【中考數(shù)學(xué)】相似三角形：真題專(zhuān)項(xiàng)突破沖刺提分60題（含答案解析）

中考真題精編匯總

【中考數(shù)學(xué)】類(lèi)似三角形：精選真題專(zhuān)項(xiàng)打破沖刺提分60題

(含答案解析)

【

中

一、解答題(共65小題)

考1.(2014?淄博)如圖，四邊形ABCD中，AC1BD交BD于點(diǎn)E,點(diǎn)F,M分別是AB,BC的中

數(shù)點(diǎn)，BN平分/ABE交AM于點(diǎn)N,AB=AC=BD.連接MF,NF.

<1)判斷aBNlN的外形，并證明你的結(jié)論；

學(xué)

(2)判斷AMFN與ABDC之間的關(guān)系，并闡明理由，

】

精

選

真

題

專(zhuān)

項(xiàng)

2.(2014?岳陽(yáng))如圖，矩形ABCD為臺(tái)球桌面，AD=260cm,AB=130cm.球目前在E點(diǎn)地位,

突

AE=60cm.如果小丁瞄準(zhǔn)BC邊上的點(diǎn)F將球打過(guò)去，反彈后，球剛好彈到D點(diǎn)地位.

破(1)求證：ABEF^ACDF；

沖(2)求CF的長(zhǎng).

刺

提

分

6

。

題3.(2014?永州)如圖，D是AABC的邊AC上的一點(diǎn)，連接BD,已知/ABD=/C,AB=6,AD=4,

(求線段CD的長(zhǎng).

今

縣

晏

木

解

析4.(2014?營(yíng)口)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，aABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A

)1,4),C(-3,2).

(1)畫(huà)出AABC關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的圖形△AiBCi,并直接寫(xiě)出Ci點(diǎn)坐標(biāo)：

(2)以原點(diǎn)0為位似，位似比為1：2,在y軸的左側(cè)，畫(huà)出aABC放大后的圖形4A2B2c2,并直

接寫(xiě)出C2點(diǎn)坐標(biāo)：

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相交于點(diǎn)P.

(1)若AE=CF；

①求證：AF=BE,并求NAPB的度數(shù)：

②若AE=2,試求AP?AF的值；

(2)若AF=BE,當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，試求點(diǎn)P的路徑長(zhǎng).

6.(2014?揚(yáng)州)已知矩形ABCD的一條邊AD=8,將矩形ABCD折卷，使得頂點(diǎn)B落在CD邊上

的P點(diǎn)處.

(1)如圖1,已知折痕與邊BC交于點(diǎn)0,連結(jié)AP、OP、OA

①求證：△OCPS^PDA；

②若40CP與4PDA的面積比為1：4,求邊AB的長(zhǎng)；

(2)若圖1中的點(diǎn)P恰好是CD邊的中點(diǎn)，求/OAB的度數(shù):

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（3）如圖2,在（1）的條件下，擦去折痕A0、線段0P,連結(jié)BP.動(dòng)點(diǎn)M在線段AP上（點(diǎn)

■?????

M與點(diǎn)P、A不重合），動(dòng)點(diǎn)N在線段AB的延伸線上，且BN=PM,連結(jié)MN交PB于點(diǎn)F,作

ME1BP于點(diǎn)E.試問(wèn)當(dāng)點(diǎn)M、N在挪動(dòng)過(guò)程中，線段EF的長(zhǎng)度能否發(fā)生變化？若變化，闡明理由;

若不變，求出線段EF的長(zhǎng)度.

7.（2014?煙臺(tái)）如圖，AB是的直徑,延伸AB至P,使BP=OB,BD垂直于弦BC,垂足為

點(diǎn)B,點(diǎn)D在PC上.設(shè)/PCB/a,ZPOC=p.

8.（2014?湘西州）如圖，在8x8的正方形網(wǎng)格中，ACAB和4DEF的頂點(diǎn)都在邊長(zhǎng)為1的小正方

形的頂點(diǎn)上，AC與網(wǎng)格上的直線相交于點(diǎn)M.

（1）填空：AC=,AB=.

（2）求NACB的值和tan/1的值；

（3）判斷ACAB和ADEF能否類(lèi)似？并闡明理由.

9.（2014?武漢）如圖,AB是。0的直徑,C,P是AB上兩點(diǎn)，AB=13,AC=5.

（1）如圖（1）,若點(diǎn)P是瓶勺中點(diǎn)，求PA的長(zhǎng);

（2）如圖（2）,若點(diǎn)P是砧向中點(diǎn)，求PA的長(zhǎng).

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10.(2014?銅仁地區(qū))如圖所示，AD,BE是鈍角aABC的邊BC,AC上的高，求證：嶇區(qū).

BEBC

11.(2014?泰安)如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD,AC與BD交于點(diǎn)E,ZADB=ZACB.

求證:普

(1)

四邊形ABFD是菱形.

12.(2014?綏化)已知:△ABC在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(0,3)、B(3,4)、

C(2,2)(正方形網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)是一個(gè)單位長(zhǎng)度).

(1)畫(huà)出aABC向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到的△ABiG,點(diǎn)。的坐標(biāo)是；

(2)以點(diǎn)B為位似，在網(wǎng)格內(nèi)畫(huà)出4A2B2c2,使AA2B2c2與AABC位似，且位似比為2；1,點(diǎn)

C1的坐標(biāo)是;

13.(2014?紹興)課本中有一道作業(yè)題:

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有一塊三角形余料ABC,它的邊BC=120mm,高AD=80mm.要把它加工成正方形零件，使正方形

的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB,AC上.問(wèn)加工成的正方形零件的邊長(zhǎng)是多少mm?

小穎解得此題的答案為48mm,小穎善于反思，她又提出了如下的成績(jī).

