第一章 特殊的平行四邊形全單元教案-2022秋北師大版九年級上冊數(shù)學(xué)

1.1菱形的性質(zhì)與判定

第1課時(shí)菱形的性質(zhì)

SB

i.通過折、剪紙張的方法，探索菱形獨(dú)特的性質(zhì)，理解菱形與平行四邊形之間的聯(lián)系;

2.通過學(xué)生間的交流、討論、分析、類比、歸納，運(yùn)用已學(xué)過的知識總結(jié)菱形的特征;

3.掌握菱形的概念和菱形的性質(zhì)以及菱形的面積公式的推導(dǎo).（重點(diǎn)、難點(diǎn)）

一、情景導(dǎo)入

請看演示：（可將事先按如圖做成的一組對邊可以活動的教具進(jìn)行演示）如圖，改變平行

四邊形的邊，使之一組鄰邊相等，從而引出菱形概念.

讓學(xué)生舉一些日常生活中所見到過的菱形的例子.

總結(jié)：（1）菱形必須滿足兩個(gè)條件：一是平行四邊形；二是有一組鄰邊相等.（2）菱形是

特殊的平行四邊形，即當(dāng)一個(gè)平行四邊形的一組鄰邊相等時(shí)，該平行四邊形是菱形.不能忽

略平行四邊形這一前提，而錯誤地認(rèn)為有一組鄰邊相等的四邊形就是菱形.

二、合作探究

探究點(diǎn)一：菱形的性質(zhì)

［類型—］菱形的四條邊相等

例1如圖所示，在菱形ABCO中，已知NA=60。，AB=5,則AABO的周長是（）

A.10

B.12

C.15

D.20

解析：根據(jù)菱形的性質(zhì)可判斷△A8O是等邊三角形，繼而根據(jù)4B=5求出的周

長.

???四邊形ABC。是菱形，

：.AB=AD.

又;NA=60°,

；?△ABD是等邊三角形，

:.LABD的周長=3A6=15.

故選C.

方法總結(jié):如果一個(gè)菱形的內(nèi)角為60?；?20。,則兩邊與較短對角線可構(gòu)成等邊三角形,

這是非常有用的基本圖形.

［類型二］菱形的對角線互相垂直

曲陶如圖所示，在菱形ABCD中，對角線AC、8。相交于點(diǎn)O,BD=12cm,AC=6cm,

求菱形的周長.

解析：由于菱形的四條邊都相等，所以要求其周長就要先求出其邊長.由菱形性質(zhì)可知,

其對角線互相垂直平分，因此可以在直角三角形中利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算.

A

解：因?yàn)樗倪呅蜛BC。是菱形，

所以AC_LBO,

AO=^AC,BO=^BD.

因?yàn)锳C=6cm,BD=12cm,

所以AO=3cm,BO=6cm.

在RtZXAB。中，由勾股定理，得

Afi=-\/AO2+BO2=^32+62=34(cm).

所以菱形的周長=4AB=4X3小=12小(cm).

方法總結(jié)：因?yàn)榱庑蔚膶蔷€把菱形分成四個(gè)全等的直角三角形，所以菱形的有關(guān)計(jì)算

問題常轉(zhuǎn)化到直角三角形中求解.

［類型三］菱形是軸對稱圖形

顫J如圖，在菱形人38中，CK_LA〃于點(diǎn)E,CF_LA￡＞于點(diǎn)尸，求證：AE-AF.

解析：要證明AE=4廣，需要先證明△ACEZ/XACF

證明：連接AC.

???四邊形ABC。是菱形,

平分N8A。，

即NB4C=NOAC

'：CELAB.CFLAD,

：.ZAEC=ZAFC=90°.

在△ACE和△ACF中，

ZAEC=ZAFC,

，NBAC=NDAC,

AC=AC,

：.AACE^AACF.

：.AE=AF.

方法總結(jié)：菱形是軸對稱圖形，它的兩條對角線所在的直線都是它的對稱軸，每條對角

線平分一組對角.

探究點(diǎn)二：菱形的面積的計(jì)算方法

硒1如圖所示，在菱形ABCO中，點(diǎn)。為對角線AC與8。的交點(diǎn)，且在AAOB中,

A8=13,OA=5,08=12.求菱形ABC。兩對邊的距離九

A

解析：先利用菱形的面積等于兩條對角線艮度乘積的一半求得菱形的面積，又因?yàn)榱獠?/p>

是特殊的平行四邊形，其面積等于底乘高，也就是一邊長與兩邊之間距離的乘積，從而求得

兩對邊的距離.

解：在RtZ\AOB中，4B=13,0A=5,08=12,

于是S^AOB=^OAOB=^X5X12=30,

所以S芟形ABCD=4SAAO8=4X30=120.

又因?yàn)榱庑蝺山M對邊的距離相等，

所以S差形ABCD=A8?h=13h,

所以13%=120,得力=貴i?0.

方法總結(jié)：菱形的面積計(jì)算有如下方法：（1）一邊長與兩對邊的距離（即菱形的高）的積;

（2）四個(gè)小直角三角形的面積之和（或一個(gè)小直角三角形面積的4倍）;（3）兩條對角線長度乘積

的一半.

三、板書設(shè)計(jì)

〃菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫

做菱形

‘邊：對邊平行且四條邊相等

角：對角相等，鄰角互補(bǔ)

菱形的性質(zhì)＜

對角線：互相垂直平分，且每一條

菱形4

、對角線都平分一組對角

菱形的對稱性：菱形是軸對稱圖形，每條對角線

所在的直線是它的對稱軸

菱形的面積公式：5=底乂高=兩條對角線長度

乘積的一半

為學(xué)生提供動手實(shí)踐、研究探討的時(shí)間與空間，讓學(xué)生經(jīng)歷知識發(fā)生、發(fā)展的全過程,

培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)、主動獲取知識的能力，使學(xué)生經(jīng)歷實(shí)踐、推理、交流等數(shù)學(xué)

活動過程，親身體驗(yàn)數(shù)學(xué)思想方法及數(shù)學(xué)觀念，培養(yǎng)學(xué)生能力，促進(jìn)學(xué)生發(fā)展.

