《經濟數學基礎》課件第1章

第1章函數與極限1.1函數1.2常見的經濟函數1.3極限的概念1.4極限的運算1.5函數的連續(xù)性

1.1函數

1.1.1函數的概念

1.常量與變量

在日常生活中，經常會遇到不同的量，如收入、成本、產量、身高、路程、某一班級的學生人數等，這些量可以分為兩類:一類是在考察的過程中不發(fā)生任何變化，只取一個固定的值，我們把這類量稱為常量，如圓周率π是個永遠不變的量，某一階段某個班級的學生人數也是一個常量；另一類是在考察的過程中不斷地發(fā)生變化，取不同的數值，我們把這類量稱為變量，如汽車行駛過程中的路程、一天中的氣溫等都是不斷變化的，這些都是變量.

2.函數的定義

引例1

設圓的半徑為r，面積為S，于是面積S與半徑r之間的關系為

S=πr2，r>0

引例2

某企業(yè)生產某一產品的固定成本為5000元，每生產一件產品成本增加20元，于是生產該產品的總成本C與產量q間的關系可以表示為

C=20q+5000

以上兩例都給出了兩個變量在某一變化過程中的對應關系，當一個變量取一定值時，另一個變量有唯一確定的值與之對應.在數學上，我們將這種變量間的對應關系稱為函數關系.定義1.1

設x和y是兩個變量，D是一個給定的非空數集，如果對于D中的每一個x，變量y按照某一法則f，總有唯一確定的值和它對應，則稱變量y是變量x的函數，記作

y=f(x)，x∈D

其中:x稱為自變量;y稱為因變量;非空數集D稱為函數的定義域.

對于定義域D中的某一確定值x0，按照對應法則f，總有唯一確定的值y0與之對應，這個y0稱為函數y=f(x)在x0處的函數值，記作f(x0)或

.

函數值的全體所構成的集合稱為函數的值域，記作M，即

M={y|y=f(x)，x∈D}

例1

函數y=x+1與是否為相同函數？

解函數y=x+1的定義域為(－∞，+∞)，而函數雖然可以整理為y=x+1，但是其在x=1時無意義，故定義域為(－∞，1)∪(1，+∞)，因此它們不是相同函數.

例2

設f(x+1)=x2－3x，求f(x).

解令x+1=t，則x=t－1，于是

f(t)=(t－1)2－3(t－1)=t2－5t+4

所以

f(x)=x2－5x+4

在高等數學中經常用區(qū)間來表示函數的定義域和值域，現介紹一種特殊的區(qū)間——鄰域.

把開區(qū)間(x0－δ，x0+δ)(δ>0)稱為以點x0為中心、δ為半徑的鄰域，記作N(x0，δ)，如圖1-1所示.圖1-1把開區(qū)間(x0－δ，x0)∪(x0，x0+δ)(δ>0)稱為以點x0為中心、δ為半徑的去心鄰域，記作，如圖1-2所示.圖1-2例3

求下列函數的定義域:

(1)；

(2)f(x)=arccos(2x－1)；

(3)

解

(1)這是兩個函數之和的定義域，先分別求出每個函數的定義域，然后再求其公共部分即可.

要使函數有意義，必須滿足x2－x－2≥0，解得x≤－1或x≥2，即定義域為(－∞，－1］∪［2，+∞).

要使函數有意義，必須滿足x+2>0，解得x>－2，即定義域為(－2，+∞).

于是，所求函數的定義域為(－2，－1］∪［2，+∞).

(2)要使arccos(2x－1)有意義，必須滿足－1≤2x－1≤1，解得0≤x≤1，即函數的定義域為[0，1)].

(3)要使函數ln(x+2)/x+1有意義，必須滿足，解得－2<x<－1和－1<x<+∞，即函數的定義域為(－2，－1)∪(－1，+∞).

注在實際應用問題中，除了要根據函數解析式本身來確定自變量的取值范圍外，還應考慮變量的實際意義.一般來講，經濟變量往往都大于零.

3.函數的表示方法

常用函數的表示方法通常有以下三種：

(1)解析法:把自變量x與因變量y的函數關系由數學表達式給出，便于理論研究.

微積分中的絕大部分函數都是用這種方法表示的，如y=x2－x+2.

(2)圖像法:把函數關系用平面上的點集反映出來，一般情況下，它是一條平面曲線.如圖1-3所示的是氣象站的自動溫度記錄儀所記錄的某地當天的氣溫變化曲線，該曲線將氣溫T與時間x的函數關系清晰直觀地表示出來，如x=12時，T=10℃.圖1-3

(3)表格法:把變量間的函數關系通過表格形式反映出來.如表1-1給出了2014年3月開始執(zhí)行的中國銀行的人民幣定期儲蓄存期與年利率的函數關系.

