非線性光纖光學(xué)-第二章-脈沖在光纖中的傳輸

第二章脈沖在光纖中的傳輸準(zhǔn)備知識光纖模式基本非線性傳輸方程數(shù)值求解非線性傳輸方程麥克斯韋方程物質(zhì)方程邊界條件根據(jù)經(jīng)典理論，電磁場的基本規(guī)律可以用麥克斯韋方程表述，為：磁感應(yīng)強(qiáng)度

電位移矢量

電場強(qiáng)度

磁場強(qiáng)度

電流密度

自由電荷密度

1.準(zhǔn)備知識

光纖是無自由電荷的介質(zhì)，因此有

要能從給定的電流和電荷分布唯一地確定各個(gè)場矢量，還必須對麥克斯韋方程組補(bǔ)充一些描述物質(zhì)在電磁場作用下的特性的經(jīng)驗(yàn)關(guān)系式，它們稱為物質(zhì)方程。介質(zhì)相對磁導(dǎo)率真空磁導(dǎo)率介質(zhì)電導(dǎo)率對于各向同性介質(zhì)來說，相關(guān)的物質(zhì)方程為真空介電常數(shù)介質(zhì)磁導(dǎo)率

極化強(qiáng)度對于各向異性介質(zhì)，是二階張量。

成立條件：（1）介質(zhì)是線性介質(zhì)；（2）介電常數(shù)、磁導(dǎo)率與電磁場的變化頻率無關(guān)

對于光纖這樣的非磁性介質(zhì)，物質(zhì)方程滿足由麥克斯韋方程組可以導(dǎo)出在兩個(gè)介質(zhì)分界面上滿足的邊界條件，它們是：電位移法向分量的關(guān)系界面法線方向的單位矢量

界面處的面電荷密度

若界面處沒有面電荷，則（電位移法向分量連續(xù)?。?.磁場強(qiáng)度切向分量的關(guān)系表面電流面密度

若界面沒有面電流，則

3.電場強(qiáng)度切向分量的關(guān)系2.

磁感應(yīng)強(qiáng)度法向分量的關(guān)系真空介電常數(shù)極化強(qiáng)度線性極化率非線性極化率對于光纖此項(xiàng)為零

電磁場的波方程考慮場中沒有自由電荷及電流，且介質(zhì)為非磁性介質(zhì)的情況。P和E滿足關(guān)系：如果我們只考慮與有關(guān)的三階非線性效應(yīng)，則感應(yīng)電極化強(qiáng)度由兩部分組成線性極化非線性極化討論傳輸模式時(shí)考慮非線性效應(yīng)很弱，利用微擾理論，可以令，則推導(dǎo)出的傅立葉變換，定義為是其中線性波動(dòng)方程與頻率有關(guān)的介電常數(shù)定義為一般式復(fù)數(shù)，其實(shí)部和虛部分別與折射率及吸收系數(shù)有關(guān)。定義于是得到α很小，其平方項(xiàng)可以忽略，因此從而得到代表實(shí)部代表虛部解線性波動(dòng)方程前作兩個(gè)近似：a.光纖的損耗很小，的虛部相對于實(shí)部可以忽略，因而有，以微擾的方式將光纖損耗包括進(jìn)去；b.在階躍光纖的纖芯和包層中折射率與方位無關(guān)，通過簡化，得到如下形式的波動(dòng)方程：2.光纖模式模式的概念從數(shù)學(xué)方面理解，模式是滿足亥姆霍茲方程及其在波導(dǎo)中心有界、在邊界趨于無窮遠(yuǎn)處為零等邊界條件的一系列特解，這些模式還可以根據(jù)相應(yīng)的規(guī)則進(jìn)行排序。從場的方面來看，一個(gè)模式實(shí)際上是光波導(dǎo)的光場沿橫截面分布的一種場圖。光波中總的場分布就是許多個(gè)模式的線性組合。從光纖理論的分析，可以得到以下幾個(gè)有關(guān)的結(jié)論：

(1)并不是任何形式的光波都能在光纖中傳輸?shù)?，每種光纖都只允許某些特定形式的光波通過，而其他形式的光波在光纖中無法存在。每一種允許在光纖中傳輸?shù)奶囟ㄐ问降墓獠ǚQ為光纖的一個(gè)模式。