（1）如果原題中要加工的零件是一個(gè)矩形，且此矩形是由兩個(gè)并排放置的正方形所組成，如圖1,

此時(shí)，這個(gè)矩形零件的兩條邊長(zhǎng)又分別為多少mm?請(qǐng)你計(jì)算.

（2）如果原題中所要加工的零件只是一個(gè)矩形，如圖2,這樣，此矩形零件的兩條邊長(zhǎng)就不能確定,

但這個(gè)矩形面積有值，求達(dá)到這個(gè)值時(shí)矩形零件的兩條邊長(zhǎng).

14.（2014?上海）已知：如圖，梯形ABCD中，AD〃BC,AB=DC,對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)F,

點(diǎn)E是邊BC延伸線上一點(diǎn)，MZCDE=ZABD.

（1）求證：四邊形ACED是平行四邊形：

（2）連接AE,交BD于點(diǎn)G,求證：圣典.

GBDB

15.（2014?陜西）某，小明和小亮來(lái)到一河邊，想用遮陽(yáng)帽和皮尺測(cè)量這備河的大致寬度，兩人在

確保無(wú)隙患的情況下，先在河岸邊選擇了一點(diǎn)B（點(diǎn)B與河對(duì)岸岸邊上的一棵樹(shù)的底部點(diǎn)D所確定

的直線垂直于河岸）.

①小明在B點(diǎn)而向樹(shù)的方向站好，調(diào)整帽檐，使視野經(jīng)過(guò)帽檐正好落在樹(shù)的底部點(diǎn)D處，如圖所示,

這時(shí)小亮測(cè)得小明眼睛距地面的距離AB57米；

②小明站在原地轉(zhuǎn)動(dòng)180。后蹲下，并保持原來(lái)的觀察姿態(tài)（除身體重心下移外，其他姿態(tài)均不變），

這時(shí)視野經(jīng)過(guò)帽檐落在了DB延伸線上的點(diǎn)E處，此時(shí)小亮測(cè)得BE=9.6米，小明的眼睛距地面的距

離CBT.2米.

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16.(2014?黔南州)如圖，AB是。O的直徑，弦CD1AB于點(diǎn)G,點(diǎn)F是CD上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足落』,

連接AF并延伸交00于點(diǎn)E,連接AD、DE,若CF=2,AF=3.

(1)求證：AADF^AAED：

(2)求FG的長(zhǎng)：

(3)求證：tanNE=―-

4

17.(2014?寧夏)在RtZXABC中，NC=90。，P是BC邊上不同于B、C的一動(dòng)點(diǎn),過(guò)P作PQ1AB,

垂足為Q，連接AP.

(1)試闡明不論點(diǎn)P在BC邊上何處時(shí)，都有aPBQ與AABC類(lèi)似；

(2)若AC=3,BC=4,當(dāng)BP為何值時(shí)，4AQP面積，并求出值：

(3)在RtAABC中，兩條直角邊BC、AC滿(mǎn)足關(guān)系式BC4AC,能否存在一個(gè)入的值，使RtAAQP

既與RtZkACP全等，也與RtZ\BQP全等.

18.(2014?南通)如圖，點(diǎn)E是菱形ABCD對(duì)角線CA的延伸線上任意一點(diǎn)，以線段AE為邊作一

個(gè)菱形AEFG,旦菱形AEFGs菱形ABCD,連接EB,GD.

(1)求證：EB=GD；

(2)若NDAB=60。，AB=2,AG=A/5,求GD的長(zhǎng).

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19.(2014?梅州)如圖，在RtAABC中，ZB=90Q,AC=60,AB=30.D是AC上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)D作

DF_LBC于F,過(guò)F作FE〃AC,交AB于E.設(shè)CD=x,DF=y.

(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)當(dāng)四邊形AEFD為菱形時(shí)，求工的值；

(3)當(dāng)ADEF是直角三角形時(shí)，求K的值.

F

20.(2014?眉山)如圖,在Rt^ABC中，/C=90。,RtZsBAP中，ZBAP=90%己知NCBO=NABP,

BP交AC于點(diǎn)0,E為AC上一點(diǎn)，且AE=OC.

(1)求證：AP=AO：

(2)求證：PE1AO：

(3)當(dāng)AE=2AC,AB=10時(shí)，求線段BO的長(zhǎng)度.

8

21.(2014?瀘州)如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于。0,AB是00的直徑,AC和BD相交于點(diǎn)E,且

DC2=CE?CA.

(1)求證：BC=CD；

(2)分別延伸AB,DC交于點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)A作AF1CD交CD的延伸線于點(diǎn)F,若PB=OB,CD=2調(diào)

求DF的長(zhǎng).

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22.(2014?柳州)如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,AB邊上有一動(dòng)點(diǎn)P,連接PD,線段PD繞點(diǎn)

P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后，得到線段PE,且PE交BC于F,連接DF,過(guò)點(diǎn)E作EQ_LAB的延伸線于點(diǎn)

Q.

(1)求線段PQ的長(zhǎng)；

23.(2014?柳州)如圖，在△ABC中,NBAC的角平分線AD交BC于E,交AABC的外接圓如0

于D.

(1)求證；AABESAADC；

(2)請(qǐng)連接BD,OB,OC,OD,且OD交BC于點(diǎn)F,若點(diǎn)F恰好是OD的中點(diǎn).求證：四邊形

24.(2014?樂(lè)山)如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O.M為AD中點(diǎn)，連

接CM交BD于點(diǎn)N,且ON=1.

(1)求BD的長(zhǎng)：

(2)若ADCN的面積為2,求四邊形ABNM的面積.

25,(2014?福州)如圖1,點(diǎn)O在線段AB上，AO=2,OB=1,OC為射線，且NBOC=60。,動(dòng)點(diǎn)P

以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)。出發(fā)，沿射線OC做勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)工夫?yàn)閠秒.

