《初中同步測控全優(yōu)設(shè)計(jì)》2013-2014學(xué)年華師大版七年級數(shù)學(xué)上冊例題與講解：第2章2.10　有理數(shù)的除法

2.10有理數(shù)的除法1．倒數(shù)(1)倒數(shù)的意義在有理數(shù)范圍內(nèi)，倒數(shù)的意義與小學(xué)里學(xué)習(xí)的倒數(shù)的意義是相同的，即乘積為1的兩個有理數(shù)互為倒數(shù)．用字母表示為a×eq\f(1,a)＝1(a≠0)，也就是說，a(a≠0)的倒數(shù)是eq\f(1,a).例如(－5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5)))＝1，因此－5是－eq\f(1,5)的倒數(shù)，－eq\f(1,5)是－5的倒數(shù)．(2)倒數(shù)的求法①求一個整數(shù)的倒數(shù)時，直接寫成以這個數(shù)為分母、1為分子的分?jǐn)?shù)即可．如－3的倒數(shù)是－eq\f(1,3)；②求一個分?jǐn)?shù)的倒數(shù)時，就是把這個分?jǐn)?shù)的分子和分母交換一下即可．如－eq\f(3,5)的倒數(shù)是－eq\f(5,3)；若求小數(shù)的倒數(shù)，先將小數(shù)化成分?jǐn)?shù)再求，如求0.5的倒數(shù)，由0.5＝eq\f(1,2)，eq\f(1,2)的倒數(shù)是2，則0.5的倒數(shù)是2；③0沒有倒數(shù)．談重點(diǎn)與倒數(shù)相關(guān)的知識①正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，負(fù)數(shù)的倒數(shù)是負(fù)數(shù)，0沒有倒數(shù)；②互為倒數(shù)的兩個數(shù)一定是同號；③倒數(shù)等于它本身的數(shù)只有1和－1.【例1】(1)－|－2|的倒數(shù)是()．A．2 B．eq\f(1,2) C．－eq\f(1,2) D．－2(2)－0.5的倒數(shù)是()．A．－eq\f(1,2) B．eq\f(1,2) C．－2 D．2(3)若2與a互為倒數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()．A．a(chǎn)＝eq\f(1,2) B．a(chǎn)＝－2 C．a(chǎn)＝－eq\f(1,2) D．a(chǎn)＝2解析：解決倒數(shù)問題首先要理解倒數(shù)的概念：如果兩個數(shù)的乘積等于1，那么這兩個數(shù)互為倒數(shù)．(1)要計(jì)算－|－2|的倒數(shù)，首先要計(jì)算出－|－2|＝－2，然后再確定其倒數(shù)；(2)通常把小數(shù)化為分?jǐn)?shù)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－0.5＝－\f(1,2)))，然后再將分?jǐn)?shù)的分子、分母顛倒位置；(3)根據(jù)倒數(shù)的概念可以計(jì)算出a的值．答案：(1)C(2)C(3)A2．有理數(shù)的除法法則(1)有理數(shù)的除法法則．①除以一個不為零的有理數(shù)，等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)．②兩數(shù)相除，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相除.0除以任何一個不等于0的數(shù)，都得0.(注意：0不能作除數(shù))(2)要選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行有理數(shù)的除法．對于整數(shù)除以一個不為零的整數(shù)時，可以先確定商的符號(兩數(shù)相除，同號得正，異號得負(fù))，再把絕對值相除得商的絕對值．當(dāng)除數(shù)是分?jǐn)?shù)(帶分?jǐn)?shù)要化為假分?jǐn)?shù))時，應(yīng)把除法轉(zhuǎn)化為乘法(除以一個不為零的有理數(shù)，等于乘以這個數(shù)的倒數(shù))，這樣比較簡單．當(dāng)除法算式中有小數(shù)時，應(yīng)把小數(shù)化為分?jǐn)?shù)，再把除法轉(zhuǎn)化為乘法．