第一章特殊平行四邊形

1.1菱形的性質(zhì)與判定

第1課時(shí)菱形的性質(zhì)

1、會歸納菱形的特性并進(jìn)行證明；

教學(xué)

2、能運(yùn)用菱形的性質(zhì)定理進(jìn)行簡單的計(jì)算與證明；

目標(biāo)

3、在進(jìn)行探索、猜想、證明過程中，進(jìn)一步發(fā)展推理論證的能力，體會證明的必要性.

重點(diǎn)：菱形的性質(zhì)定理證明

難點(diǎn)：菱形的性質(zhì)定理證明、運(yùn)用，生活數(shù)學(xué)與理論數(shù)學(xué)的相互轉(zhuǎn)億.

知識鏈接：平行四邊形的性質(zhì)與判定

一、課前預(yù)習(xí)：

1.復(fù)習(xí)平行四邊形的性質(zhì).

邊：

角：

對角線：

對稱性：

2.菱形的定義是什么？

菱形是不是中心對稱圖形?____,對稱中心是_________

3.請動手制作一個(gè)菱形，折一折，觀察并填空.

菱形是不是軸對稱圖形？_，對稱軸有幾條?______,分別是__________

二、探索活動：

探索活動（一）：

菱形是一種特殊的平行四邊形，具有平行四邊形的所有性質(zhì)。

菱形特有的性質(zhì)是（性質(zhì)定理）：

菱形的四條邊_____________;菱形的對角線________________o

探索活動（-）：

試證明上述定理

己知：____________________________________0

求證：（1）_____________________；

（2）_____________________o

探索活動（三）：

已知菱形ABCD的兩條對角線AC、BD相交于點(diǎn)0,圖中存在特殊的三角

形嗎？

如果菱形的兩條對角線長分別為6和8,由此你能獲得有關(guān)這個(gè)菱形的哪些

結(jié)論？（可得到邊長為—;周長為______面積為______）

你認(rèn)為菱形的面積與菱形的兩條對角線的長有關(guān)嗎？如果有關(guān)，怎樣根據(jù)菱

形的對角線的計(jì)算它的面積？

由此可得：菱形的面積________________________________________.

由此得到菱形的兩種面積計(jì)算方法：

1.

2._______________________________________________

你會計(jì)算菱形的周長嗎？

三、例題精講

例1.課本3頁例1

例2.已知：在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)0,E、F、G、H分別是菱形

ABCD各邊的中點(diǎn)，求證：0E=0F=0G=0H.

四、課堂檢測：

1.已知四邊形ABCD是菱形，。是兩條對角線的交點(diǎn)，AC=8cm,DB=6cm,菱形的邊長

是______cm.

2.菱形ABCD的周長為40cm,兩條對角線AC：BD=4：3,那么對角線AC=______cm,

BD=______cm.

3.若菱形的邊長等于一條對角線的長，則它的一組鄰角的度數(shù)分別為______________

4.已知菱形的面積為30平方厘米，如果一條對角線長為12厘米，則別一條對角線長

為________厘米.

5.菱形的兩條對角線把菱形分成全等的直角三角形的個(gè)數(shù)是（）.

（A）1個(gè)（B）2個(gè)（C）3個(gè)（D）4個(gè)

6.在菱形ABCD中，CE±AB,E為垂足，BC=2,BE=1,求菱形的周長和面積

五、學(xué)習(xí)體會:

第2課時(shí)菱形的判定

鰭I

1.理解并掌握菱形的判定方法；（重點(diǎn)）

2.靈活運(yùn)用菱形的判定方法進(jìn)行有關(guān)的證明和計(jì)算.（難點(diǎn)）

一、情景導(dǎo)入

木工在做菱形的窗格時(shí)，總是保證四條邊框一樣長，你知道其中的道理嗎？借助以下圖

形探索：如圖，在四邊形A8CO中，A8=3C=CO=D4,試說明四邊形A8CO是菱形.

二、合作探究

探究點(diǎn)一：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形

例1如圖所示，ABCD的對角線BD的垂直平分線與邊A3,CD分別交于點(diǎn)E,F.

求證：四邊形。石8戶是菱形.

解析：本題首先應(yīng)用到平行四邊形的性質(zhì)，其次應(yīng)用到菱形的判定方法.要證四邊形

DEBF是菱形,可以先證明其為平行四邊形，再利用“對角線互相垂直”證明其為菱形.

DFC

證明：???四邊形ABCO是平行四邊形,

.\AH//DC.

:,NFDO=NEBO.

又???E尸垂直平分80,

：.OB=OD.

在△。。尸和△BOE中，

"FDO=4EB0,

<OD=OB,

.NFOD=/EOB,

???△OO尸絲ZXBO^ASA）.

：.OF=OE.

???四邊形OEB尸是平行四邊形.

又?；EF上BD,

，四邊形DEBF是菱形.

方法總結(jié)：用此方法也可以說是對角線互相垂直平分的四邊形是菱形，但對角線互相垂

直的四邊形不一定是菱形，必須強(qiáng)調(diào)對角線是互相垂直且平分的.

