《工程力學(xué) 》課件第5章

第5章平面力系的拓寬及應(yīng)用5.1物體系統(tǒng)的平衡、

靜定與超靜定問題

5.2考慮摩擦?xí)r的平衡問題

思考題

習(xí)題

5.1物體系統(tǒng)的平衡、靜定與超靜定問題

5.1.1靜定與超靜定的概念一個物體平衡時，未知量個數(shù)等于獨立平衡方程個數(shù)，全部未知量可通過靜力學(xué)平衡方程求得，這類問題稱為靜定問題。如果未知量的數(shù)目多于獨立平衡方程的數(shù)目，則未知量不能全部由平衡方程求出，這樣的問題稱為超靜定問題，也稱為靜不定問題。如圖5-1（a）所示的簡支梁由一個固定鉸鏈和活動鉸鏈支承，梁所受外力為任意力系，有三個獨立平衡方程，而梁的約束反力也為三個，故是靜定問題，其未知的約束力均可由平衡方程求出。而圖5-1（b）所示的簡支梁由一個固定鉸鏈和兩個活動鉸鏈支承，共有四個未知量，所以不能由平衡方程求出約束反力，

是超靜定問題。

圖5-15.1.2物體系統(tǒng)的平衡工程機械和結(jié)構(gòu)都是由若干個物體通過一定形式的約束組合在一起的，稱為物體系統(tǒng)，簡稱物系。求解物體系統(tǒng)的平衡問題，簡稱物系的平衡問題。對于這類問題，在受力分析時應(yīng)注意內(nèi)力和外力。所謂內(nèi)力就是物體系統(tǒng)內(nèi)物體與物體之間的相互作用力；而外力是研究對象以外的其它物體對研究對象作用的力。對于同一物體系統(tǒng)，選不同物體為研究對象時，內(nèi)力和外力是相對的，是隨所選研究對象的不同而改變的。根據(jù)作用與反作用定律，內(nèi)力總是成對出現(xiàn)的，因此在分離體上只畫外力而不畫內(nèi)力。

求解物系平衡問題的步驟是：

(1)判斷物系是靜定問題還是超靜定問題。

(2)適當(dāng)選擇研究對象，畫出研究對象的分離體的受力圖。研究對象可以是物系整體、單個物體，也可以是物系中幾個物體的組合。

(3)分析各受力圖，確定求解順序。一般來講，首先，求解的對象通常是主動力和未知的約束力共同作用的物體，而且未知力的個數(shù)不超過獨立方程個數(shù)。其次，求解的對象也應(yīng)當(dāng)符合這個條件，只不過該對象中的部分約束力已經(jīng)被求解出來了，成為已知力，依次類推。

(4)根據(jù)確定的求解順序，

依次列平衡方程求解。

例5-1如圖5-2（a）所示的曲柄連桿機構(gòu)，由曲柄ＯＡ、連桿ＡＢ和滑塊Ｂ組成，已知作用在滑塊上的力 ，如不計各構(gòu)件的自重和摩擦，求作用在曲柄上的力偶矩Ｍ多大時方可保持機構(gòu)平衡。

解（１）取滑塊Ｂ為研究對象，畫受力圖如圖5-2（c）所示，列平衡方程：（２）

取曲柄ＯＡ為研究對象，畫受力圖如圖5-2(b)所示，

列平衡方程：

圖5-2例5-2

復(fù)合梁在Ｂ處用鉸鏈連接，其上作用有力偶矩為Ｍ的集中力偶和集度為q的均布載荷。已知l、M、q，試求固定端Ａ和活動鉸鏈Ｃ的約束力。解：在整體受力圖上有４個未知力，如圖5-3（a）所示，梁ＡＢ受力圖上有５個未知反力，如圖5-3（b）所示，而梁BC的受力圖上僅有三個未知反力，如圖5-3（c）所示，故先取梁BC為研究對象，求出。（1）如圖5-3（c），列平衡方程

（2）

再取整體為研究對象，如圖5-3（a）所示，列平衡方程：

圖5-3

例5-3往復(fù)式水泵如圖5-4所示，作用在齒輪上的驅(qū)動力偶矩MO，通過齒輪Ⅱ及連桿AB帶動活塞在缸體內(nèi)作往復(fù)式運動，齒輪的壓力角為α，齒輪Ⅰ的半徑為r1，齒輪Ⅱ的半徑為r2，曲柄O2A=r3，連桿AB=5r1，活塞阻力為F。已知F、r1、r2、r3和α，不計各構(gòu)件的自重及摩擦。當(dāng)曲柄O2A在鉛垂位置時，試求驅(qū)動力矩MO的值。圖5-4解：分別取齒輪Ⅰ和齒輪Ⅱ及活塞B為研究對象，畫出它們受力圖如圖5-4（b）、（c）、（d）所示。（水平為x軸，豎直為y軸選取直角坐標系，如（b）所示）圖5-4（d）中，活塞B受平面匯交力系作用，列平衡方程

