人教版高中數(shù)學(xué)精講精練必修一1.4 充分必要條件（精講）（含答案及解析）

1.4充分條件與必要條件（精講）一．充分條件與必要條件“若p，則q”為真命題“若p，則q”為假命題推出關(guān)系pqpq條件關(guān)系p是q的充分條件，q是p的必要條件p不是q的充分條件，q不是p的必要條件定理關(guān)系判定定理給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的充分條件．性質(zhì)定理給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的必要條件二．充分不必要條件、必要不充分條件和充要條件充分、必要條件：A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)集合關(guān)系若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件A?Bp是q的充分不必要條件p?q且q?pp是q的必要不充分條件p?q且q?pp是q的充要條件p?qA=Bp是q的既不充分也不必要條件p?q且q?pA?B且A?B一．判斷充分條件、必要條件及充要條件的三種方法1.定義法：直接判斷“若p，則q”以及“若q，則p”的真假．2.集合法：即利用集合的包含關(guān)系判斷．3.傳遞法：充分條件和必要條件具有傳遞性，即由p1?p2?…?pn，可得p1?pn；充要條件也有傳遞性．二．充要條件的證明一般地，證明“p成立的充要條件為q”；（1）要分清哪個是條件，哪個是結(jié)論(1)充分性：由“條件?結(jié)論”是證明充分性，把q當(dāng)作已知條件，結(jié)合命題的前提條件，推出p；(2)必要性：由“結(jié)論?條件”是證明必要性，把p當(dāng)作已知條件，結(jié)合命題的前提條件，推出q.三．利用充分、必要條件求參解題思路1.化簡：化簡集合，明確題干中的條件和結(jié)論．2.轉(zhuǎn)化：根據(jù)集合間的包含關(guān)系與充分條件和必要條件的關(guān)系，將問題轉(zhuǎn)化為集合間的關(guān)系問題．3.列式：利用集合間的關(guān)系，建立關(guān)于參數(shù)的不等式或不等式組．注意等號成立的條件．4.求解：解不等式，得參數(shù)范圍．考點一充分條件與必要條件【例1-1】（2023·安徽）已知，則“”的一個必要條件是（

）A． B．C． D．【例1-2】（2023·江蘇）（多選題）使成立的充分條件是（）A． B．C． D．【一隅三反】1．（2022秋·河南商丘）（多選）下列條件中，使“”成立的充分條件的是（

）A． B． C． D．2．（2023·江蘇）（多選）下列命題是真命題的是（）A．“x＞2”是“x＞3”的必要條件B．“x＝2”是“x2＝4”的必要條件C．“A∪B＝A”是“A∩B＝B”的必要條件D．p：a＞b，q：ac＞bc，p是q的必要條件3．（2022秋·四川綿陽）（多選）下列選項中，滿足p是q的充分條件的是（

）A． B． C． D．4．（2023·福建）下列命題中所有真命題的序號是__________①“”是“”的充分條件；②“”是“”的必要條件；③“”是“”的必要條件．考點二充要條件的判斷【例2-1】（2023·陜西西安）“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【例2-2】（2023·上海普陀）“”是“”的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分也非必要條件【例2-3】（2023·山東臨沂）王昌齡是盛唐著名的邊塞詩人，被譽(yù)為“七絕圣手”.其名篇“但使龍城飛將在，不教胡馬度陰山”（人在陣地在，人不在陣地在不在不知道），由此推斷，胡馬度過陰山是龍城飛將不在的什么條件？（

）A．充分條件 B．必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要【一隅三反】1．（2022·新疆巴音郭楞）已知p：“”，q：“”，則p是q的（）A．充要條件 B．既不充分也不必要C．充分不必要條件 D．必要不充分條件2．（2023·河南開封）設(shè)，則“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不允分也不必要條件3．（2023·云南）唐代著名詩人杜牧在《赤壁》一詩中寫有“東風(fēng)不與周郎便，銅雀春深鎖二喬”，即杜牧認(rèn)為，如果沒有東風(fēng)，那么東吳的二喬將會被曹操關(guān)進(jìn)銅雀臺，即赤壁之戰(zhàn)東吳將輸給曹操．那么在杜牧認(rèn)為，“東風(fēng)”是“赤壁之戰(zhàn)東吳打敗曹操”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件考點三充要條件的選擇【例3-1】（2023·江蘇）使或}成立的一個充分不必要條件是（）A．或 B．或C．或 D．【例3-2】（2023春·遼寧）“關(guān)于的不等式的解集為R”的一個必要不充分條件是（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．（2022·山東）（多選）“”的必要不充分條件可以是（

