法。

3相關(guān)點(diǎn)法:用動點(diǎn)M的坐標(biāo)x，y表示相關(guān)點(diǎn)P的坐標(biāo)x0、y0，然后代入點(diǎn)P的坐標(biāo)x0、y0所滿足的曲線方程，整理化簡便得到動點(diǎn)Q軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做相關(guān)點(diǎn)法。（用未知表示已知，帶入已知求未知)

4參數(shù)法:當(dāng)動點(diǎn)坐標(biāo)考點(diǎn)一、直接法求軌跡方程1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到軸的距離等于點(diǎn)到點(diǎn)的距離，記動點(diǎn)的軌跡為．(1)求的方程；【答案】(1)【分析】（1）設(shè)，根據(jù)題意列出方程，化簡即可；【詳解】（1）設(shè),則，兩邊同平方化簡得，故.2．（遼寧·高考真題）已知點(diǎn)、，動點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡是（）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線【答案】D【分析】向量坐標(biāo)化代入等式即可.【詳解】∵動點(diǎn)滿足，∴，∴，解得，∴點(diǎn)的軌跡是拋物線.故選:D【點(diǎn)睛】直譯法求軌跡方程:把等式中相關(guān)量坐標(biāo)化（代數(shù)化），然后整理化簡.3．（湖北·高考真題）設(shè)過點(diǎn)的直線分別與x軸的正半軸和y軸的正半軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于y軸對稱，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若且，則點(diǎn)P的軌跡方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】設(shè)，根據(jù)求出，再利用，求出軌跡方程，注意.【詳解】由題意得：，設(shè)，因?yàn)?，所以，解得：，因?yàn)?，所以所以，因?yàn)?，所以，?故選：D4．（江蘇·高考真題）如圖所示，圓與圓的半徑都是1，，過動點(diǎn)分別作圓、圓的切線（為切點(diǎn)），使得，試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并求動點(diǎn)的軌跡方程．【答案】（或）.【分析】建立直角坐標(biāo)系，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)幾何關(guān)系列方程，化簡即可得到結(jié)果.【詳解】以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，所在的直線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)點(diǎn).由已知，得.因?yàn)閮蓤A的半徑均為1，所以，則，即，所以點(diǎn)的軌跡方程為（或）.【點(diǎn)睛】本題主要考查了與圓相關(guān)的動點(diǎn)軌跡方程，考查學(xué)生計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力，熟練運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想是本題的關(guān)鍵.5．（2021·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知，函數(shù).若成等比數(shù)列，則平面上點(diǎn)的軌跡是（

）A．直線和圓 B．直線和橢圓 C．直線和雙曲線 D．直線和拋物線【答案】C【分析】首先利用等比數(shù)列得到等式，然后對所得的等式進(jìn)行恒等變形即可確定其軌跡方程.【詳解】由題意得，即，對其進(jìn)行整理變形：，，，，所以或，其中為雙曲線，為直線.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查軌跡方程，關(guān)鍵之處在于由題意對所得的等式進(jìn)行恒等變形，提現(xiàn)了核心素養(yǎng)中的邏輯推理素養(yǎng)和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，屬于中等題.1．（2020·全國·高考真題）在平面內(nèi)，A，B是兩個(gè)定點(diǎn)，C是動點(diǎn)，若，則點(diǎn)C的軌跡為（

）A．圓 B．橢圓 C．拋物線 D．直線【答案】A【分析】首先建立平面直角坐標(biāo)系，然后結(jié)合數(shù)量積的定義求解其軌跡方程即可.【詳解】設(shè)，以AB中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

則：，設(shè)，可得：，從而：，結(jié)合題意可得：，整理可得：，即點(diǎn)C的軌跡是以AB中點(diǎn)為圓心，為半徑的圓.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量及其數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，軌跡方程的求解等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.2．（24-25高二上·上?！るS堂練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動點(diǎn)P關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)為Q，且，則點(diǎn)P的軌跡方程為.【答案】【分析】先設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)已知等式化簡得出軌跡方程.【詳解】設(shè)，則，又因?yàn)榭傻?則點(diǎn)的軌跡方程為.故答案為：.3．（23-24高二上·陜西寶雞·期中）已知點(diǎn)，，若動點(diǎn)滿足，則動點(diǎn)的軌跡方程為.【答案】【分析】設(shè)，根據(jù)斜率得到，化簡即可.【詳解】設(shè)，由題意可知，，整理可得動點(diǎn)的軌跡方程為.故答案為：.4．（24-25高三上·廣西南寧·開學(xué)考試）已知，，在x軸上方的動點(diǎn)M滿足直線AM的斜率與直線BM的斜率之積為2，則動點(diǎn)M的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)兩點(diǎn)求斜率，即可列等量關(guān)系化簡求解即可.【詳解】設(shè)動點(diǎn)，由于，，根據(jù)直線與的斜率之積為．整理得，化簡得：．故選：B5．（2024·浙江溫州·一模）動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線：的距離的比等于，則動點(diǎn)的軌跡方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)距離公式即可化簡求解.【詳解】根據(jù)題意可得，平方化簡可得，進(jìn)而得，故選:A考點(diǎn)二、定義法求軌跡方程1．（重慶·高考真題）如圖，M（-2，0）和N（2，0）是平面上的兩點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足：（Ⅰ）求點(diǎn)P的軌跡方程;（Ⅱ）設(shè)d為點(diǎn)P到直線l：的距離，若,求的值.【答案】（I）；（II）．【分析】（I）由雙曲線的定義知點(diǎn)軌跡是以為焦點(diǎn)，實(shí)軸長的雙曲線，由此易得其標(biāo)準(zhǔn)方程；（II）先求出（注意其取值范圍），根據(jù)雙曲線的第二定義，建立與的關(guān)系，從而，再由可得結(jié)論．【詳解】（I）由雙曲線的定義知點(diǎn)軌跡是以為焦點(diǎn)，實(shí)軸長的雙曲線，因此半焦距，實(shí)半軸長，從而虛半軸長，雙曲線方程為．（II）由（I）及圖，易知，因，①知|PM|>|PN|，故P為雙曲線右支上的點(diǎn)，所以|PM|=|PN|+2.