(1)當(dāng)t=^時(shí)，則OP=,%ABP=;

(2)當(dāng)AABP是直角三角形時(shí)，求I的值：

(3)如圖2,當(dāng)APnAB時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作AQ〃BP,并使得/QOP=/B,求證：AQ,BP=3.

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26.(2014?防城港)如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)M是BC邊上的任一點(diǎn)，連接AM并將線段AM

繞M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段MN,在CD邊上取點(diǎn)P使CP=BM,連接NP,BP.

(1)求證：四邊形BMNP是平行四邊形；

(2)線段MN與CD交于點(diǎn)Q,連接AQ,若△MCQs^AMQ,則BM與MC存在怎樣的數(shù)量關(guān)

27.(2014?東營(yíng))【探求發(fā)現(xiàn)】如圖1,Z^ABC是等邊三角形，ZAEF=60SEF交等邊三角形外角

平分線CF所在的直線于點(diǎn)F,當(dāng)點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)時(shí)，有AE=EF成立：

【數(shù)學(xué)考慮】某數(shù)學(xué)興味小組在探求AE、EF的關(guān)系時(shí)，運(yùn)用“從到普通‘隹數(shù)學(xué)思想，經(jīng)過(guò)驗(yàn)證得

出如下結(jié)論：

當(dāng)點(diǎn)E是直線BC上(B,C除外)任意一點(diǎn)時(shí)(其它條件不變)，結(jié)論AE=EF仍然成立.

假如你是該興味小組中的一員，請(qǐng)你從“點(diǎn)E是線段BC上的任意一點(diǎn)”；“RE是線段BC延伸線上

的任意一點(diǎn)”：“點(diǎn)E是線段BC反向延伸線上的任意一點(diǎn)”三種情況中，任選一種情況，在備用圖1

中畫(huà)出圖形，并證明AE二EF.

【拓展運(yùn)用】當(dāng)點(diǎn)E在線段BC的延伸線.上時(shí)，若CE=BC,在備用圖2中面出圖形，并運(yùn)用上述結(jié)

論求出S.ABC；S.AEF的值.

圖1備用圖1備用圖2

28.(2014?大慶)如圖，等腰AABC中，AB=AC,ZBAC=36°,BC=1,點(diǎn)D在邊AC上且BD平

分/ABC,設(shè)CD=x.

(1)求證：AABC^ABCD；

(2)求x的值；

(3)求cos360?cos72。的值.

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29.(2014?郴州)在13x13的網(wǎng)格圖中，已知aABC和點(diǎn)M(1,2).

(1)以點(diǎn)M為位似，位似比為2,畫(huà)出AABC的位似圖形△A，B，C；

(2)寫(xiě)出△A，B，C的各頂點(diǎn)坐標(biāo).

J'八

x

30.(2014?巴中)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，ZXABC三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(-2,4),B

(-2,1),C(-5,2).

(1)請(qǐng)畫(huà)出^ABC關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的△AIBICI.

(2)將△AiBiCi的三個(gè)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)同時(shí)乘以-2,得到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A2,B2,C2,請(qǐng)畫(huà)出

△A282c2.

(3)求AAiBiCi與AA2B2c2的面積比，WSAABc；SAA(不寫(xiě)解答過(guò)

111222

程，宜接寫(xiě)出結(jié)果).

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31.（2013?益陽(yáng)）如圖,在AABC中,AB=AC,BD二CD,CE1AB于E.求證:AABD^ACBE.

32.（2013?銅仁市）為了測(cè)量旗桿AB的高度,甲同窗畫(huà)出了表示圖1,并把測(cè)量結(jié)果記錄如3

BA_LEA于A,DC1EA于C,CD=a,CA=b,CE=c：乙同窗畫(huà)出了表示圖2,并把測(cè)量結(jié)果記錄

如下，DE_LAE于E,BA1AETA,BA1CD于C,DE=m,AE=n,ZBDC=a.

（1）請(qǐng)你協(xié)助甲同窗計(jì)算旗桿AB的高度（用含a、b、c的式子表示）；

（2）請(qǐng)你協(xié)助乙同窗計(jì)算旗桿AB的高度（用含m、n、a的式子表示）.

圖1圖2

33.（2013?汕頭）如圖，矩形ABCD中，以對(duì)角線BD為一邊構(gòu)造一個(gè)矩形BDEF,使得另一邊EF

過(guò)原矩形的頂點(diǎn)C.

（1）設(shè)RtACBD的面積為Si,RtABFC的面積為S2,RtADCE的面積為S3,則SiS2+S3

（用“〉”、心”、“V”填空）：

（2）寫(xiě)出如圖中的三對(duì)類(lèi)似三角形，并選擇其中一對(duì)進(jìn)行證明，

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D

F

34,(2013?莆田)定義；如圖1,點(diǎn)C在線段AB上，若滿(mǎn)足AC2=BC?AB,則稱(chēng)點(diǎn)C為線段AB

的黃金分割點(diǎn)，

如圖2,如ABC中,AB=AC=2,NA=36。，BD平分/ABC交AC于點(diǎn)D.

(1)求證：點(diǎn)D是線段AC的黃金分割點(diǎn)：

(2)求出線段AD的長(zhǎng).

35.(2013?寧夏)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-1,2),

B(-3,4)C(-2,6)

(1)畫(huà)出AABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后得到的AAIBICI

(2)以原點(diǎn)0為位似，畫(huà)出將△AIBICI三條邊放大為原來(lái)的2倍后的AA2B2c2.