）A． B． C． D．2．（2023·高一課時練習(xí)）關(guān)于x的方程有實根的一個充分條件是（

）A． B．C． D．3．（2023·江西萍鄉(xiāng)）（多選）設(shè)全集為，在下列條件中，是的充要條件的有（

）A． B． C． D．考點四已知充要條件求參數(shù)【例4-1】（2023·山西）已知不等式成立的充分條件是，則實數(shù)的取值范圍是（

）A．或 B．或C． D．【例4-2】（2023·云南昆明）（多選）已知條件p：，條件q：，且p是q的必要條件，則m的值可以是（

）A． B． C．- D．0【例4-3】（2023春·湖南長沙）已知，如果是的充分不必要條件，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【一隅三反】1．（2023·全國·高一假期作業(yè)）若不等式的一個充分條件為，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2023·廣東江門）（多選）若是的充分不必要條件，則實數(shù)的值可以是（

）A． B． C． D．3．（2023·江蘇）已知，，若p是q的必要不充分條件，求實數(shù)m的取值范圍．4．（2022秋·四川眉山·高一?？茧A段練習(xí)）已知集合，，是否存在實數(shù)，使得是成立的______？(1)當(dāng)橫線部分內(nèi)容為“充要條件”時，若問題中的存在，求出的取值范圍，若問題中的不存在，請說明理由？(2)請在①充分不必要條件②必要不充分條件這兩個條件中任選一個補(bǔ)充在上面的問題中橫線部分．若問題中的存在，求出的取值范圍，若問題中的不存在，請說明理由．考點五充要條件的證明【例5】（2023·陜西西安·）求證：是一元二次方程的一個根的充要條件是.【一隅三反】1（2022秋·寧夏銀川）中，角，，所對的邊分別為，，，求證：的充要條件是．2．（2022秋·四川樂山·高一?？茧A段練習(xí)）設(shè)a，b，，求證：關(guān)于x的方程有一個根是1的充要條件為.3．（2023·陜西）已知，求證：是的充要條件.考點六綜合運用【例6】（2023·河南）已知或．(1)若，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若是的必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．【一隅三反】1．（2023·湖南郴州）設(shè)集合，；(1)用列舉法表示集合；(2)若是的充要條件，求實數(shù)的值.2．（2023·云南昆明）已知集合，，請在①充分條件，②必要條件，③充要條件這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題（2）中，若問題（2）中的實數(shù)存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由．(1)若，求實數(shù)的取值范圍；(2)若是的________條件，判斷實數(shù)是否存在？3．（2023·江蘇常州）設(shè)集合，，命題p：，命題q：．(1)若p是q的充要條件，求正實數(shù)a的取值范圍；(2)若p是q的必要不充分條件，求正實數(shù)a的取值范圍．

1.4充分條件與必要條件（精講）一．充分條件與必要條件“若p，則q”為真命題“若p，則q”為假命題推出關(guān)系pqpq條件關(guān)系p是q的充分條件，q是p的必要條件p不是q的充分條件，q不是p的必要條件定理關(guān)系判定定理給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的充分條件．性質(zhì)定理給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的必要條件二．充分不必要條件、必要不充分條件和充要條件充分、必要條件：A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)集合關(guān)系若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件A?Bp是q的充分不必要條件p?q且q?pp是q的必要不充分條件p?q且q?pp是q的充要條件p?qA=Bp是q的既不充分也不必要條件p?q且q?pA?B且A?B一．判斷充分條件、必要條件及充要條件的三種方法1.定義法：直接判斷“若p，則q”以及“若q，則p”的真假．2.集合法：即利用集合的包含關(guān)系判斷．3.傳遞法：充分條件和必要條件具有傳遞性，即由p1?p2?…?pn，可得p1?pn；充要條件也有傳遞性．二．充要條件的證明一般地，證明“p成立的充要條件為q”；（1）要分清哪個是條件，哪個是結(jié)論(1)充分性：由“條件?結(jié)論”是證明充分性，把q當(dāng)作已知條件，結(jié)合命題的前提條件，推出p；(2)必要性：由“結(jié)論?條件”是證明必要性，把p當(dāng)作已知條件，結(jié)合命題的前提條件，推出q.三．利用充分、必要條件求參解題思路1.化簡：化簡集合，明確題干中的條件和結(jié)論．2.轉(zhuǎn)化：根據(jù)集合間的包含關(guān)系與充分條件和必要條件的關(guān)系，將問題轉(zhuǎn)化為集合間的關(guān)系問題．3.列式：利用集合間的關(guān)系，建立關(guān)于參數(shù)的不等式或不等式組．注意等號成立的條件．4.求解：解不等式，得參數(shù)范圍．考點一充分條件與必要條件【例1-1】（2023·安徽）已知，則“”的一個必要條件是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由于可得，故“”是“”的必要條件，由不能得到，，，比如，故選：D【例1-2】（2023·江蘇）（多選題）使成立的充分條件是（）A． B．C． D．【答案】AB【解析】和不可推出．所以使成立的充分條件是或，故選：AB【一隅三反】1．（2022秋·河南商丘）（多選）下列條件中，使“”成立的充分條件的是（

