第20講 新高考新結(jié)構(gòu)命題下的圓錐曲線解答題綜合訓(xùn)練（教師版）-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點幫

Page新高考新結(jié)構(gòu)命題下的圓錐曲線解答題綜合訓(xùn)練（7類核心考點精講精練）在新課標(biāo)、新教材和新高考的“三新”背景下，高考改革又一次具有深度的向前推進。這不僅僅是一場考試形式的變革，更是對教育模式和教育理念的全面革新。當(dāng)前的高考試題設(shè)計，以“三維”減量增質(zhì)為核心理念，力求在減少題目數(shù)量的同時，提升題目的質(zhì)量和考查的深度。這具體體現(xiàn)在以下三個方面：三考題目設(shè)計著重考查學(xué)生的知識主干、學(xué)習(xí)能力和學(xué)科素養(yǎng)，確保試題能夠全面、客觀地反映學(xué)生的實際水平。三重強調(diào)對學(xué)生思維深度、創(chuàng)新精神和實際應(yīng)用能力的考查，鼓勵學(xué)生不拘泥于傳統(tǒng)模式，展現(xiàn)個人的獨特見解和創(chuàng)造力。三突出試題特別突出對學(xué)生思維過程、思維方法和創(chuàng)新能力的考查，通過精心設(shè)計的題目，引導(dǎo)學(xué)生深入思考和探索，培養(yǎng)邏輯思維和創(chuàng)新能力。面對新高考新結(jié)構(gòu)試卷的5個解答題，每個題目的考查焦點皆充滿變數(shù)，無法提前預(yù)知。圓錐曲線版塊作為一個重要的考查領(lǐng)域，其身影可能悄然出現(xiàn)在第15題中，作為一道13分的題目，難度相對較為適中，易于學(xué)生入手。同樣不能忽視的是，圓錐曲線版塊也可能被置于第18、19題這樣的壓軸大題中，此時的分值將提升至17分，挑戰(zhàn)學(xué)生的解題能力和思維深度，難度自然相應(yīng)加大。面對如此多變的命題趨勢，教師在教學(xué)備考過程中必須與時俱進。不僅要深入掌握不同題目位置可能涉及的知識點及其命題方式，更要能夠靈活應(yīng)對，根據(jù)試題的實際情況調(diào)整教學(xué)策略。本文基于新高考新結(jié)構(gòu)試卷的特點，結(jié)合具體的圓錐曲線解答題實例，旨在為廣大師生提供一份詳盡的圓錐曲線解答題綜合訓(xùn)練指南，以期在新高考中取得更好的成績?？键c一、弦長及面積問題1．（2024·浙江·二模）已知點為拋物線與圓在第一象限的交點，另一交點為.(1)求；(2)若點在圓上，直線為拋物線的切線，求的周長．【答案】(1)(2)【分析】（1）直接將點依次代入拋物線、圓的方程中即可求解；（2）首先根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義求出的方程，根據(jù)對稱性得到的坐標(biāo)，聯(lián)立圓的方程求出的坐標(biāo)，結(jié)合兩點間的距離公式即可求解.【詳解】（1）由題意，，解得．（2）在拋物線與圓的方程中，用替換方程依然成立，這表明這兩個圖象都關(guān)于軸對稱，所以它們的交點也關(guān)于軸對稱，由，知．直線為拋物線的切線，當(dāng)時，，所以拋物線在點處的切線斜率為，則．代入，得或1，故．則的周長為．2．（2024·江西·模擬預(yù)測）已知雙曲線的離心率為2，頂點到漸近線的距離為．(1)求的方程；(2)若直線交于兩點，為坐標(biāo)原點，且的面積為，求的值．【答案】(1)(2)或【分析】（1）由離心率及頂點到漸近線的距離列方程即可求；（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程，利用韋達定理及弦長公式，點到直線距離公式求解面積即可.【詳解】（1）記的半焦距為，由題得的離心率，①由對稱性不妨設(shè)的頂點為，漸近線方程為，則，②又，③聯(lián)立①②③解得，，，所以的方程為．（2）設(shè)Ax由得，所以，解得，且，所以，，所以．又點到直線的距離，所以的面積，解得或，符合式，所以或．3．（2024·湖南衡陽·模擬預(yù)測）已知雙曲線與橢圓共焦點，點、分別是以橢圓半焦距為半徑的圓與雙曲線的漸近線在第一、二象限的交點，若點滿足，（為坐標(biāo)原點），(1)求雙曲線的離心率；(2)求的面積.【答案】(1)(2)8【分析】（1）由橢圓方程求得焦點坐標(biāo)和圓的方程，通過聯(lián)立方程組求出兩點，由，求出的值得雙曲線的離心率；（2）由的坐標(biāo)，可求出的面積.【詳解】（1）橢圓中，，，，橢圓焦點為，∴雙曲線的焦點坐標(biāo)為.雙曲線的漸近線方程為，的方程：.由得，，.由題意知，、分別為第一、二象限的交點，∴，，∴，，∵，∴，∴.化簡整理得，又∵代入上式，解之得，.∴雙曲線方程：.離心率.（2）由（1）知，，∴，.∴.4．（2024·河北·模擬預(yù)測）已知直線過橢圓的右焦點，且交于兩點．(1)求的離心率；(2)設(shè)點，求的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意，結(jié)合題目所給信息以及，，之間的關(guān)系，可得橢圓的方程，再根據(jù)離心率公式即可求解；（2）先得到直線的方程，將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長公式、點到直線的距離公式以及三角形面積公式進行求解即可．【詳解】（1）由題，，且在上有，解得．故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，離心率．（2）因為直線經(jīng)過，兩點，可得直線的方程為，聯(lián)立，解得或，所以直線與橢圓的另一交點為，則，又點到直線的距離．故的面積．5．（2024·四川南充·一模）已知動點與定點的距離和P到定直線的距離的比是常數(shù)，記點P的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)點，若曲線C上兩點M，N均在x軸上方，且，，求直線FM的斜率.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)距離公式列出方程即可求解；（2）設(shè)，可得直線的方程，呢絨聯(lián)立方程組，結(jié)合對稱性與弦長公式列出方程即可求解.【詳解】（1）由題意，，整理化簡得，，所以曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由題意，直線的斜率都存在，設(shè)，則直線的方程為，分別延長，交曲線于點，設(shè)，聯(lián)立，即，則，根據(jù)對稱性，可得，則，即，解得，所以直線FM的斜率為.6．