四川省甘孜藏族自治州瀘定中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題含答案

2024年高二（上）半期數(shù)學(xué)試卷考試時間：120分鐘總分：150分一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一個選項(xiàng)是符合題目要求的）.1.甲、乙兩人獨(dú)立地破譯一份密碼，設(shè)事件“甲成功破譯”，事件“乙成功破譯”，則表示“密碼被成功破譯”的事件為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】“密碼被成功破譯”是指甲、乙兩人至少有一個成功破譯密碼，根據(jù)這個依據(jù)即可求解.“密碼被成功破譯”是指甲、乙兩人至少有一個成功破譯密碼,而事件指的就是至少有一人破譯密碼.故選：A.2.已知直線l經(jīng)過點(diǎn)，則直線l的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由直線過的兩點(diǎn)的坐標(biāo)，可得直線的斜率，進(jìn)而求出直線的傾斜角的大小.直線l經(jīng)過點(diǎn)，所以直線的斜率為，設(shè)直線的傾斜角為，即，所以.故選：B.3.已知橢圓上有一點(diǎn)P到右焦點(diǎn)的距離為4，則點(diǎn)P到左焦點(diǎn)的距離為（）A.6 B.3 C.4 D.2【答案】D【解析】【分析】根據(jù)橢圓的定義即可求出.由橢圓，得，即，設(shè)左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，則，因?yàn)?，所以，即點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離為2.故選:D.4.已知向量，，若，則（）A. B. C. D.7【答案】A【解析】【分析】根據(jù)，設(shè)，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，求得，從而得到答案.由，設(shè)，則，解得：，，，所以，故選：A.5.已知圓與圓為同心圓，且圓的半徑為圓半徑的2倍，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程確定圓的圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而利用圓的一般方程得到關(guān)于的方程組，從而得解.由題可知圓的圓心為，半徑為2，又圓與圓為同心圓，半徑為4，所以，解得.故選：A.6.兩個圓和的公切線有（）條A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】利用幾何法判斷出兩圓的位置關(guān)系，即可得出兩圓的公切線條數(shù).圓可化為，圓的圓心為，半徑，圓可化為，圓的圓心為，半徑，，又，，，圓與內(nèi)切，即公切線有1條.故選：A.7.橢圓的上頂點(diǎn)為A，點(diǎn)均在C上，且關(guān)于x軸對稱．若直線AP，AQ的斜率之積為，則C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)直線AP，AQ的斜率之積列方程，求得，進(jìn)而求得橢圓的離心率.，設(shè)Px1,y1，則，則，故，又，則，所以，即，所以橢圓C的離心率為．故選：C8.已知動點(diǎn)與兩個定點(diǎn)的距離之比為2，那么直線的斜率的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，求出點(diǎn)的軌跡方程，數(shù)形結(jié)合求得直線的斜率范圍.設(shè)動點(diǎn)Mx,y，則，化簡得，所以點(diǎn)的軌跡為圓，如圖，過點(diǎn)作圓切線，連接，則，，所以，同理，則直線的斜率范圍為.故選：C.二、多選選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知直線l的一個方向向量為，且經(jīng)過點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（）A.與直線垂直B.的傾斜角等于C.在y軸上的截距為D.圓上存在兩個點(diǎn)到直線的距離等于【答案】AD【解析】【分析】由直線的方向向量可求得直線的斜率，從而可求出直線的傾斜角和直線方程，進(jìn)而可判斷A，B，C，利用圓心到直線的距離確定直線與圓的位置關(guān)系，再找到圓周上的點(diǎn)到直線的最近距離，即可判斷D.因?yàn)橹本€的一個方向向量，所以直線的斜率，又直線經(jīng)過點(diǎn)，代入點(diǎn)斜式方程可得，，即直線的方程為：.對于A，將直線化為斜截式方程可得，，斜率為，又直線的斜率，因，所以直線與直線垂直，故A正確；對于B，由直線的斜率為，設(shè)直線的傾斜角為，，則，所以，故B不正確；對于C，令，代入直線的方程，得，即直線在軸上的截距等于，故C不正確；對于D，圓的圓心到直線的距離，因此直線與圓相離，又圓上點(diǎn)到直線的最近距離為，因此可得圓上存在兩個點(diǎn)到直線的距離等于，故D正確；故選：AD.10.