新教材人教B版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)教案設(shè)計(jì)-導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性

PAGE6.2利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)6．2.1導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.理解導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系．(易混點(diǎn))2．掌握利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法．(重點(diǎn))3．會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．(重點(diǎn)、難點(diǎn))1.通過利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性法則的學(xué)習(xí)，提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．2．借助判斷函數(shù)單調(diào)性及求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，提升邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).圖(1)表示高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員的高度h隨時(shí)間t變化的函數(shù)h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10的圖像，圖(2)表示高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員的速度v隨時(shí)間t變化的函數(shù)v(t)＝h′(t)＝－9.8t＋6.5的圖像．問題：運(yùn)動(dòng)員從起跳到最高點(diǎn)，以及從最高點(diǎn)到入水這兩段時(shí)間的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有什么區(qū)別？(1)(2)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系(1)如果在區(qū)間(a，b)內(nèi)，f′(x)>0，則曲線y＝f(x)在區(qū)間(a，b)對(duì)應(yīng)的那一段上每一點(diǎn)處切線的斜率都大于0，曲線呈上升狀態(tài)，因此f(x)在(a，b)上是增函數(shù)，如圖(1)所示；(2)如果在區(qū)間(a，b)內(nèi)，f′(x)<0，則曲線y＝f(x)在區(qū)間(a，b)對(duì)應(yīng)的那一段上每一點(diǎn)處切線的斜率都小于0，曲線呈下降狀態(tài)，因此f(x)在(a，b)上是減函數(shù)，如圖(2)所示．(1)(2)思考1：如果在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有f′(x)＝0，那么函數(shù)f(x)有什么特性？[提示]f(x)是常函數(shù)．思考2：在區(qū)間(a，b)內(nèi)，f′(x)>0是f(x)在(a，b)上為單調(diào)增函數(shù)的什么條件？[提示]充分不必要條件，如f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增，但f′(x)＝3x2≥0.1．思考辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)函數(shù)f(x)在定義域上都有f′(x)>0，則函數(shù)f(x)在定義域上單調(diào)遞增． ()(2)函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)越大，函數(shù)在該點(diǎn)處的切線越“陡峭”． ()(3)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上變化越快，函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值越大． ()[答案](1)×(2)×(3)√2.函數(shù)y＝f(x)的圖像如圖所示，則()A．f′(3)>0B．f′(3)<0C．f′(3)＝0D．f′(3)的正負(fù)不確定B[由圖像可知，函數(shù)f(x)在(1,5)上單調(diào)遞減，則在(1,5)上有f′(x)<0，故f′(3)<0.]3．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2)x2－x，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為________．(1，＋∞)[∵f′(x)＝x－1，令f′(x)>0，解得x>1，故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1，＋∞)．]4．(一題兩空)若定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)＝2x(x－1)，則f(x)在區(qū)間________內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間________內(nèi)單調(diào)遞減．(1，＋∞)(－∞，1)[由f′(x)>0得x>1，由f′(x)<0得x<1，故f(x)在區(qū)間(1，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間(－∞，1)內(nèi)單調(diào)遞減．]函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖像間的關(guān)系【例1】(1)函數(shù)y＝f(x)的圖像如圖所示，給出以下說法：①函數(shù)y＝f(x)的定義域是[－1,5]；②函數(shù)y＝f(x)的值域是(－∞，0]∪[2,4]；③函數(shù)y＝f(x)在定義域內(nèi)是增函數(shù)；④函數(shù)y＝f(x)在定義域內(nèi)的導(dǎo)數(shù)f′(x)>0.其中正確的是()A．①② B．①③C．②③ D．②④(2)設(shè)函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，y＝f(x)的圖像如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖像可能為()(1)A(2)D[(1)由圖像可知，函數(shù)的定義域?yàn)閇－1,5]，值域?yàn)?－∞，0]∪[2,4]，故①②正確，選A.(2)由函數(shù)的圖像可知：當(dāng)x<0時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，導(dǎo)數(shù)始終為正；當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)先增后減再增，即導(dǎo)數(shù)先正后負(fù)再正，對(duì)照選項(xiàng)，應(yīng)選D.]