②將②代入①，得2||PN|2-|PN|-2=0，解得|PN|=,所以|PN|=.因?yàn)殡p曲線的離心率e==2，直線l:x=是雙曲線的右準(zhǔn)線，故=e=2,所以d=|PN|，因此．【點(diǎn)睛】本小題主要考查雙曲線的第一定義、第二定義及轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，同時(shí)考查了學(xué)生的運(yùn)算能力．2．（重慶·高考真題）如圖，和是平面上的兩點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足：．(1)求點(diǎn)P的軌跡方程；(2)若，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)，，，【分析】由已知，可根據(jù)橢圓的定義，判斷點(diǎn)P的軌跡為橢圓，設(shè)出橢圓方程，利用待定系數(shù)法，分別求解出即可；由已知，由可得：，將這個(gè)式子代入到中，利用余弦定理得到中，可得：，從而判斷點(diǎn)P的軌跡滿足雙曲線，求解出雙曲線的方程，令橢圓和雙曲線方程聯(lián)立，即可求解坐標(biāo).【詳解】（1）由已知，和是平面上的兩點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足：，所以由橢圓的定義可知，點(diǎn)P的軌跡是以和為焦點(diǎn)，長軸為的橢圓，設(shè)橢圓方程為：，由已知可得：半焦距，長半軸，所以，所以點(diǎn)P的軌跡方程為：.（2）由，得，①又因?yàn)?，所以點(diǎn)P不為橢圓長軸的頂點(diǎn)，故點(diǎn)P、點(diǎn)M、點(diǎn)N三點(diǎn)組成三角形，在中，，，由余弦定理可知：，②將①代入②得：，所以，即，故點(diǎn)P的軌跡是以和為焦點(diǎn)，實(shí)軸為的雙曲線，設(shè)雙曲線方程為：，由已知可得：，，所以點(diǎn)P的軌跡方程為：.又因?yàn)辄c(diǎn)P又滿足橢圓方程：，所以由方程組：解得：，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為：，，，.3．（江西·高考真題）設(shè)動點(diǎn)P到兩定點(diǎn)和的距離分別為和，，且存在常數(shù)，使得．(1)證明：動點(diǎn)P的軌跡C為雙曲線，并求出C的方程；(2)如圖，過點(diǎn)的直線與雙曲線C的右支交于兩點(diǎn)．問：是否存在，使是以點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【答案】(1)證明見解析；.(2)存在；.【分析】（1）在中，利用余弦定理得出是一個(gè)常數(shù)，從而動點(diǎn)P的軌跡C是以為焦點(diǎn)的雙曲線，最后求出雙曲線的方程即可；（2）在中，設(shè),對于存在性問題，可先假設(shè)存在，即假設(shè)為等腰直角三角形，再利用方程組，求出的值，若出現(xiàn)矛盾，則說明假設(shè)不成立，即不存在；否則存在.【詳解】（1）證明：在中，，因?yàn)榇嬖诔?shù)，使得，故，∴（小于2的常數(shù)），故動點(diǎn)P的軌跡C是以為焦點(diǎn)，實(shí)軸長的雙曲線，，雙曲線方程為.（2）在中，設(shè),假設(shè)為等腰直角三角形，則

,由②與③得，則,由⑤得，即，又，，故，故存在滿足題設(shè)條件．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了軌跡方程的求解，考查了雙曲線定義的應(yīng)用以及雙曲線中的探索性問題，解答的關(guān)鍵是利用雙曲線的性質(zhì)結(jié)合圖形的幾何性質(zhì)得到相應(yīng)等量關(guān)系，進(jìn)而化簡求值,解答時(shí)等量關(guān)系式較多，要注意化簡順序和技巧，可使得計(jì)算簡化，本題綜合性較強(qiáng)，計(jì)算量較大.1．（2023高三·全國·專題練習(xí)）已知?jiǎng)狱c(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程，則動點(diǎn)M的軌跡是（

）A．橢圓 B．雙曲線 C．拋物線 D．以上都不對【答案】C【分析】等價(jià)變形給定等式，再利用式子表示的幾何意義，結(jié)合拋物線定義即可得解.【詳解】等式變形成，因此該等式表示動點(diǎn)到原點(diǎn)的距離等于到它直線的距離，而直線不過原點(diǎn)，所以動點(diǎn)M的軌跡是拋物線.故選：C2．（23-24高二上·四川涼山·期末）已知點(diǎn)，，動點(diǎn)滿足條件，則動點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)雙曲線的定義可判斷動點(diǎn)的軌跡形狀，利用待定系數(shù)法即可求得軌跡方程.【詳解】因?yàn)?，，所以，動點(diǎn)滿足，由雙曲線的定義可知，動點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，設(shè)雙曲線方程為，則有，，，所以動點(diǎn)的軌跡方程為.故選：D.3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）若動點(diǎn)Px,y滿足方程，則動點(diǎn)P的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)雙曲線定義得到點(diǎn)P的軌跡方程是以A?2,0與為焦點(diǎn)的雙曲線，得到答案.【詳解】由題意得點(diǎn)Px,y到點(diǎn)A?2,0與點(diǎn)的距離之差的絕對值為3，且，故動點(diǎn)P的軌跡方程是以A?2,0與為焦點(diǎn)的雙曲線，故，所以，所以雙曲線的方程為.故選：A.4．（2023·湖北·一模）如圖，已知橢圓C的中心為原點(diǎn)O，F(xiàn)(－5,0)為C的左焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，滿足|OP|＝|OF|且|PF|＝6，則橢圓C的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè)右焦點(diǎn)為F′，連接PF′，根據(jù)已知可推得PF⊥PF′，根據(jù)勾股定理可求得，根據(jù)橢圓的定義可求得，從而可得答案.【詳解】由題意可得c＝5，設(shè)右焦點(diǎn)為F′，連接PF′，由|OP|＝|OF|＝|OF′|知，∠PFF′＝∠FPO，∠OF′P＝∠OPF′，∴∠PFF′＋∠OF′P＝∠FPO＋∠OPF′，∴∠FPO＋∠OPF′＝90°，即PF⊥PF′，在Rt△PFF′中，由勾股定理，得|PF′|＝＝＝8，由橢圓的定義，得|PF|＋|PF′|＝2a＝6＋8＝14，從而a＝7，a2＝49，于是b2＝a2－c2＝49－52＝24，∴橢圓C的方程為，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的定義，考查了由求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.屬于基礎(chǔ)題.5．（20-21高二上·安徽宿州·期末）在中，已知，且的周長為16，則頂點(diǎn)的軌跡方程是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由周長得到，利用橢圓定義寫出點(diǎn)的軌跡方程.【詳解】由條件可知，，，點(diǎn)是以為焦點(diǎn)的橢圓，除去左右頂點(diǎn)，并且，，頂點(diǎn)的軌跡方程是.故選：C6．（22-23高二·全國·課堂例題）若點(diǎn)滿足方程，則動點(diǎn)M的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用兩點(diǎn)距離公式的幾何意義，結(jié)合橢圓的定義即可得解.【詳解】因?yàn)閯狱c(diǎn)滿足關(guān)系式，所以該等式表示點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)，的距離的和為12，而，即動點(diǎn)M的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓，且，即，又，，所以動點(diǎn)M的軌跡方程為.故選：C.7．（2024·湖南長沙·二模）已知圓N：，直線，圓M與圓N外切，且與直線相切，則點(diǎn)M的軌跡方程為．【答案】【分析】設(shè)動圓的半徑為r，則點(diǎn)M到l＇：與點(diǎn)M到點(diǎn)N的距離相等，都是，再利用拋物線的定義求解.【詳解】由題意得，直線l：，且圓N：，設(shè)圓M半徑為r，則點(diǎn)M到l＇：與點(diǎn)M到點(diǎn)N的距離相等，都是，故點(diǎn)M的軌跡是以N為焦點(diǎn)，以l＇為準(zhǔn)線的拋物線，故方程為．故答案為：8．（2024·河南濮陽·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)F的坐標(biāo)為，以線段FP為直徑的圓與圓相切，則動點(diǎn)P的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分兩圓外切和內(nèi)切兩種情況，根據(jù)兩圓位置關(guān)系結(jié)合雙曲線的定義分析求解.【詳解】由題意可知：圓的圓心為O0,0，半徑，設(shè)，以線段FP為直徑的圓的圓心為M，半徑為，若圓與圓外切，則，，可得；若圓與圓內(nèi)切，則，，可得；綜上所述：，可知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線，且，則，所以動點(diǎn)P的軌跡方程為.故選：B.9．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到點(diǎn)距離與點(diǎn)到直線距離的差為-1，記動點(diǎn)的軌跡為．(1)求的方程；(2)設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．（i）求在點(diǎn)處的切線的斜率（用表示）；（ii）直線與分別交于點(diǎn)．若，且時(shí)，求直線的斜率的取值范圍（用表示）．【答案】(1)(2)（i），（ii）【分析】（1）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，利用距離公式列式化簡求解即可；（2）（i）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線斜率；（ii）分析直線l斜率存在設(shè)為，與拋物線方程聯(lián)立，韋達(dá)定理，表示出線段AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用斜率關(guān)系得，從而，根據(jù)，得，分類討論解不等式即可.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，由題意得，即，整理得或故W的方程為.