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知橢圓的左?右頂點分別為，左?右焦點分別為是橢圓上一點，，直線的斜率為.(1)求橢圓的方程；(2)若過右焦點的直線與橢圓交于點，直線交于點，求當(dāng)時，的值.【答案】(1)(2)2【分析】（1）設(shè)，依題意，由直線的斜率與得到方程，即可求出、、，從而得解；（2）設(shè)，直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元，列出韋達定理，設(shè)，由三點共線，推導(dǎo)出，同理可得，從而求出，再由求出，即可求出.【詳解】（1）設(shè)，橢圓的半焦距為，則.由題意，知，因為，所以.因為，所以.又，所以，即，所以，即.因為，解得，所以，所以橢圓的方程為.（2）由（1），得F21,0，由題意，知直線的斜率不為，設(shè)，直線的方程為，與聯(lián)立，得，則.設(shè)，由三點共線，得，所以，同理可得，所以，所以，解得.當(dāng)時，，解得，所以，所以.【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標(biāo)為x1,y（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、的形式；（5）代入韋達定理求解.考點二、中點弦問題1．（2024·貴州黔南·二模）已知拋物線：（）的焦點為，過焦點作直線交拋物線于兩點，為拋物線上的動點，且的最小值為1.(1)拋物線的方程；(2)若直線交拋物線的準(zhǔn)線于點，求線段的中點的坐標(biāo).【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)，結(jié)合拋物線的定義分析可知，即可得方程；（2）由題意可得直線過點和F1,0，求直線的方程，與拋物線聯(lián)立，結(jié)合韋達定理求中點坐標(biāo).【詳解】（1）由題意可知：拋物線的焦點，準(zhǔn)線為，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，可得，解得，所以拋物線的方程為.（2）由題意可知：直線與拋物線必相交（斜率不為0），設(shè)Ax1,y1且直線過點和F1,0，則直線的方程，即，聯(lián)立方程，消去x得，則，可知，將yM=2代入可得，所以線段的中點的坐標(biāo)為.2．（2024·云南昆明·模擬預(yù)測）已知雙曲線E：的右焦點為，一條漸近線方程為．(1)求雙曲線E的方程；(2)是否存在過點的直線l與雙曲線E的左右兩支分別交于A，B兩點，且使得，若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．【答案】(1)(2)存在，．【分析】（1）根據(jù)漸近線方程和求的值，即可得到雙曲線E的方程；（2）假設(shè)存在直線l，由得，取的中點，則，進而得；又利用得，于是聯(lián)立方程組可得的坐標(biāo)，從而得到直線的斜率并得出直線的方程.【詳解】（1）因為雙曲線E的一條漸近線方程為，所以，又，因此，又，，；則E的方程為．（2）假設(shè)存在過點的直線l與雙曲線E的左右兩支分別交于A，B兩點，且使得，設(shè)Ax1,y1，Bx2由可知為等腰三角形，，且直線l不與x軸重合，于是，即，因此，，（Ⅰ）點在雙曲線上，所以，①②化簡整理得：，，即，可得，（Ⅱ）聯(lián)立（Ⅰ）（Ⅱ）得：，，，解得（舍去），適合題意，則；由得，所以直線l的方程為：，即．3．（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知雙曲線C:，圓，其中.圓與雙曲線有且僅有兩個交點，線段的中點為.(1)記直線的斜率為，直線的斜率為，求.(2)當(dāng)直線的斜率為3時，求點坐標(biāo).【答案】(1)(2)【分析】（1）涉及到中點弦，我們可以采用點差法得到，而由可得，兩式相比即可得解；（2）設(shè)直線，聯(lián)立雙曲線方程，結(jié)合韋達定理可表示的坐標(biāo)為，由得斜率，由此可列方程求出參數(shù)，進而得解.【詳解】（1）因為，所以.又設(shè)，因為，所以.而圓心不在坐標(biāo)軸上，從而，所以.所以，又，所以.（2）設(shè)直線，與聯(lián)立，化簡并整理得：，其中.設(shè)，所以，即點坐標(biāo)為.因為，所以，而，即，解得.因此，所以.4．（23-24高二上·黑龍江佳木斯·期中）已知橢圓的兩個焦點分別為，且橢圓過點.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點作直線交橢圓于兩點，是弦的中點，求直線的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)焦點坐標(biāo)設(shè)橢圓方程，將代入橢圓方程，結(jié)合即可求解.（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，得出，再由中點坐標(biāo)知，求出值，即可得到直線方程.【詳解】（1）橢圓的兩個焦點分別為，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，且，則①，又橢圓過點，所以②，聯(lián)立①②解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由題意可知直線的斜率存在，且直線過點，設(shè)直線的方程為，即，設(shè)，則，消去得，，所以，，又是弦的中點，所以，解得，故直線的方程為5．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測）已知直線與橢圓相交于兩點，為弦的中點，為坐標(biāo)原點，直線的斜率記為.(1)證明：；(2)若，焦距為.①求橢圓的方程；②若點為橢圓的右頂點，，且直線與軸圍成底邊在軸上的等腰三角形，求直線的方程.【答案】(1)證明見解析(2)①；②答案見解析【分析】（1）根據(jù)題意，由點差法代入計算，即可證明；（2）①根據(jù)題意，由條件可得的方程，代入計算，即可得到橢圓方程；②聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達定理代入計算，由可知，，即可得到直線過定點，從而得到結(jié)果.【詳解】（1）證明：設(shè)Ax則，將兩點代入橢圓方程，得兩式作差得，所以，所以，即.（2）