X

36.(2013?佛山)網(wǎng)格圖中每個(gè)方格都是邊長(zhǎng)為1的正方形.若A,B,C,D,E,F都是格點(diǎn),

試闡明AABCSADEF,

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（1）如果像高M(jìn)N是35mm,焦距是50mm,拍攝的景物高度AB是4.9m,拍攝點(diǎn)離景物有多遠(yuǎn)?

（2）如果要?dú)埲钡呐臄z高度是2m的景物，拍攝點(diǎn)離景物有4m,像高不變，則相機(jī)的焦距應(yīng)調(diào)整

為多少？

38.（2013?濱州）某高中學(xué)校為高一重生設(shè)計(jì)的先生板凳的正面視圖如圖所示，其中BA=CD,

BC=20cm,BC、EF平行于地方AD且到地面AD的距離分別為40cm、8cm.為使板髡兩腿底端A、

D之間的距離為50cm,那么橫梁EF應(yīng)為多長(zhǎng)？（材質(zhì)及其厚度等暫忽略不計(jì)）.

39.（2012?武漢）已知aABC中，AB/2強(qiáng)AC-475-BO6

（1）如圖1,點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，在線段AC上取點(diǎn)N,使AAMN與aABC類(lèi)似，求線段MN的

長(zhǎng)；

（2）如圖2,是由100個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的10x1。的正方形網(wǎng)格，設(shè)頂點(diǎn)在這些小正方形

頂點(diǎn)的三角形為格點(diǎn)三角形.

①請(qǐng)你在所給的網(wǎng)格中畫(huà)出格點(diǎn)△AIBICI與AABC全等（畫(huà)出一個(gè)即可，不需證明）

②試直接寫(xiě)出所給的網(wǎng)格中與△ABC類(lèi)似且面積的格點(diǎn)三角形的個(gè)數(shù)，并畫(huà)出其中一個(gè)（不需證明）.

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圖1圖2

40.(2012?上海)己知：如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD,NBAF=NDAE,

AE與BD交于點(diǎn)G.

(1)求證:BE=DF：

(2)當(dāng)嘰旭k，求證：四邊形BEFG是平行四邊形.

FCDF

41.(2012?陜西)如圖，正三角形ABC的邊長(zhǎng)為3十西

(1)如圖①，正方形EFPN的頂點(diǎn)E、F在邊AB上，頂點(diǎn)N在邊AC上，在正三角形ABC及其內(nèi)

部，以點(diǎn)A為位似，作正方形EFPN的位似正方形EFPNI且使正方形EFPN，的面積(不要求寫(xiě)

作法);

(2)求(1)中作出的正方形EFPN的邊長(zhǎng)；

(3)如圖②，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH,使得DE、EF在邊AB上，

點(diǎn)P、N分別在邊CB、CA上，求這兩個(gè)正方形面積和的值和最小值，并闡明理由.

圖①圖②

42(2012?南京)下框中是小明對(duì)一道標(biāo)題的解答以及老師的批改.

標(biāo)題；某村計(jì)劃把造如圖所示的矩形蔬菜溫室，要求長(zhǎng)與寬的比為2；1,在溫室內(nèi)，沿前

側(cè)內(nèi)墻保留3m的空地，其他三側(cè)內(nèi)墻各保留1m的通道，當(dāng)溫室的長(zhǎng)與寬各為多少時(shí)，矩

形蔬菜種植區(qū)域的面枳是2ggm2?

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D

解；設(shè)矩形蔬形種植區(qū)域的寬為xm,則長(zhǎng)為2xm,；

根據(jù)題意，得x?2x=288.

解這個(gè)方程,得xi=72(不合題意，舍去),X2=12

所以溫室的長(zhǎng)為2x12+3+1=28(m),寬為12+1+1=14(m)

答：當(dāng)溫室的長(zhǎng)為28m,寬為14m時(shí)，矩形蔬菜種植區(qū)域的面積是28畝村.

我的結(jié)果也正確！

小明發(fā)現(xiàn)他解答的結(jié)果是正確的，但是老師卻在他的解答中畫(huà)了一條橫線，并打了一個(gè)？.

結(jié)果為何正確呢？

(1)請(qǐng)指出小明解答中存在的成績(jī)，并補(bǔ)充缺少的過(guò)程：

變化一下會(huì)怎樣…

(2)如圖，矩形ABCD，在矩形ABCD的內(nèi)部，AB〃AB,AD〃AD\￡AD；AB=2；1,設(shè)AB

與BC與BC\CD與CTX、DA與D，A，之間的距離分別為a、b、c、d,要使矩形AB，CD's

前

側(cè)

空蔬菜種植區(qū)域

地

43.(2012?連云港)如圖，甲、乙兩人分別從A(1,代)、B(6,0)兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)。為坐

標(biāo)原點(diǎn)，甲沿AO方向、乙沿BO方句均以4km/h的速度行駛，th后，甲到達(dá)M點(diǎn)，乙到達(dá)N點(diǎn).

(1)請(qǐng)闡明甲、乙兩人到達(dá)O點(diǎn)前，MN與AB不可能平行：

(2)當(dāng)t為何值時(shí)，△OMNS/^OBA；

(3)甲、乙兩人之間的距離為MN的長(zhǎng)，設(shè)s=MN2,求s與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求甲、乙兩人

之間距離的最小值.

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中考真題精編匯總

44.（2012?錦州）如圖所示，圖中的小方格都是邊長(zhǎng)為1的正方形，AABC與是以點(diǎn)0為

位似的位似圖形，它們的頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)上.

（1）畫(huà)出位似點(diǎn)0：

（2）直接寫(xiě)出Z^ABC與△A，BC的位似比；

（3）以位似0為坐標(biāo)原點(diǎn)，以格線所在直線為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系，畫(huà)出△ABC關(guān)于點(diǎn)0

對(duì)稱(chēng)的△A"B"C",并直接寫(xiě)出△A"B"C"各頂點(diǎn)的坐標(biāo).