）A． B． C． D．【答案】CD【解析】假設(shè)使“”成立的充分條件的是，則，即求能推得成立的條件，對于A，令，則，故A錯誤；對于B，令，則，故B錯誤；對于C，因為，即，故，故C正確；對于D，因為，即，故，故D正確；故選：CD.2．（2023·江蘇）（多選）下列命題是真命題的是（）A．“x＞2”是“x＞3”的必要條件B．“x＝2”是“x2＝4”的必要條件C．“A∪B＝A”是“A∩B＝B”的必要條件D．p：a＞b，q：ac＞bc，p是q的必要條件【答案】AC【解析】∵x＞3?x＞2，“x＞2”是“x＞3”的必要條件，∴A是真命題；∵x＝2?x2＝4，x2＝4不能推出x＝2，“x＝2”不是“x2＝4”的必要條件，∴B是假命題；∵A∩B＝B?A∪B＝A，“A∪B＝A”是“A∩B＝B”的必要條件，反之也成立，故也是充分條件，∴C是真命題；∵ac＞bc，c<0時，a<b，q是不能推出p，∴p不是q的必要條件，D是假命題．故選：AC.3．（2022秋·四川綿陽）（多選）下列選項中，滿足p是q的充分條件的是（

）A． B． C． D．【答案】ABC【解析】對于A，由可推出，所以是的充分條件，A正確，對于B，由可推出，所以是的充分條件，B正確，對于C，由可推出，所以是的充分條件，C正確，對于D，當(dāng)，時，，但是，所以不是的充分條件，D錯誤，故選：ABC.4．（2023·福建）下列命題中所有真命題的序號是__________①“”是“”的充分條件；②“”是“”的必要條件；③“”是“”的必要條件．【答案】②③【解析】對于①，若，，則不滿足，故①是假命題；對于②，若，則，從而，故②是真命題；對于③，若，則，即，故③是真命題．故答案為：②③考點二充要條件的判斷【例2-1】（2023·陜西西安）“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】解得或，則可推出或，可推出，故“”是“”的必要不充分條件，故選：B.【例2-2】（2023·上海普陀）“”是“”的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分也非必要條件【答案】A【解析】由可得，解得或，故是或的真子集，故“”是“”的充分不必要條件，故選：A【例2-3】（2023·山東臨沂）王昌齡是盛唐著名的邊塞詩人，被譽(yù)為“七絕圣手”.其名篇“但使龍城飛將在，不教胡馬度陰山”（人在陣地在，人不在陣地在不在不知道），由此推斷，胡馬度過陰山是龍城飛將不在的什么條件？（

）A．充分條件 B．必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要【答案】A【解析】因為人在陣地在，所以胡馬度過陰山說明龍城飛將不在，因為人不在陣地在不在不知道，所以龍城飛將不在，不能確定胡馬是否度過陰山，所以胡馬度過陰山是龍城飛將不在的充分條件，結(jié)合選項，可得A正確；故選:A.【一隅三反】1．（2022·新疆巴音郭楞）已知p：“”，q：“”，則p是q的（）A．充要條件 B．既不充分也不必要C．充分不必要條件 D．必要不充分條件【答案】D【解析】解可得，或.顯然，若成立，推不出成立；若成立，則成立.所以，p是q的必要不充分條件.故選：D.2．（2023·河南開封）設(shè)，則“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不允分也不必要條件【答案】B【解析】由“”解得，由“”解得，故“”是“”的必要不充分條件.故選：B3．（2023·云南）唐代著名詩人杜牧在《赤壁》一詩中寫有“東風(fēng)不與周郎便，銅雀春深鎖二喬”，即杜牧認(rèn)為，如果沒有東風(fēng)，那么東吳的二喬將會被曹操關(guān)進(jìn)銅雀臺，即赤壁之戰(zhàn)東吳將輸給曹操．那么在杜牧認(rèn)為，“東風(fēng)”是“赤壁之戰(zhàn)東吳打敗曹操”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】杜牧認(rèn)為沒有東風(fēng)，則赤壁之戰(zhàn)東吳將輸給曹操，則說明東風(fēng)是打敗曹操的必要條件．但有了東風(fēng)，若沒有其他的地利人和，也未必能打敗曹操，故東風(fēng)不是充要條件，故選：C．考點三充要條件的選擇【例3-1】（2023·江蘇）使或}成立的一個充分不必要條件是（）A．或 B．或C．或 D．【答案】B【解析】對于A，因為或或，故錯誤；對于B，因為或或，故正確；對于C，因為或或，故錯誤；對于D，因為不是或的真子集，故錯誤.故選：B.【例3-2】（2023春·遼寧）“關(guān)于的不等式的解集為R”的一個必要不充分條件是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】關(guān)于的不等式的解集為R，則，解得，所以“關(guān)于的不等式的解集為R”的一個必要不充一個分條件“”.故選：B.【一隅三反】1．（2022·山東）（多選）“”的必要不充分條件可以是（