探究點(diǎn)二：四邊相等的四邊形是菱形

的舊如圖所示，在△A8C中，ZB=90°,A8=6cm,8C=8cm.將△43C沿射線3C方

向平移10cm,得至A,B,C的對應(yīng)點(diǎn)分別是D,E,F,連接40.求證：四邊形ACTD

是菱形.

AD

RCEF

解析：根據(jù)平移的性質(zhì)可得CP=A￡>=10cm,DF=ACf再在RtZXABC中利用勾股定理

求出4c的長為10cm,就可以根據(jù)四邊相等的四邊形是菱形得到結(jié)論.

證明：由平移變換的性質(zhì)得C/=4)=10cm,DF=AC.

VZB=90°,A8=6cm,BC=8cm,

工AC=、AB2+BC2=76+8]=IO(cm),

：.AC=DF=AD=CF=10cm,

，四邊形4CF。是菱形.

方法總結(jié)：當(dāng)四邊形的條件中存在多個(gè)關(guān)于邊的等量關(guān)系時(shí)，運(yùn)月四條邊都相等來判定

一個(gè)四邊形是菱形比較方便.

探究點(diǎn)三：菱形的判定和性質(zhì)的綜合應(yīng)用

例1如圖所示，在△ABC中，。、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，BE=2DE,延長DE到

點(diǎn)凡使得EF=BE,連接CE

(1)求證：四邊形BC尸石是菱形；

(2)若CE=4,ZBCF=120°,求菱形BC尸E的面積.

(1)證明：???￡>、七分別是八8、AC的中點(diǎn)，

???OE〃BC且2DE=BC.

又?:BE=2DE,EF=BE,

:?EF=BC,EF//BC,

???四邊形BCFE是平行四邊形.

又*：EF=BE,

???四邊形8c尸E是菱形；

(2)解：VZfiCF=120°,AZEBC=W>

???△ESC是等邊三角形，

.??菱形的邊長為4,高為2小二

，菱形的面積為4X2小=8小.

方法總結(jié)：判定一個(gè)四邊形是菱形時(shí)，要結(jié)合條件靈活選擇方法.如果可以證明四條邊

相等，可直接證出菱形；如果只能證出一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直，可以嘗試證出這個(gè)

四邊形是平行四邊形，然后用定義法或判定定理1來證明菱形.

三、板書設(shè)計(jì)

有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形（定義）

四邊相等的四邊形是菱形

對角線互相垂直的平行四邊形是菱形

（對角線互相垂直平分的四邊形是菱形

經(jīng)歷菱形的證明、猜想的過程，進(jìn)一步提高學(xué)生的推理論證能力，體會證明過程中所運(yùn)

用的歸納概括以及轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)方法.在菱形的判定方法的探索與綜合應(yīng)用中，培養(yǎng)學(xué)生的觀

察能力、動手能力及邏輯思維能力.

第2時(shí)菱形的判定

1、掌握菱形的判定定理并解決實(shí)際問題，會根據(jù)已知條件畫出菱形

教學(xué)

2、能夠運(yùn)用綜合法證明菱形的判定定理及其推論。

目標(biāo)

3、經(jīng)歷探索菱形判定的過程，培養(yǎng)學(xué)生的動手能力、觀察能力及推理能力。

重點(diǎn)：嚴(yán)格證明菱形判定定理及其推論。

難點(diǎn)：運(yùn)用綜合法解決菱形的相美題型。

知識鏈接：平行四邊形的性質(zhì)與判定

【學(xué)習(xí)過程】

一、課前自主學(xué)習(xí)

菱形的對邊。

菱形的四邊___________________________________O

菱形的性質(zhì):乂菱形的對角線.

菱形是對稱圖形，又是對稱圖形。

I菱形的面積=或菱形的面積=

二、課內(nèi)探索新知。

菱形的判定方法：

方法一：（定義）有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形

方法二：

用一長一短兩根木條，在它們的中點(diǎn)處固定一個(gè)小釘，做成一個(gè)可轉(zhuǎn)動

的十字，四周圍上一根橡皮筋，做成一個(gè)四邊形.轉(zhuǎn)動木條，這個(gè)四邊形什

么時(shí)候變成菱形？

通過探究，得到：對角線的平行四邊形是菱形。

D

已知菱形的一條對角線你會做菱形嗎？試一試

方法三：一個(gè)同學(xué)先畫兩條等長的線段AB、AD,然后分別以B、D為圓心，AB

為半徑畫弧，得到兩弧的交點(diǎn)C,連接BC、CD,就得到了一個(gè)四邊形,

猜一猜，這是什么四邊形？請你畫一畫。

通過探究，得到：的四邊形是菱形。

證明上述結(jié)論：

三、例題鞏固

課本6頁例2

四、課堂檢測

1、下列判別錯誤的是（）

A.對角線互相垂直，平分的四邊形是菱形.B、對角線互相垂直的平行四邊形

是菱形

C.有一條對角線平分一組對角的四邊形是菱形.D.鄰邊相等的平行四邊形是

菱形.

2、下列條件中，可以判定一個(gè)四邊形是菱形的是（）

A.兩條對角線相等B.兩條對角線互相垂直

C.兩條對角線相等且垂直D.兩條對角線互相垂直平分

3、要判斷一個(gè)四邊形是菱形，可以首先判斷它是一個(gè)平行四邊形，然后再判

定這個(gè)四邊形的一組或兩條對角線.