表1-1

4.分段函數

某城市電話局規(guī)定的市話收費標準如下：當月所打電話次數不超過30次時，只收月租費10元，超過30次時，每次加收0.20元，則電話費y和用戶當月所打電話次數x的關系可表示如下：像這種在自變量的不同取值范圍內，函數關系用不同的式子來表示的函數，通常稱為分段函數.分段函數是微積分中常見的一種函數.例如，符號函數(如圖1-4所示)可以表示成

注

(1)分段函數是用幾個不同解析式表示一個函數，而不是表示幾個函數.

(2)分段函數的定義域是各段自變量取值集合的并集.圖1-4例4

設函數求f(－π)、f(1)、f(5)及函數的定義域.解因為－π∈[－4，1)，所以f(－π)=cos(－π)=－1.因為1∈[1，3)，所以f(1)=2.因為5∈[3，+∞)，所以f(5)=5×5－1=24.函數的定義域為[－4，+∞).1.1.2函數的幾種特性

1.函數的有界性

定義1.2

設函數y=f(x)在區(qū)間(a，b)內有定義，如果存在一個正數M，使得對于任意x∈(a，b)，恒有|f(x)|≤M，則稱函數f(x)在(a，b)內有界;否則，稱f(x)在(a，b)內無界.

這個性質表明函數在(a，b)內的值域包含在有限區(qū)間

[－M，M]內，幾何上表現為，函數圖像位于直線y=－M和y=M之間的區(qū)域內.如圖1-5所示的函數y在區(qū)間(a，b)內有界.圖1-5

2.函數的單調性

定義1.3

設函數y=f(x)在區(qū)間I上有定義，如果對于I上任意兩點x1、x2，當x1<x2時，恒有f(x1)<f(x2)，則稱函數f(x)在區(qū)間I上是單調遞增的(如圖1-6所示)；反之，當x1<x2時，恒有f(x1)>f(x2)，則稱函數f(x)在區(qū)間I上是單調遞減的(如圖1-7所示).圖1-6圖1-7單調遞增函數和單調遞減函數統(tǒng)稱為單調函數，單調遞增區(qū)間和單調遞減區(qū)間統(tǒng)稱為單調區(qū)間.

例如:函數y=x2在區(qū)間(0，+∞)內是單調遞增的，在區(qū)間(－∞，0)內則是單調遞減的，但在定義域(－∞，+∞)內則不具單調性(如圖1-8所示);函數y=x3在區(qū)間(－∞，+∞)內是單調遞增的(如圖1-9所示).圖１－８圖１－９

3.函數的奇偶性

定義1.4

設函數f(x)的定義域D關于原點對稱，如果對于任一x∈D，恒有f(－x)=f(x)成立，則稱f(x)為偶函數；如果恒有f(－x)=－f(x)成立，則稱f(x)為奇函數.

例如:y=cosx是偶函數，因為f(－x)=cos(－x)=cosx=f(x);y=sinx是奇函數，因為f(－x)=sin(－x)=－sinx=－f(x).

注偶函數的圖像關于y軸對稱(如圖1-8所示)，奇函數的圖像關于原點對稱(如圖1-9所示).例5

求證：在(－∞，+∞)內，

為奇函數.

證明因為所以

為奇函數.

4.函數的周期性

定義1.5

設函數f(x)的定義域為D，如果存在一個非零正數T，滿足：對于任一x∈D，恒有

f(x+T)=f(x)

則f(x)稱為周期函數，T稱為f(x)的周期.通常我們說周期函數的周期是指最小正周期.

例如:函數y=sinx、y=cosx都是以2π為周期的周期函數，而函數y=tanx、y=cotx都是以π為周期的周期函數.

周期函數在每個周期長度為T的區(qū)間上，具有相同的圖形形狀.1.1.3反函數

定義1.6

設y=f(x)是x的函數，定義域為D，值域為M，如果對于值域M中的每一個y，按照某種對應法則f－1，在定義域D中都有唯一的x值與之對應，則得到一個定義在M上，以y為自變量、x為因變量的新函數，我們稱它為y=f(x)的反函數，記作

x=f－1(y).

顯然，y=f(x)與x=f－1(y)互為反函數，并且它們的定義域和值域互換.習慣上，我們總是用x表示自變量，用y表示因變量，因此通常把函數x=f－1(y)改寫為

y=f－1(x).