(3)0不能作除數(shù)．我們知道，“已知兩個因數(shù)的積和其中一個因數(shù)，求另一個因數(shù)的運(yùn)算”用除法，也就是說，除法是乘法的逆運(yùn)算．因?yàn)?乘以任何數(shù)都得0，所以任何數(shù)除以0都沒有意義，即0不能作除數(shù)．談重點(diǎn)有理數(shù)除法運(yùn)算的步驟先確定商的符號，再計(jì)算商的絕對值．如果兩個有理數(shù)能夠整除，一般直接根據(jù)有理數(shù)除法的法則確定符號后求商；如果兩個有理數(shù)不能整除，一般把除法轉(zhuǎn)化為乘法再運(yùn)算．【例2】計(jì)算：(1)(－12)÷(－3)；(2)(－42)÷(－6)；(3)(－0.1)÷10；(4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－25\f(5,7)))÷(＋5)；(5)0÷(－5)÷100.分析：先確定商的符號，再計(jì)算絕對值．(1)(2)是同號兩數(shù)相除，結(jié)果為正；(3)(4)是異號兩數(shù)相除，結(jié)果為負(fù)；(5)0除以任何非0的數(shù)，都得0.解：(1)(－12)÷(－3)＝4；(2)(－42)÷(－6)＝7；(3)(－0.1)÷10＝－0.01；(4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－25\f(5,7)))÷(＋5)＝－5eq\f(1,7)；(5)0÷(－5)÷100＝0.3．有理數(shù)除法運(yùn)算中的易錯題有理數(shù)的除法運(yùn)算中經(jīng)常會出現(xiàn)這樣的錯誤：(1)運(yùn)算順序出錯有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算屬于同級運(yùn)算，應(yīng)當(dāng)按照運(yùn)算順序，從左向右依次進(jìn)行計(jì)算，也可以直接把除法轉(zhuǎn)化為乘法，一起約分即可；(2)誤用“除法分配律”乘法分配律推廣到除法運(yùn)算，是有條件的：當(dāng)被除數(shù)是和差形式時，可以把除數(shù)分配給“和”中的每一個數(shù)；當(dāng)除數(shù)是和差形式時，就不能把被除數(shù)分配給“和”中的每一個數(shù)．【例3】計(jì)算：(1)(－29)÷3×eq\f(1,3)；(2)15÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,5))).分析：(1)把除法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，然后計(jì)算即可．本題易錯解為：原式＝(－29)÷1＝－29，錯解的原因是乘除混合運(yùn)算出現(xiàn)運(yùn)算順序錯誤；(2)先算括號里面的，再算除法運(yùn)算．本題易錯解為：原式＝15÷eq\f(1,3)－15÷eq\f(1,5)＝15×3－15×5＝45－75＝－30，錯解原因是因?yàn)榘驯怀龜?shù)分配給除數(shù)中的每一個數(shù)而造成的．解：(1)(－29)÷3×eq\f(1,3)＝(－29)×eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝－eq\f(29,3)×eq\f(1,3)＝－eq\f(29,9)＝－3eq\f(2,9)；(2)15÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,5)))＝15÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,15)－\f(3,15)))＝15÷eq\f(2,15)＝15×eq\f(15,2)＝eq\f(225,2)＝112eq\f(1,2).4．有理數(shù)的本質(zhì)我們知道，整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù)．整數(shù)和分?jǐn)?shù)都可以化為兩個整數(shù)之商．(1)任何整數(shù)都是它除以1所得的商，如5＝5÷1，－12＝(－12)÷1＝12÷(－1)．