研究一個(gè)函數(shù)的圖像與其導(dǎo)函數(shù)圖像之間的關(guān)系時(shí)，注意抓住各自的關(guān)鍵要素，對(duì)于原函數(shù)，要注意其圖像在哪個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在哪個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；而對(duì)于導(dǎo)函數(shù)，則應(yīng)注意其函數(shù)值在哪個(gè)區(qū)間內(nèi)大于零，在哪個(gè)區(qū)間內(nèi)小于零，并分析這些區(qū)間與原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是否一致.eq\O([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．(1)設(shè)f′(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，將y＝f(x)和y＝f′(x)的圖像畫在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中，不正確的是()ABCD(2)若函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖像可能是()ABCD(1)D(2)A[(1)A，B，C均有可能；對(duì)于D，若C1為導(dǎo)函數(shù)，則y＝f(x)應(yīng)為增函數(shù)，不符合；若C2為導(dǎo)函數(shù)，則y＝f(x)應(yīng)為減函數(shù)，也不符合．(2)因?yàn)閥＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)，則從左到右函數(shù)f(x)圖像上的點(diǎn)的切線斜率是遞增的．]利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間角度一不含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【例2】求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．(1)f(x)＝3x2－2lnx；(2)f(x)＝x2·e－x；(3)f(x)＝x＋eq\f(1,x).[解](1)函數(shù)的定義域?yàn)?0，＋∞)．∵f′(x)＝6x－eq\f(2,x)，令f′(x)＝0，得x1＝eq\f(\r(3),3)，x2＝－eq\f(\r(3),3)(舍去)，用x1分割定義域，得下表：xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),3)))eq\f(\r(3),3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，＋∞))f′(x)－0＋f(x)↘↗∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),3)))，單調(diào)遞增區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，＋∞)).(2)函數(shù)的定義域?yàn)?－∞，＋∞)．∵f′(x)＝(x2)′e－x＋x2(e－x)′＝2xe－x－x2e－x＝e－x(2x－x2)，令f′(x)＝0，由于e－x＞0，∴x1＝0，x2＝2，用x1，x2分割定義域，得下表：x(－∞，0)0(0,2)2(2，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)↘↗↘∴f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，0)和(2，＋∞)，單調(diào)遞增區(qū)間為(0,2)．(3)函數(shù)的定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)．∵f′(x)＝1－eq\f(1,x2)，令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝1，用x1，x2分割定義域，得下表：x(－∞，－1)－1(－1,0)(0,1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－－0＋f(x)↗↘↘↗∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－1,0)和(0,1)，單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－1)和(1，＋∞)．角度二含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【例3】討論函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2)ax2＋x－(a＋1)lnx(a≥0)的單調(diào)性．[思路點(diǎn)撥]eq\x(求函數(shù)的定義域)→求f′(x)eq\o(→,\s\up7(分a>0，a＝0))eq\x(解不等式f′x>0或f′x<0)→eq\x(表述fx的單調(diào)性)[解]函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝ax＋1－eq\f(a＋1,x)＝eq\f(ax2＋x－a＋1,x).(1)當(dāng)a＝0時(shí)，f′(x)＝eq\f(x－1,x)，由f′(x)＞0，得x＞1，由f′(x)＜0，得0＜x＜1.∴f(x)在(0,1)上為減函數(shù)，在(1，＋∞)上為增函數(shù)．(2)當(dāng)a＞0時(shí)，f′(x)＝eq\f(a\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(a＋1,a)))x－1,x)，∵a＞0，∴－eq\f(a＋1,a)＜0.由f′(x)＞0，得x＞1，由f′(x)＜0，得0＜x＜1.∴f(x)在(0,1)上為減函數(shù)，在(1，＋∞)上為增函數(shù)．綜上所述，當(dāng)a≥0時(shí)，f(x)在(0,1)上為減函數(shù)，在(1，＋∞)上為增函數(shù)．利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟1確定函數(shù)fx的定義域.2求導(dǎo)數(shù)f′x.3由f′x>0或f′x<0，解出相應(yīng)的x的范圍.當(dāng)f′x>0時(shí)，fx在相應(yīng)的區(qū)間上是增函數(shù)；當(dāng)f′x<0時(shí)，fx在相應(yīng)的區(qū)間上是減函數(shù).4結(jié)合定義域?qū)懗鰡握{(diào)區(qū)間.eq\O([跟進(jìn)訓(xùn)練])2．設(shè)f(x)＝ex－ax－2，求f(x)的單調(diào)區(qū)間.[解]f(x)的定義域?yàn)?－∞，＋∞)，f′(x)＝ex－a.若a≤0，則f′(x)＞0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增．若a＞0，則當(dāng)x∈(－∞，lna)時(shí)，f′(x)＜0；當(dāng)x∈(lna，＋∞)時(shí)，f′(x)＞0.所以f(x)在(－∞，lna)上單調(diào)遞減，在(lna，＋∞)上單調(diào)遞增．綜上所述，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)a＞0時(shí)，f(x)在(－∞，lna)上單調(diào)遞減，在(lna，＋∞)上單調(diào)遞增.