注單調函數一定有反函數，并且函數與反函數圖像關于直線y=x對稱.1.1.4基本初等函數

微積分學研究的主要對象是初等函數，而初等函數是由六類基本初等函數構成的.基本初等函數包括常函數、冪函數、對數函數、指數函數、三角函數和反三角函數六大類，這些大部分在中學已經學過，這六類基本初等函數的定義域、值域、圖像、基本性質見表1-2.定義1.7

把正弦函數y=sinx在閉區(qū)間

上的反函數稱為反正弦函數，記作y=arcsinx，其定義域為[－1，1]，值域為

.

顯然，y=arcsinx表示了一個正弦值等于x的角，與正弦y=sinx相反，這里自變量x表示正弦值，而y則表示了一個在閉區(qū)間

上的角.例如，表示了正弦值為的角，由于

，所以

.

反正弦y=arcsinx是閉區(qū)間[－1，1]上的單調遞增有界函數，且arcsin(－x)=－arcsinx.類似地，我們有如下幾類反三角函數的定義.定義1.8

把余弦函數y=cosx在閉區(qū)間[0，π]上的反函數稱為反余弦函數，記作y=arccosx，其定義域為[－1，1]，值域為[0，π].

反余弦y=arccosx是閉區(qū)間[－1，1]上的單調遞減有界函數，為非奇非偶函數，且有arccos(－x)=π－arccosx.

定義1.9

把正切函數y=tanx在開區(qū)間

內的反函數稱為反正切函數，記作y=arctanx，其定義域為(－∞，+∞)，值域為

.

反正切y=arctanx是開區(qū)間(－∞，+∞)內的單調遞增有界函數，且arctan(－x)=－arctanx.定義1.10

把余切函數y=cotx在開區(qū)間(0，π)內的反函數稱為反余切函數，記作y=arccotx，其定義域為(－∞，+∞)，值域為(0，π).

反余切y=arccotx是開區(qū)間(－∞，+∞)內的單調遞減有界函數，為非奇非偶函數，且有arccot(－x)=π－arccotx.1.1.5復合函數

在經濟管理活動和工程技術領域中，許多函數往往比較復雜.例如，企業(yè)的產品收入R是產量Q的函數，而產量Q又是時間t的函數，于是時間t通過產量Q間接影響收入R，則收入R構成時間t的函數，這種函數就是復合函數.

定義1.11

設函數y=f(u)、u=φ(x)，如果u=φ(x)的值域或其部分包含在y=f(u)的定義域中，則y通過中間變量u構成x的函數，稱為x的復合函數，記作

y=f[φ(x)]

其中，x是自變量，u稱為中間變量.

例如，y=eu、u=sinx可以構成復合函數y=esinx.例6

已知

，u=x－1，將y表示成x的函數.

解因為

的定義域為u∈[0，+∞)，u=x－1的值域為u∈(－∞，+∞)，因此可以構成復合函數.將u=x－1代入，可得

例7指出下列復合函數是由哪些基本初等函數復合而成的:

(1)y=sin2x；

(2)y=lncosx；

(3)

.

解

(1)令u=sinx，則y=sin2x是由y=u2、u=sinx復合而成的.

(2)令u=cosx，則y=lncosx是由y=lnu、u=cosx復合而成的.

(3)令u=arctanx2，則y=eu.令v=x2，則u=arctanv.

因此y=earctanx2是由y=eu、u=arctanv、v=x2復合而成的.1.1.6初等函數

定義1.12

由基本初等函數經過有限次的四則運算或者有限次的復合而構成的，并且能用一個解析式表示的函數，稱為初等函數.

例如，y=5x+sinx，y=x3arccosx，，

等都是初等函數.

須指出，分段函數大多情形下不能用一個解析式表示出來，因而一般不是初等函數，但也有例外.如分段函數

，可以改寫成y=|x|，所以它還是初等函數.

由基本初等函數經過有限次的四則運算而得到的函數稱為簡單函數.初等函數的分解往往是對簡單函數來說的.例8

指出下列初等函數是由哪些基本初等函數和簡單函數構成的:

(1)

(2)

解

(1)令u=x2+x－3，則.因此

是由

和u=x2+x－3構成的.

(2)令

，則y=arctanu.因此是由y=arctanu和

構成的.