4、已知:如圖'ABCI）的對角線AC的垂直平分線與邊AD、BC分別交于E、I；

求證：四邊形AFCE是菱形

1.2矩形的性質(zhì)與判定

第1課時(shí)矩形的性質(zhì)

鰭I

i.掌握矩形的概念和性質(zhì)，理解矩形與平行四邊形的區(qū)別與聯(lián)系；（重點(diǎn)）

2.會運(yùn)用矩形的概念和性質(zhì)來解決有關(guān)問題.（難點(diǎn)）

一、情景導(dǎo)入

I.展示生活中一些平行四邊形的實(shí)際應(yīng)用圖片（推拉門、活動衣架、籬笆、井架等），

想一想：這里面應(yīng)用了平行四邊形的什么性質(zhì)？

2.思考：拿一個(gè)活動的平行四邊形教具，輕輕拉動一個(gè)點(diǎn)，不管怎么拉，它還是一個(gè)

平行四邊形嗎？為什么？（動畫演示拉動過程如圖）

3.再次演示平行四邊形的移動過程，當(dāng)移動到一個(gè)角是直角時(shí)停止，讓學(xué)生觀察這是

什么圖形（小學(xué)學(xué)過的長方形），引出本課題及矩形定義.

平行四邊形，有整契角

矩形是我們最常見的圖形之一，例如書桌面、教科書的封面等都是矩形.

有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形.矩形是平行四邊形，但平行四邊形不一定是矩形,

矩形是特殊的平行四邊形，它具有平行四邊形的所有性質(zhì).

探究點(diǎn)一：矩形的性質(zhì)

［類型一］矩形的四個(gè)角都是直角

砸1如圖，矩形4BCZ）中，點(diǎn)E在上，且AE平分N84c.若BE=4,AC=15,則

△4EC的面積為（）

BF

A.15

B.30

C.45

D.60

解析：如困，過石作￡7LL4C,垂足為E

平分NR4C,EF±AC,BE1AB,

:?EF=BE=4,

.,.SAA￡C=J4GEF=5X15X4=30.故選B.

方法總結(jié)：矩形的四個(gè)角都是直角，常作為證明或求值的隱含條件.

［類型二］矩形的對角線相等

曲的如圖所示，矩形A8CO的兩條對角線相交于點(diǎn)。，NAOO=60。，AQ=2,則AC

的長是（）

A.2

B.4

C.2小

D.44

解析：根據(jù)矩形的對角線互相平分且相等可得OC=OO=OA=）C,由N4OO=60。得

△AO。為等邊三角形，即可求出AC的長.

???四邊形A8CD為矩形，

：.AC=BDfOA=OC=^ACtOD=OB=^BD,

：.OA=OD/：ZAOD=60°,

:.△A。。為等邊三角形，

.??。4=0￡>=2,：,AC=2OA=4.

故選B.

方法總結(jié)：矩形的兩條對角線互相平分且相等，即對角線把矩形分成四個(gè)等腰三角形，

當(dāng)兩條對角線的夾角為60?；?20。時(shí)，圖中有等邊三角形，從而可以利用等邊三角形的性質(zhì)

解題.

探究點(diǎn)二：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

畫?如圖，已知5Q,CE是△A3C不同邊上的高，點(diǎn)G,尸分別是8C,OE的中點(diǎn),

試說明GFLDE.

解析：本題的已知條件中已經(jīng)有直角三角形，有斜邊上的中點(diǎn)，由此可聯(lián)想到應(yīng)用“直

角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”這一定理.

A

解：連接EG,DG.

,:BD,CE是△ABC的高,

：.ZBDC=ZBEC=90Q.

???點(diǎn)G是BC的中點(diǎn)，

???EG=/BC,DG=^BC.

：.EG=DG.

又???點(diǎn)尸是OE的中點(diǎn)，

:.GF工DE.

方法總結(jié)：在直角三角形中，遇到斜邊中點(diǎn)常作斜邊中線，進(jìn)而可將問題轉(zhuǎn)化為等腰三

角形的問題，然后利用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)解題.

探究點(diǎn)三：矩形的性質(zhì)的應(yīng)用

［類型—］利用矩形的性質(zhì)求有關(guān)線段的長度

硒1如圖，已知矩形ABCO中，E是4D上的一點(diǎn)，尸是上的一點(diǎn)，EF1EC,且

EF=EC,OE=4cm,矩形4BCO的周長為32cm,求AE的長.

解析：先判定尸出△￡)(?￡,得CO=AE,再根據(jù)矩形的周長為32列方程求出AE的

長.

解：???四邊形A8CO是矩形，

；?ZA=ZD=90°,

AZCED+ZECD=90°.

又〈EFLEC,

:.NAE/+NCEO=90。，

:.ZAEF=ZECD.

而EF=EC,

：.zME尸且△OCE,

：,AE=CD.

設(shè)AE=xcm,

.*?CD-xcmfA￡>—(x+4)cm,

則有x+4+4=16,解得x=6.

即AE的長為6cm.

方法總結(jié)：矩形的各角為直角，常作為全等的一個(gè)條件用來證三角形全等，可借助直角

的條件解決直角三角形中的問題.

［類型二］利用矩形的性質(zhì)求有關(guān)角度的大小

圓回如圖，在矩形A8CO中，A及LB。于E,ZDAE：ZBAE=3：1,求NB4E和NEA。

的度數(shù).

解析：由/BAE與ND4E之和為90。及這兩個(gè)角之比可求得這兩個(gè)角的度數(shù)，從而得

ZABO的度數(shù)，再根據(jù)矩形的性質(zhì)易得NE40的度數(shù).

解：???四邊形ABCO是矩形，???NOAB=90。，

AO=^AC,BO=^BD,AC=BD,

???N8AE+NOAE=90。，AO=BO.

又N84E=3：1,

???/BAE=22.5°,NDAE=67.5°.

*：AE±BDt

???NA8E=90°-N84E=90。-22.5。=67.5°,

：.ZOAB=ZABE=61.50

：.ZE4O=67.5°-22.5°=45C.