(2)任何正分?jǐn)?shù)都是它的分子除以分母的商，如eq\f(2,3)＝2÷3,4eq\f(1,3)＝eq\f(13,3)＝13÷3，任何負(fù)分?jǐn)?shù)的負(fù)號可以搬到分子或分母上，從而把它看成兩個整數(shù)(其中一個是負(fù)整數(shù))的商，如－eq\f(7,8)＝(－7)÷8＝7÷(－8)．由此可知，有理數(shù)是可以表示為兩個整數(shù)之商的數(shù)．【例4】將下列有理數(shù)寫成整數(shù)之商：(1)－5eq\f(3,4)；(2)3.6；(3)4.5.分析：(1)－5eq\f(3,4)是一個負(fù)的帶分?jǐn)?shù)，先將其化為假分?jǐn)?shù)，再把負(fù)號搬到分子(或分母)上，即可知道它是哪兩個整數(shù)之商；(2)3.6是一個小數(shù)，將其化為分?jǐn)?shù)后，即可知道它是哪兩個整數(shù)之商；(3)先將4.5化成分?jǐn)?shù)，即可知道它是哪兩個整數(shù)之商．解：(1)－5eq\f(3,4)＝－eq\f(23,4)＝eq\f(－23,4)＝(－23)÷4；(2)3.6＝3eq\f(3,5)＝eq\f(18,5)＝18÷5.(3)4.5＝4eq\f(1,2)＝eq\f(9,2)＝9÷2.5．求一個數(shù)的倒數(shù)的方法(1)用1除以這個數(shù)．例如求0.2的倒數(shù)，就用1除以0.2得5，所以0.2的倒數(shù)是5.(2)把數(shù)改寫成分?jǐn)?shù)，再把分子與分母顛倒位置．①求整數(shù)的倒數(shù)，直接把整數(shù)作分母，分子是1；②求真、假分?jǐn)?shù)的倒數(shù)，直接把分子與分母顛倒位置；③求帶分?jǐn)?shù)的倒數(shù)，先把帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，再把分子分母顛倒位置，如求7eq\f(1,3)的倒數(shù)，先化為eq\f(22,3)，其倒數(shù)為eq\f(3,22)；④求小數(shù)的倒數(shù)，先把小數(shù)化為分?jǐn)?shù)，再把分子分母顛倒位置．(3)特別地，分子是1的真分?jǐn)?shù)的倒數(shù)是這個分?jǐn)?shù)的分母，即正整數(shù)．談重點(diǎn)有理數(shù)有倒數(shù)的條件一個有理數(shù)有倒數(shù)的條件是這個有理數(shù)不等于0.例如a的倒數(shù)是eq\f(1,a)的條件是a不為0.所以－a(a≠0)的倒數(shù)是－eq\f(1,a)，－eq\f(p,q)(p≠0，q≠0)的倒數(shù)是－eq\f(q,p).【例5】填空：(1)__________的倒數(shù)是－0.125；(2)－3eq\f(1,2)的倒數(shù)是__________；(3)0.2的倒數(shù)的相反數(shù)是__________；(4)－4eq\f(1,3)的負(fù)倒數(shù)是__________；(5)－2.5×eq\x()＝1，則“eq\x()”中應(yīng)填的數(shù)是__________．解析：(1)求－0.125的倒數(shù)，就要先把－0.125化成分?jǐn)?shù)，即－0.125＝－eq\f(1,8)，所以其倒數(shù)是－8；(2)求－3eq\f(1,2)的倒數(shù)，要把帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，即－3eq\f(1,2)＝－eq\f(7,2)，所以其倒數(shù)是－eq\f(2,7)；(3)求0.2的倒數(shù)的相反數(shù)，就要把0.2化為eq\f(1,5)，其倒數(shù)是5,5的相反數(shù)是－5；(4)求－4eq\f(1,3)的負(fù)倒數(shù)，就要把－4eq\f(1,3)化為－eq\f(13,3)，其倒數(shù)的相反數(shù)就是eq\f(3,13)；(5)實(shí)質(zhì)是求－2.5的倒數(shù)，就是－eq\f(2,5).答案：(1)－8(2)－eq\f(2,7)(3)－5(4)eq\f(3,13)(5)－eq\f(2,5)6.有理數(shù)除法的應(yīng)用有理數(shù)的除法在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的應(yīng)用，解題時可以忽略符號，只考慮數(shù)的實(shí)際意義，最后再去處理符號問題．解題時還要檢驗(yàn)結(jié)果是否符合實(shí)際意義．