①因為，所以，即.因為焦距為，所以，所以，所以橢圓的方程為.②聯(lián)立得，得，所以.由（1）得，，由可知，.因為，所以化簡得，所以，所以或，滿足（※）式.當(dāng)時，直線的方程為，過定點2,0（舍去）；當(dāng)時，直線的方程為，過定點.因為為等腰三角形，且為底邊，可求得，所以當(dāng)時，，即直線的方程為，當(dāng)時，，即直線的方程為.6．（2024·山西長治·模擬預(yù)測）已知橢圓E:x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦點為，且該橢圓過點(1)求橢圓E的方程；(2)若AB的中點坐標(biāo)為，求直線l的方程；(3)若直線l方程為，過A、B作直線的垂線，垂足分別為P、Q，點R為線段PQ的中點，求證：四邊形ARQF為梯形.【答案】(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)已知條件求得，從而求得橢圓的方程.（2）利用點差法求得直線的斜率，進而求得直線的方程.（3）聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，化簡寫出根與系數(shù)關(guān)系，計算，以及AF與RQ，從而判斷出四邊形ARQF為梯形.【詳解】（1）由題得，將代入得：，橢圓E的方程為.（2）設(shè)Ax1,且，兩式相減得：，可得，l方程為，即.（3）由得：，且，，∴，又直線的斜率存在，AF與RQ不平行，∴四邊形ARQF為梯形.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)已知條件求得，和是兩個未知參數(shù)，要求出兩個參數(shù)的值，需要兩個已知條件，如本題中“橢圓的右焦點以及橢圓所過點”兩個已知條件，再結(jié)合即可求得，從而求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.考點三、軌跡問題1．（2024·廣東·模擬預(yù)測）已知，直線交于點，且直線的斜率之積為，點的軌跡記為曲線．(1)求的方程．(2)不過點的直線與交于兩點，且直線與的斜率之和為，試問直線是否過定點？若是，求出該定點坐標(biāo)；若不是，請說明理由．【答案】(1)(2)直線過定點，理由見詳解.【分析】（1）設(shè)點，利用建立等量關(guān)系，求的軌跡方程.（2）分直線的斜率存在和不存在兩種情況討論，當(dāng)斜率存在時，設(shè)直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，求出兩根之和和兩根之積，根據(jù)直線與的斜率之和為得到參數(shù)的關(guān)系，可得直線恒過定點，當(dāng)斜率不存在時，求點的橫坐標(biāo)，可得直線過定點.【詳解】（1）設(shè)，則，，由題意得，，整理得，∴曲線的方程為.（2）設(shè)，當(dāng)斜率存在時，設(shè)，由得，，∴，即，∴，∵直線與的斜率之和為，∴，∴，∴，整理得，∵，∴，∴直線方程為，恒過定點.當(dāng)直線斜率不存在時，，∵直線與的斜率之和為，∴，∴，此時直線，恒過定點.綜上得，直線過定點.2．（2024·河北衡水·模擬預(yù)測）已知圓，過的直線與圓交于兩點，過作的平行線交直線于點.(1)求點的軌跡的方程；(2)過作兩條互相垂直的直線交曲線于交曲線于，連接弦的中點和的中點交曲線于，若，求的斜率.【答案】(1)(2)或【分析】（1）根據(jù)已知條件，可得，，進而可以判斷點的軌跡為雙曲線，即可得到軌跡方程.（2）設(shè)，，分別與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達定理得到中點坐標(biāo)，進而得到直線的方程，再將直線與雙曲線聯(lián)立，利用韋達定理和向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求解即可，注意討論斜率不存在的情況.【詳解】（1）根據(jù)題意，因為，，所以，所以，所以，當(dāng)位置互換時，，當(dāng)過的直線與軸重合時無法作出，所以點的軌跡為以為焦點，即，且的雙曲線，所以，的軌跡方程為.（2）根據(jù)題意可知的斜率存在且不為，設(shè)的斜率為，，，，，其中，則，，聯(lián)立，消去得，，所以，，所以中點坐標(biāo)為，同理可得中點坐標(biāo)為，當(dāng)，即時，兩中點坐標(biāo)分別為，，此時直線為，聯(lián)立，解得，，所以，，不滿足條件，當(dāng)時，，則直線方程，整理得，令，聯(lián)立得，，所以，，，所以由解得，當(dāng)時，代入解得或，當(dāng)時，代入解得或，綜上的斜率為或【點睛】解決直線與圓錐曲線相交（過定點、定值）問題的常用步驟：（1）得出直線方程，設(shè)交點為Ax1,（2）聯(lián)立直線與曲線方程，得到關(guān)于或的一元二次方程；（3）寫出韋達定理；（4）將所求問題或題中關(guān)系轉(zhuǎn)化為，形式；（5）代入韋達定理求解.3．（2024·浙江溫州·三模）已知直線與雙曲線相切于點.(1)試在集合中選擇一個數(shù)作為的值，使得相應(yīng)的的值存在，并求出相應(yīng)的的值；(2)過點與垂直的直線分別交軸于兩點，是線段的中點，求點的軌跡方程.【答案】(1)當(dāng)時，；當(dāng)時，.(2)【分析】（1）直線方程和雙曲線方程聯(lián)立，由求得與的函數(shù)關(guān)系，再由的值求出相應(yīng)的的值；（2）設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求直線的斜率，得直線的斜率和方程，求出兩點的坐標(biāo)，表示出分點的坐標(biāo)，由在雙曲線上，得點的軌跡方程.【詳解】（1）由，消去得，當(dāng)時，直線與雙曲線不相切；時，由，得，當(dāng)時，不存在；當(dāng)時，；當(dāng)時，.（2）設(shè)，則，，對C求導(dǎo)可得，則，有，所以，令，得，所以；令，得，所以，

