河北省邯鄲市三龍育華中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)試卷（實(shí)驗(yàn)班）

2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)卷（實(shí)驗(yàn)班）考試時(shí)間：120分鐘；滿分：150分注意事項(xiàng)：1．答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息2．請(qǐng)將答案正確填寫在答題卡上第I卷（選擇題）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求．1．，，若，則的值為（）．A．4 B．5 C．6 D．72．已知直線過定點(diǎn)，則定點(diǎn)的坐標(biāo)為（）．A． B． C． D．3．已知拋物線，則拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是（）．A．4 B． C．2 D．4．方程表示橢圓的充要條件是（）．A． B．或C． D．5．已知圓，求圓關(guān)于直線的對(duì)稱圓方程（）．A． B．C． D．6．已知過橢圓中心的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則的周長(zhǎng)的最小值為（）．A．7 B．8 C．9 D．107．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉1765在其所著的《三角形幾何學(xué)》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線．已知的頂點(diǎn)分別為，，，則的歐拉線方程是（）．A． B．C． D．8．設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線過點(diǎn)．若點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)恰好在橢圓上，且，則的離心率為（）．A． B． C． D．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．9．設(shè)直線，的交點(diǎn)為，則（）．A．恒過定點(diǎn) B．C．的最大值為 D．點(diǎn)到直線的距離的最大值為510．已知橢圓，，分別為它的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論中正確的有（）．A．橢圓離心率為 B．C．若，則的面積為9 D．最小值為11．已知曲線，則下列說法正確的是（）．A．B．曲線關(guān)于直線對(duì)稱C．曲線圍成的封閉圖形的面積不大于D．曲線圍成的封閉圖形的面積隨的增大而增大第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知雙曲線的漸近線方程為，兩頂點(diǎn)間的距離為6，則雙曲線的方程是________．13．拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過焦點(diǎn)且斜率為的直線與交于點(diǎn)，為上一動(dòng)點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值為________．14．過橢圓上一點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)為，，當(dāng)最大時(shí)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為________．四、解答題15（13分）．已知直線，圓．（1）求與直線平行且與圓相切的直線方程；（2）設(shè)直線，且與圓相交于，兩點(diǎn)，若，求直線的方程．16（15分）．已知拋物線的焦點(diǎn)為．（1）求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；（2）過焦點(diǎn)的直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，若，求線段的長(zhǎng)．17（15分）．如圖，平面平面，為正方形，是直角三角形，且，、、分別是線段、、的中點(diǎn)．（1）求證：面面；（2）求異面直線與所成角的余弦值；（3）求點(diǎn)到面的距離．18（17分）．已知雙曲線的離心率為，實(shí)軸長(zhǎng)為6，為雙曲線的左頂點(diǎn)，設(shè)直線過定點(diǎn)，且與雙曲線交于，兩點(diǎn)．（1）求雙曲線的方程；（2）證明：直線與的斜率之積為定值．19（17分）．已知橢圓的離心率為，短軸的一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為，斜率為的直線與橢圓相交于兩個(gè)不同點(diǎn)、．（1）求橢圓的方程；（2）若坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為，求的面積的最大值；（3）若線段的垂直平分線過點(diǎn)，求的取值范圍．

高二數(shù)學(xué)第三次月考答案參考答案：題號(hào)12345678910答案ADBBDDCBABDBCD題號(hào)11答案ABD1．A【分析】根據(jù)空間向量的平行性質(zhì)，列出方程組，解出，的值，即可得答案．【詳解】根據(jù)，則存在一個(gè)常數(shù)使得，所以可得，解之可得．故選：A2．D【分析】利用直線過定點(diǎn)可得結(jié)果．【詳解】易知直線恒過定點(diǎn)．故選：D3．B【分析】根據(jù)拋物線方程求出，由拋物線定義可得解．【詳解】由拋物線可得，所以，，故拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是．故選：B4．B【分析】借助橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與充要條件的定義計(jì)算即可．【詳解】若表示橢圓，則，解得或．故選：B．5．D【分析】設(shè)對(duì)稱圓的圓心，解方程組即得解．