在棱長為2的正方體中，分別為的中點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.B.直線與所成角的余弦值為C.三棱錐的體積為D.存實(shí)數(shù)使得【答案】BD【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求出，對于A，計(jì)算的值即可判斷；對于B，計(jì)算的值即可判斷；對于C，先計(jì)算得，接著計(jì)算，再由和平面且結(jié)合錐體體積公式即可計(jì)算求解；對于D，由計(jì)算求出即可得解.由題可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，對于A，，故與不垂直，故A錯誤；對于B，，所以直線與所成角的余弦值為，故B正確；對于C，由上，所以，所以即，又，所以，因?yàn)?，又由正方體性質(zhì)可知平面即平面，所以，故C錯誤；對于D，若存在實(shí)數(shù)使得，則，所以，所以，故D正確.故選：BD.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：建立坐標(biāo)系解決立體幾何中的問題是一種常用方法，它的思維量小，計(jì)算量雖多但是計(jì)算簡單，解法直接自然和簡單，本題根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征建立了空間直角坐標(biāo)系，接著計(jì)算所需向量坐標(biāo)，從而根據(jù)各個問題的向量法理論公式直接計(jì)算即可判斷求解.11.已知圓與直線，下列選項(xiàng)正確的是（）A.直線與圓不一定相交B.當(dāng)時，圓上至少有兩個不同的點(diǎn)到直線的距離為1C.當(dāng)時，圓關(guān)于直線對稱的圓的方程是D.當(dāng)時，若直線與軸，軸分別交于，兩點(diǎn)，為圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)最小時，【答案】AD【解析】【分析】A：根據(jù)直線所過的定點(diǎn)進(jìn)行分析；B：先分析圓心到直線的距離滿足的條件，然后求解出的范圍；C：設(shè)出對稱圓的方程，根據(jù)圓心連線的中點(diǎn)在已知直線上、圓心連線與已知直線垂直列出方程組，由此求解出對稱圓的方程；D：結(jié)合圖示，分析得到與圓相切時最小，然后利用勾股定理求解出結(jié)果.對于A，直線過定點(diǎn)，又因?yàn)椋渣c(diǎn)在圓外，所以直線與圓不一定相交，故A正確；對于B，要使圓上有至少兩個點(diǎn)到直線的距離為，則圓心到直線的距離要小于，所以有，解得，故B錯誤；對于C，當(dāng)時，直線，設(shè)圓關(guān)于直線對稱的圓的方程是，根據(jù)題意有，解得，，所以對稱圓的方程為，故C錯誤；對于D，當(dāng)時，直線，則點(diǎn)，，且圓心，半徑，當(dāng)與圓相切時最小，此時，故D正確；故選：AD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.原點(diǎn)到直線的距離為_____________.【答案】【解析】【分析】由點(diǎn)到直線的距離公式求解即可.點(diǎn)到直線的距離為：.故答案為：13.已知向量，，且，則實(shí)數(shù)m＝______．【答案】##【解析】【分析】由已知可得，代入坐標(biāo)即可求出實(shí)數(shù)m的值.因?yàn)?，，所以，，因?yàn)?，所以，解得．故答案為?4.如圖，設(shè)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是以為直徑的圓與橢圓在第一象限內(nèi)的一個交點(diǎn)，延長與橢圓交于點(diǎn)，若，則直線的斜率為______.【答案】##0.5【解析】【分析】連接，，利用圓的性質(zhì)、橢圓的定義，結(jié)合勾股定理列式求解即得.連接，，由點(diǎn)在以為直徑的圓上，故.又，在橢圓上，故有，.設(shè)，則，，，.中，由勾股定理得，解得，于是PF2=2a3，故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知的頂點(diǎn)為，，．（1）求邊所在的直線的方程；（2）求邊的高線所在的直線的方程；（3）求的面積．【答案】（1）（2）（3）10【解析】【分析】（1）直接由點(diǎn)坐標(biāo)得到兩點(diǎn)式方程，化簡即可；（2），則邊上高線的斜率為，直接寫出點(diǎn)斜式方程，化簡即可；（3）首先求出到直線的距離，再求出的長，則可計(jì)算出三角形面積.【小問1】直線的兩點(diǎn)式方程為，化簡得，故邊所在的直線方程為.【小問2】由（1）知，故邊上高線的斜率為，故其所在直線方程為，化簡得【小問3】邊所在的直線方程為，故到直線的距離,故16.在平行四邊形中，，，，將沿折起，使得平面平面，如圖．