所以，即，則，所以，得，，即P的軌跡方程是4．（2024·云南·模擬預(yù)測）橢圓的左?右焦點分別為，點在橢圓上運動（與左?右頂點不重合），已知的內(nèi)切圓圓心為，延長交軸于點.(1)當(dāng)點運動到橢圓的上頂點時，求；(2)當(dāng)點在橢圓上運動時，為定值，求內(nèi)切圓圓心的軌跡方程；(3)點關(guān)于軸對稱的點為，直線與相交于點，已知點的軌跡為，過點的直線與曲線交于兩點，試說明：是否存在直線，使得點為線段的中點，若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)(3)存在，【分析】（1）由的內(nèi)切圓圓即為的重心可得答案；（2）延長交軸于點，設(shè)，由點是內(nèi)切圓圓心，結(jié)合相關(guān)代點可求內(nèi)切圓圓心的軌跡方程；（3）設(shè)，，結(jié)合由三點共線，由三點共線，在曲線上，故可得點的軌跡方程，再結(jié)合點差法可求得答案.【詳解】（1）當(dāng)點運動到橢圓的上頂點時，如圖，則，.的內(nèi)切圓圓即為的重心.從而由重心的三等分點性質(zhì)，知，.則.（2）當(dāng)點在橢圓上運動時，設(shè)Px0,y0，過點作橢圓左準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則，這里是的離心率.又，所以.同理可得：，延長交軸于點，設(shè)，由于點是內(nèi)切圓圓心，故平分，從而由角平分線定理得：，即，解得：①.設(shè)內(nèi)切圓圓心，由.得：②.聯(lián)立①②得：，.又因為Px0,y0從而即，且.故內(nèi)切圓圓心的軌跡方程為：.（3）由于點與點關(guān)于軸對稱，故可設(shè)，，.由三點共線可得：③，由三點共線可得：④，且由相交可知，即.聯(lián)立③④并去分母即有，解得，.這得到，，然后代入條件及剛剛得到的，就得到，.整理即得點的軌跡方程為：.設(shè)直線經(jīng)過并與交于兩點，且是的中點.假設(shè)直線的斜率不存在，則直線的方程為，此時直線與沒有交點（注意限制條件），矛盾.所以直線的斜率存在，設(shè)，，且.由于是的中點，故，，即，.由于點，在曲線上，故，從而，故，從而直線的斜率.又因為直線經(jīng)過，所以滿足條件的直線只可能是.經(jīng)檢驗，直線的確與交于兩點，，且的中點是.所以滿足條件的直線存在，且只有.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵點在于第3小問對點差法的使用.5．（2024·山東菏澤·模擬預(yù)測）已知在平面直角坐標(biāo)系中，一直線與從原點出發(fā)的兩條象限角平分線（一、四象限或二、三象限的角平分線）分別交于，兩點，且滿足，線段的中點為，記點的軌跡為．(1)求軌跡的方程；(2)點，，，過點的一條直線與交于、兩點，直線，分別交直線于點，，且滿足，，證明：為定值.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）分別設(shè)出，，的坐標(biāo)，根據(jù)已知條件得到，，利用，得到，計算即可得到軌跡方程；（2）設(shè)直線的方程，Ax1,y1，Bx2,y2，將直線方程和的方程聯(lián)立，利用韋達定理得到，，分別寫出直線，和的方程并寫出，兩點坐標(biāo)，利用，得到，，將韋達定理代入并化簡即可求解.【詳解】（1）設(shè)在第一象限角平分線上，則在第四象限角平分線上，，，則，，（若在第三象限角平分線上，則在第二象限角平分線上，則，）即，，，設(shè)，則，，，軌跡的方程為；（2）易知直線的斜率一定存在，設(shè)，Ax1,y1由得，直線與交于、兩點，，解得且，，，，，，直線，分別交直線于點，，由得，同理得，，由得，同理可得，則為定值.【點睛】方法點睛：利用韋達定理解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程和交點坐標(biāo)為x1,y（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為，（或，）的形式；（5）代入韋達定理求解.6．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知拋物線的準(zhǔn)線方程為，直線l與C交于A，B兩點，且（其中O為坐標(biāo)原點），過點O作交AB于點D.(1)求點D的軌跡E的方程；(2)過C上一點作曲線E的兩條切線分別交y軸于點M，N，求面積的最小值.【答案】(1)(2)8．【分析】（1）由拋物線準(zhǔn)線方程即可得到p，從而求得拋物線方程，然后利用兩個垂直轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積為0，再結(jié)合點D在直線AB上，得到等式，消元即可求得點D軌跡方程；（2）易知，利用切線方程求出M，N的坐標(biāo)，然后求得MN，最后用表示的面積，再利用基本不等式即可求得面積的最小值.【詳解】（1）由題意可得，即，所以拋物線方程為設(shè)，則，因為，所以，及，又由題意可知，所以又，且所以，即，又因為點D在直線AB上，且，所以，即，所以，由①②式可得，當(dāng)時，，解得；，此時；當(dāng)時，消可得，，即，點2,0同樣滿足該方程，顯然D與O不重合，所以，綜上，點D的軌跡E的方程為；（2）因為，結(jié)合題意可得切線斜率存在且都不為0，設(shè)切線的斜率為，的斜率分別為，則切線方程為，即，令，得，，又，消元得因為相切，所以，即易知的斜率分別為是方程③的兩個根，所以，所以，所以，所以，令，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號.綜上，面積的最小值為8.【點睛】關(guān)鍵點點睛：第（1）小題的關(guān)鍵是利用兩個垂直，轉(zhuǎn)化為數(shù)量積為0的等量關(guān)系，然后借助點在直線上，利用向量共線得到另一個等量關(guān)系，消元即可求得動點的軌跡方程；第（2）小題的關(guān)鍵是利用切線方程與圓的方程聯(lián)立，求得一個關(guān)于斜率k的一元二次方程，把兩條切線的斜率轉(zhuǎn)化為一個關(guān)于k的一元二次方程的兩根，用韋達定理求出MN的值，最后求得面積關(guān)于的表達式.考點四、定點定直線問題1．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）已知橢圓：的離心率為，右頂點與的上，下頂點所圍成的三角形面積為．(1)求的方程；(2)不過點的動直線與交于，兩點，直線與的斜率之積恒為，證明直線過定點，并求出這個定點．【答案】(1)；(2)證明見解析；【分析】（1）根據(jù)橢圓的離心率及三角形面積，列出方程組求解即得；（2）對直線的斜率分等于0和不等于0討論，設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用斜率坐標(biāo)公式，結(jié)合韋達定理推理即得.【詳解】（1）令橢圓的半焦距為c，由離心率為，得，解得，由三角形面積為，得，則，，所以的方程是.（2）由（1）知，點，當(dāng)直線的斜率為0時，設(shè)直線，則，，且，即，，不合題意；當(dāng)直線的斜率不為0時，設(shè)直線的方程為，設(shè)，由消去x得：，則，直線與的斜率分別為，，于是，整理得，解得或，當(dāng)時，直線過點，不符合題意，因此，直線：恒過定點.