方法總結(jié)：矩形的性質(zhì)是證明線段相等或倍分、角的相等與求值及線段平行或垂直的重

要依據(jù).

［類型三］利用矩形的性質(zhì)求圖形的面積

的@如圖所示，￡尸過矩形4BCO對角線的交點(diǎn)。，且分別交A8、CO于E、F,那么

陰影部分的面積是矩形AI3CD面積的（）

匕r-jDo

解析：由四邊形48CD為矩形，易證得△BEOmADFO,則陰影部分的面積等于AAOB

的面積，而△AO8的面積為矩形A8CO面積的（，故陰影部分的面積為矩彩面積的;.故選B.

方法總結(jié)：求陰影部分的面積時(shí)，當(dāng)陰影部分不規(guī)則或比較分散時(shí)，通常運(yùn)用割補(bǔ)法將

陰影部分轉(zhuǎn)化為較規(guī)則的圖形，再求其面積.

［類型四］矩形中的折疊問題

麗如圖，將矩形48CO沿著直線B。折疊，使點(diǎn)C落在C處，BC交4D于點(diǎn)E,AD

=8,A8=4,求△8EO的面積.

解析：這是一道折疊問題，折后的圖形與原圖形全等，從而得知ABCDgABCD,則

易得BE=OE.在RtZ\ABE中，利用勾股定理列方程求出8E的長，即可求得△8EO的面積.

解：??,四邊形A5c。是矩形,

：.AD//BC,NA=90。，

??.N2=N3.

又由折疊知△BCOg/SBCD,

r.zi=Z2,

/.ZI=Z3.ABE=D￡.

設(shè)BE=OE=x,則4E=8—x.

■:在RtAABE中,AB2-^AE2=BE2,

；?42+(8—x)2=f.解得x=5,

即DE=5.

AS^BED=^DEAB=^X5X4=10.

方法總結(jié)：矩形的折疊問題是常見的問題，本題的易錯點(diǎn)是對△BEO是等腰三角形認(rèn)

識不足，解題的關(guān)鍵是對折疊后的幾何形狀要有一個(gè)正確的分析.

三、板書設(shè)計(jì)

「矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形

叫做矩形

矩形<［四個(gè)角都是直角

矩形的性質(zhì)?兩組對邊分別平行且相等

、〔對角線互相平分且相等

效額遢恩

經(jīng)歷矩形的概念和性質(zhì)的探索過程，把握平行四邊形的演變過程，遷移到矩形的概念與

性質(zhì)上來，明確矩形是特殊的平行四邊形.培養(yǎng)學(xué)生的推理能力以及自主合作精神，掌握幾

何思維方法，體會邏輯推理的思維價(jià)值.

1.2矩形的性質(zhì)與判定

第1課時(shí)矩形的性質(zhì)

京1.知道矩形的概念與有關(guān)性質(zhì)，會用這些知識進(jìn)行簡單的推理與計(jì)算。

目2.在了解矩形與平行四邊形之間的關(guān)系，掌握、運(yùn)用矩形性質(zhì)的過程中，滲透數(shù)形結(jié)合、

標(biāo)轉(zhuǎn)化化歸與方程思想，進(jìn)一步提高分析問題與解決問題的能力。

重點(diǎn)矩形概念的理解；掌握并會運(yùn)用矩形的性質(zhì)

難點(diǎn)運(yùn)用矩形的性質(zhì)進(jìn)行簡單的推理與計(jì)算。

一、定義：

矩形的定義：0

由此可見，矩形是特殊的,它具有的

所有性質(zhì)。

二、探究矩形的性質(zhì)：

1.四個(gè)角都是直角.

2.對角線相等且平分.

三、知識延展：

11

(1)、由矩形性質(zhì)有0A=OC=.AC0B=0D=5BD且AC二BD

得0A===

???矩形對角線的交點(diǎn)0到各頂點(diǎn)的距離。

(2)由圖可知，在矩形中有個(gè)直角三角形，它們分別是

有個(gè)等腰三角形，它們分別是

?,?我們通常在直角三角形、等腰三角形中求有關(guān)邊與角。

(3)、由矩形性質(zhì)有NABO9MOA=OB=OC

這說明：RtZXABC中，若0B是斜邊AC的,則0B=AC

???直角三角形斜邊上的中線等于斜邊長的

(4)思考：矩形是軸對稱圖形嗎？

將矩形作業(yè)紙對折，我們發(fā)現(xiàn)：

矩形是圖形，有條對稱軸。對稱

軸

是0

?,?矩形既是對稱圖形，又是—對稱圖形，對稱中心為—

四、應(yīng)用

1、例題：(P13例1,先看題目自己完成證明過程，再對照課本檢查)

2、課堂檢測:

(1)如圖,在矩形ABCD中，對角線AC,BD交于點(diǎn)0.已知ZAOB=60°,

AC=16,則圖中長度為8的線段有()

A.2條B.4條C.5條D.6條AD

(2)下列關(guān)于矩形的說法中正確的是()

A.對角線相等的四邊形是矩形

B.對角線互相平分的四邊形是矩形

C.矩形的對角線互相垂直且平分

D.矩形的對角線相等且互相平分

(3)將矩形ABCD沿AE折疊,得到如圖所示圖形。若NCED'=56°,

則NAED的大小是______.