45.（2012?衡陽(yáng)）如圖,A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（8,0）、（0,6）,點(diǎn)P由點(diǎn)B出發(fā)沿BA方

向向點(diǎn)A作勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度為每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)Q由A出發(fā)沿AO（0為坐標(biāo)原點(diǎn)）方向

向點(diǎn)0作勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，連接PQ,若設(shè)運(yùn)動(dòng)工夫?yàn)閠（0Vt＜考）秒.解

答如下成績(jī)：

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，PQ〃RO?

（2）設(shè)AAQP的。積為S,

①求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的值：

②若我們規(guī)定：點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)分別為（xi，yi）,（X2,y2）,則新坐標(biāo)（乂2-xi，y2-yi）稱(chēng)為響

量PQ”的坐標(biāo).當(dāng)S取值時(shí)，求“向量PQ”的坐標(biāo).

46.（2012?薄澤）如圖，在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，^ABC和ADEF的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)

上，Pi,P2,P3,P4,P5是ADEF邊上的5個(gè)格點(diǎn)，請(qǐng)按要求完成下列各題：

（1）試證明三角形AABC為直角三角形：

（2）判斷AABC和ADEF能否類(lèi)似，并闡明理由；

（3）畫(huà)一個(gè)三角形，使它的三個(gè)頂點(diǎn)為Pi,P2,P3,P4,P5中的3個(gè)格點(diǎn)并且與AABC類(lèi)似（要

求：不寫(xiě)作法與證明）.

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中考真題精編匯總

47.(2012?河北)如圖，點(diǎn)E是線段BC的中點(diǎn)，分別以BC為直角頂點(diǎn)的4EAB和AEDC均是等

腰二角形，且在BC同側(cè).

(1)AE和ED的數(shù)量關(guān)系為；AE和ED的地位關(guān)系為；

(2)在圖1中，以點(diǎn)E為位似，作4EGF與ZkEAB位似，點(diǎn)H是BC所在直線上的一點(diǎn)，連接GH,

HD.分別得到圖2和圖3.

①在圖2中，點(diǎn)F在BE上，4EGF與ZXEAB的類(lèi)似比1：2,H是EC的中點(diǎn).求證：GH二HD,

GH1HD.

②在圖3中，點(diǎn)F在的BE延伸線上，4EGF與4EAB的類(lèi)似比是k：1,若BC=2,請(qǐng)直接寫(xiě)CH

的長(zhǎng)為多少時(shí)，恰好使GH=HD且GH_LHD(用含k的代數(shù)式表示).

48.(2012?桂林)如圖，△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(1,3)、B(4,2)、C(2,1).

(1)作出與AABC關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的△AiBiQ,并寫(xiě)出Ai、Bi、。的坐標(biāo)；

(2)以原點(diǎn)O為位似，在原點(diǎn)的另一側(cè)畫(huà)出AA2B2c2,使-土

A2B22

49.(2012?恩施州)如圖，用紙折出黃金分割點(diǎn)：裁一張正方的紙片ABCD,先折出BC的中點(diǎn)E,

再折出線段AE,然后經(jīng)過(guò)折疊使EB落到線段EA上，折出點(diǎn)B的新地位因此EB三EB.類(lèi)似

地，在AB上折出點(diǎn)B"使AB"=ABl這時(shí)B〃就是AB的黃金分割點(diǎn).請(qǐng)你證明這個(gè)結(jié)論.

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50.(2012?丹東)己知：AABC在坐標(biāo)平面內(nèi)，三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(0,3),B(3,4),

C(2,2).(正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)是1個(gè)單位長(zhǎng)度)

(1)畫(huà)出aABC向下平移4個(gè)單位得到的△AiBiCi,并直接寫(xiě)出Ci點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)以點(diǎn)B為位似，在網(wǎng)格中畫(huà)出△A2BC2，使△AzBC?與aABC位似，且位似比為2：I,并直

接寫(xiě)出C2點(diǎn)的坐標(biāo)及△A2BC2的面積.

51.(2012?常州)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知△ABC和ADEF的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(1,0)、

B(3,0)>C(2,1)、D(4,3)、E(6,5)、F(4,7).

按下列要求畫(huà)圖：以0為位似，將aABC向y軸左側(cè)按比例尺2:1放大得AABC的位似圖形AAIBICI，

并處理下列成績(jī)：

(1)頂點(diǎn)Ai的坐標(biāo)為,Bi的坐標(biāo)為，。的坐標(biāo)為；

(2)請(qǐng)你利用旋轉(zhuǎn)、平移兩種變換，便△AiBiC］經(jīng)過(guò)變換后得到AA2B2c2,且4A2B2c2恰與4DEF

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52.(2011?徐州)如圖①.在AABC中，AB=AC>BC=acm>ZB=30°.動(dòng)點(diǎn)P以lcm/s的速度從

點(diǎn)B出發(fā)，沿折線B-A-C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)中止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)P出發(fā)xs時(shí)，APBC的面積為ycm2.已

知y與x的函數(shù)圖象如圖②所示.請(qǐng)根據(jù)圖中信息，解答下列成績(jī)：

(1)試判斷aDOE的外形，并闡明理由；

(2)當(dāng)a為何值時(shí)，Z\DOE與aABC類(lèi)似？

53.(2011?泰安)已知：在梯形ABCD中，AD/7BC,ZABC=90°,BC=2AD,E是BC的中點(diǎn),

連接AE、AC.

(1)點(diǎn)F是DC上一點(diǎn)，連接EF,交AC于點(diǎn)0(如圖1),求證：△A0ES2\C0F：

(2)若點(diǎn)F是DC的中點(diǎn)，連接BD,交AE與點(diǎn)G(如圖2),求證；四邊形EFDG是菱形.