【詳解】圓的圓心為，設(shè)對(duì)稱圓的圓心為，依題意得，解得，又圓的半徑與對(duì)稱圓的半徑相等，所以對(duì)稱圓的方程為．故選：D．6．D【分析】根據(jù)橢圓的定義求出，再由，即可求解．【詳解】由橢圓的對(duì)稱性可知，，兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，則四邊形為平行四邊形，由橢圓的定義可知：，又，，所以，又直線過原點(diǎn)，所以，所以的周長(zhǎng)的最小值為：．故選：D7．C【分析】求出重心坐標(biāo)，求出邊上高和邊上高所在直線方程，聯(lián)立兩直線可得垂心坐標(biāo)，即可求出歐拉線方程．【詳解】由題可知，的重心為，可得直線的斜率為，則邊上高所在的直線斜率為，則方程為，直線的斜率為，則邊上高所在的直線斜率為2，則方程為，聯(lián)立方程可得的垂心為，則直線斜率為，則可得直線方程為，故的歐拉線方程為．故選：C．8普．B【分析】利用點(diǎn)差法求得，關(guān)系，再利用橢圓的離心率公式可得答案．【詳解】設(shè)，兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，因?yàn)榍业闹悬c(diǎn)為，所以，，因?yàn)?，在橢圓上，所以①，兩式相減，得，根據(jù)，，上式可化簡(jiǎn)為，整理得，又，所以，即，所以．故選：B．8實(shí)．B【分析】利用橢圓的定義結(jié)合余弦定理求解出，結(jié)合求解出離心率的值．【詳解】如圖，由已知可得，，，由橢圓定義，得，在中，由余弦定理得，所以，又，整理得，又橢圓的離心率，所以，解得或（舍去），所以的離心率．故選：B．9．ABD【分析】由直線過定點(diǎn)即可判斷A，由兩直線垂直列出方程即可判斷B，聯(lián)立兩直線方程求出交點(diǎn)坐標(biāo)，代入計(jì)算即可判斷C，結(jié)合題意可知點(diǎn)到直線的距離的最大值即為點(diǎn)到定點(diǎn)的距離，即可判斷D．【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)橹本€，即，令，解得，所以恒過定點(diǎn)，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)橹本€，滿足，所以，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，聯(lián)立兩直線方程，解得，所以，則，令，則，所以，，且在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，由A可知，直線恒過定點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離的最大值即為點(diǎn)到定點(diǎn)的距離，即，故D正確；故選：ABD10．BCD【分析】由橢圓方程得到，，的值，根據(jù)離心率的公式可判斷A，根據(jù)橢圓的定義可判斷B，根據(jù)勾股定理和橢圓的定義可得到，從而由三角形面積公式可判斷C，由基本不等式可判斷D．【詳解】由橢圓方程可知，，，，所以橢圓的離心率，故A錯(cuò)誤；由橢圓定義知，故B正確；又，因?yàn)?，所以，∴，解得，所以的面積為，故C正確；∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴最小值為，故D正確．故選：BCD．11普．ABD【分析】對(duì)A，根據(jù)雙曲線方程結(jié)合離心率為，列式求解；對(duì)B，根據(jù)兩漸近線垂直斜率關(guān)系列式求解；對(duì)C，由雙曲線定義結(jié)合勾股定理列式運(yùn)算；對(duì)D，結(jié)合雙曲線定義求出的周長(zhǎng)，利用基本不等式求解判斷．【詳解】對(duì)于A，由題可得，，，∴，解得，所以實(shí)軸長(zhǎng)為2，故A正確；對(duì)于B，雙曲線的漸近線為，兩漸近線垂直，則，解得，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，又，則，兩式相減可得，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，，兩式相加得，又，所以的周長(zhǎng)為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故D正確．故選：ABD．11實(shí)．ABD【分析】利用曲線的方程得到關(guān)于的不等式可判斷A；利用點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)判斷得曲線的對(duì)稱性，從而判斷B；分析曲線與曲線上的兩個(gè)橫坐標(biāo)相同的點(diǎn)的縱坐標(biāo)大小關(guān)系，從而得到曲線圍成的封閉圖形的面積情況，從而判斷CD．【詳解】對(duì)于A，因?yàn)榍€，所以，解得，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)榍€，可化為，設(shè)點(diǎn)是曲線上任一點(diǎn)，則其關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)為，將代入曲線方程，得，所以曲線關(guān)于直線對(duì)稱，故B正確；對(duì)于CD，因?yàn)?，所以，則，設(shè)點(diǎn)是曲線上任一點(diǎn)，則，點(diǎn)是曲線上的一點(diǎn)，則，則，，故，易知當(dāng)時(shí)，在其定義域內(nèi)單調(diào)遞減，所以（當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，等號(hào)成立），故，又在上單調(diào)遞增，所以，故當(dāng)增大時(shí)，橫坐標(biāo)相同的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值會(huì)大于或等于原來的，又曲線圍成的圖形為封閉圖形，所以該圖形會(huì)比原來的大，即曲線圍成的封閉圖形的面積隨的增大而增大，故D正確，又當(dāng)時(shí)，曲線為，即其圖形是半徑為1的圓，此時(shí)其面積為，則曲線圍成的封閉圖形的面積不小于，故C錯(cuò)誤．