1.2常見的經濟函數

1.2.1需求函數與供給函數

1.需求函數

“需求”是指在一定的價格條件下，消費者愿意購買并且有支付能力購買的商品數量.消費者對某種商品的需求往往是由多種因素決定的，如消費者的收入、其他替代商品的價格等都會影響需求，其中，商品的價格是影響需求的一個主要因素.現在不考慮價格以外的其他因素，只研究需求與價格間的關系.

設P表示商品價格，Q表示需求量，需求量Q與商品價格P間的函數關系為Q=f(P)，這個函數就稱為需求函數.從需求的特征來看，需求函數一般是單調遞減函數：商品的價格低，需求量大；商品的價格高，需求量小.

常見的需求函數有如下幾種：

(1)線性函數Q=a－bP(a>0，b>0)；

(2)二次函數Q=a－bP－cP2(a>0，b>0，c>0)；

(3)指數函數Q=ae－bP(a>0，b>0).

需求函數Q=f(P)的反函數稱為價格函數，記作P=f－1(Q).例1

市場上某種襯衫的銷售量Q是價格P的線性函數.當價格P為50元/件時，可售出1500件；當價格P為60元/件時，可售出1200件.試求襯衫的需求函數和價格函數.

解設需求函數為Q=a－bP，依題意有

解之，得

a=3000，b=30

故所求需求函數為

Q=3000－30P

這時，價格函數為

2.供給函數

“供給”是指在一定的價格條件下，生產者或企業(yè)愿意出售并且能夠出售的商品數量.

某種商品的供給量也是由多種因素決定的，如生產中的投入成本、技術狀況等.這里略去價格以外的其他因素，只討論供給量Q與價格P間的函數關系，這個函數稱為供給函數，記作

Q=φ(P)

從供給的特征來看，供給函數一般是單調遞增函數：商品價格低，生產者不愿生產，供給減少；商品價格高，生產者愿意生產，供給增加.常見的供給函數有如下幾種：

(1)線性函數Q=aP－b(a>0，b>0)；

(2)二次函數Q=－a+bP+cP2(a>0，b>0，c>0)；

(3)指數函數Q=aekP－b(a>0，b>0，k>0).

例2

當雞蛋收購價格為6元/千克時，某收購站每月能收購5000千克；當收購價格為6.2元/千克時，每月能收購5500千克.試求雞蛋的線性供給函數.

解設雞蛋的線性供給函數為Q=aP－b，依題意有解之，得

a=2500，b=10000

故所求供給函數為

Q=2500P－10000

3.二者間的關系

需求函數和供給函數可以幫助我們分析市場規(guī)律，二者關系密切.當市場上某種商品的需求量與供給量相等時，需求與供給之間達到某種均衡，這時的商品價格和需求量(供給量)分別稱為均衡價格和均衡數量.如圖1-10所示，若把需求曲線和供給曲線畫在同一坐標系中，由于需求曲線是單調遞減的，供給曲線是單調遞增的，所以二者將交于一點(P0，Q0)，這里的P0、Q0分別就是均衡價格和均衡數量.

例3

設某商品的供給函數為Q=(1/3)P－2，需求函數為Q=40－(2/3)P，試求該商品處于市場平衡狀態(tài)下的均衡價格和均衡數量.

解在市場平衡狀態(tài)下，供給量與需求量相等，故有圖1-10

解之，得

P=42

將P=42代入Q=(1/3)P－2中，解得

Q=12

故在市場平衡狀態(tài)下的均衡價格和均衡數量分別為42和12.1.2.2總成本函數、收益函數和利潤函數

1.總成本函數

總成本是指生產一定數量的產品所消耗的經濟資源(勞動力、設備、原材料等)或費用的總和.總成本包括固定成本和可變成本兩部分.固定成本是指與產量無關的成本，如設備維修、場地租賃等費用，用C0表示；可變成本是指隨產量變化而變化的成本，如原材料、勞動力等費用，用C1(Q)表示.總成本即表示為C(Q)=C0+C1(Q).

平均成本是指生產一定數量的產品時，每單位數量產品的平均成本，即平均成本函數為例4

設某產品的總成本函數為

C=5000+(Q2/4)

求生產200個單位產品時的總成本和平均成本.

解依題意知，生產200個單位產品時的總成本為

C=5000+(2002/4)=15000

這時的平均成本為

2.收益函數

總收益是指生產者銷售一定數量的產品所得到的全部收入.設P為商品價格，Q為商品銷售量，則總收益函數為R(Q)=PQ.平均收益是指銷售一定數量的商品時，每單位數量的商品所得的平均收入，記作，即每單位商品的售價.