已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的范圍[探究問題]1．在區(qū)間(a，b)內(nèi)，若f′(x)＞0，則f(x)在此區(qū)間上單調(diào)遞增，反之也成立嗎？[提示]不一定成立．比如y＝x3在R上為增函數(shù)，但其在x＝0處的導(dǎo)數(shù)等于零．也就是說f′(x)＞0是y＝f(x)在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增的充分不必要條件．2．若函數(shù)f(x)為可導(dǎo)函數(shù)，且在區(qū)間(a，b)上是單調(diào)遞增(或遞減)函數(shù)，則f′(x)滿足什么條件？[提示]f′(x)≥0(或f′(x)≤0)．【例4】已知函數(shù)f(x)＝x3－ax－1在(－∞，＋∞)上為單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．[思路點(diǎn)撥]eq\x(fx單調(diào)遞增)→eq\x(f′x≥0恒成立)→eq\x(分離參數(shù)求a的范圍)[解]由已知得f′(x)＝3x2－a，因?yàn)閒(x)在(－∞，＋∞)上是單調(diào)增函數(shù)，所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a≤3x2對(duì)x∈R恒成立，因?yàn)?x2≥0，所以只需a≤0.又因?yàn)閍＝0時(shí)，f′(x)＝3x2≥0，所以，f(x)＝x3－1在R上是增函數(shù)．綜上，a≤0.1．(變條件)若函數(shù)f(x)＝x3－ax－1的單調(diào)減區(qū)間為(－1,1)，求a的值．[解]f′(x)＝3x2－a，①當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)≥0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上為增函數(shù)．不符題意．②當(dāng)a＞0時(shí)，令3x2－a＝0，得x＝±eq\f(\r(3a),3)，當(dāng)－eq\f(\r(3a),3)＜x＜eq\f(\r(3a),3)時(shí)，f′(x)＜0.∴f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3a),3)，\f(\r(3a),3)))上為減函數(shù)，∴f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3a),3)，\f(\r(3a),3)))，∴eq\f(\r(3a),3)＝1，即a＝3.2．(變條件)若函數(shù)f(x)＝x3－ax－1在(－1,1)上單調(diào)遞減，求a的取值范圍．[解]由題意可知f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f′－1≤0,f′1≤0))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－a≤0,3－a≤0))，∴a≥3.即a的取值范圍是[3，＋∞)．3．(變條件)若函數(shù)f(x)＝x3－ax－1在(－1,1)上不單調(diào)，求a的取值范圍．[解]∵f(x)＝x3－ax－1，∴f′(x)＝3x2－a，由f′(x)＝0，得x＝±eq\f(\r(3a),3)(a≥0)，∵f(x)在區(qū)間(－1,1)上不單調(diào)，∴0＜eq\f(\r(3a),3)＜1，即0＜a＜3.故a的取值范圍為(0,3)．1．可導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增(或單調(diào)遞減)的充要條件是f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在(a，b)上恒成立，且f′(x)在(a，b)的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0.2．已知f(x)在區(qū)間(a，b)上的單調(diào)性，求參數(shù)范圍的方法(1)利用集合的包含關(guān)系處理f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增(減)的問題時(shí)，區(qū)間(a，b)應(yīng)是相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子集；(2)利用不等式的恒成立處理f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增(減)的問題時(shí)，可轉(zhuǎn)化為f′(x)≥0(f′(x)≤0)在(a，b)內(nèi)恒成立，注意驗(yàn)證等號(hào)是否成立．判斷函數(shù)單調(diào)性的方法如下：(1)定義法．在定義域內(nèi)任取x1，x2，且x1<x2，通過判斷f(x1)－f(x2)的符號(hào)來確定函數(shù)的單調(diào)性．(2)圖像法．利用函數(shù)圖像的變化趨勢(shì)進(jìn)行直觀判斷：圖像在某個(gè)區(qū)間呈上升趨勢(shì)，則函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)；圖像在某個(gè)區(qū)間呈下降趨勢(shì)，則函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)．(3)導(dǎo)數(shù)法．利用導(dǎo)數(shù)判斷可導(dǎo)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)的單調(diào)性，步驟是：①求f′(x)；②確定f′(x)在(a，b)內(nèi)的符號(hào)；③確定單調(diào)性．函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)增區(qū)間、減區(qū)間分別是解不等式f′(x)>0和f′(x)<0所得的x的取值集合．反過來，如果已知f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增，求f(x)中參數(shù)的值，這類問題往往轉(zhuǎn)化為不等式的恒成立問題，即f′(x)≥0在D上恒成立且僅在有限個(gè)點(diǎn)上等號(hào)成立，求f(x)中參數(shù)的值．同樣也可以解決已知f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減，求f(x)中參數(shù)的值的問題．1．函數(shù)y＝f(x)的圖像如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖像可能是()D[∵函數(shù)f(x)在(0，＋∞)，(－∞，0)上都是減函數(shù)，∴當(dāng)x＞0時(shí)，f′(x)＜0，當(dāng)x＜0時(shí)，f′(x)＜0.]2．函數(shù)f(x)＝lnx－x的單調(diào)遞增區(qū)間是()A．(－∞，1) B．(0,1)C．(0，＋∞) D．(1，＋∞)B[函數(shù)的定義域?yàn)?0，＋∞)，又f′(x)＝eq\f(1,x)－1，由f′(x)＝eq\f(1,x)－1>0，得0<x<1，所以函數(shù)f(x)＝lnx－x的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,1)，故選B.]3．函數(shù)f(x)＝2x3－9x2＋12x＋1的單調(diào)減區(qū)間是________．(1,2)[f′(x)＝6x2－18x＋12，令f′(x)＜0，即6x2