故選：ABD．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題CD選項(xiàng)解決的關(guān)鍵在于，分析得兩曲線與上的點(diǎn)的情況，從而得到其圍成的封閉圖形的面積情況，由此得解．12．或【分析】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)，利用待定系數(shù)法求雙曲線方程．【詳解】當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，設(shè)雙曲線的方程為，則解得，則雙曲線的方程為；當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，設(shè)雙曲線的方程為，則解得雙曲線的方程為．綜上，雙曲線的方程是或．故答案為：或13．【分析】過作直線的垂線，垂足為，分析出為正三角形，求出；再通過軸對(duì)稱求出，即可得周長(zhǎng)的最小值．【詳解】設(shè)準(zhǔn)線交軸于點(diǎn)，過作直線的垂線，垂足為，連接，由題知，焦點(diǎn)，，．因?yàn)?，直線的斜率為，所以為正三角形，所以，，記關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則．當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，，所以周長(zhǎng)的最小值為．故答案為：14．【分析】根據(jù)給定條件，利用圓的切線長(zhǎng)定理、結(jié)合四邊形及三角形面積轉(zhuǎn)化為求最大值問題．【詳解】圓的圓心，半徑，由，切圓于點(diǎn)，知，，則，因此最大，當(dāng)且僅當(dāng)最大，設(shè)，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)為．故答案為：15．（1）或；（2）或【分析】（1）根據(jù)題意假設(shè)所求直線方程，利用圓心到直線的距離等于半徑求得，從而得解；（2）根據(jù)題意假設(shè)直線的方程，利用圓的弦長(zhǎng)公式求得圓心到直線的距離，進(jìn)而利用點(diǎn)線距離公式列式即可得解．【詳解】（1）依題意，設(shè)所求直線方程為，因?yàn)樗笾本€與圓相切，且圓心為，半徑為，∴，解得或，∴所求直線方程為或；（2）依題意，設(shè)直線的方程為，因?yàn)橹本€與圓相交于，兩點(diǎn)，，∴圓心到直線的距離為，∴，解得或，∴直線的方程為或．16．（1）焦點(diǎn)坐標(biāo)，準(zhǔn)線方程為；（2）．【分析】（1）由題意，根據(jù)所給拋物線的方程進(jìn)行求解即可；（2）先根據(jù)定義求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而可得點(diǎn)的縱坐標(biāo)，設(shè)出直線的方程，將直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理和焦半徑公式求解即可．【詳解】（1）因?yàn)?，解得，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，準(zhǔn)線方程為；（2）不妨設(shè)，，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，解得，不妨令，，此時(shí)直線的方程為，聯(lián)立，消去并整理得，由韋達(dá)定理得，則．17．（1）見解析（2）（3）【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量證明線線垂直即可得線面垂直，再由線面垂直證明面面垂直；（2）利用向量法求異面直線所成角的余弦值；（3）根據(jù)點(diǎn)面距離的向量公式求解即可．【詳解】（1）因?yàn)槠矫嫫矫妫痪€為，，平面所以平面，又，平面，所以，，故，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，．∵，，，∴，，∴，，又∵，平面，且，∴平面，又平面，∴平面平面．（2）∵，，∴，故異面直線所成角的余弦值為．（3）設(shè)平面的法向量為則，令，則，，所以，又，所以點(diǎn)到面的距離．18普．（1）（2）【分析】（1）根據(jù)題意求解雙曲線方程即可；（2）聯(lián)立直線和雙曲線方程，通過判別式大于0，及，求解即可．【詳解】（1）雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，設(shè)雙曲線的方程為由，可得，由雙曲線過點(diǎn)，可得，解得，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程，化簡(jiǎn)得，則，假設(shè)，，則，解得．18實(shí)．（1）（2）證明見詳解【分析】（1）由實(shí)軸長(zhǎng)為6，得，由離心率為，得，再由得，即可得到雙曲線的方程；（2）設(shè)，，直線，直線與雙曲線聯(lián)立方程得，根據(jù)韋達(dá)定理得，，根據(jù)斜率公式得，最后代入化簡(jiǎn)計(jì)算即可得證．【詳解】（1）因?yàn)殡p曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為6，所以，因?yàn)殡p曲線的離心率為，所以，解得，由，得，則的方程為．（2）設(shè)，，因?yàn)橹本€過定點(diǎn)，顯然直線不垂直于軸，則設(shè)直線，聯(lián)立方程組，消去得，由，得，則，，因?yàn)闉殡p曲線的左頂點(diǎn)，所以，直線的斜率，直線的斜率，所以，即直線與的斜率之積為定值．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問的關(guān)鍵在于設(shè)出直線的方程，然后直曲聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，代入的表達(dá)式，化簡(jiǎn)即可得到定值．19．（1）（2）（3）【分析】（1）由離