2．（2024·北京·三模）已知橢圓的短軸長為，左、右頂點分別為，過右焦點的直線交橢圓于兩點（不與重合），直線與直線交于點．(1)求橢圓的方程；(2)求證：點在定直線上.【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出即可得解.（2）設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，再求出直線與直線的交點橫坐標(biāo)，并結(jié)合韋達定理計算即得.【詳解】（1）依題意，，半焦距，則，所以橢圓的方程為.（2）顯然直線不垂直于y軸，設(shè)直線，由消去x并整理得，，設(shè)Ax1則，且有，直線，直線，聯(lián)立消去y得，即，整理得，即，于是，而，則，因此，所以點在定直線上.3．（2024·江西九江·二模）已知雙曲線的離心率為，點在上．(1)求雙曲線的方程；(2)直線與雙曲線交于不同的兩點，，若直線，的斜率互為倒數(shù)，證明：直線過定點．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)離心率及，，的平方關(guān)系得出，再由點在上，可求解，，進而可得雙曲線的方程；（2）當(dāng)斜率不存在時，顯然不滿足條件．當(dāng)斜率存在時，設(shè)其方程為，與方程聯(lián)立聯(lián)立，可得根與系數(shù)的關(guān)系，表示出直線，的斜率，，由，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系可得與的關(guān)系，從而可證得直線過定點．【詳解】（1）由已知得，，所以，又點在上，故，解得，，所以雙曲線的方程為：．（2）當(dāng)斜率不存在時，顯然不滿足條件．當(dāng)斜率存在時，設(shè)其方程為，與方程聯(lián)立聯(lián)立，消去得，由已知得，且，設(shè)，，則，，直線，的斜率分別為，，由已知，故，即，所以，化簡得，又已知不過點，故，所以，即，故直線的方程為，所以直線過定點．4．（2024·貴州畢節(jié)·三模）在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，，動點P滿足，設(shè)點P的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程；(2)過點的直線l與曲線在y軸右側(cè)交于不同的兩點M，N，在線段MN上取異于點M，N的點D，滿足．證明：點D在定直線上．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）設(shè)點P的坐標(biāo)為，根據(jù)斜率乘積為定值化簡即可；（2）設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立雙曲線方程得到韋達定理式，化簡弦長得，代入韋達定理式計算即可.【詳解】（1）設(shè)點P的坐標(biāo)為，由得，化簡整理得，所以曲線的方程為.（2）若直線l的斜率不存在，則直線l與曲線只有一個交點，不符合題意，所以直線l的斜率存在，設(shè)為k，則直線l的方程為，設(shè)點，聯(lián)立方程組，整理得，易知，，解得，，解得或，綜上或，因為，同理由得，化簡整理得，所以，化簡整理得，代入，化簡整理得，所以點D在定直線上．

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第二問的關(guān)鍵是采用設(shè)線法聯(lián)立雙曲線方程得到韋達定理式，再對化簡得，代入韋達定理式計算即可.5．（2024·湖南·三模）已知拋物線的焦點為F，過F且斜率為2的直線與E交于A，B兩點，.(1)求E的方程；(2)直線，過l上一點P作E的兩條切線，切點分別為M，N.求證：直線過定點，并求出該定點坐標(biāo).【答案】(1)(2)證明見詳解；定點坐標(biāo)為【分析】（1）根據(jù)已知條件，設(shè)直線的方程為，設(shè)Ax1,y1（2）設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立拋物線方程，得到韋達定理，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，設(shè)出切線與的方程，兩者聯(lián)立，可求出，即可證得直線過定點，并得出該定點坐標(biāo).【詳解】（1）由已知，，過F且斜率為2的直線與E交于A，B兩點，設(shè)的方程為，Ax1,聯(lián)立，得，則，則，所以，解得，故拋物線E的方程為：.（2）設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立，得，，即，所以，，令，當(dāng)時，可化為，則，則在處的切線的方程為：，即，同理可得切線的方程為：，聯(lián)立與的方程，解得，所以，則，滿足，則直線的方程為，所以直線過定點，該定點坐標(biāo)為.【點睛】方法點睛：直線和拋物線的位置關(guān)系中，證明直線過定點問題，一般是設(shè)出直線方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系化簡，求得參數(shù)之間的關(guān)系式，再對直線分離參數(shù)，求得定點坐標(biāo)，進而證明直線過定點.6．（2024·河北保定·二模）已知拋物線的焦點為，過作互相垂直的直線，分別與交于和兩點（A，D在第一象限），當(dāng)直線的傾斜角等于時，四邊形的面積為．(1)求C的方程；(2)設(shè)直線AD與BE交于點Q，證明：點在定直線上．【答案】(1)(2)證明見解析.【分析】（1）由拋物線的對稱性知，由四邊形的面積求出，又的方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程，利用韋達定理及焦點弦公式求出，即可得解；（2）設(shè)直線的方程為y=kx?1，則直線的方程為，設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2【詳解】（1）當(dāng)直線的傾斜角等于時，直線的傾斜角等于，直線的方程為，由拋物線的對稱性知，所以，得．聯(lián)立方程組，消去得．設(shè)兩點的橫坐標(biāo)分別為，則，．又，所以，所以的方程為．（2）由（1）知F1,0，依題意，可設(shè)直線的方程為y=kx?1，則直線的方程為．聯(lián)立方程組消去得，顯然，設(shè)Ax1,y設(shè)，同理可得，所以，同理可得．直線的方程為，即．同理，直線的方程為．兩直線方程聯(lián)立得，解得，即直線與的交點在定直線上．【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標(biāo)為x1,y（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、的形式；（5）代入韋達定理求解.考點五、定值問題1．（2024·山東泰安·模擬預(yù)測）已知橢圓的焦距為，點在上．(1)求的方程；(2)點是的左頂點，直線交于兩點，分別交直線于點，線段的中點為，直線與軸相交于點，直線的斜率為，求證：為定值．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由題意得，，再結(jié)合可求出，從而可求出的方程；（2）設(shè)，將直線方程代入橢圓方程化簡，再利用根與系數(shù)的關(guān)系，表示出直線,的方程,求出點的坐標(biāo)，從而可表示出點的坐標(biāo)，則表示出，化簡后與相乘可得結(jié)論.【詳解】（1）由題意可知，，即，，解得，所以橢圓的方程為．（2）證明：設(shè)，由消去，整理得，，所以，又，所以直線的方程為，其與直線的交點為，同理，所以的中點為，又，所以所以為定值．【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查橢圓方程的求法，考查橢圓中的定值問題，第（2）問解題的關(guān)鍵是將直線方程代入橢圓方程化簡利用根與系數(shù)的關(guān)系，考查計算能力，屬于較難題.2．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測）已知分別為橢圓的左頂點和上頂點，過點作一條斜率存在且不為0的直線與軸交于點，該直線與的一個交點為，與曲線的另一個交點為．