（2）（i）因?yàn)閃為，所以．所以W在點(diǎn)P處的切線的斜率為：；（ii）設(shè)直線l為，點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，不合題意，所以；因?yàn)辄c(diǎn)A，B滿足所以滿足，從而因?yàn)橹本€PM的方程為，所以，即，從而.因?yàn)椋?，即，等價(jià)于(其中).①當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)，②當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)，綜上，當(dāng)時(shí)，；【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第二問的關(guān)鍵點(diǎn)在于分析直線l斜率存在設(shè)為，與拋物線方程聯(lián)立，韋達(dá)定理，表示出線段AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用斜率關(guān)系得，從而，根據(jù)，得，分類討論解不等式即可.10．（22-23高二上·浙江金華·期中）已知橢圓C：＝1（）的右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為，且橢圓上任意一點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之和為4.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)過右焦點(diǎn)F的直線l與橢圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)Q關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為，試問的面積是否存在最大值？若存在求出這個(gè)最大值；若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)存在最大值，最大值為【分析】（1）由題意直接得到，，然后計(jì)算出即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立橢圓的方程，設(shè)，，則，利用韋達(dá)定理得到兩根之和與兩根之積，求出直線的方程，令，求出，即直線與軸交于一個(gè)定點(diǎn)，記為，然后計(jì)算即可.【詳解】（1）由題意可知：，橢圓上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為4，所以，即，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）由題意可知直線的斜率不為，且斜率不可能不存在（否則重合），所以設(shè)直線的方程為：，與橢圓的方程聯(lián)立，得，消去，得，所以，設(shè)，，則，由根與系數(shù)的關(guān)系，得，直線的斜率為：，所以直線的方程為，令，得，即直線與軸交于一個(gè)定點(diǎn)，記為，則，等號成立當(dāng)且僅當(dāng).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問的關(guān)鍵在于得出直線與軸交于一個(gè)定點(diǎn)，記為，且得到，由此即可順利得解考點(diǎn)三、相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程1．（2024·全國·高考真題）已知曲線C：（），從C上任意一點(diǎn)P向x軸作垂線段PP'，為垂足，則線段PP'的中點(diǎn)M的軌跡方程為（

A．（） B．（）C．（） D．（）【答案】A【分析】設(shè)點(diǎn)，由題意，根據(jù)中點(diǎn)的坐標(biāo)表示可得，代入圓的方程即可求解.【詳解】設(shè)點(diǎn)，則，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，即，又在圓上，所以，即，即點(diǎn)的軌跡方程為.故選：A2．（上?！じ呖颊骖}）點(diǎn)與圓上任一點(diǎn)連線的中點(diǎn)的軌跡方程是A．B．C．D．【答案】A【詳解】試題分析：設(shè)圓上任一點(diǎn)為，中點(diǎn)為，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，，因?yàn)樵趫A上，所以，即，化為，故選A.考點(diǎn)：1、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2、“逆代法”求軌跡方程.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、“逆代法”求軌跡方程，屬于難題.求軌跡方程的常見方法有:①直接法，設(shè)出動點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)題意列出關(guān)于的等式即可；②定義法，根據(jù)題意動點(diǎn)符合已知曲線的定義，直接求出方程；③參數(shù)法，把分別用第三個(gè)變量表示，消去參數(shù)即可；④逆代法，將代入.本題就是利用方法④求的軌跡方程的.3．（全國·高考真題）設(shè)P為雙曲線上一動點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M為線段的中點(diǎn)，則點(diǎn)M的軌跡方程為．【答案】【分析】設(shè)，，用的坐標(biāo)表示的坐標(biāo)，再代入雙曲線方程即可得答案.【詳解】設(shè)，，則，即，又，則，整理得，即點(diǎn)M的軌跡方程為.故答案為：4．（陜西·高考真題）如圖，設(shè)P是圓上的動點(diǎn)，點(diǎn)D是P在x軸上投影，M為上一點(diǎn)，且.(1)當(dāng)P在圓上運(yùn)動時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡C的方程；(2)求過點(diǎn)且斜率為的直線被C所截線段的長度.【答案】(1)(2)【分析】（1）用相關(guān)點(diǎn)法求解軌跡方程，設(shè)出，得到，代入中，得到軌跡方程；（2）求出過點(diǎn)且斜率為的直線方程，聯(lián)立第一問所求的曲線方程，得到兩根之和，兩根之積，由弦長公式求出答案.【詳解】（1）設(shè)，則，，因?yàn)?，所以，即，故，所以，因?yàn)镻是圓上的點(diǎn)，所以，即；（2）過點(diǎn)且斜率為的直線方程為，與聯(lián)立得：，易得，設(shè)直線與的兩交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，則，，故被C所截線段的長度為.1．（23-24高三下·重慶·期中）長為2的線段的兩個(gè)端點(diǎn)和分別在軸和軸上滑動，則點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)出、、點(diǎn)坐標(biāo)，由題意可得、兩點(diǎn)坐標(biāo)間的關(guān)系，用點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)替換、點(diǎn)坐標(biāo)代入計(jì)算即可得.【詳解】設(shè)、，，則有，，即，，由題意可得，即，即.故選：D.2．（23-24高三下·江西·開學(xué)考試）已知面積為的正方形的頂點(diǎn)、分別在軸和軸上滑動，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，則動點(diǎn)的軌跡方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè)點(diǎn)、、，由平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得出，由正方形的面積公式可得出，將代入等式整理可得出點(diǎn)的軌跡方程.【詳解】設(shè)點(diǎn)、、，由，所以，，可得，因?yàn)檎叫蔚拿娣e為，即，即，整理可得，因此，動點(diǎn)的軌跡方程為.故選：C.3．（2023高三·全國·專題練習(xí)）已知點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，O為原點(diǎn)，M滿足，則點(diǎn)M的軌跡方程為．【答案】.【分析】先設(shè)點(diǎn),再由應(yīng)用相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程即可.【詳解】設(shè)點(diǎn)，由得點(diǎn)，而點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，于是得，整理得：，所以點(diǎn)M的軌跡方程是.故答案為:4．（2022高三·全國·專題練習(xí)）已知，，當(dāng)時(shí)，線段的中點(diǎn)軌跡方程為．【答案】【分析】根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得中點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)軌跡上任一點(diǎn)的坐標(biāo)，即得，消去參數(shù)，可得答案.【詳解】因?yàn)?，，所以中點(diǎn)坐標(biāo)為，即，設(shè)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)軌跡上任一點(diǎn)的坐標(biāo)，，，，即當(dāng)時(shí)，線段的中點(diǎn)軌跡方程為，故答案為：5．（2023·吉林長春·模擬預(yù)測）已知斜率為的動直線與橢圓交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，則的軌跡長度為．【答案】/【分析】設(shè)斜率為直線方程為，聯(lián)立方程組，寫出韋達(dá)定理，然后求出線段的中點(diǎn)為的參數(shù)方程，消參后得到的軌跡方程，然后利用數(shù)形結(jié)合方法分析即可.【詳解】設(shè)斜率為直線方程為：，代入橢圓中，消元整理得：，線段的中點(diǎn)為，設(shè)，則，所以，，所以，消去得：，所以線段的中點(diǎn)為的軌跡方程為：，如圖所示：的軌跡即為線段，由或，所以，所以的軌跡長度為：，故答案為：.考點(diǎn)四、參數(shù)法求軌跡方程1．（全國·高考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓P在x軸上截得線段長為2,在y軸上截得線段長為2.(1)求圓心P的軌跡方程;(2)若P點(diǎn)到直線y=x的距離為,求圓P的方程.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或【詳解】試題分析：（1）設(shè)，圓的半徑為，則，可得圓心的軌跡方程；（2）設(shè)，則，又根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式得，解出，進(jìn)而可得圓的半徑，求得圓的方程．試題解析：（1）設(shè)，圓的半徑為，由題設(shè)，從而，故的軌跡方程為．（2）設(shè)，由已知得，又點(diǎn)在雙曲線上，從而得．由，得，此時(shí)，圓的半徑，由，得，此時(shí)，圓的半徑，故圓的方程為或．考點(diǎn)：1.勾股定理及點(diǎn)到直線的距離公式；2.軌跡方程及待定系數(shù)法求圓的方程．【方法點(diǎn)晴】本題主要考查直接法求軌跡方程、點(diǎn)到直線的距離公式及三角形面積公式，屬于難題.求軌跡方程的常見方法有：①直接法，設(shè)出動點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)題意列出關(guān)于的等式即可；②定義法，根據(jù)題意動點(diǎn)符合已知曲線的定義，直接求出方程；③參數(shù)法，把分別用第三個(gè)變量表示，消去參數(shù)即可；④逆代法，將代入．本題（1）就是利用方法①求的軌跡方程的．2．（·遼寧·高考真題）設(shè)橢圓方程為，過點(diǎn)的直線l交橢圓于點(diǎn)A，B，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P滿足，點(diǎn)N的坐標(biāo)為，當(dāng)l繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)時(shí)，求：（1）動點(diǎn)P的軌跡方程；（2）的最小值與最大值.【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，最小值為；當(dāng)時(shí)，最大值為.【分析】（1）設(shè)出直線的方程和點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，聯(lián)立直線與橢圓的方程，即可求出，然后根據(jù)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，消去參數(shù)，即可得到動點(diǎn)P的軌跡方程，再檢驗(yàn)當(dāng)k不存在時(shí)，是否也滿足方程即可；（2）根據(jù)點(diǎn)P的軌跡方程求得的取值范圍，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出，消元，由二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出的最小值與最大值．【詳解】（1）直線l過點(diǎn)，設(shè)其斜率為k，則l的方程為．設(shè)，，由題設(shè)可得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)是方程組的解．將①代入②并化簡得，所以于是，，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則消去參數(shù)k得，③當(dāng)k不存在時(shí)，A、B中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，也滿足方程③，所以點(diǎn)P的軌跡方程為．（2）點(diǎn)P的軌跡方變形為，知，即．所以，故當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為．當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，兩點(diǎn)間的距離公式的應(yīng)用，利用參數(shù)法求軌跡，以及二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，綜合性較強(qiáng)，屬于中檔題．1．（23-24高三上·重慶·階段練習(xí)）已知圓與圓內(nèi)切，且圓與直線相切，則圓的圓心的軌跡方程為．【答案】【分析】根據(jù)題意可得：點(diǎn)到直線的距離，根據(jù)兩圓的位置關(guān)系列式求解即可.【詳解】設(shè)，點(diǎn)到直線的距離為d，如圖，只能在直線的左側(cè)，則，