故

由于FAB已解出，圖5-4（c）變?yōu)榭山猓衅胶夥匠糖蠼猓?/p>

故

由圖5-4（b）可列出：

總之，如何根據(jù)解題的需要正確選取研究對象而獲得最佳的求解途徑，就成為求解物體系統(tǒng)平衡問題的關(guān)鍵。

5.2考慮摩擦?xí)r的平衡問題

5.2.1滑動摩擦當(dāng)兩物體接觸面之間有相對滑動的趨勢時，物體接觸面產(chǎn)生的摩擦力稱為靜滑動摩擦力，簡稱靜摩擦力，通常用Ff表示；當(dāng)兩物體之間產(chǎn)生相對滑動時，物體接觸表面之間產(chǎn)生的摩擦力，稱為滑動摩擦力，簡稱動摩擦力,通常用Ff′表示。由于摩擦對物體的運動起阻礙作用，因此摩擦力總是作用在接觸面（點），沿接觸處的公切線，與物體相對滑動或滑動趨勢方向相反。

從限制物體運動的作用而言，摩擦力是一種被動的、未知的約束力。它的計算方法一般根據(jù)物體的運動情況而定，庫侖實驗得出如下結(jié)論：

（1）靜摩擦定律（庫倫定律）：設(shè)重為G的物塊受一水平力FT的作用，如圖5-5(a)所示，當(dāng)力FT較小時，物塊A處于靜止，其受力圖如圖5-5(b)所示，由平衡條件可知，此時靜摩擦力Ff=FT；當(dāng)力FT逐漸增大到某一值時，物塊Ａ處于靜止和滑動的臨界平衡狀態(tài)，此時靜摩擦力Ff達到其最大值Ffmax，稱為最大靜摩擦力。根據(jù)庫侖的實驗，最大靜摩擦力Ffmax與接觸面間的法向反力FN成正比，即：

Ffmax=fs·FN

（5-1）

(2)一般靜止狀態(tài)下的靜摩擦力Ff隨主動力的變化而變化，其大小由平衡方程確定，介于零和最大靜摩擦力之間，即0≤

Ff

≤

Ffmax（5-2）

(3)當(dāng)物體處于滑動狀態(tài)時，在接觸面上產(chǎn)生的滑動摩擦力Ff′的大小與接觸面的法向反力FN成正比，即

（5-3）

式中，比例系數(shù)f稱為動滑動摩擦系數(shù)，其大小與接觸物體的材料及表面狀況（粗糙度、濕度、溫度等）有關(guān)，而與接觸面積無關(guān)。式（5-3）稱為動摩擦定律。實驗證明，一般情況下靜滑動摩擦系數(shù)大于動滑動摩擦系數(shù)，即fs>f。這說明推動物體從靜止開始滑動比較費力，而一旦滑動起來，維持滑動就省力些。各種材料在不同情況下的靜摩擦系數(shù)，通常由實驗測定。常見材料的滑動摩擦系數(shù)如表5-1所示。表5-1常見材料的滑動摩擦系數(shù)

5.2.2摩擦角與自鎖現(xiàn)象

1.摩擦角在圖5-5中，將支承面對物塊的法向反力FN和切向反力Ff合成，得到一個合力FR，稱為全反力；將主動力G和FT合成一個力FQ，即

FR＝FN+Ff FQ=G+FT

圖5-5設(shè)FQ與接觸面法線的夾角為，全反力FR與接觸面法線的夾角為，于是物塊在全部主動力的合力FQ和全反力FR的作用下平衡，此時，α＝φ

，如圖5-6（a）所示。根據(jù)（5-2）式可知，靜摩擦力Ff是個有界值，所以也是有界值，即0≤φ≤φm。φm

，φm為物塊處于臨界平衡狀態(tài)時，全反力與接觸面法線夾角的最大值，稱為摩擦角，顯然即摩擦角的正切等于靜摩擦系數(shù)。可見摩擦角與靜摩擦系數(shù)一樣，也是表示摩擦性質(zhì)的物理量。

圖5-62.自鎖

物塊平衡時，因0≤

Ff≤Ffmax，則，即全反力與法線間的夾角φ在零與摩擦角φm之間變化。由于靜摩擦力不可能超過最大值，因此，全反力的作用線也不能超出摩擦角以外，即全反力必在摩擦角之內(nèi)。如圖5-6（a）（b）中，全部主動力的合力FQ與全反力FR共線、反向、等值，故α＝φ，所以