(1)若平分，求的內(nèi)切圓半徑；(2)設(shè)直線與的另一個交點為，則直線的斜率是否為定值？若是，求出該定值；否則，說明理由．【答案】(1)(2)是，且該定值為【分析】（1）結(jié)合題意可得直線的方程，即可得點坐標(biāo)，從而結(jié)合斜率公式可得，即可通過求角平分線交點得到內(nèi)切圓圓心坐標(biāo)，即可得內(nèi)切圓半徑；（2）設(shè)出直線的方程，通過聯(lián)立曲線，逐步得到所需點坐標(biāo)，點坐標(biāo)與點坐標(biāo)，從而結(jié)合斜率公式表示斜率后求解即可得.【詳解】（1）由可得，則，，故，令，解得或，當(dāng)時，交點為點，舍去，當(dāng)時，，即，則，故，，則，令，則，即，則為的角平分線，聯(lián)立，有，則點為內(nèi)心，故的內(nèi)切圓半徑等于圓心到軸的距離，即；（2）設(shè)，聯(lián)立，可得，則，則，即，聯(lián)立，有，則，則，即，則，故，聯(lián)立，得，則由，，故，則，即，故，即直線的斜率是否為定值，且該定值為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題最后一問關(guān)鍵點在于借助所設(shè)直線方程，通過聯(lián)立曲線，逐步得到所需點坐標(biāo)，點坐標(biāo)與點坐標(biāo)，從而結(jié)合斜率公式表示斜率后求解.3．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知雙曲線C的中心是坐標(biāo)原點，對稱軸為坐標(biāo)軸，且過A?2,0，兩點．(1)求C的方程；(2)設(shè)P，M，N三點在C的右支上，，，證明：（?。┐嬖诔?shù)，滿足；（ⅱ）的面積為定值．【答案】(1)(2)（?。┳C明見解析；（ⅱ）證明見解析【分析】（1）設(shè)C的方程為，其中．由C過A，B兩點，代入解得，即可.（2）（ⅰ）設(shè)Px0,y0，Mx1,y1，Nx2,y2聯(lián)立結(jié)合韋達定理得到，．同理，．再結(jié)合向量運算即可解決.（ⅱ）結(jié)合前面結(jié)論，運用點到直線距離公式，三角形面積公式可解.【詳解】（1）設(shè)C的方程為，其中．由C過A，B兩點，故，，解得，．因此C的方程為．（2）（?。┰O(shè)Px0,y0，Mx1,y1

因為，所以直線BM的斜率為，方程為．由，得，所以，．因此．同理可得直線AN的斜率為，直線AN的方程為．由，得，所以，，因此．則，即存在，滿足．（ⅱ）由（?。本€MN的方程為，所以點P到直線MN的距離．而，所以的面積為定值．【點睛】難點點睛：本題屬于中難題，考查直線與雙曲線．本題第（1）小問設(shè)問基礎(chǔ)，但需要注意所設(shè)方程的形式；第（2）（ⅰ）小問在題干條件翻譯上未設(shè)置較多障礙，但是對4個坐標(biāo)分量的求解非常考驗學(xué)生的代數(shù)基本功和計算能力，區(qū)分度較大．4．（2024·河南濮陽·模擬預(yù)測）已知雙曲線分別是的左、右焦點．若的離心率，且點在上．(1)求的方程；(2)若過點的直線與的左、右兩支分別交于兩點，與拋物線交于兩點，試問是否存在常數(shù)，使得為定值？若存在，求出常數(shù)的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在，為定值．【分析】（1）根據(jù)已知列方程組求解求出雙曲線方程；（2）先聯(lián)立方程組求出兩根和兩根積，再應(yīng)用弦長公式，最后計算得出定值.【詳解】（1）設(shè)雙曲線的半焦距為cc>0，由題意可得，解得，所以的方程為．（2）假設(shè)存在常數(shù)滿足條件，由（1）知，設(shè)直線，聯(lián)立方程得，消去，整理可得，所以，，．因為直線過點且與的左、右兩支分別交于，兩點，所以兩點在軸同側(cè)，所以．此時，即，所以．設(shè)，將代入拋物線方程，得，則，所以．所以．故當(dāng)時，為定值，所以，當(dāng)時，為定值．5．（2024·山東濟南·三模）如圖所示，拋物線的準(zhǔn)線過點，(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若角為銳角，以角為傾斜角的直線經(jīng)過拋物線的焦點，且與拋物線交于A、B兩點，作線段的垂直平分線交軸于點，證明:為定值，并求此定值.【答案】(1)y2＝8x(2)證明見解析，8【分析】（1）根據(jù)準(zhǔn)線過點即可求出p，進而可知拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）假設(shè)直線的方程，與拋物線聯(lián)立，進而可以得到與其中垂線的交點坐標(biāo)，進而可以表示出中垂線方程，進而求點的坐標(biāo)，再求即可.【詳解】（1）解:(1)由題意得∴拋物線的方程為（2）設(shè)，直線AB的斜率為則直線方程為將此式代入，得，故設(shè)的中垂線為直線m，設(shè)直線m與的交點為則故直線m的方程為令得點P的橫坐標(biāo)為故∴為定值86．（2024·廣西貴港·模擬預(yù)測）已知兩條拋物線，．(1)求與在第一象限的交點的坐標(biāo)．(2)已知點A，B，C都在曲線上，直線AB和AC均與相切．（?。┣笞C：直線BC也與相切．（ⅱ）設(shè)直線AB，AC，BC分別與曲線相切于D，E，F(xiàn)三點，記的面積為，的面積為．試判斷是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請說明理由．【答案】(1)(2)（?。┳C明見解析；（ⅱ）是定值，定值為【分析】（1）聯(lián)立方程求解即可；（2）（?。┰O(shè)點可得直線AB，AC，BC的方程，聯(lián)立方程結(jié)合韋達定理分析證明；（ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)求切線方程，進而可得相應(yīng)點的坐標(biāo)，進而求面積分析求解.【詳解】（1）聯(lián)立方程，且，可得，故有，從而，代入得，所以兩拋物線在第一象限的交點的坐標(biāo)為．（2）（?。┰O(shè)，，，由題可知，，均不為0且不相等，直線AB，AC的斜率均存在，則直線AB：，即直線AB：，同理可得BC：，AC：．聯(lián)立，消去y得，由AB與相切，得，同理由AC與相切，得．則，可得，所以，即，所以直線BC也與相切，證畢；（ⅱ）不妨設(shè)，且A在B上方．由于，在拋物線上，求導(dǎo)得，所以點E，F(xiàn)處的切線方程為，，得，解得，即，同理，．過C作y軸的平行線CP交AB于P點，過D作y軸的平行線DQ交EF于Q點，則，，由直線AB：，與聯(lián)立，得，所以，同理由直線EF：，與聯(lián)立，得，所以，故，所以．【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達定理求解.考點六、最值及范圍問題1．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知是坐標(biāo)原點，拋物線的焦點為，點在上，線段是圓的一條直徑，且的最小值為．(1)求的方程；(2)過點作圓的兩條切線，與分別交于異于點的點，求直線斜率的最大值．【答案】(1)；(2)【分析】（1）利用展開計算求最值可得的值；（2）設(shè)直線的方程為，直線的方程為，根據(jù)與圓相切求出滿足的二次方程，求出直線斜率的斜率，利用導(dǎo)數(shù)求解最值.【詳解】（1）連接，由題意知，當(dāng)點與點重合時取等號，得，所以的方程為；（2）由題意知，連接，則，所以．又當(dāng)時，圓與軸相切，不滿足題意；當(dāng)時，圓與軸相切，不滿足題意，故且．設(shè)直線的方程為，因為直線為圓的切線，所以，整理得．②設(shè)直線的方程為，同理可得，所以是關(guān)于的方程的兩個根，所以．設(shè)Ax1由得，同理可得，所以直線的斜率為，設(shè)，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，．所以直線斜率的最大值為．2．（2024·全國·三模）如圖，動直線與拋物線：交于A，B兩點，點C是以AB為直徑的圓與的一個交點（不同于A，B），點C在AB上的投影為點M，直線為的一條切線.