例5

設某商品的銷售價格(單位：元)與銷售量間的關系為P=60－(Q/1000)，求銷售量為1000時的總收益和平均收益.

解由于總收益函數為所以，當銷售量為1000時的總收益為

平均收益為

3.利潤函數

利潤是衡量企業(yè)經濟效益的一個重要指標.一般地，利潤是銷量Q的函數，且利潤函數等于收益函數與成本函數之差，即L(Q)=R(Q)－C(Q).

例6

某商品的總成本函數為C(Q)=100－5Q+Q2(單位：百元)，若該商品的銷售單價為25百元，試求：

(1)該商品的利潤函數；

(2)生產10件該商品時的總利潤；

(3)生產30件該商品時的總利潤.

解

(1)由于總收益函數為R(Q)=25Q，所以利潤函數為

L(Q)=－Q2+30Q－100

(2)生產10件該商品時的總利潤為L(10)=100百元.

(3)生產30件該商品時的總利潤為L(30)=－100百元.一般情形下，收入是銷售量的增函數，但由例6可以看出，利潤并不總是隨著銷售量的增加而增加的.

生產某種商品的總成本是產量Q的增函數，但是商品的需求量Q由于受到商品價格、消費者的收入水平等諸多社會因素的影響，往往不總是增加的.換句話說，對于某種商品而言，銷售的總收益R(Q)有時會顯著增加，有時會明顯減少，甚至達到頂點，如果此時繼續(xù)銷售，利潤反而下降.因此，利潤函數往往有三種情形：

(1)L(Q)=R(Q)－C(Q)>0，此時稱為有盈余生產，即生產處于有利潤狀態(tài)；

(2)L(Q)=R(Q)－C(Q)<0，此時稱為虧損生產，即生產處于虧損狀態(tài)；

(3)L(Q)=R(Q)－C(Q)=0，此時稱為無盈虧生產，這時的產量Q0稱為無盈虧點.

1.3極限的概念

極限是微積分學中的重要概念之一，用于研究變量在某一變化過程中的變化趨勢.微積分學中的一些概念和性質都是通過極限來確定的.

1.3.1極限的概念

1.x→∞時函數的極限

x→∞是指x的絕對值無限增大，既包括x取正值無限增大，也包括x取負值絕對值無限增大.

引例1

觀察下列函數的圖像(見圖1-11)，討論當x→∞時的變化趨勢：

(1)y=(1/x)；(2)y=(1/x2)；(3)y=sinx.圖1-11從圖1-11中不難看出，當x→∞時有如下結論：

(1)y=(1/x)→0；

(2)y=(1/x2)→0；

(3)y=sinx總在閉區(qū)間[－1，1]上周期性取值，但并不趨向于某個常數.

顯然，(1)、(2)中的兩個函數在x→∞的變化過程中與常數0無限接近，這時，我們稱函數當x→∞時的極限存在，且極限都為0.

定義1.13如果當x的絕對值無限增大時，函數f(x)無限趨近于一個常數A，則稱A為函數f(x)當x→∞時的極限，記作或f(x)→A(x→∞)如果從某一點起，x只能取正值或負值且絕對值無限增大，則有下面的定義.

定義1.13′

如果當x>0且無限增大時，函數f(x)無限趨近于一個常數A，則稱A為函數f(x)當x→+∞時的極限，記作或f(x)→A(x→+∞)

定義1.13″

如果當x<0且其絕對值無限增大時，函數f(x)無限趨近于一個常數A，則稱A為函數f(x)當x→－∞時的極限，記作或f(x)→A(x→－∞)

顯然，由上述定義可得出如下定理.定理1.1

的充分必要條件是

.

例1

討論當x→∞時函數y=arccotx的極限情況.

解如圖1-12所示，當x→+∞時，y=arccotx→0，即

當x→－∞時，y=arccotx→π，即

故當x→∞時，的極限不存在.圖1-12

2.x→x0時函數的極限

x→x0是指x的絕對值無限接近x0，既包括x從大于x0的右側(記作x→x+0)無限接近，也包括x從小于x0的左側(記作x→

x－0)無限接近.

引例2

觀察下列函數的圖像(見圖1-13)，討論當x→3時的變化趨勢：

(1)y=x+3；

(2)y=(x2－9/x－3).圖1-13定義1.14

設函數f(x)在點x0的某一去心鄰域

內有定義，若當自變量x趨近于x0時，函數f(x)無限趨近于一個確定的常數A，則A稱為x→x0時函數f(x)的極限，記作

或f(x)→A(x→x0)

這時我們稱存在，否則稱不存在.