【例6】一只青蛙在10米深的井底，它每小時往上爬1米后，在下一小時里要下滑0.6米，問這只青蛙幾小時才能爬到地面上來？分析：由已知條件知，青蛙每兩個小時爬上1－0.6＝0.4米，10米里面有25個0.4米，所以經(jīng)過了50個小時青蛙爬上了地面，但是實(shí)際在經(jīng)過了49小時，青蛙沒有下滑時已經(jīng)上來了．解：10÷(1－0.6)×2＝50(小時),50－1＝49(小時)．答：這只青蛙49小時才能爬到地面上來．7．有理數(shù)的除法轉(zhuǎn)化為乘法的運(yùn)算(1)除以一個非零有理數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)．用數(shù)學(xué)式子表示為a÷b＝a×eq\f(1,b)＝eq\f(a,b)(b≠0)．(2)有理數(shù)的除法轉(zhuǎn)化為乘法的運(yùn)算步驟：①確定商的符號；②把除法變?yōu)槌朔?；③把除?shù)變?yōu)樗牡箶?shù)．(3)幾個非0的有理數(shù)相乘，積的符號由負(fù)因數(shù)的個數(shù)決定．類似地，幾個非0的有理數(shù)相除，商的符號也由負(fù)數(shù)的個數(shù)決定：當(dāng)負(fù)數(shù)的個數(shù)為奇數(shù)時，商為負(fù)；當(dāng)負(fù)數(shù)的個數(shù)為偶數(shù)時，商為正．(4)如果兩個有理數(shù)能夠整除，就用除法法則運(yùn)算；如果兩個數(shù)不能整除，就把除法轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算．(5)特別地，只要是乘除混合運(yùn)算就把除法轉(zhuǎn)化為乘法，確定符號后再應(yīng)用乘法法則運(yùn)算．(6)轉(zhuǎn)化后利用乘法的運(yùn)算律簡化運(yùn)算．除法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算后，運(yùn)算律可以使運(yùn)算簡單，因此在解題中要細(xì)心觀察．在混合運(yùn)算中要嚴(yán)格按照運(yùn)算順序計(jì)算．【例7】計(jì)算：(1)(－81)÷3eq\f(1,4)÷(－2.25)÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－11\f(1,13)))；(2)－2eq\f(1,4)÷1.125×(－8)；(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1\f(3,4)－\f(7,8)－\f(7,12)))÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,24))).分析：(1)有理數(shù)的除法法則對有理數(shù)的連除運(yùn)算仍然適應(yīng)．運(yùn)算時，要注意把每一個除數(shù)都轉(zhuǎn)化為它的倒數(shù)，都與被除數(shù)相乘．同時要把小數(shù)化為分?jǐn)?shù)，把帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，便于約分；(2)對于有理數(shù)的乘除法混合運(yùn)算，應(yīng)將它們統(tǒng)一為有理數(shù)的乘法運(yùn)算．先由負(fù)因數(shù)的個數(shù)確定結(jié)果的符號，再把帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，同時把小數(shù)也化為分?jǐn)?shù)，最后考慮約分；(3)若先算括號里面的，再算除法運(yùn)算比較復(fù)雜，如果先將除法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算然后利用乘法分配律，會大大簡化計(jì)算．注意帶分?jǐn)?shù)要化成假分?jǐn)?shù)．解：(1)原式＝－81÷eq\f(13,4)÷eq\f(9,4)÷eq\f(144,13)＝－81×eq\f(4,13)×eq\f(4,9)×eq\f(13,144)＝－1；(2)原式＝eq\f(9,4)÷eq\f(9,8)×8＝eq\f(9,4)×eq\f(8,9)×8＝16；(3)原式＝eq\b