第2課時(shí)矩形的判定

鰭I

1.理解并掌握矩形的判定方法；（重點(diǎn)）

2.能熟練掌握矩形的判定及性質(zhì)的綜合應(yīng)用.（難點(diǎn)）

一、情景導(dǎo)入

小明想要做一個(gè)矩形相框送給媽媽做生日禮物，于是找來兩根長度相等的短木條和兩根

長度相等的長木條制作，你有什么辦法可以檢測他做的是矩形相框？看看誰的方法可行！

二、合作探究

探究點(diǎn)一：對角線相等的平行四邊形是矩形

頤1如圖所示，外面的四邊形ABCO是矩形，對角線AC,8。相交于點(diǎn)0,里面的四

邊形MPNQ的四個(gè)頂點(diǎn)都在矩形ABCO的對角線上，且AM=BP=CN=OQ.求證：四邊形

MPNQ是矩形.

解析：要證明四邊形M尸NQ是矩形，應(yīng)先證明它是平行四邊形，由已知可再證明其對

角線相等.

證明：二?四邊形ABC。是矩形，：.OA=OB=OC=OD.

,:AM=BP=CN=DQ,

：.0M=0P=0N=0Q.

:.四邊形MPNQ是平行四邊形.

又;OM+ON=CP.

：,MN=PQ.

???平行四邊形MPNQ是矩形（對角線相等的平行四邊形是矩形）.

方法總結(jié)：在判斷四邊形的形狀時(shí)，若已知條件中有對角線，可首先考慮能否用對角線

的條件證明矩形.

探究點(diǎn)二：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形

曲陶如圖，GE//HF,直線A8與GE交于點(diǎn)4,與HF交于點(diǎn)、B,AC、BC、BD、AD

分別是NE48、NFBA、ZABH.NG4B的平分線，求證：四邊形AD8C是矩形.

解析：利用已知條件，證明四邊形AOBC有三個(gè)角是直角.

G夕E

H

證明：?:GE〃HF,

???NGAB+N4B"=180。.

VADs3。分別是NGA8、/A6〃的平分線,

AZ1=1ZGAS,N4=，4BH,

???N1+N4=；(NGAB+48H)=3X180°=90°,

Z.N4OB=180。一(/1+Z4)=90°.

同理可得/4C8=90。.

又VNA8H+ZFBA=\80°,

Z4=1ZABH,Z2=|ZFBZ,

???Z2+Z4=^(ZAB/7+ZFBA)=5X180°=90°,即/。8。=90;

四邊形是矩形.

方法總結(jié)：矩形的判定方法和矩形的性質(zhì)是相輔相成的，注意它們的區(qū)別和聯(lián)系，此判

定方法只要說明一個(gè)四邊形有二個(gè)角是直角，則這個(gè)四邊形就是矩形.

探究點(diǎn)三：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形

例1如圖所示，在△ABC中，。為BC邊上的一點(diǎn)，E是4。的中點(diǎn)，過4點(diǎn)作8。的

平行線交CE的延長線于點(diǎn)尸，且4尸=8D連接BE

(1*0與。。有什么數(shù)量關(guān)系？請說明理由；

(2)當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形A尸BD是矩形？并說明理由.

解析：(1)根據(jù)“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”得出NA尸E=NDCE,然后利用“AAS”證明

△AEF和ADEC全等,根據(jù)“全等三角形對應(yīng)邊相等"可得AF=CD,再利用等量代換即

可得BZ)=CD:(2)先利用“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊杉”證明四邊形A尸8。

是平行四邊形，再根據(jù)“有一個(gè)角是直角的平行四邊彩是矩形"可知上人￡＞。一90。.由等腰三

角形三線合一的性質(zhì)可知△ABC滿足的條件必須是AB=AC.

解：(1*O=C￡>.理由如下：

■:AFHBC,

:.ZAFE=ZDCE.

是AO的中點(diǎn)，

：.AE=DE.

ZAFE=ZDCE,

在△4EP和△OEC中，"ZAEF=ZDEC,

_AE=DE,

:.4AEF9△DEC(AAS),

：,AF=DC.

'：AF=BD,

：.BD=DC；

(2)當(dāng)△4?C滿足A8=AC時(shí)，四邊形A五8。是矩形.理由如下：

?「A尸〃B。，AF=BD,

:.四邊形AFBD是平行四邊形.

：.AB=AC,BD=DC,

:.ZADB=90°.

，四邊形人心。是矩形.

方法總結(jié)：本題綜合考查了矩形和全等三角形的判定方法，明確有一個(gè)角是直角的平行

四邊形是矩形是解本題的關(guān)鍵.

三、板書設(shè)計(jì)

。對角線相等的平行四邊形是矩形

矩形的

^三個(gè)角是直角的四邊形是矩形

判IzI定

〔有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形(定義)

通過探索與交流，得出矩形的判定定理，使學(xué)生親身經(jīng)歷知識的發(fā)生過程，并會運(yùn)用定

理解決相關(guān)問題.通過開放式命題，嘗試從不同角度尋求解決問題的方法.通過動手實(shí)踐、

合作探索、小組交流，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力.

第2課時(shí)矩形的判定

教

學(xué)1.理解并掌握矩形的判定定理，能有理有據(jù)的推理證明，精練準(zhǔn)確地書寫表達(dá)。

目2.能熟練應(yīng)用矩形的性質(zhì)、判定等知識進(jìn)行有關(guān)證明和計(jì)算.

標(biāo)

重點(diǎn)掌握并會運(yùn)用矩形的判定

難點(diǎn)運(yùn)用矩形的判定進(jìn)行簡單的推理與計(jì)算。

備注（教師復(fù)備

一、舊知回顧

欄）

1、想一想：矩形有哪些性質(zhì)？在這些性質(zhì)中那些是平行四邊形所沒

有的？列表進(jìn)行比較.