（1）求證：；（2）若為中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理可得出平面，再利用線面垂直的性質(zhì)可證得結(jié)論成立；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得直線與平面所成角的正弦值．【小問1】因?yàn)槠矫?，平面平面，平面，，所以平?又平面，所以．【小問2】由（1）知，平面，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，依題意，、C1,1,0、D0,1,0、、，則，，，設(shè)平面的法向量．則．取，則，所以為平面的一個法向量．設(shè)直線與平面所成角為，則，即直線與平面所成角的正弦值為．17.已知橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在C上.（1）求C的離心率；（2）設(shè)恒過點(diǎn)D的直線交C于A，B兩點(diǎn)，且D為AB的中點(diǎn)，求直線AB的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意得到關(guān)于的方程組，從而得到橢圓方程，進(jìn)而求得其離心率；（2）設(shè)Ax1,y1，Bx2,【小問1】由題意得，解得，，所以橢圓C的方程為，故C的離心率；【小問2】設(shè)Ax1,聯(lián)立，消去y得，故，由直線化為，恒過，故，即，所以，解得，此時二次方程為，滿足題意，故所求直線的方程為18.從某學(xué)校的800名男生中隨機(jī)抽取50名測量身高，被測學(xué)生身高全部介于155cm和195cm之間，將測量結(jié)果按如下方式分成八組：第一組，第二組，，第八組，下圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分，已知第一組與第八組人數(shù)相同，第六組的人數(shù)為4人．（1）求第七組的頻率；（2）該校選拔籃球隊(duì)需要身高前15%的男生，請根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)需要的最低身高（精確到0.1）；（3）若從身高屬于第六組和第八組的所有男生中隨機(jī)抽取兩名男生，記他們的身高分別為x，y，事件，求．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）由頻率分布直方圖的性質(zhì)求第七組的頻率；（2）估算出身高在第八組、第七組及第六組的頻率為，可知該校選拔籃球隊(duì)需要身高前的男生在第六組，根據(jù)頻率所占百分比可得答案；（3）確定樣本空間，利用古典概型概率公式求概率.【小問1】第六組的頻率為，∴第七組的頻率為；【小問2】由直方圖得，身高在第八組的頻率為，身高在第七組的頻率為，身高在第六組的頻率為，因?yàn)椋?，該校選拔籃球隊(duì)需要身高前的男生最低身高約為；【小問3】第六組的人數(shù)為4，設(shè)為a，b，c，d，第八組的人數(shù)為，設(shè)為A，B，則從中隨機(jī)抽取兩名男生有ab，ac，ad，bc，bd，cd，aA，aB，bA，bB，cA，cB，dA，dB，AB共15種情況，因事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)隨機(jī)抽取的兩名男生在同一組，所以事件E包含的基本事件為ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB共7種情況．所以．19.已知在平面直角坐標(biāo)系中，動點(diǎn)到和的距離和為4，設(shè)點(diǎn).（1）求動點(diǎn)的軌跡方程；（2）為線段的中點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡方程；（3）過原點(diǎn)的直線交的軌跡于，兩點(diǎn)，求面積的最大值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由橢圓定義可知，點(diǎn)的軌跡是以和為焦點(diǎn)，長半軸長為的橢圓，由此能求出動點(diǎn)的軌跡方程；（2）設(shè)，Px0,y0，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式及“代點(diǎn)法（3）對直線的斜率分不存在、為、存在且不為三種情況討論，當(dāng)直線的斜率存在（不為）時，把直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，解得點(diǎn)，的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式即可得出，再利用點(diǎn)到直線的距離公式即可得出點(diǎn)到直線的距離，利用三角形的面積計(jì)算公式即可得出．【小問1】因?yàn)?，由橢圓定義可知，點(diǎn)的軌跡是以和為焦點(diǎn)，長半軸長為的橢圓，設(shè)橢圓方程為，