(1)證明：為定值；(2)求與的內(nèi)切圓半徑之和的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）聯(lián)立直線與拋物線方程，利用判別式法求得，進而表示出點A、B的坐標(biāo)，設(shè)，利用圓的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為，代入坐標(biāo)運算得，即可證明；（2）先根據(jù)直角三角形內(nèi)切圓半徑公式求出兩個直角三角形的內(nèi)切圓半徑，然后結(jié)合的內(nèi)切圓半徑為R得，進而利用函數(shù)的單調(diào)性求得R的范圍，即可求解的范圍.【詳解】（1）由，消去y得.由，，得.所以的方程為，所以，.設(shè)，則由，得，結(jié)合，求得，所以點C的橫坐標(biāo)為，所以，為定值.（2）先證明直角三角形內(nèi)切圓半徑公式：對于，，其內(nèi)切圓半徑為r，則，從而，設(shè)，內(nèi)切圓的半徑分別為，，則，同理.設(shè)的內(nèi)切圓半徑為R，則.所以，因為，因為是關(guān)于a的單調(diào)遞增函數(shù)，所以是關(guān)于a的單調(diào)遞減函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以.故與內(nèi)切圓的半徑之和的取值范圍是.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第二問的關(guān)鍵是計算出，再求出，最后利用函數(shù)單調(diào)性即可得到答案.3．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·二模）已知點P為圓上任意一點，線段PA的垂直平分線交直線PC于點M，設(shè)點M的軌跡為曲線H.(1)求曲線H的方程;(2)若過點M的直線l與曲線H的兩條漸近線交于S，T兩點，且M為線段ST的中點.(i)證明：直線l與曲線H有且僅有一個交點；(ii)求的取值范圍.【答案】(1)(2)(i)證明見解析，(ii)【分析】(1)由雙曲線的定義進行求解；(2)(i)設(shè)，求出，由直線l與曲線H方程進行求解；（ii）由，則利用基本不等式求解．【詳解】（1）M為的垂直平分線上一點,則，則∴點M的軌跡為以為焦點的雙曲線,且，

故點M的軌跡方程為（2）(i)設(shè)，雙曲線的漸近線方程為：，如圖所示：則①，②，①+②得，，①-②得，，則，得由題可知，則，得，即，∴直線的方程為，即，又∵點M在曲線H上，則，得，將方程聯(lián)立，得，得，由，可知方程有且僅有一個解，得直線l與曲線H有且僅有一個交點.（ii）由（i）聯(lián)立，可得，同理可得，，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號.故的取值范圍為．【點睛】關(guān)鍵點點睛：第二問中的第2小問中，先要計算，再由基本不等式求解范圍．4．（2024·江蘇南京·模擬預(yù)測）已知雙曲線一個頂點為，直線過點且交雙曲線右支于兩點，記的面積分別為.當(dāng)與軸垂直時，(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若交軸于點，，.①求證：為定值；②若，當(dāng)時，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）由題意可得，再由結(jié)合三角形面積公式可求得，由此可得雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）①由向量的坐標(biāo)表示求得，代入雙曲線方程得，同理可得，再由韋達定理即可得到，得證；②由得到，結(jié)合①中結(jié)論可將式子化簡為，再利用換元法與雙勾函數(shù)的單調(diào)性即可求得m的取值范圍.【詳解】（1）由題意得，，則當(dāng)l與x軸垂直時，不妨設(shè)，由，得，將代入方程，得，解得，所以雙曲線E的方程為．（2）①設(shè)，，，由與，得，即，，將代入E的方程得：，整理得：①，同理由可得②．由①②知，，是方程的兩個不等實根．由韋達定理知，所以為定值．②又，即，整理得：，又，且，所以，則，整理得，又，故，而由①知，，故，代入，令，得，由雙勾函數(shù)在上單調(diào)遞增，得，所以m的取值范圍為．【點睛】方法點睛：解答圓錐曲線的范圍問題的方法與策略：（1）幾何轉(zhuǎn)化代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圓錐曲線的定義、圖形、幾何性質(zhì)來解決；（2）函數(shù)取值法：若題目的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯，則可以建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）單調(diào)性法；（4）三角換元法；（5）導(dǎo)數(shù)法等，要特別注意自變量的取值范圍.5．（2024·重慶·三模）已知F，C分別是橢圓的右焦點、上頂點，過原點的直線交橢圓于A，B兩點，滿足．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)橢圓的下頂點為，過點作兩條互相垂直的直線，這兩條直線與橢圓的另一個交點分別為M，N，設(shè)直線的斜率為的面積為，當(dāng)時，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】(1)利用橢圓的定義，結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)知，，則，解出a，b即可得橢圓方程；(2)設(shè)的方程為代入橢圓方程，求出M的坐標(biāo)，可得，用代替k，可得，求出的面積S，可得，解不等式可得k的取值范圍．【詳解】（1）設(shè)橢圓的左焦點為，連接，由對稱性知四邊形是平行四邊形，所以，．由橢圓定義知，則，．設(shè)橢圓的半焦距為，由橢圓的幾何性質(zhì)知，，則，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．則，所以直線，如圖所示，

設(shè)，聯(lián)立，消去并整理得，．．．所以，所以，．．所以，．同理可得：，所以，所以，由，得，整理得，得，．又，所以，所以或．所以的取值范圍為．【點睛】難點點睛：本題考查了橢圓方程的求解以及直線和橢圓位置關(guān)系中的三角形面積問題，綜合性較強，難點在于計算過程相當(dāng)復(fù)雜，計算量較大，并且基本都是有關(guān)字母參數(shù)的運算，十分容易出錯.6．（2024·湖南邵陽·三模）已知橢圓：的離心率為，右頂點與的上，下頂點所圍成的三角形面積為．(1)求的方程．(2)不過點的動直線與交于，兩點，直線與的斜率之積恒為．（i）證明：直線過定點；（ii）求面積的最大值．【答案】(1)；(2)（i）證明見解析；（ii）.【分析】（1）根據(jù)橢圓的離心率及三角形面積，列出方程組求解即得.（2）（i）設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用斜率坐標(biāo)公式，結(jié)合韋達定理推理即得；（ii）由（i）的信息，借助三角形面積建立函數(shù)關(guān)系，再求出最大值.【詳解】（1）令橢圓的半焦距為c，由離心率為，得，解得，由三角形面積為，得，則，，所以的方程是.（2）（i）由（1）知，點，設(shè)直線的方程為，設(shè)，由消去x得：，則，直線與的斜率分別為，，于是，整理得，解得或，當(dāng)時，直線過點，不符合題意，因此，直線：恒過定點.（ii）由（i）知，，則，因此的面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以面積的最大值為.