因?yàn)閳A的圓心為，半徑為1，依題意可得，即，化簡可得，故圓的圓心的軌跡方程為．故答案為：.2．（21-22高二上·黑龍江哈爾濱·期末）已知圓：和圓：，動圓M同時(shí)與圓及圓外切，則動圓的圓心M的軌跡方程為.【答案】【分析】根據(jù)動圓同時(shí)與圓及圓外切，即可得到幾何關(guān)系，再結(jié)合雙曲線的定義可得動點(diǎn)的軌跡方程.【詳解】由題，設(shè)動圓的半徑為，圓的半徑為，圓的半徑為,當(dāng)動圓與圓，圓外切時(shí),,,所以,因?yàn)閳A心,，即，又根據(jù)雙曲線的定義，得動點(diǎn)的軌跡為雙曲線的上支，其中，，所以,則動圓圓心的軌跡方程是；故答案為：3．（2023·河南·模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，直線與拋物線交于兩點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的切線，若交于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程為.【答案】或【分析】由題可得拋物線方程，利用切線幾何意義可得切線斜率，即可表示出切線方程求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再將拋物線與直線聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理可得軌跡方程.【詳解】由焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，可得拋物線.由可得，故，故在處的切線方程為，即，同理在點(diǎn)處的切線方程為，聯(lián)立，即.聯(lián)立直線與拋物線方程：，消去得，由題或.由韋達(dá)定理，，得，其中或，故點(diǎn)的軌跡方程為：或.故答案為：或考點(diǎn)五、交軌法求軌跡方程1．（全國·高考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)，若點(diǎn)C滿足，其中，，且，則點(diǎn)C的軌跡方程為A． B．C． D．【答案】D【分析】向量坐標(biāo)化得結(jié)合即可得點(diǎn)C的軌跡方程．【詳解】設(shè).由已知可知，又，又，可得點(diǎn)C的軌跡方程為.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查向量坐標(biāo)運(yùn)算，消元法求軌跡方程，是基礎(chǔ)題2．（湖南·高考真題）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的動直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)．（1）若動點(diǎn)滿足（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求點(diǎn)的軌跡方程；（2）在軸上是否存在定點(diǎn)，使·為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）【分析】（1）設(shè)，則，，，，討論直線的斜率存在和不存在的兩種情況，當(dāng)不與軸垂直時(shí)，利用的中點(diǎn)坐標(biāo)和的坐標(biāo)表示直線的斜率，從而得到的方程，結(jié)合點(diǎn)差法消去的坐標(biāo)可求得結(jié)果，當(dāng)與軸垂直時(shí)，也滿足；（2）假設(shè)在軸上存在定點(diǎn)，使為常數(shù)．當(dāng)不與軸垂直時(shí)，設(shè)直線的方程是，聯(lián)立雙曲線方程，利用韋達(dá)定理化簡整理得到的表達(dá)式，從而得到，當(dāng)與軸垂直時(shí)，也滿足.【詳解】（1）由條件知，，設(shè)，．設(shè)，則，，，，由得即，于是的中點(diǎn)坐標(biāo)為．當(dāng)不與軸垂直時(shí)，，即．又因?yàn)閮牲c(diǎn)在雙曲線上，所以，，兩式相減得，即．將代入上式，化簡得．當(dāng)與軸垂直時(shí)，，求得，也滿足上述方程．所以點(diǎn)的軌跡方程是．（2）假設(shè)在軸上存在定點(diǎn)，使為常數(shù)．當(dāng)不與軸垂直時(shí)，設(shè)直線的方程是．代入有．則是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，所以，，于是．因?yàn)槭桥c無關(guān)的常數(shù)，所以，即，此時(shí).當(dāng)與軸垂直時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)可分別設(shè)為，，此時(shí)．故在軸上存在定點(diǎn)，使為常數(shù)．【點(diǎn)睛】本題考查求軌跡方程的方法和直線與雙曲線的位置關(guān)系，根據(jù)條件設(shè)而不求，最后再消去交點(diǎn)坐標(biāo)是解題的方向，屬難題.3．（福建·高考真題）如圖，P是拋物線上一點(diǎn)，直線l過點(diǎn)P且與拋物線C交于另一點(diǎn)Q.（1）若直線l與過點(diǎn)P的切線垂直，求線段PQ中點(diǎn)M的軌跡方程；（2）若直線l不過原點(diǎn)且與x軸交于點(diǎn)S，與y軸交于點(diǎn)T，試求的取值范圍.【答案】（1）(x≠0)；（2）(2,+∞).【分析】（1）設(shè)P(x1,y1)，Q(x2,y2)，M（x0,y0），欲求點(diǎn)M的軌跡方程，即尋找其坐標(biāo)的關(guān)系，可通過另外兩點(diǎn)P，Q與中點(diǎn)M的關(guān)系結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解；（2）欲求的取值范圍，可轉(zhuǎn)化為將其表示成某變量的表達(dá)式，設(shè)直線l:y=kx+b，依題意k≠0，b≠0，分別過P、Q作PP′⊥x軸，QQ′⊥x軸，垂足分別為P′、Q′，則，然后再利用韋達(dá)定理及均值不等式求此表達(dá)式的最值問題．【詳解】(1)設(shè)P(x1,y1)，Q(x2,y2)，M(x0,y0)，依題意x1≠0，y1>0，y2>0.由，得y′=x.∴過點(diǎn)P的切線的斜率k=x1，∴直線l的斜率，∴直線l的方程為，②聯(lián)立①②消去y，得.∵M(jìn)是PQ的中點(diǎn)，∴，消去x1，得，∴PQ中點(diǎn)M的軌跡方程為(x≠0).(2)設(shè)直線l:y=kx+b，依題意k≠0，b≠0，則T(0,b).分別過P、Q作PP′⊥x軸，QQ′⊥x軸，垂足分別為P′、Q′，則.由，y=kx+b消去x，得y2?2(k2+b)y+b2=0.③則y1+y2=2(k2+b)，y1y2=b2.∴.∵y1、y2可取一切不相等的正數(shù)，∴的取值范圍是(2,+∞).【點(diǎn)睛】本題考查軌跡方程，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，直線與圓錐曲線的綜合問題，解題的關(guān)鍵是將問題的轉(zhuǎn)化再結(jié)合韋達(dá)定理即可，屬于難題.1．（江西·高考真題）設(shè)點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)P作雙曲線的兩條切線，切點(diǎn)為A、B，定點(diǎn)．(1)過點(diǎn)A作直線的垂線，垂足為N，試求的重心G所在的曲線方程；(2)求證A、M、B三點(diǎn)共線．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）聯(lián)立垂線與直線的方程求出，根據(jù)重心公式求出點(diǎn)坐標(biāo)，代入雙曲線得解（2）將切線方程與雙曲線聯(lián)立，根據(jù)判別式為0求出、的方程，根據(jù)在上，得點(diǎn)都在直線上又也在直線上，得證.【詳解】（1）設(shè)，垂線的方程為：，由得垂足，設(shè)重心所以解得，由可得即為重心所在曲線方程．（2）設(shè)，由已知得到，且，，設(shè)切線的方程為：由得從而,解得因此的方程為：同理的方程為：又在上，所以，即點(diǎn)都在直線上又也在直線上，所以三點(diǎn)共線2．（全國·高考真題）已知點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)、距離的比為，點(diǎn)到直線的距離為．求直線的方程．【答案】或．【詳解】試題分析：先根據(jù)直接法求軌跡的方法求點(diǎn)軌跡方程，再根據(jù)三角形PMN確定，進(jìn)而根據(jù)圖像確定直線的斜率，利用點(diǎn)斜式寫直線的方程，與圓聯(lián)立解得點(diǎn)P坐標(biāo)，最后根據(jù)兩點(diǎn)式寫直線的方程．試題解析：解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由題設(shè)有，即，整理得①，因?yàn)辄c(diǎn)到的距離為，，所以，直線的斜率為，直線的方程為②將②式代入①式整理得，解得，，代入②式得點(diǎn)的坐標(biāo)為或；或，直線的方程為或．點(diǎn)睛：求動點(diǎn)軌跡方程，一般方法有直接法、轉(zhuǎn)移法、參數(shù)法.本題關(guān)于動點(diǎn)P的條件為兩線段的比值，所以利用直接法求動點(diǎn)軌跡.3．（2023高三·全國·專題練習(xí)）已知是橢圓中垂直于長軸的動弦，是橢圓長軸的兩個(gè)端點(diǎn)，則直線和的交點(diǎn)的軌跡方程為．【答案】（）．【分析】設(shè)，直線和的交點(diǎn)為，根據(jù)三點(diǎn)共線及三點(diǎn)共線，可得兩個(gè)式子，兩式相乘，再結(jié)合在橢圓上即可得出答案.【詳解】設(shè)，因?yàn)闄E圓的長軸端點(diǎn)為，設(shè)直線和的交點(diǎn)為，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，兩式相乘得，（）,因?yàn)?，所以，即，所以，整理得（），所以直線和的交點(diǎn)的軌跡方程（）.故答案為：（）.一、單選題1．（2022高三·全國·專題練習(xí)）已知點(diǎn)A(1，0)，直線l：y＝2x－4，點(diǎn)R是直線l上的一點(diǎn)，若，則點(diǎn)P的軌跡方程為(