54.(2011?南平)如圖，ZkABC三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(1,2),B(3,1),C(2,3),以

原點(diǎn)0為位似，將aABC放大為原天的2倍得△APG.

(1)在圖中象限內(nèi)畫(huà)出符合要求的△ABC；(不要求寫(xiě)畫(huà)法)

55.(2011?南寧)如圖，方格紙中的每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的正方形，AABC的頂點(diǎn)

都在格點(diǎn)上，建立平面直角坐標(biāo)系，

(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)為,點(diǎn)C的坐標(biāo)為.

(2)將AABC向左平移7個(gè)單位，清畫(huà)出平移后的△AIBICI.若M為aABC內(nèi)的一點(diǎn)，其坐標(biāo)

為(a,b),則平移后點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)Mi的坐標(biāo)為.

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（3）以原點(diǎn)0為位似，將AABC減少，使變換后得到的AA2B2c2與AABC對(duì)應(yīng)邊的比為I：2.請(qǐng)

56.（2011?聊城）如圖，在矩形ABCD中,AB=12cm,BC=8cm.點(diǎn)E、F、G分別從點(diǎn)A、C

三點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿矩形的邊按逆時(shí)針?lè)较蚺矂?dòng).點(diǎn)E、G的速度均為2cm/s,點(diǎn)F的速度為4cm/s,

當(dāng)點(diǎn)F追上點(diǎn)G（即點(diǎn)F與點(diǎn)G垂合）時(shí)，三個(gè)點(diǎn)隨之中止挪動(dòng).設(shè)挪動(dòng)開(kāi)始后第1秒時(shí)，4EFG

的面積為S（cm2）

（1）當(dāng)t=l秒時(shí)，S的值是多少？

（2）寫(xiě)出S和t之間的函數(shù)解析式，并指出自變量I的取值范圍；

（3）若點(diǎn)F在矩形的邊BC上挪動(dòng)，當(dāng)t為何值時(shí)，以點(diǎn)E、B、F為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)F、C、G

為頂點(diǎn)的三角形類(lèi)似？清闡明理由.

57.（2011?來(lái)賓）如圖，在ZiABC中,ZABC=80%ZBAC=40°,AB的垂直平分線分別與AC、

AB交于點(diǎn)D、E.

（O用圓規(guī)和直尺在圖中作出AB的垂直平分線DE,并連接BD；

（2）證明：AABCSABDC.

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58.（2011?河北）如圖,在6x8網(wǎng)格圖中,每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)均為1,點(diǎn)0和aABC的頂點(diǎn)均為小

正方形的頂點(diǎn).

（1）以O(shè)為位似，在圖中作△A，BC,使△AB，C和aABC位似，且位似比為1：2；

（2）連接（1）中的AAI求四邊形AACC的周長(zhǎng).（結(jié)果保留根號(hào)）

59.（2011?常德）如圖，己知四邊形ABCD是平行四邊形.

（1）求證；AMEFs^MBA；

（2）若AF、BE分別是/DAB,/CBA的平分線，求證：DF=EC.

60.（2011?安徽）如圖，在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中，按要求畫(huà)出△AIBIG

和AA262c2；

（1）把AABC先向右平移4個(gè)單位：再向上平移1個(gè)單位，得到△AiBiCi；

（2）以圖中的O為位似，將△AiBiCi作位似變換且放大到原來(lái)的兩倍，得到aAzB2c2，

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中考數(shù)學(xué)提分沖刺真題精析，類(lèi)似三角形

參考答案與試題解析

一、解答題(共65小題)

1.(2014?淄博)如圖，四邊形ABCD中，AC_LBD交BD于點(diǎn)E,點(diǎn)F,M分別是AB,BC的中

點(diǎn)，BN平分/ABE交AM于點(diǎn)N,AB=AC=BD.連接MF,NF.

(1)判斷ARMN的外形，并證明你的結(jié)論；

(2)判斷△MFN與aBDC之間的關(guān)系，并闡明理由.

考點(diǎn)；類(lèi)似三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形；三角形中位線定理.

專(zhuān)題：幾何綜合題：壓軸題.

分析：(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得AM是高線、頂角的角平分線，艱據(jù)直角三角形的性

質(zhì)，可得/EAB+/EBA=90。，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，可得答案；

(2)根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)，可得MF與AC的關(guān)系，根據(jù)等量代換，可得MF與BD

的關(guān)系，根據(jù)等腰直角三角形，可得BM與NM的關(guān)系，根據(jù)等量代換，可得NM與BC

的關(guān)系，根據(jù)同角的余角相等，可得NCBD與NNMF的關(guān)系，根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A

角相等的兩個(gè)三角形類(lèi)似，可得答案.

解答；《1)答：△BMN是等腰直角三角形，

證明：；AB=AC,點(diǎn)M是BC的中點(diǎn),

AAM1BC,AM平分NBAC.

：BN平分/ABE,

ZEBN=ZABN.

VAC1BD,

ZAEB=90°,

.,.ZEAB+ZEBA=90°,

AZM=ZNAB+ZABN=-i(ZBAE+ZABE)=45。.

2

/.△BMN是等腰直角三角形；

(2)答：ZXMFNSABDC.

證明：??,點(diǎn)F,M分別是AB,BC的中點(diǎn)，

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，F(xiàn)M〃AC,FM=-=AC.

2

VAC=BD,

???△BMN是等腰直角三角形，

???NM=BM」BC,即典」

2BC2

.FM_NM

,?麗施.

VAM1BC,

.\ZNMF+ZFMB=90°.

?.'FM〃AC,

AZACB=ZFMB.

VZCEB=90%

:.ZACB+ZCBD=90°.

AZCBD+ZFMB=90o,

AZNMF=ZCBD.

/.△MFN^ABDC.