引例2中的極限分別可以表示為.

須指明，函數f(x)在點x0的極限是否存在與f(x)在點x0處是否有定義無關.

根據極限的定義，顯然有

(c為常數).定義1.14′

設函數f(x)在點x0的左半鄰域內有定義，若當自變量x從x0的左側趨近于x0時，函數f(x)無限趨近于一個確定的常數A，則A稱為x→x0時函數f(x)的左極限，記作或f(x0－0)=A

定義1.14″

設函數f(x)在點x0的右半鄰域內有定義，若當自變量x從x0的右側趨近于x0時，函數f(x)無限趨近于一個確定的常數A，則A稱為x→x0時函數f(x)的右極限，記作或f(x0－0)=A

根據上面的定義，我們可以得出函數在點x0的極限以及左、右極限間的關系.定理1.2

的充分必要條件是

.

注左、右極限的概念通常用于求分段函數在分段處的極限.例2

設函數，

討論

是否存在.解這是一個分段函數，如圖1-14所示，因為顯然，函數f(x)在點x0=1的左、右極限都存在但不相等，因此不存在.圖1-14例3

設函數

，討論是否存在.

解這是一個分段函數，如圖1-15所示，因為顯然，函數f(x)在點x0=0的左、右極限都存在且相等，因此

.例4

設函數，問k為何值時，存在.

解要使

存在，必須使

成立.又故k=11.3.2無窮大量與無窮小量

1.無窮大量

有一類函數在自變量的某一變化過程中絕對值可以無限增大，我們稱這一類函數為無窮大量.

定義1.15

當x→x0(或x→∞)時，如果函數f(x)的絕對值無限增大，則稱函數f(x)為x→x0(或x→∞)時的無窮大量，簡稱無窮大，記作或例如:當x→0+時，cotx、lnx均為無窮大；當x→∞時，x2+2、x均為無窮大.

在理解無窮大量的概念時，應注意以下幾點：

(1)定義中自變量的變化過程適用于函數極限的六種情形；

(2)無窮大的定義對數列同樣適用，如數列{n(n+1)}當n→∞時就是無窮大量；

(3)無窮大是一個變量，無論絕對值多大的常數，都不是無窮大量；

(4)當我們說某個函數是無窮大量時，必須同時指出它的極限過程.

2.無窮小量

與無窮大量相反，有一類函數在自變量的某一變化過程中絕對值無限變小，即極限為零，我們稱這一類函數為無窮小量.

定義1.16

當x→x0(或x→∞)時，如果函數f(x)的極限為零，則稱函數f(x)為x→x0(或x→∞)時的無窮小量，簡稱無窮小，記作或例如:當x→0時，sinx、tanx、x2均為無窮小量；當x→1時，lnx為無窮小量；當x→∞時，1/(x－3)、1/x3均為無窮小量.無窮小量通常用小寫希臘字母α、β、γ等來表示.

和無窮大量類似，在理解無窮小量的概念時，也應注意以下幾點：

(1)定義中自變量的變化過程適用于函數極限的六種情形；

(2)無窮小的定義對數列同樣適用，如數列{1/(n+1)}當n→∞時就是無窮小量；

(3)無窮小是極限為零的變量，無論絕對值多小的非零常數，都不是無窮小量；

(4)當我們說某個函數是無窮小量時，必須同時指出它的極限過程.

有了無窮小量的概念之后，我們可以給出函數極限與無窮小量間的一個重要關系：定理1.3

函數f(x)極限為A的充分必要條件是f(x)可以表示為A與一個無窮小量之和，即

limf(x)=A

f(x)=A+α(其中α為同一變化過程中的無窮小量)

3.無窮小量的性質

性質1

有限個無窮小的代數和仍是無窮小.

注無限多個無窮小的代數和未必是無窮小.例如，當n→∞時，1/n2，2/n2，…，n/n2均為無窮小，但即不是無窮小.性質2

有限個無窮小的乘積仍是無窮小.

性質3

有界函數與無窮小的乘積仍是無窮小.

推論常數與無窮小的乘積仍是無窮小.

例5

求解因為，所以(1/x2)為x→∞時的無窮??；又0≤1+sinx≤2，所以1+sinx為有界函數.由性質3可得，(1/x2)sin(1+x)是x→∞時的無窮小量，即

4.無窮小的比較

前面討論了兩個無窮小的和、差、積仍然是無窮小，但對于兩個無窮小的商，卻會出現不同的情況，例如，當x→0時，3x、2x2、x3、4x3都是無窮小，而定義1.17

設α、β是同一變化過程中的兩個無窮小量.