平行四邊形矩形

邊對邊平行且相等對邊平行且相等

角對角相等，鄰角互補(bǔ)四個(gè)角都是直角

對角線對角線互相平分對角線相等且互相平分

2、矩形對稱性:

仿照平行四邊形的判定猜想，你能猜出矩形

的判定有哪些嗎？（分別從邊、角、對角線幾個(gè)方面考慮。）

1、定義可以作為判定

2、四個(gè)角都是直角的四邊形

3、對角線相等的平行四邊形或?qū)蔷€互相平分且相等的四邊形。

你能證明所寫出的判定命題嗎?

三、應(yīng)用備注（教師復(fù)備

欄）

例1.如圖，OABCD的對角線AC、BD交于點(diǎn)O,4AOB是正三

角形,AB=4cm.

⑴求證口ABCD是矩形.

⑵求OABCD的面積.

2.已知：如圖，在團(tuán)ABC中，0C=9O°,CD為中線，延長CD到點(diǎn)E,

使得DE=CD.連結(jié)AE,BE,則四邊形ACBE為矩形嗎？說明理由。

答案：四邊形ACBE是矩形.因?yàn)镃D是RtAACB斜邊上的中線，

所以DA=DC=DB,又因?yàn)镈E=CD,所以DA=DC=DB=DE,所以四邊形ABCD

是矩形（對角線相等且互相平分的四邊形是矩形）。

四、課堂檢測：

1.下列說法正確的是（）

A.有一組對角是直角的四邊形一定是矩形

B.有一組鄰角是直角的四邊形一定是矩形

C.對角線互相平分的四邊形是矩形

D.對角互補(bǔ)的平行四邊形是矩形

2.矩形各角平分線圍成的四邊形是（）

A.平行四邊形B.矩形C.菱形D.正方形

3.下列判定矩形的說法是否正確

（1）有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形（）

（2）四個(gè)角都是直角的四邊形是矩形（）

（3）四個(gè)角都相等的四邊形是矩形（）

（4）對角線相等的四邊形是矩形（）

（5）對角線相等且互相垂直的四邊形是矩形（）

（6）對角線相等且互相平分的四邊形是矩形（）

4.在四邊形488中，AB=DC,AD=8c.請?jiān)偬砑右粋€(gè)條件，使四邊形

ABCD是矩形.你添加的條件是_________.（寫出一種即可）

1.3正方形的性質(zhì)與判定

第1課時(shí)正方形的性質(zhì)

SB

i.了解正方形的有關(guān)概念，理解并掌握正方形的性質(zhì)定理；(重點(diǎn))

2.會利用正方形的性質(zhì)進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算和證明.(難點(diǎn))

一、情景導(dǎo)入

如圖⑴所示，把可以活動的矩形框架ABCD的BC邊平行移動，使矩形的鄰邊AD,

DC相等，觀察這時(shí)矩形ABCD的形狀.

如圖(2)所示，把可以活動的菱形框架ABCD的NA變?yōu)橐私?，觀察這時(shí)菱形ABCD的

形狀.

圖(1)中圖形的變化可判斷矩形ABCD-特殊的四邊形是什么四邊形？圖(2)中圖形變化

用判斷菱形ABCD一特殊的四邊形是什么四邊形？經(jīng)過觀察，你發(fā)現(xiàn)既是矩形乂是菱形的圖

形是什么四邊形？

引入正方形的定義：有一組鄰邊相等，并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形.

注意：正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，即：有一組鄰邊相等的矩形是正方形

或有一個(gè)角是直角的菱形是正方形.

二、合作探究

探究點(diǎn)一：正方形的性質(zhì)

砸1如圖，四邊形ABCD是正方形，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O,A0=2,求正方

形的周長與面積.

解：???四邊形ABCD是正方形，

AAC1BD,OA=OD=2.

在RlZ^AOD中，由勾股定理，得

AD=A/OA2+OD2=^/22+22=V8.

，正方形的周長為4AD=4、/§=8啦，面積為AD?=(m)2=8.

方法總結(jié)：結(jié)合勾股定理，充分利用正方形的四邊相等、四角相等、對角線相等且互相

垂直平分的性質(zhì)，是解決與正方形有關(guān)的題目的關(guān)鍵.

探究點(diǎn)二：正方形的性質(zhì)的應(yīng)用

［類型—］利用正方形的性質(zhì)求角度

硼圖四邊形ABCD是正方形，4ADE是等邊三角形，求NBEC的大小.

解析：等邊4ADE可以在正方形的內(nèi)部，也可以在正方形的外部，因此本題分兩種情

解：當(dāng)?shù)冗?ADE在正方形ABCD外部時(shí)，如圖①，AB=AE,ZBAE=90°+60°=

150°.

AZAEB=15°.

同理可得NDEC=15。.

???ZBEC=60°-15°-15°=30°；

當(dāng)?shù)冗叀鰽DE在正方形ABCD內(nèi)部時(shí)，如圖②，AB=AE,NBAE=90。-60。=30。，

AZAEB=75°.

同理可得NDEC=75。.

，ZBEC=360o-750-75o-60°=150°.

綜上所述，NBEC的大小為30?；?50。.

易錯提醒：因?yàn)榈冗?ADE與正方形ABCD有一條公共邊，所以邊相等.本題分兩種

情況；等邊4ADE在正方形的外部或在正方形的內(nèi)部.

［類型二］利用正方形的性質(zhì)求線段長

襁1如圖，正方形ABCD的邊長為1cm,AC為對角線，AE平分NBAC,EF1AC,

求BE的長.

解析：線段BE是R/ZXABE的一邊，但由于AE未知，不能直接用勾股定理求BE,由

條件可證△ABEgZ^AFE,問題轉(zhuǎn)化為求EF的長，結(jié)合已知條件易獲解.

解：???四邊形ABCD為正方形，

.*.ZB=90o,ZACB=45°,AB=BC=lc/n.

VEF±AC,

/.ZEFA=ZEFC=90°.