點(diǎn)評(píng)：本題考看了類(lèi)似三角形的判定與性質(zhì),利用了銳角是45。的直角三角形是等腰直角三角形,

兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形類(lèi)似.

2.(2014?岳陽(yáng))如圖，矩形ABCD為臺(tái)球桌面,AD=260cm,AB=130cm.球目前在E點(diǎn)地位,

AE=60cm.如果小丁瞄準(zhǔn)BC邊上的點(diǎn)F將球打過(guò)去，反彈后，球剛好彈到D點(diǎn)地位.

(1)求證：ABEF^ACDF：

(2)求CF的長(zhǎng).

考點(diǎn)：類(lèi)似三角形的運(yùn)用.

專(zhuān)題：幾何綜合題.

分析；(1)利用“兩角法''證得這兩個(gè)三角形類(lèi)似；

(2)由(1)中類(lèi)似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例來(lái)求線段CF的長(zhǎng)度.

解答：(1)證明：如圖，在矩形ABCD中：/DFO/EFB,/EBF=NFCD=90。,

AABEF^ACDF；

(2)解：:?由(1)知,ABEF^ACDF.

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.BE_BFFin70-260-CF

CDCF130CF

解得：CF=169.

即：CF的長(zhǎng)度是169cm.

點(diǎn)評(píng)：本題考查了類(lèi)似三角形的運(yùn)用.此題利用了“類(lèi)似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例”推知所求線段

CF與已知線段間的數(shù)量關(guān)系的.

3.(2014?永州)如圖，D是aABC的邊AC上的一點(diǎn)，連接BD,已知/ABD=/C,AB=6,AD=4,

求線段CD的長(zhǎng).

考點(diǎn)：類(lèi)似三角形的判定與性質(zhì).

專(zhuān)題：計(jì)算題.

分析：由已知角相等，加上公共角，得到三角形ABD與三角形ACB類(lèi)似，由類(lèi)似得比例，將

AB與AD長(zhǎng)代入即可求出CD的長(zhǎng).

解答：解：在AABD和AACB中，ZABD=ZC,ZA=ZA,

AAABD^AACB,

?ABAD

,?而屈'

VAB=6,AD=4,

則CD=AC-AD=9-4=5.

點(diǎn)評(píng)：此題考查了類(lèi)似三角形的判定與性質(zhì)，純熟掌握類(lèi)似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)

鍵.

4.(2014?營(yíng)口)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，^ABC的三:個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(-2,1),B(-

1,4),C(-3,2).

(1)畫(huà)出aABC關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的圖形△AIBICI,并直接寫(xiě)出C］點(diǎn)坐標(biāo)：

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(2)以原點(diǎn)0為位似，位似比為1：2,在y軸的左側(cè)，畫(huà)出AABC放大后的圖形AA2B2c2,并直

接寫(xiě)出C2點(diǎn)坐標(biāo)：

(3)如果點(diǎn)D(a,b)在線段AB上，請(qǐng)直接寫(xiě)出(2)的變化后點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D2的坐標(biāo).

考點(diǎn)：作圖-位似變換：作圖-軸對(duì)稱(chēng)變換.

專(zhuān)題：作圖題.

分析；(1)利用關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的性質(zhì)得出各對(duì)應(yīng)點(diǎn)地位，進(jìn)而得出答案;

(2)利用位似變換的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)地位，進(jìn)而得出答案；

(3)利用位似圖形的性質(zhì)得出D點(diǎn)坐標(biāo)變化規(guī)律即可.

解答：解.：(I)如圖所示：△AiBiG,即為所求，

C1點(diǎn)坐標(biāo)為;(3,2)；

(2)如圖所示：AA2B2C2,即為所求,

C2點(diǎn)坐標(biāo)為：(-6,4)；

(3)如果點(diǎn)D(a,b)在線段AB上，(2)的變化后D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D2的坐標(biāo)為；(2a,

2b).

點(diǎn)評(píng)：此題次要考查了軸對(duì)稱(chēng)變換以及位似變換以及位似圖形的性質(zhì)，利用，’立似圖形的性質(zhì)得出

對(duì)應(yīng)點(diǎn)變化規(guī)律是解題關(guān)鍵，

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中考真題精編匯總

5.(2014?義烏市)等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為6,在AC,BC邊上各取一點(diǎn)E,F,連接AF,BE

相交于點(diǎn)P.

(1)若AE=CF；

①求證；AF=BE,并求/APB的度數(shù)；

②若AE=2,試求AP?AF的值：

(2)若AF=BE,當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，試求點(diǎn)P的路徑長(zhǎng).

考點(diǎn)：類(lèi)似二角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì).

專(zhuān)題：證明題；壓軸題；動(dòng)點(diǎn)型.

分析：(1)①證明△ABEgACAF,借用外角即可以得到答案；②利用勾段定理求得AF的長(zhǎng)

度，再用平行線分線段成比例定理或者三角形類(lèi)似定理求得等J比值，即可以得到答窠.

(2)當(dāng)點(diǎn)F靠近點(diǎn)C的時(shí)分點(diǎn)P的路徑是一段弧，由標(biāo)題不難看出當(dāng)E為AC的中點(diǎn)的

時(shí)分，點(diǎn)P弧AB的中點(diǎn)，此時(shí)AABP為等腰三角形，繼而求得半徑和對(duì)應(yīng)的圓心角的

度數(shù)，求得答案.點(diǎn)F靠近點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)P的路徑就是過(guò)點(diǎn)B向AC做的垂線段的長(zhǎng)度；

解答：(1)①證明：?二△ABC為等邊三角形，

.'.AB=AC,ZC=ZCAB=60°,

XVAE=CF,

在4ABE和4CAF中，

定二AC

?NBAE:NACF，

AE二CF

/.△ABE^ACAF(SAS),

；?AF=BE,ZABE=ZCAF.