(1)若

，則稱α是比β高階的無窮小量，也稱β是比α低階的無窮小量，記作α=o(β).

(2)若

(c為不等于零的常數)，則稱α與β是同階無窮小.特別地，c=1時，稱α與β是等價無窮小，記作α~β.

例6

當x→∞時，比較下列各組無窮小量：

(1)(1/x2)與(1/x)；

(2)1/(x+1)與1/(x2－1).解

(1)因為，所以當x→∞時，1/x2是比(1/x)高階的無窮小.

(2)因為，所以當x→∞時，1/(x+1)是比1/(x2－1)低階的無窮小.

5.無窮小量與無窮大量間的關系

當x→∞時，函數y=x2為無窮大量，而y=1/x2為無窮小量；當x→0時，函數y=tanx為無窮小量，而y=cotx為無窮大量.顯然，它們之間存在著倒數關系，故有如下結論.

定理1.4

在自變量的同一變化過程中，如果f(x)為無窮大，則1/f(x)為無窮小；反之，如果f(x)為無窮小，且f(x)≠0，則1/f(x)為無窮大.

我們可以利用無窮小量與無窮大量間的關系來判斷函數的極限情況.例7

求

.

解因為

，即當x→1時，x－1是無窮小量，所以

.

1.4極限的運算

1.4.1極限的性質

前面我們討論了函數極限的各種情形，它們描述的問題可以統(tǒng)一表述為：在自變量x的某一變化過程中，函數f(x)無限趨近于某個確定的常數A.因此，它們有一系列的共性.下面僅以x→x0為例給出函數極限的性質.

性質1(唯一性)若

，則A=B.性質2(有界性)若

，則存在點x0的某一去心鄰域

，在該鄰域內函數f(x)有界.性質3(保號性)若

且A>0(或A<0)，則存在點x0的某個去心鄰域，在該鄰域內f(x)>0(或f(x)<0).

推論若在點x0的某個去心鄰域

內，f(x)≥0(或f(x)≤0)，且

，則A≥0(或A≤0).

注若把x→x0換成自變量x的其他變化過程，極限的上述性質仍然成立.1.4.2極限的四則運算法則

利用極限的定義只能計算一些簡單函數的極限，而實際問題中的函數要復雜得多.下面我們介紹極限的四則運算法則，并運用這些法則求一些較復雜的函數極限.

定理1.5

設在自變量的同一變化過程中，limf(x)=A，limg(x)=B，則有：

法則1lim［f(x)±g(x)］=limf(x)±limg(x)=A±B；

法則2lim［f(x)·g(x)］=limf(x)·limg(x)=A·B；

法則3lim(f(x)/g(x)=(limf(x)/limg(x))=A/B，其中l(wèi)img(x)=B≠0.

注法則1、2可以推廣到有限個函數的情況，此外還有以下推論.推論1lim[C·f(x)]=C·limf(x)=C·A.

推論2lim[f(x)]n=［limf(x)］n=An.

例1

求.

解

例2

求

解因為

，所以例3

求

.

解先對分母求極限，即

此時，由于分母極限為零，所以不能直接使用商的極限法則.再對分子求極限，即

由于分子極限不為零，所以此時可以先求原來函數倒數的極限，即最后，根據無窮小的倒數為無窮大，可得

例4

求

解當x→2時，分子、分母極限同時為零，極限法則不成立，而題中分子、分母明顯有公因式x－2，由極限定義可知，x→2但x≠2，故可約去使分子、分母極限為零的公因式x－2后再求極限，即例5

求

解當x→0時，分子、分母極限同時為零，極限法則不成立，故先將分子有理化，約去分子、分母中極限為零的公因式后再求極限，即

例6

求

.解當x→∞時，分子、分母極限都不存在，極限法則不成立.這時，對該分式作適當變形：給分子、分母同除以它們的最高次冪x2，然后再求極限，即

例7

求

.

解本例不同于例6，應給分子、分母同除以分母的最高次冪x4，然后再求極限，即例8

求

.解由上例可知由于無窮小量的倒數為無窮大量，所以

一般地，當x→∞時，兩個多項式商的極限有如下結論：1.4.3兩個重要極限

1.

(1)極限類型：“(0/0)”型.

(2)函數結構：(sinu/u)型(其中u為自變量x的函數，且為無窮小量).

例9

求

解

例10

求解

例11

求

解

例12

求.

解先利用三角函數公式將1－cosx換成2sin2(x/2)后，再求極限，即例13

求

解

2.