)A．y＝－2x B．y＝2x C．y＝2x－8 D．y＝2x＋4【答案】B【分析】用相關(guān)點(diǎn)法即可求解，設(shè)P為(x,y)，通過將R點(diǎn)坐標(biāo)表示出來，R坐標(biāo)滿足l方程，代入即可得到答案﹒【詳解】設(shè)P(x,y)，，由知，點(diǎn)A是線段RP的中點(diǎn)，∴，即，∵點(diǎn)在直線y＝2x－4上，∴，∴－y＝2(2－x)－4，即y＝2x．故選：B﹒2．（2024·山東泰安·一模）在平面內(nèi)，是兩個(gè)定點(diǎn)，是動點(diǎn)，若，則點(diǎn)的軌跡為（

）A．橢圓 B．拋物線 C．直線 D．圓【答案】D【分析】根據(jù)題意求出動點(diǎn)的軌跡方程即可判斷.【詳解】設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，則，.由可得：，即.所以點(diǎn)的軌跡為圓.故選：D3．（2024·河南新鄉(xiāng)·二模）已知N是圓上的動點(diǎn)，點(diǎn)M滿足，記M的軌跡為E，則（

）A．E是與圓O相切的一條直線 B．E是半徑為5的圓C．E上的點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離的最大值為8 D．E與圓O相切【答案】C【分析】設(shè)，由向量相等可得，則確定E的方程，結(jié)合圓與圓的位置關(guān)系依次判斷即可.【詳解】A：設(shè)，則，由，得，解得，又點(diǎn)在圓O上，所以，即點(diǎn)M的軌跡是以為圓心，3為半徑的圓，故A錯(cuò)誤；B：由A的分析知，E是以為圓心，3為半徑的圓，故B錯(cuò)誤；C：E上的點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離最大值為，故C正確；D：兩圓的圓心距為，兩圓的半徑之和為6，所以，即兩圓相交，故D錯(cuò)誤.故選：C4．（2024·湖南·模擬預(yù)測）已知點(diǎn)，點(diǎn)，動點(diǎn)M滿足直線AM，BM的斜率之積為4，則動點(diǎn)M的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)兩點(diǎn)斜率公式即可列等量關(guān)系化簡求解即可.【詳解】設(shè)動點(diǎn)由于，，根據(jù)直線與的斜率之積為．整理得，化簡得：．故選：D5．（23-24高三上·山東棗莊·期末）已知的兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，且所在直線的斜率之積等于，則（