又：ZAPE=ZBPF=ZABP+ZBAP,

:.ZAPE=ZBAP+ZCAF=60°.

:.ZAPB=1800-ZAPE=120°.

②；/C=/APE=60。，ZPAE=ZCAF,AAAPE^AACF,

即期二，所以AP?AF=12

ACAF6AF

(2)若AF=BE,有AE=BF或AE=CF兩種情況.

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中考真題精編匯總

①當(dāng)AE=CF時(shí)，點(diǎn)P的路徑是一段弧，由標(biāo)題不難看出當(dāng)E為AC的中點(diǎn)的時(shí)分，點(diǎn)P

弧AB的中點(diǎn)，此時(shí)4ABP為等腰三角形，且/ABP=/BAP=30。，

AZAOB=120%

又；AB=6,

AOA=2Vi

點(diǎn)P的路徑是J兀420兀?2e泰兀

1801803

②當(dāng)AE=BF時(shí)，點(diǎn)P的路徑就是過(guò)點(diǎn)C向AB作的垂線段的長(zhǎng)度：由于等邊三角形ABC

的邊長(zhǎng)為6,所以點(diǎn)P的路徑為：762-32=3V3-

所以，點(diǎn)P的路徑長(zhǎng)為華?；?

0

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等邊三角形性質(zhì)的綜合運(yùn)用以及類(lèi)似三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答本題的

關(guān)健是留意轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用.

6.(2014?揚(yáng)州)已知矩形ABCD的一條邊AD=8,將矩形ABCD折疊，使得頂點(diǎn)B落在CD邊上

的P點(diǎn)處.

(1)如圖1,已知折痕與邊BC交于點(diǎn)0,連結(jié)AP、OP、OA.

①求證：△OCPs^PDA：

②若aocp與aPDA的面積比為1：4,求邊AB的長(zhǎng)；

(2)若圖1中的點(diǎn)P恰好是CD邊的中點(diǎn)，求/OAB的度數(shù)；

(3)如圖2,在(1)的條件下，擦去折痕AO、線段OP,連結(jié)BP.動(dòng)點(diǎn)M在線段AP上(點(diǎn)

M與點(diǎn)P、A不重合)，動(dòng)點(diǎn)N在線段AB的延伸線上，且BN=PM,連結(jié)MN交PB于點(diǎn)F,作

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中考真題精編匯總

ME_LBP于點(diǎn)E.試問(wèn)當(dāng)點(diǎn)M、N在挪動(dòng)過(guò)程中，線段EF的長(zhǎng)度能否發(fā)生變化？若變化，闡明理由:

若不變，求出線段EF的長(zhǎng)度.

考點(diǎn)；類(lèi)似形綜合題；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；矩形的

性質(zhì)：角的三角函數(shù)值，

專(zhuān)題：綜合題；壓軸題；動(dòng)點(diǎn)型；探求型.

分析：(1)只需證明兩對(duì)對(duì)應(yīng)角分別相等即可證到兩個(gè)三角形類(lèi)似，然后根據(jù)類(lèi)似三角形的性

質(zhì)求出PC長(zhǎng)以及AP與0P的關(guān)系，然后在RtaPCO中運(yùn)用勾股定理求出0P長(zhǎng)，從而

求出AB氏.

(2)由DP=」DC=」AB」AP及ND=90。，利用三角函數(shù)即可求出NDAP的度數(shù)，進(jìn)而

222

求出/OAB的度數(shù).

(3)由邊相等常常聯(lián)想到全等，但BN與PM所在的三角形并不全等，且這兩條線段的

地位很不協(xié)調(diào)，可經(jīng)過(guò)作平行線構(gòu)造全等，然后運(yùn)用三角形全等及等腰三角形的性質(zhì)即可

推出EF是PB的一半，只需求出PB長(zhǎng)就可以求出EF長(zhǎng).

解答：解：(1)如圖1,

①‘?'四邊形ABCD是矩形，.'.AD=BC,DC=AB，NDAB=NB=NC=ND=900.

由折疊可得；AP=AB，PO=BO，ZPAO=ZBAO,ZAPO=ZB.

:.ZAPO=90°.

:.ZAPD=900-ZCPO=ZPOC.

VZD=ZC,/APD=/POC.

?'?△OCPsZsPDA.

②;△OCP與4PDA的面積比為1：4,

.OCOLCLri

.'.PD=2OC,PA=2OP,DA=2CP.

VAD=8,；,CP=4,BC=8,

設(shè)OP=x,則OB=x,CO=8-x.

在RtAPCO中，

VZC=90°,CP=4,OP=x,CO=8-x,

.*.x2=(8-x)2+42.

解得；x=5.

.\AB=AP=2OP=10.

???邊AB的長(zhǎng)為10.

(2)如圖1,

：P是CD邊的中點(diǎn)，

ADP-DC.

2

VDC=AB,AB=AP,

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，DP」AP.

2

VZD=90%

np1

AsinZDAP=-

AP2

AZDAP=30°.

VZDAB=90°,ZPAO=ZBAO,ZDAP=30%

:.ZOAB=30°.

???NOAB的度數(shù)為30。,

圖1

《3》作MQ〃AN,交PB于點(diǎn)Q,如圖2.

；AP=AB,MQ〃AN,

AZAPB=ZABP,ZABP=ZMQP.

AZAPB=ZMQP.

?'.MP=MQ.

VMP=MQ,ME1PQ,

；?PE=EQ=』Q.

VBN=PM,MP=MQ,

ABN=QM.

VMQ/7AN,

；?/QMF=/BNF.

在aMFQ和aNFB中，

'NQMF二NBNF

<NQFM=NBFN.

QM=BN

AAMFQ^ANFB.

；?QF=