）A． B． C． D．【答案】ABC【解析】由，可得構(gòu)成集合，結(jié)合選項可得集合，，都真包含，所以，，都是的必要不充分條件.故選:ABC.2．（2023·高一課時練習(xí)）關(guān)于x的方程有實根的一個充分條件是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由，要使方程有實根，則，故是方程有實根的一個充分條件，故選：B3．（2023·江西萍鄉(xiāng)）（多選）設(shè)全集為，在下列條件中，是的充要條件的有（

）A． B． C． D．【答案】ABCD【解析】對于A，若，則；反過來，若，則，故互為充要條件，故正確；對于B，如下Venn圖，若，則，若，則，故正確；選項C中，若，則；反過來，若，則，故互為充要條件，故正確；選項D中，若，則，故；反過來，若，則，故，故互為充要條件，故正確.故選：ABCD.考點四已知充要條件求參數(shù)【例4-1】（2023·山西）已知不等式成立的充分條件是，則實數(shù)的取值范圍是（

）A．或 B．或C． D．【答案】D【解析】由題意得，所以，且等號不能同時成立，解得.故選：D.【例4-2】（2023·云南昆明）（多選）已知條件p：，條件q：，且p是q的必要條件，則m的值可以是（

）A． B． C．- D．0【答案】BCD【解析】設(shè)，,因為p是q的必要條件，所以，當(dāng)時，由無解可得，符合題意；當(dāng)時，或，當(dāng)時，由解得，當(dāng)時，由解得.綜上，的取值為0，，.故選：BCD【例4-3】（2023春·湖南長沙）已知，如果是的充分不必要條件，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】，即或，又是的充分不必要條件，所以，即的取值范圍是.故選:A.【一隅三反】1．（2023·全國·高一假期作業(yè)）若不等式的一個充分條件為，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】若不等式的一個充分條件為，則，所以，解得.則實數(shù)的取值范圍是.故選：D.2．（2023·廣東江門）（多選）若是的充分不必要條件，則實數(shù)的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】由題意可知是的充分不必要條件，則，故，故a的值可取，故選：BCD.3．（2023·江蘇）已知，，若p是q的必要不充分條件，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】．【解析】因為p是q的必要不充分條件，所以是的真子集，故有或解得.又，所以實數(shù)m的取值范圍為．4．（2022秋·四川眉山·高一?？茧A段練習(xí)）已知集合，，是否存在實數(shù)，使得是成立的______？(1)當(dāng)橫線部分內(nèi)容為“充要條件”時，若問題中的存在，求出的取值范圍，若問題中的不存在，請說明理由？(2)請在①充分不必要條件②必要不充分條件這兩個條件中任選一個補(bǔ)充在上面的問題中橫線部分．若問題中的存在，求出的取值范圍，若問題中的不存在，請說明理由．【答案】(1)不存在滿足條件的，理由見解析(2)若選①，問題中的存在，且的取值集合，若選②，問題中的存在，且的取值集合.【解析】（1）當(dāng)橫線部分內(nèi)容為“充要條件”時，則，則且，方程組無解.∴不存在滿足條件的.（2）若選①，則是的真子集，則且（兩等號不同時?。?，且，解得，∴問題中的存在，且的取值集合.選②，則是的真子集，當(dāng)時，，即，滿足是的真子集；當(dāng)時，，即，由是的真子集，得且（兩等號不同時?。?，解得；綜上所述：.所以問題中的存在，且的取值集合.考點五充要條件的證明【例5】（2023·陜西西安·）求證：是一元二次方程的一個根的充要條件是.【答案】證明見解析【解析】證明：（1）充分性：由得.即滿足方程.是方程的一個根（2）必要性：是方程的一個根，將代入方程得.故是一元二次方程的一個根的充要條件是【一隅三反】1（2022秋·寧夏銀川）中，角，，所對的邊分別為，，，求證：的充要條件是．【答案】證明見解析.【解析】（1）先證充分性：若，則，∴成立（2）再證必要性：若成立，∵，∴，又因為中，，∴，∴，∴．綜上可知，的充要條件是．2．（2022秋·四川樂山·高一?？茧A段練習(xí)）設(shè)a，b，，求證：關(guān)于x的方程有一個根是1的充