又???NECF=45。，

???△EFC是等腰直角三角形，

，EF=FC.

VZBAE=ZFAE,ZB=ZEFA=90°,AE=AE,

.,.△ABE^AAFE,

???AB=AF=1。"，BE=EF.

AFC=BE.

在心△ABC中，

AC=*\/AB2+BC2=^/12+12=^/2（C;M）,

?'?FC—AC-AF=^2_1（cm）,

.?.BE=啦一1（?！ǎ?

方法總結(jié)：正方形被對角線分成4個(gè)等腰直角三角形，因此在正方形中解決問題時(shí)常用

到等腰三角形的性質(zhì)與直角三角形的性質(zhì).

［類型三］利用正方形的性質(zhì)證明線段相等

@11如圖，己知過正方形ABCD的對角線BD上一點(diǎn)、P,作PE_LBC于點(diǎn)E,PF±CD

于點(diǎn)F,求證：AP=EF.

解析：由PE_LBC,PF_LCD知四邊形PECF為矩形，故有EF=PC,這時(shí)只需說明AP

=CP,由正方形對角線互相垂直平分可知AP=CP.

證明：連接AC,PC,如圖.

四邊形ABCD為正方形，

???BD垂直平分AC,

???AP=CP.

VPE1BC,PFJ_CD,ZBCD=90°,

???四邊形PECF為矩形，

APC-EF,AAP-EF.

方法總結(jié)：（1）在正方形中，常利用對角線互相垂直平分證明線段相等；（2）無論是正方

形還是矩形，經(jīng)常連接對角線，這樣可以使分散的條件集中.

三、板書設(shè)計(jì)

〃正方形的定義：有一組鄰邊相等，并且有一個(gè)

角是直角的平行四邊形叫做

正方形

正方形＜

.四個(gè)角都是直角

正方形的性質(zhì)＜四條邊都相等

對角線相等且互相垂直平分

經(jīng)歷正方形有關(guān)性質(zhì)的探索過程，把握正方形既是矩形又是菱形這一特性來學(xué)習(xí)本節(jié)課

內(nèi)容.在觀察中尋求新知，在探究中發(fā)展推理能力，逐步掌握說理的基本方法.培養(yǎng)合情推

理能力和探究習(xí)慣，體會平面幾何的內(nèi)在價(jià)值.

1.3正方形的性質(zhì)與判定

第1課時(shí)正方形的性質(zhì)

1、熟練掌握正方形的定義及邊、角、對角線的性質(zhì)。

教學(xué)

口42、知道正方形與平行四邊形、矩形、菱形的聯(lián)系和區(qū)別。

目標(biāo)

_______3、應(yīng)用正方形的性質(zhì)進(jìn)行相關(guān)計(jì)算、證明。

一、課前準(zhǔn)備：

溫故：1、矩形的性質(zhì)是什么？

2、菱形的性質(zhì)是什么？

二、初步探究

1、同學(xué)們觀察下列一組圖片、你發(fā)現(xiàn)了那些幾何圖形：

2、動手操作：制作一張正方形紙片，通過折疊并觀察，回答下列問題.

問：它是軸對稱圖形嗎？有幾條對稱軸？對稱軸之間有什么位置關(guān)系？有什么數(shù)量關(guān)系？

3、圖中有哪些相等的線段？③圖中有哪些相等的角？（組內(nèi)交流、互相指出來）

4、正方形性質(zhì)：正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形.正方形具的性質(zhì)，同時(shí)又具有

的性質(zhì).

總結(jié)：正方形的性質(zhì)：

正方形邊的性質(zhì)：__________________________________________________________________

正方形角的性質(zhì)：__________________________________________________________________

正方形對角線的性質(zhì)：______________________________________________________________

結(jié)論：有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形.

正方形的性質(zhì)：正方形是特殊的平行四邊形，也是特殊的矩形、菱形.所以它具有這些圖形的所有

性質(zhì).正方形是軸對稱圖形，有四條對稱軸.四條邊相等、四個(gè)角是直角、對角線相等并且互相垂

直平分，每一條對角線平分一組對角.

三、對應(yīng)練習(xí)

1）正方形的邊長為4cm,則周長為（）,面積為（），對角線長為（）；

2））正方形ABCD中，對角線AC、BD交于0點(diǎn),AC=4cm,則正方形的邊長為（）,周長為

（）,面積為（）

3）在正方形ABCD中，AB=12cm,對角線AC、BD相交于O,OA=,AC=。

4）1、正方形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是（）

A、四個(gè)角相等B、對角線互相垂直平分C、對角互補(bǔ)D、對角線相等.

5）、正方形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)（）

A、四條邊相等B對角線互相垂直平分C對角線平分一組對角D對角線相等.

6）、正方形對角線長6,則它的面積為周長為.

7）、順次連接正方形各邊中點(diǎn)的小正方形的面積是原正方形面積的（）

A.1/2B.1/3C.1/4D.1/5

四：范例講解：1、（課本P21例工）學(xué)生自己閱讀課本內(nèi)容、注意證明過程的書寫

2、如圖，分別以4ABC的邊AB,AC為一邊向外畫正方形AEDB和正方形ACFG,連接CE,BG.求證：

BG=CE

E

/%<G

D'

BC

第2課時(shí)正方形的判定

鰭I

1.掌握正方形的判定方法；（重點(diǎn)）

2.會運(yùn)用正方形的判定條件進(jìn)行有關(guān)的論證和計(jì)算.（難點(diǎn)）

一、情景導(dǎo)入

我們學(xué)習(xí)了平行四邊形、矩形、菱形、正方形，那么思考一下，它們之間有怎樣的包含

關(guān)系