0≤φ≤φm

0≤α≤φm

（5-4）

式（5-4）表明，作用于物體上的全部主動力的合力FQ，不論其大小如何，只要其作用線與接觸面法線的夾角α小于或等于摩擦角（即FQ作用在摩擦角之內(nèi)），則物體保持靜止。這種現(xiàn)象稱為自鎖。式（5-4）稱為自鎖條件。反之，當(dāng)作用于物體上的全部主動力的合力FQ的作用線位于摩擦角之外時，則無論此合力多么小，都不能有與其共線的全反力，因而物體必定滑動，如圖5-6（c）。自鎖現(xiàn)象在工程實際中有很重要的作用，如人工用螺旋千斤頂頂起重物，也是借用自鎖原理，以致使重物不致因重力作用而下落，如圖5-7所示；楔塊與尖劈也是利用了自鎖原理的一種機械機構(gòu)，如圖5-8所示，用較小的力將楔塊楔入夾具中加緊工件，在外力除去后，無論工件在加工過程中有多大（圖示鉛垂方向上）的力作用在楔塊上，楔塊都不會被擠壓出來。如圖，以上兩機構(gòu)的自鎖條件為：

圖5-7圖5-85.2.3考慮摩擦?xí)r的平衡問題求解有摩擦?xí)r物體的平衡問題，其方法與步驟與前面所述相同，所不同的是：

(1)在受力圖上必須考慮摩擦力，摩擦力的方向與相對滑動趨勢的方向相反。

(2)摩擦力是一個未知量。解題時，除列出平衡方程外，還需要列出補充方程Ff≤fs·FN。補充方程的數(shù)目與摩擦力的數(shù)目相同。不過，由于Ff是一個范圍值，故問題的解答也應(yīng)是一個范圍值，稱為平衡范圍。在臨界狀態(tài)時，補充方程取等式，所得之解也一定是平衡范圍的一個臨界值。

例5-4一物塊放在傾角為α的斜面上，如圖5-9所示。物塊與斜面間的摩擦系數(shù)為fs，試分析物塊在重力Q作用下不沿斜面下滑的條件。

解使物塊下滑的力為Qsinα，而阻止其下滑的最大力為最大靜摩擦力Ffmax，由摩擦定律可知

由平衡條件可知：

F力的最大值為Ffmax，由以上條件得出：

要使物塊不下滑，必須有

F≤Ffmax，即

解得

因為

所以

即斜面的自鎖條件為：

斜面的傾角必須小于或等于摩擦角。

圖5-9例5-5

如圖5-10（a）所示的勻質(zhì)木梯AB長為2a，重為G，其一端放在地面上，另一端放在鉛垂墻面上，接觸面間的摩擦角為φm。求木梯平衡時傾角α的范圍。圖5-10

解取勻質(zhì)木梯AB為研究對象，分析梯子的臨界平衡狀態(tài)，此時梯子A處有向右滑動的趨勢，B處有向下滑動的趨勢，故A、B處的靜摩擦力的方向如圖5-10（b）所示。列平衡方程及靜摩擦力的補充方程：聯(lián)立上述方程，解得

經(jīng)判斷可得，梯子平衡時傾角的范圍為

例5-6制動器的構(gòu)造如圖5-11（a）所示，已知重物重W=500N，制動輪與制動塊間的靜摩擦系數(shù)fs=0.6。R=250mm，r=150mm，a=1000mm，b=300mm，h=100mm，求制動鼓輪轉(zhuǎn)動所需的最小力F。圖5-11

解取鼓輪為研究對象，畫受力圖如圖5-11（b）所示。列平衡方程：

①

再取桿AB（包括制動塊）為研究對象，畫受力圖如圖5-11（c）所示。列平衡方程

②

注意，F(xiàn)N′=FN，F(xiàn)s′=Fs,并考慮平衡的臨界狀態(tài)，由靜摩擦定律有

③

聯(lián)立解①、

②、

③式得

F=120N這是臨界狀態(tài)時所需力的值，也就是制動鼓輪所需的最小力的值。

5.2.4滾動摩擦簡介

利用滾動代替滑動省力，這是人們早已知道的事實。搬運重物時，若在重物底下墊滾軸，則要比將重物直接放在地面上推動省力，如圖5-12（a）所示。在工程實際中，車輛采用車輪，機器采用滾動軸承，也是為了減輕勞動強度，提高勞動效率，如圖5-12（b）所示。在水平面上有一輪子重為G，半徑為r，如圖5-13（a）所示，當(dāng)輪子中心受一水平拉力FT作用，若FT力不大時，輪子仍保持靜止，此時輪與地面接觸處都發(fā)生變形。輪與地面接觸處受力分布作用如圖5-13（b）所示。將這些力向輪子的最低點A簡化，得一力(將此力分解為沿接觸面的切向分力Ff和法向分力FN)和一力偶Mf，如圖5-13（c）所示，這一阻礙輪子滾動的約束力偶稱為滾動摩擦力偶。滾動摩擦力偶的轉(zhuǎn)向與輪子的滾動趨勢相反。圖5-12圖5-13與靜滑動摩擦力的性質(zhì)相似，滾動摩擦力偶矩隨主動力的變化而變化，當(dāng)主動力偶（FT、Ff）的力偶矩增大到一定值時，輪子處于將要滾動的臨界平衡狀態(tài)，滾動摩擦力偶矩Mf達到最大值Mfmax。由此可見，滾動摩擦力偶矩的大小在零到最大值之間，即