(1)極限類型：“1∞”型.

(2)函數結構：(1+(1/u))u(其中u為自變量x的函數，且為無窮大量).

注如果令(1/x)=t，則x→∞時，t→0，上述公式還可以表示成例14

求.

解令(5/x)=(1/u)，則x=5u，且當x→∞時，u→∞，

故有

例15

求解例16

求

.

解

例17

求.

解由于，故令u=2x+1，則x=(u/2)－(1/2)，且x→∞時，u→∞，于是有

例18

求

.

解

1.4.4連續(xù)復利問題

作為第二重要極限的應用，本節(jié)介紹復利公式.所謂復利計息，就是將第一期的利息與本金之和作為第二期的本金，然后反復計息.

設本金為p，年利率為r，則一年后的本利和為

S1=p+pr=p(1+r)

若每年計息一次，那么t年后的本利和為

St=p(1+r)t

這就是以年為期的復利公式.

若一年計息m次，則每期的利率為(r/m),于是t年后的本利和為

St=p(1+(r/m))mt

若一年計息無窮多次，則為連續(xù)復利計息，即令m→∞，則t年后的本利和(即終值)為

公式St=pert反映了現實世界中一些事物生長或消失的數量規(guī)律，如馬爾薩斯人口模型、樹木的生長、細胞的繁殖、鐳的衰變等.

1.5函數的連續(xù)性

1.5.1函數連續(xù)性的概念

1.改變量

定義1.18

如果變量u從初值u0變到終值u1，則把終值與初值的差u1－u0稱為變量u在u0點的增量，又稱變量u的改變量，記作Δu，即

Δu=u1－u0

注增量Δu可以是正的，可以是負的，亦可為零.

現在設函數y=f(x)在點x0的某一鄰域內有定義，如圖1-16所示，當自變量x在此鄰域內從x0變到x0+Δx時，函數y相應的從f(x0)變到f(x0+Δx)，于是函數y相應的增量為

Δy=f(x0+Δx)－f(x0)

2.函數在一點處的連續(xù)性

從圖1-16可以看出，函數y=f(x)在點x0附近是連續(xù)變化的，它的圖像是一條不間斷的曲線，并且當自變量的改變量Δx趨于零時，函數的改變量Δy亦趨于零.

這時，我們稱函數y=f(x)在點x0處連續(xù).

定義1.19

設函數y=f(x)在點x0的某一個鄰域內有定義，當自變量x在點x0處的增量Δx趨于零時，對應的函數y的增量Δy也趨于零，即

則稱函數y=f(x)在點x0處連續(xù).點x0稱為函數的連續(xù)點.圖1-16例1

用連續(xù)定義證明函數y=x2+1在點x0=2處連續(xù).

證明給自變量x以增量Δx，則相應的函數增量為

Δy=[(2+Δx)2+1]－(22+1)=4Δx+(Δx)2

于是有故函數y=x2+1在點x0=2處連續(xù).在定義1.19中，如果令x=x0+Δx，則有Δy=f(x)－f(x0)，并且當Δx→0時，有x→x0,當Δy→0時，有f(x)→f(x0)，因此函數在點x0處連續(xù)的定義又可敘述如下：定義1.20

設函數y=f(x)在點x0的某一個鄰域內有定義，如果則稱函數y=f(x)在點x0處連續(xù).

說明：如果

，則稱函數f(x)在點x0處左連續(xù)；如果

，則稱f(x)在點x0處右連續(xù).顯然，當且僅當函數f(x)在點x0處左連續(xù)且右連續(xù)時，即

函數在點x0處連續(xù).

例2

討論在x=0處的連續(xù)性.

解因為所以

又

f(0)=1

即

所以f(x)在x=0處連續(xù).

3.初等函數的連續(xù)性

定義1.21

如果函數f(x)在區(qū)間(a，b)內每一點都連續(xù)，則稱f(x)在區(qū)間(a，b)內連續(xù)；如果函數f(x)在(a，b)內連續(xù)，且在x=a處右連續(xù)，在x=b處左連續(xù)，則稱f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù).

可以證明，初等函數在其定義域內都是連續(xù)的，連續(xù)函數的圖像是一條不間斷的曲線.

根據初等函數的連續(xù)性結論可以得出：求初等函數在其定義域內某點的極限，只需求出該點的函數值即可.

例3

求下列函數的極限：

(1)

(2)解

(1)因為為初等函數，其定義域為(－∞，+∞)，又2∈(－∞，+∞)，所以

(2)因為