）A．當(dāng)時(shí)，頂點(diǎn)的軌跡是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，并除去兩點(diǎn)B．當(dāng)時(shí)，頂點(diǎn)的軌跡是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，并除去兩點(diǎn)C．當(dāng)時(shí)，頂點(diǎn)的軌跡是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，并除去兩點(diǎn)D．當(dāng)時(shí)，頂點(diǎn)的軌跡是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，并除去兩點(diǎn)【答案】C【分析】由題意得，分別令、即可判斷.【詳解】由題意不妨設(shè)，則，即，當(dāng)時(shí)，頂點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心的單位圓，并除去兩點(diǎn)，故AB錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，頂點(diǎn)的軌跡是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，并除去兩點(diǎn)，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：C.6．（2024·貴州貴陽·三模）過點(diǎn)的直線與圓相交于不同的兩點(diǎn)M，N，則線段MN的中點(diǎn)的軌跡是（

）A．一個(gè)半徑為10的圓的一部分 B．一個(gè)焦距為10的橢圓的一部分C．一條過原點(diǎn)的線段 D．一個(gè)半徑為5的圓的一部分【答案】D【分析】設(shè),根據(jù)垂徑定理得到，再轉(zhuǎn)化為，寫出相關(guān)向量，代入化簡即可.【詳解】設(shè)，根據(jù)線段的中點(diǎn)為，則，即，所以，又，所以，即，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑為5的圓在圓內(nèi)的一部分，故選：D.二、多選題7．（2024·海南·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)是一個(gè)動點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．若，則點(diǎn)的軌跡為橢圓B．若，則點(diǎn)的軌跡為雙曲線C．若，則點(diǎn)的軌跡為一條直線D．若，則點(diǎn)的軌跡為圓【答案】BCD【分析】根據(jù)題意結(jié)合圓、雙曲線以及直接法求軌跡方程逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】對于選項(xiàng)A：，則點(diǎn)的軌跡為線段，故A錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)B：，則點(diǎn)的軌跡是雙曲線，故B正確；對于選項(xiàng)：設(shè)，由，可得，化簡得，表示一條直線，故C正確；對于選項(xiàng)D：由，可得，則點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓，故D正確.故選：BCD.三、填空題8．（2024·江蘇南通·二模）已知拋物線，過點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，則線段中點(diǎn)的軌跡方程為.【答案】【分析】設(shè)出直線AB的方程，聯(lián)立拋物線方程，可得根與系數(shù)關(guān)系，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可表示出線段中點(diǎn)的坐標(biāo)，化簡，即可得答案.【詳解】由題意知直線的斜率不為0，設(shè)的方程為，聯(lián)立拋物線方程，得，，設(shè)，則，設(shè)線段中點(diǎn)，則，即，故線段中點(diǎn)的軌跡方程為，即，故答案為：9．（2024·湖南益陽·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，若為平面上的一個(gè)動點(diǎn)且，則點(diǎn)運(yùn)動所形成的曲線的方程為．【答案】.【分析】設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)題意列出等式，化簡即可求得軌跡方程.【詳解】設(shè)，則由可得，化簡得.故答案為：.四、解答題10．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）已知A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，直線AM，BM相交于點(diǎn)M，且直線AM的斜率與直線BM的斜率的差是，記點(diǎn)M的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的方程．(2)將曲線C向上平移4個(gè)單位得到曲線E，已知斜率為3的直線l與曲線E有兩個(gè)不同的交點(diǎn)且滿足，求直線l的方程．【答案】(1)(2)或【分析】（1）設(shè)點(diǎn)Mx,y，根據(jù)斜率之差的值整理可得曲線C的方程為；（2）易知曲線E為，聯(lián)立曲線E和直線l的方程并利用韋達(dá)定理以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示可得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)Mx,y,根據(jù)題意可知，直線AM的斜率為，直線BM的斜率；即可得，整理可得.（2）如下圖所示：

將曲線C向上平移4個(gè)單位得到曲線E為；設(shè)直線l的方程為，；聯(lián)立曲線E和直線l整理可得，所以；因此，即，解得或；當(dāng)時(shí)，方程的根為，符合題意；當(dāng)時(shí)，方程的根為，符合題意；因此可知，直線l的方程為或.一、單選題1．（2024·河南信陽·模擬預(yù)測）已知橢圓C：的下頂點(diǎn)為A，斜率不為0的直線與C交于B，D兩點(diǎn)，記線段的中點(diǎn)為E，若，則（

）A．點(diǎn)E在定直線上 B．點(diǎn)E在定直線上C．點(diǎn)E在定直線上 D．點(diǎn)E在定直線上【答案】A【分析】先設(shè)直線，然后根據(jù)韋達(dá)定理求出E點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)直線垂直列出方程求解,最后代入E點(diǎn)即可求出E所在直線.【詳解】由題意知,設(shè)直線l的方程為,設(shè),聯(lián)立消去得,所以，所以所以的中點(diǎn)，因?yàn)?所以，即,整理得,所以E在定直線上，故選:A.2．（2024·山東濟(jì)南·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，已知，動點(diǎn)滿足，且，則下列說法正確的是（

）A．點(diǎn)的軌跡為圓 B．點(diǎn)到原點(diǎn)最短距離為2C．點(diǎn)的軌跡是一個(gè)正方形 D．點(diǎn)的軌跡所圍成的圖形面積為24【答案】D【分析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由已知條件結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算用表示出，結(jié)合可得的關(guān)系，從而可求出點(diǎn)的軌跡方程，再逐個(gè)分析判斷.【詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)?，動點(diǎn)滿足，所以，得，因?yàn)?，所以，即點(diǎn)的軌跡方程為，當(dāng)時(shí)，方程為，當(dāng)時(shí)，方程為，當(dāng)時(shí)，方程為，當(dāng)時(shí)，方程為，所以點(diǎn)對應(yīng)的軌跡如圖所示，且，,所以點(diǎn)的軌跡為菱形，所以AC錯(cuò)誤，原點(diǎn)到直線的距離為，所以B錯(cuò)誤，點(diǎn)的軌跡所圍成的圖形面積為，所以D正確.故選：D

3．（2024·四川宜賓·三模）已知拋物線C：，過動點(diǎn)P作兩條相互垂直的直線，分別與拋物線C相切，則點(diǎn)P的軌跡是（

）A．一條拋物線 B．一個(gè)圓 C．一條直線 D．一段線段【答案】C【分析】設(shè)Px0,y0，切點(diǎn)為Ax1,y1,Bx2【詳解】設(shè)Px0,y0而兩條相互垂直的切線，它們的斜率不為0，且一定存在，故切點(diǎn)不可能是原點(diǎn)，設(shè)切點(diǎn)為Ax1,y1當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以無論如何都有，所以，同理，注意到，所以是關(guān)于的方程的兩根，，一方面：因?yàn)榇怪?，所以，另一方面：由韋達(dá)定理有，綜合以上兩方面，有，這意味著點(diǎn)在定直線上運(yùn)動，此時(shí)滿足，符合題意.故選：C.4．（2024·安徽·模擬預(yù)測）已知，為圓：上的動點(diǎn)，且動點(diǎn)滿足：，記點(diǎn)的軌跡為，則（

）A．為一條直線 B．為橢圓C．為與圓相交的圓 D．為與圓相切的圓【答案】D【分析】設(shè)Px0,y0，由，得到點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，用點(diǎn)坐標(biāo)表示點(diǎn)坐標(biāo)，并帶入圓，得到點(diǎn)的軌跡方程，再利用圓心距與半徑的關(guān)系判點(diǎn)的軌跡與圓的位置關(guān)系.【詳解】設(shè)Px0,y0所以點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則，即，把代入圓，則點(diǎn)的軌跡的方程為：，即是圓心為，半徑為1的圓，由于兩圓的圓心距和兩圓的半徑和相等，因此兩圓外切，即為與圓相切的圓.故選：D．二、多選題5．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，已知是動點(diǎn)．下列命題正確的是（