0≤Mf≤Mfmax

庫侖根據(jù)大量實驗與觀察,得出如下結(jié)論：（1）

最大滾動摩擦力偶矩與滾子半徑大小無關(guān)；（2）最大滾動摩擦力偶矩與滾子和支承面之間的正壓力（法向反力）成正比，即

（5-5）

式（5-5）就是庫侖滾動摩擦定律。式中δ稱為滾動摩擦系數(shù)，簡稱滾阻系數(shù)，是一個具有長度量綱的系數(shù)，單位一般用mm。根據(jù)力的平移定理，可把法向正壓力FN和滾阻力偶矩Mfmax合成一個力FN’,而滾阻系數(shù)就是這個力的作用線到滾子中心線的距離，如圖5-13（d）所示，即滾動摩擦系數(shù)由實驗測定，它與滾子和支承面的材料硬度、濕度等因素有關(guān)。表5-2為常用材料的滾動摩擦系數(shù)。

表5-2常用材料的滾動摩擦系數(shù)

思

考

題

5-1判斷圖示各機構(gòu)是靜定問題還是超靜定問題，

桿件自重不計。

思考題5-1圖

5-2摩擦力是否一定是阻力？

5-3試分析在平直的路面上正常行駛的汽車(如圖所示)，其前、后輪的摩擦力方向及作用（后輪驅(qū)動）。

思考題5-3圖

5-4物塊重為W，放置在粗糙的水平面上，接觸處的摩擦系數(shù)為fs，如圖所示。要使物塊沿水平面向右移動，圖(a)、(b)兩種施力方式，哪種比較省力。思考題5-4圖

5-5如圖所示，重為G的物塊受力F作用，力F的作用線在摩擦角之外，已知α=25°，摩擦角φm=20°，問物塊動不動？為什么？思考題5-5圖

5-6如圖所示為一重W＝100N的物塊，在F=400N的作用下處于平衡，物塊與墻壁間的靜摩擦系數(shù)fs=0.3，求它與墻之間的摩擦力Ff。若物塊與墻壁之間的摩擦系數(shù)fs=0.2，fs=0.15時，問在此情況下物塊與墻壁之間的摩擦力Ff有多大？思考題5-6圖

5-7求解有摩擦的平衡問題時，哪一類摩擦力的方向可以假設(shè)，哪一類問題不能假設(shè)，而必須正確判斷其方向，為什么？

5-8如圖所示，試比較兩種同樣材料，在相同表面粗糙度和相同帶壓力F的作用下，平帶與Ｖ型帶的最大靜摩擦力哪個大？

思考題5-8圖

習(xí)

題

5-1如圖所示，重量為G的球夾在墻和勻質(zhì)桿AB之間，AB桿重GAB=4G/3，長為l，AD=2l/3，已知G，α＝30°。求繩子BC的拉力和A鉸鏈處的約束反力。題5-1圖

5-2如圖所示為汽車臺秤簡圖，其中BEC為臺面整體，杠桿AB可繞軸O轉(zhuǎn)動，B、C、D均為鉸鏈，桿DC處于水平位置。試求臺秤平衡時砝碼重量G1與汽車重量G2的關(guān)系。題5-2圖

5-3重物的重量為G，桿AB、CD與滑輪聯(lián)接如圖所示，已知G，且α=45°，

不計滑輪的自重。

求支座A處的約束反力以及BC桿所受的力。

題5-3圖

5-4

如題5-4圖所示的構(gòu)架中，DK的中點有一銷釘E套在AC桿的導(dǎo)槽內(nèi)，已知F、a。試求B、C兩處的約束反力。

題5-4圖

5-5如圖所示，由桿AB、BC和CＥ組成的支架和滑輪Ｅ支持著重G=12kN的重物。試求固定鉸鏈支座A和活動鉸鏈支座B的約束反力以及桿BC所受的力（圖中長度單位為ｍ）。

題5-5圖

5-6

如題5-6圖所示，由AC和CD構(gòu)成的復(fù)合梁通過鉸鏈C連接，已知均布載荷q=10kN／ｍ，力偶矩Ｍ=40kN·ｍ，不計梁重。試求支座A、B