2020年滬科版八年級上冊第15章《專題學(xué)習(xí)-最短路徑之將軍飲馬問題》

再長的路，一步步也能走完，再短的路不邁開雙腳也無法到達。古從軍行〔唐〕李頎白日登山望烽火,將軍飲馬傍交河?！疃搪窂街畬④婏嬹R問題課題學(xué)習(xí)一位將軍從圖中的A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后回到B地軍營．請問到河邊什么地方飲馬可使他所走的路徑最短？將軍飲馬問題探索新知B··AlC將軍飲馬問題兩點之間線段最短C探究1若A.B兩地如圖所示,請問到河邊什么地方飲馬可使將軍所走的路徑最短？●探索新知作圖問題:請在直線上找到一點C，使得AC+BC最短。B··AlC探究2若A，B兩地如圖所示，又如何在河l上找到飲馬點C，使得AC+BC最短？將軍飲馬問題探索新知思考：能把A.B兩點轉(zhuǎn)化到直線l的兩側(cè)嗎？B·lA·C將軍飲馬問題B··AlC探索新知方法揭曉作法:（1）作點B關(guān)于直線l的對稱點B′；（2）連接AB′，與直線l相交于點C．則點C即為所求．ABlB′C此時路徑A-C-B是最短路徑。將軍飲馬問題A′將軍飲馬問題B·lA·C作點A或點B關(guān)于直線l的對稱點,所得到的C點位置不變方法提示B·lA·CB′你能用所學(xué)的知識證明AC+BC最短嗎？由軸對稱的性質(zhì)可知，BC=B′C，BC′=B′C′.在△AB′C′中，∵AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′.即AC+BC最短.ABlB′CC′證明:如圖，在直線l上任取一點C′（與點C不重合），連接AC′，BC′，B′C′．∴AC+BC=AC+B′C=AB′∴AC′+BC′=AC′+B′C′理論證明2.最短距離問題的解決方法:1.基本模型:lABA′C當(dāng)兩定點在直線同側(cè)時CAlB當(dāng)兩定點在直線異側(cè)時利用“軸對稱”化折為直階段小結(jié)1.如圖,直線l是一條河,P、Q是兩個村莊.欲在l上的某處修建一個水泵站,向P、Q兩地供水,現(xiàn)有如下四種鋪設(shè)方案,圖中實線表示鋪設(shè)的管道,則所需要管道最短的是（）DPQlAMPQlBMPQlCMPQlDM學(xué)以致用2.已知兩點A(2,3),B(4,-3),在x軸上找一點P,使PA+PB最小,并求出點P的坐標(biāo)。yxABA′P-4-3-2-101234

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-1-2-3-4若換成y軸呢？P學(xué)以致用探究3若將軍要先讓馬到草地OM吃草，再到河邊ON喝水，最后回到出發(fā)點A，你能畫出最短路徑嗎？M將軍飲馬問題NO草地河流A一題多變分析：1.建模：點在兩直線的內(nèi)部B·AC將軍飲馬問題OMN2.在OM上找點B，在ON上找點C，使AB+BC+CA的和最小?？紤]對稱點的作用1.將直線同側(cè)兩點問題轉(zhuǎn)化為直線異側(cè)兩點問題；2.利用軸對稱的性質(zhì)可以將相等線段轉(zhuǎn)化。探究新知作法：1、作點A關(guān)于直線OM的對稱點A1，點A關(guān)于直線ON的對稱點A2，2.連接A1，A2，交OM于B，交ON于C,則路徑A-B-C-A是最短路徑。B·AA1C將軍飲馬問題OMNA2AB+BC+CA的和為什么是最小呢？兩點之間線段最短方法揭曉為什么AB+BC+CA的和最??？B·AA1C將軍飲馬問題OMNA2情節(jié)1:兩點之間線段最短反思驗證B′C′為什么AB+BC+CA的和最小？B·AA1C將軍飲馬問題OMNA2情節(jié)2:兩點之間線段最短反思驗證探究4將軍從A地出發(fā),先到草地讓馬吃草,再到河邊讓馬喝水,然后回到B處,請畫出最短路徑。OABNM能力提升將軍飲馬問題草地河流ABNMO分析：1.建模：兩點在兩直線的內(nèi)部2.作對稱點，連線A′B′PG路徑A-P-G-B是最短路徑。探究4將軍從A地出發(fā),先到草地讓馬吃草,再到河邊讓馬喝水,然后回到B處,請畫出最短路徑。能力提升將軍飲馬問題2.一種解決方法：作對稱點，利用軸對稱的性質(zhì)化折為直。B··AlC1.四種基本模型(1)兩點在直線異側(cè)(2)兩點在直線同側(cè)(3)點在兩直線內(nèi)部

(4)兩點在兩相交