）A．若，則的軌跡的長度等于2B．若，則的軌跡方程為C．若，則的軌跡與圓沒有交點(diǎn)D．若，則的最大值為3【答案】ACD【分析】對于A，確定M點(diǎn)軌跡，即可判斷；對于B，結(jié)合雙曲線定義進(jìn)行判斷；對于C，求出M點(diǎn)軌跡方程，聯(lián)立方程或利用向量數(shù)量積判斷與圓的交點(diǎn)情況，即可判斷；對于D，求出動點(diǎn)M的軌跡方程，進(jìn)而求解數(shù)量積最值，即可判斷.【詳解】選項(xiàng)A：因?yàn)?，所以的軌跡為線段，從而的軌跡的長度等于2，故A正確；選項(xiàng)B：因?yàn)?，由雙曲線的定義知，的軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，而結(jié)論的方程中未限制范圍，故B錯(cuò)誤；（由，得的軌跡方程為）選項(xiàng)C：解法一：由，得，化簡得，，聯(lián)立，得，這與矛盾，所以方程組無解，故的軌跡與圓沒有交點(diǎn)，故C正確；解法二：若有交點(diǎn)Mx,y，則，又，矛盾，所以的軌跡與圓沒有交點(diǎn)，故C正確；選項(xiàng)D：解法一：由得，，化簡得，所以的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，等于在軸上的投影的長度，由圖知其最大值為3，故D正確；解法二：同法一得的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，，由圓的方程知可取到最大值3，故D正確；解法三：由得，，當(dāng)在的反向延長線上時(shí)取等號，①；②當(dāng)在的反向延長線上，且時(shí)，滿足條件，此時(shí)，所以的最大值為3，故D正確；故選：ACD．三、填空題6．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，矩形的頂點(diǎn)A，C在拋物線上，則頂點(diǎn)B的軌跡方程為．【答案】【分析】設(shè)Ax1,y1，，則，再由，可得【詳解】如圖，設(shè)Ax1,y1依題意，四邊形為矩形，則，即，所以，即，則，所以頂點(diǎn)的軌跡方程為，故答案為:．四、解答題7．（2024·河北石家莊·二模）已知為平面上一個(gè)動點(diǎn)，到定直線的距離與到定點(diǎn)距離的比等于，記動點(diǎn)的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程；(2)過點(diǎn)的直線與曲線交于，兩點(diǎn)，在軸上是否存在點(diǎn)，使得為定值？若存在，求出該定值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)在軸上存在點(diǎn)，使得為定值，定值為.【分析】（1）根據(jù)題意，用點(diǎn)到直線和點(diǎn)到點(diǎn)的距離公式列出方程，整理得出方程即可.（2）假設(shè)存在，先考慮斜率不為0的情況，設(shè)其方程為，再與曲線聯(lián)立后用韋達(dá)定理，表達(dá)出，若要上式為定值，則必須有，即，代入求出.再考慮斜率為0的時(shí)候，直接求出即可.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，即，化簡得：，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）如圖當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，設(shè)其方程為.由于直線與雙曲線交點(diǎn)兩個(gè)，則直線不能與漸近線平行，漸近線斜率為，則.代入，整理得，，設(shè)，，，，，則，所以．若要上式為定值，則必須有，即，，故存在點(diǎn)滿足．當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，，，此時(shí)點(diǎn)亦滿足，故存在點(diǎn)滿足．綜上所得，在軸上存在點(diǎn)，使得為定值，定值為.8．（2024·全國·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，已知是軸上的動點(diǎn)，是平面內(nèi)的動點(diǎn)，線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，且恰好在軸上，記動點(diǎn)的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程(2)過點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn)，直線與直線分別交于點(diǎn)，設(shè)線段的中點(diǎn)為，求證：點(diǎn)在曲線上．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）解法一：設(shè)，，則．易知不符合題意，當(dāng)時(shí)利用垂直直線斜率之積為-1計(jì)算即可求解；解法二：在射線上另取一點(diǎn)使，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，結(jié)合拋物線的定義即可求解；（2）解法一：設(shè)l方程，聯(lián)立拋物線方程，設(shè)Px1,y1，Qx2,y2，，解法二：設(shè)l方程，聯(lián)立拋物線方程得，則，是該方程的兩根，從而，即可求解.【詳解】（1）解法一

設(shè)，，則．由點(diǎn)在軸上，得，則，，因?yàn)?，若，則，點(diǎn)，重合，不合題意；若，則，即．所以曲線的方程是．解法二

在射線上另取一點(diǎn)，使，連接，又，所以點(diǎn)在直線上，易知≌，所以垂直于直線，連接，則，顯然點(diǎn)不能在軸上，即，故由拋物線的定義知，曲線的方程是．（2）解法一

設(shè)，與聯(lián)立，消去，得，則，得，設(shè)Px1,y1，Q設(shè)直線，的方程分別為，，，，則，所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，故點(diǎn)的坐標(biāo)為，顯然點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程，故點(diǎn)在曲線上.解法二