【點睛】思路點睛：圓錐曲線中的幾何圖形面積范圍或最值問題，可以以直線的斜率、橫(縱)截距、圖形上動點的橫(縱)坐標(biāo)為變量，建立函數(shù)關(guān)系求解作答.考點七、新定義問題1．（2024·山東青島·三模）在平面內(nèi)，若直線將多邊形分為兩部分，多邊形在兩側(cè)的頂點到直線的距離之和相等，則稱為多邊形的一條“等線”，已知為坐標(biāo)原點，雙曲線的左、右焦點分別為的離心率為2，點為右支上一動點，直線與曲線相切于點，且與的漸近線交于兩點，當(dāng)軸時，直線為的等線.(1)求的方程;(2)若是四邊形的等線，求四邊形的面積;(3)設(shè)，點的軌跡為曲線，證明:在點處的切線為的等線【答案】(1)(2)12(3)證明見解析【分析】（1）利用已知等量關(guān)系建立方程，求解各個元素，得到雙曲線方程即可.（2）利用給定定義，求解關(guān)鍵點的坐標(biāo)，最后得到四邊形面積即可.（3）利用給定條件和新定義證明即可.【詳解】（1）由題意知，顯然點在直線的上方，因為直線為的等線，所以，解得，所以的方程為（2）設(shè)Px0,y0故，該式可以看作關(guān)于的一元二次方程，所以，即方程為當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r，也成立漸近線方程為，不妨設(shè)在上方，聯(lián)立得，故，所以是線段的中點，因為到過的直線距離相等，則過點的等線必定滿足:到該等線距離相等，且分居兩側(cè)，所以該等線必過點，即的方程為，由，解得，故.所以，所以，所以，所以（3）設(shè)，由，所以，故曲線的方程為由（*）知切線為，也為，即，即易知與在的右側(cè)，在的左側(cè)，分別記到的距離為，由（2）知，所以由得因為，所以直線為的等線.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查解析幾何，解題關(guān)鍵是利用給定定義和條件，然后結(jié)合前問結(jié)論，得到，證明即可．2．（2024·湖南·二模）直線族是指具有某種共同性質(zhì)的直線的全體，例如表示過點的直線，直線的包絡(luò)曲線定義為：直線族中的每一條直線都是該曲線上某點處的切線，且該曲線上的每一點處的切線都是該直線族中的某條直線.(1)若圓是直線族的包絡(luò)曲線，求滿足的關(guān)系式；(2)若點Px0,y0不在直線族：的任意一條直線上，求的取值范圍和直線族的包絡(luò)曲線(3)在（2）的條件下，過曲線上兩點作曲線的切線，其交點為.已知點C0,1，若三點不共線，探究是否成立？請說明理由.【答案】(1)(2)(3)成立，理由見解析【分析】（1）根據(jù)包絡(luò)曲線的定義利用直線和圓相切即可得；（2）易知方程無解，根據(jù)判別式可得，證明可得直線族的包絡(luò)曲線為；（3）法一：求出兩點處曲線的切線的方程，解得，根據(jù)平面向量夾角的表達式即可得，即；法二：過分別作準(zhǔn)線的垂線，連接，由導(dǎo)數(shù)求得切線斜率并利用拋物線定義和三角形內(nèi)角關(guān)系即可證明.【詳解】（1）由定義可知，與相切，則圓的圓心到直線的距離等于1，則，.（2）點Px0,所以無論取何值時，無解.將整理成關(guān)于的一元二次方程，即.若該方程無解，則，即.證明：在上任取一點在該點處的切線斜率為，于是可以得到在點處的切線方程為：，即.今直線族中，則直線為，所以該曲線上的每一點處的切線都是該直線族中的某條直線，而對任意都是拋物線在點處的切線.所以直線族的包絡(luò)曲線為.（3）法一：已知C0,1，設(shè)A則，；由（2）知在點Ax1,y同理在點Bx2,y聯(lián)立可得，所以.因此，同理.所以，，即，可得，所以成立.法二：過分別作準(zhǔn)線的垂線，連接，如圖所示：則，因為，顯然.又由拋物線定義得，故為線段的中垂線，得到，即.同理可知，所以，即.則.所以成立.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵在于理解包絡(luò)曲線的定義，利用直線和曲線相切求出包絡(luò)曲線的方程為并進行證明，再利用拋物線定義和性質(zhì)即可得出結(jié)論.3．（2024·新疆烏魯木齊·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，重新定義兩點之間的“距離”為，我們把到兩定點的“距離”之和為常數(shù)的點的軌跡叫“橢圓”．(1)求“橢圓”的方程；(2)根據(jù)“橢圓”的方程，研究“橢圓”的范圍、對稱性，并說明理由；(3)設(shè)，作出“橢圓”的圖形，設(shè)此“橢圓”的外接橢圓為的左頂點為，過作直線交于兩點，的外心為，求證：直線與的斜率之積為定值．【答案】(1)(2)答案見解析(3)證明見解析【分析】（1）設(shè)“橢圓”上任意一點為Px,y，則，再根據(jù)兩點之間的“距離”得新定義即可得解；（2）將點分別代入即可判斷其對稱性，取絕對值符號，進而可得出范圍；（3）先求出橢圓方程，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程，利用韋達定理求出，分別求出直線的方程，設(shè)，再次求出的關(guān)系，進而求出，從而可得出結(jié)論.【詳解】（1）設(shè)“橢圓”上任意一點為Px,y，則，即，即，所以“橢圓”的方程為；（2）由方程，得，因為，所以，即，所以或或，解得，由方程，得，即，所以，所以，所以“橢圓”的范圍為，，將點代入得，，即，方程不變，所以“橢圓”關(guān)于軸對稱，將點代入得，，即，方程不變，所以“橢圓”關(guān)于軸對稱，將點代入得，，即，方程不變，所以“橢圓”關(guān)于原點對稱，所以“橢圓”關(guān)于軸，軸，原點對稱；

（3）由題意可設(shè)橢圓的方程為，將點代入得，解得，所以橢圓的方程為，，由題意可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，恒成立，則，因為的中點為，所以直線的中垂線的方程為，同理直線的中垂線的方程為，設(shè)，則是方程的兩根，即是方程的兩根，所以，又因，所以，兩式相比得，所以，所以，所以直線與的斜率之積為定值．

【點睛】方法點睛：求定值問題常見的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；（2）直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．4．（2024·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，利用公式①（其中，，，為常數(shù)），將點變換為點的坐標(biāo)，我們稱該變換為線性變換，也稱①為坐標(biāo)變換公式，該變換公式①可由，，，組成的正方形數(shù)表唯一確定，我們將稱為二階矩陣，矩陣通常用大寫英文字母，，…表示