設(shè)，因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以，由，得．設(shè)Px1,y1，Qx2,y2，直線，的方程分別為則，是上面關(guān)于的方程的兩根，即直線，的斜率，是關(guān)于的方程的兩根，所以，從而，所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，故點(diǎn)的坐標(biāo)為，顯然點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程，故點(diǎn)在曲線上．【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了拋物線方程的求法以及直線和拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用，易錯(cuò)點(diǎn)在于運(yùn)算基本都是字母參數(shù)的運(yùn)算，要特別注意，很容易出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤.9．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）將上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮M坐標(biāo)不變），所得曲線為.記，過點(diǎn)的直線與交于不同的兩點(diǎn)，直線，與分別交于點(diǎn).(1)求的方程；(2)設(shè)直線，的傾斜角分別為，（，），求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)所求軌跡上的任意點(diǎn)為，且對應(yīng)的點(diǎn)為，列出關(guān)系式，代入即可求解；（2）設(shè)直線方程：①，聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理求得和，再結(jié)合三點(diǎn)共線，求得，利用斜率公式，即可求解；【詳解】（1）解：設(shè)所求軌跡上的任意點(diǎn)為，與對應(yīng)的點(diǎn)為x1,y1根據(jù)題意，可得，即代入方程，可得，整理得，所以曲線的軌跡方程為.（2）設(shè)Ax1,y1，B由題知，所以直線的斜率不可能為0，設(shè)直線的方程為聯(lián)立方程組，整理得，，由韋達(dá)定理得，，，又因?yàn)椋c(diǎn)Ax1,y所以，，，同理可得，又因?yàn)槿c(diǎn)共線，可得，即，所以，所以.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛：第（2）小題中，設(shè)直線的方程時(shí)，很容易忽略一些特殊情況，比如：若令直線時(shí)，需要考慮直線斜率為0時(shí)是否滿足題意，若令直線為y=kx?1，則需要考慮直線斜率不存在的時(shí)候.10．（2024·安徽合肥·三模）已知?jiǎng)狱c(diǎn)與定點(diǎn)的距離和到定直線的距離的比為常數(shù)，其中，且，記點(diǎn)的軌跡為曲線．(1)求的方程，并說明軌跡的形狀；(2)設(shè)點(diǎn)，若曲線上兩動點(diǎn)均在軸上方，，且與相交于點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，（?。┣笞C：為定值（ⅱ）求動點(diǎn)的軌跡方程．【答案】(1)答案見解析(2)（i）證明見解析；（ⅱ）【分析】（1）設(shè)Px,y，由題意可得，結(jié)合橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程即可求解；（2）設(shè)點(diǎn)，其中且，.（ⅰ）由可知三點(diǎn)共線且，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立的方程，利用韋達(dá)定理表示出，化簡計(jì)算即可得證；（ⅱ）由橢圓的定義及平行線對應(yīng)線段成比例性質(zhì)可得，，化簡結(jié)合（i）可得，從而可得點(diǎn)的軌跡方程.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)Px,y，由題意可知，即，經(jīng)化簡，得的方程為，當(dāng)時(shí)，曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓；當(dāng)時(shí)，曲線是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線．（2）當(dāng)時(shí)，由（1）可知的方程為，設(shè)點(diǎn)，其中且，（i）證明：因?yàn)?，所以，因此，三點(diǎn)共線，且，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立的方程，得，，則，由（1）可知，所以（定值），（ⅱ）由橢圓定義，得，，解得，同理可得，所以．所以，點(diǎn)在以點(diǎn)為焦點(diǎn)長軸長為6的橢圓上，由于點(diǎn)均在軸上方，所以動點(diǎn)的軌跡方程為【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:求定值問題常見的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān).（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值.11．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知拋物線的準(zhǔn)線方程為，直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，且（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），過點(diǎn)O作交AB于點(diǎn)D.(1)求點(diǎn)D的軌跡E的方程；(2)過C上一點(diǎn)作曲線E的兩條切線分別交y軸于點(diǎn)M，N，求面積的最小值.【答案】(1)(2)8．【分析】（1）由拋物線準(zhǔn)線方程即可得到p，從而求得拋物線方程，然后利用兩個(gè)垂直轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積為0，再結(jié)合點(diǎn)D在直線AB上，得到等式，消元即可求得點(diǎn)D軌跡方程；（2）易知，利用切線方程求出M，N的坐標(biāo)，然后求得MN，最后用表示的面積，再利用基本不等式即可求得面積的最小值.【詳解】（1）由題意可得，即，所以拋物線方程為設(shè)，則，因?yàn)?，所以，及，又由題意可知，所以又，且所以，即，又因?yàn)辄c(diǎn)D在直線AB上，且，所以，即，所以，由①②式可得，當(dāng)時(shí)，，解得；，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，消可得，，即，點(diǎn)2,0同樣滿足該方程，顯然D與O不重合，所以，綜上，點(diǎn)D的軌跡E的方程為；（2）因?yàn)?，結(jié)合題意可得切線斜率存在且都不為0，設(shè)切線的斜率為，的斜率分別為，則切線方程為，即，令，得，，又，消元得因?yàn)橄嗲?，所以，即易知的斜率分別為是方程③的兩個(gè)根，所以，所以，所以，所以，令，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號.綜上，面積的最小值為8.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第（1）小題的關(guān)鍵是利用兩個(gè)垂直，轉(zhuǎn)化為數(shù)量積為0的等量關(guān)系，然后借助點(diǎn)在直線上，利用向量共線得到另一個(gè)等量關(guān)系，消元即可求得動點(diǎn)的軌跡方程；第（2）小題的關(guān)鍵是利用切線方程與圓的方程聯(lián)立，求得一個(gè)關(guān)于斜率k的一元二次方程，把兩條切線的斜率轉(zhuǎn)化為一個(gè)關(guān)于k的一元二次方程的兩根，用韋達(dá)定理求出MN的值，最后求得面積關(guān)于的表達(dá)式.12．（2024·四川宜賓·三模）已知橢圓E：的左右焦點(diǎn)分別為，，過焦點(diǎn)斜率為的直線與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，過焦點(diǎn)斜率為的直線與橢圓E交于C，D兩點(diǎn)，且．(1)求直線與的交點(diǎn)N的軌跡M的方程；(2)若直線OA，OB，OC，OD的斜率分別為，，，，問在（1）的軌跡M上是否存在點(diǎn)P，滿足，若存在，求出點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【答案】(1)（且）(2)存在，或【分析】（1）設(shè)：，：，直線與的交點(diǎn)是N，且，消去即可得解；（2）通過得到，然后求解點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】（1）由已知，，則：，：，∴點(diǎn)滿足，即，∴①②，∴點(diǎn)P的軌跡方程是（），又依題意可知，綜上可知：直線與的交點(diǎn)N的軌跡M的方程為：（且）；（2）由題意知直線：，與橢圓方程聯(lián)立，消元得，，，同理可得，所以，即．由（1）知，所以，令點(diǎn)，，解得，∴存在或滿足題意．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問的關(guān)鍵是先通過韋達(dá)定理，把轉(zhuǎn)化成，然后即可求出點(diǎn)的坐標(biāo).13．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知雙曲線：（，）的漸近線方程為，過的左焦點(diǎn)且垂直于一條漸近線的直線分別交兩條漸近線于點(diǎn)，（，在軸同側(cè)），且．(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)探究圓：上是否存在點(diǎn)，使得過作雙曲線的兩條切線，互相垂直，并說明理由．【答案】(1)(2)不存在，理由見解析【分析】（1）在，易得，，根據(jù)條件，利用正切的倍角公式求得，進(jìn)而求得，，即可求出結(jié)果；（2）雙曲線的兩條切線分別為，，分別聯(lián)立雙曲線方程得，，聯(lián)立兩切線方程，求出交點(diǎn)軌跡方程，再判斷兩圓的位置關(guān)系，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，不妨設(shè)，因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，即，又，在中，，，易知，所以，所以，得到，又雙曲線的漸近線方程為，所以，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）圓：上不存在點(diǎn)，使得過作雙曲線的兩條切線，互相垂直，若雙曲線的兩條切線有交點(diǎn)，則易知兩條切線的斜率存在且不為0，設(shè)雙曲線的兩條切線分別為，，將代入，消得，由，得，同理可得．設(shè)兩條切線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，則，得且，所以，是關(guān)于的方程的兩根，整理得，所以，化簡得，所以兩條切線的交點(diǎn)的軌跡為圓，因?yàn)閳A的圓心為O0,0，半徑為，圓：，即，圓心為，半徑為，連接，則，又，所以兩圓相離，故圓：上不存在點(diǎn)，使得過作雙曲線的兩條切線互相垂直．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)晴：橢圓（）的兩條垂直切線的交點(diǎn)的軌跡是圓；雙曲線（）的兩條垂直切線的交點(diǎn)的軌跡是圓（）；拋物線（）的兩條垂直切線的交點(diǎn)的軌跡是直線．14．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測）已知圓，圓．若動圓S與圓、圓都內(nèi)切，記動圓S的圓心的軌跡為C．(1)求軌跡C的方程；(2)已知，過點(diǎn)的直線l與C交于P，Q兩點(diǎn)，直線AP，AQ分別交直線于M，N，設(shè)線段MN的中點(diǎn)為G，判斷點(diǎn)G是否在軌跡C上，并說明理由．【答案】(1)(2)在，理由見解析【分析】（1）由題意可推出，根據(jù)雙曲線的定義即可得出答案；（2）設(shè)直線l的方程，與雙曲線的方程聯(lián)立方程組，得到韋達(dá)定理式，求得線段MN的中點(diǎn)G即可驗(yàn)證是否在雙曲線上.【詳解】（1）由題意，設(shè)動圓S的圓心為，半徑為r，圓的圓心為，半徑為1，圓的圓心為，半徑為5．而圓S與定圓，都內(nèi)切，所以，，則．于是，動圓S的圓心的軌跡為以，為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，則，，，故軌跡C的方程為．（2）法1：如圖，由題意知直線l一定有斜率，設(shè)其斜率為k，則直，與聯(lián)立，得，其中，，設(shè)，，故從而直線AM，AN的斜率之和為．