(2)在同一光纖中傳輸?shù)牟煌Ｊ降墓?，其傳播方向、傳輸速度和傳輸路徑不同?/p>

(3)進(jìn)入光纖中的光線，在光纖的纖芯一包層界面上的入射角大于臨界角時(shí)，在交界面內(nèi)發(fā)生全反射，而入射角小于臨界角的光就有一部分進(jìn)入到包層，然后被很快衰減掉。前者的傳輸損耗小，可以遠(yuǎn)距離傳輸，稱為傳導(dǎo)模，后者稱為泄露模。

(4)能滿足全反射條件的光線中，也只有部分以特定角度入射到光纖端面的光線才能在光纖中傳輸，因此，不同模式的光的傳輸方向不是連續(xù)改變的。本征方程的推導(dǎo)：在柱坐標(biāo)系下，有：波動(dòng)方程可以方便地表示為是電場強(qiáng)度E的傅立葉變換，即對磁場強(qiáng)度也有類似的關(guān)系式成立。六個(gè)分量中只有兩個(gè)是獨(dú)立的，習(xí)慣上選擇作為獨(dú)立分量，其他四個(gè)分量和這兩個(gè)分量之間的關(guān)系為關(guān)于的波動(dòng)方程可通過作分離變量方法來求解：幾個(gè)歸一化參數(shù)歸一化工作頻率：歸一化橫向傳播常數(shù)： 歸一化橫向衰減常數(shù)： 有效折射率： 歸一化傳輸常數(shù)：場解的選取依據(jù)：導(dǎo)模場分布特點(diǎn)：在空間各點(diǎn)均為有限值；在芯區(qū)為振蕩形式，而在包層則為衰減形式；導(dǎo)模場在無限遠(yuǎn)處趨于零。貝塞爾函數(shù)形式：Jm呈振蕩形式，Km則為衰減形式。本征解選?。?/p>

在纖芯中選取一類貝賽爾函數(shù)Jm，在包層中選取第二類修正的貝塞爾函數(shù)Km。本征解的確定橫向分量由縱向分量確定。本征值方程的導(dǎo)出邊界條件：在r=a,Ez,Hz,Eφ,Hφ

連續(xù)EIz|a=EIIz|a: AJm(U)-BKm(W)=0HIz|a

=HIIz|a: CJm(U)-DKm(W)=0EIφ|a=EIIφ

|a:HIφ

|a=HIIφ

|a: 確定待定系數(shù)ABCD有非全零解：ABCD系數(shù)行列式為零，即可導(dǎo)出本征值方程。本征值方程本征值方程又稱特征方程，或色散方程。其中U與W通過其定義式與β相聯(lián)系，因此它實(shí)際是關(guān)于β的一個(gè)超越方程。當(dāng)n1、n2、a和λ0給定時(shí),對于不同的m值,可求得相應(yīng)的β值。由于貝塞爾函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)具有周期振蕩性質(zhì),所以本征值方程可以有多個(gè)不同的解βmn(m=0,1,2,3...n=1,2,3...),每一個(gè)βmn都對應(yīng)于一個(gè)導(dǎo)模。弱導(dǎo)條件下(n1≈n2)：各模式能否在光纖中傳播而成為導(dǎo)模，是由光纖的實(shí)際歸一化頻率（V）與模式的歸一化截止頻率（Vc）的相對大小決定的。如果光纖的歸一化頻率大于某一模式的歸一化截止頻率，則這個(gè)模式能在光纖中傳播，成為導(dǎo)模；如果光纖的歸一化頻率小于某一模式的歸一化截止頻率，則這個(gè)模式被截止，不能在光纖中傳播。即導(dǎo)模條件

截止條件

臨界條件

現(xiàn)將較低的幾個(gè)模式的歸一化截止頻率按照由高到低的順序排列如下：Vc=0HE11模Vc=2.40483TE01、TM01、HE21模Vc=3.83171EH11、HE12、HE31模Vc=5.13562EH21、HE41模Vc=5.52008TE02、TM02、HE22模Vc=6.38016EH31、HE51模色散曲線圖中每一條曲線都相應(yīng)于一個(gè)導(dǎo)模。平行于縱軸的豎線與色散曲線的交點(diǎn)數(shù)就是光纖中允許存在的導(dǎo)模數(shù)。由交點(diǎn)縱坐標(biāo)可求出相應(yīng)導(dǎo)模的傳播常數(shù)β。Vc越大導(dǎo)模數(shù)越多；當(dāng)Vc＜2.405時(shí)，在光纖中只存在HE11模，其它導(dǎo)模均截止，為單模傳輸。單模工作條件單模條件:單模光纖尺寸:單模光纖截止波長:單模光纖截止頻率:僅當(dāng)波長大于截止波長時(shí)方可在光纖中實(shí)現(xiàn)單模傳輸。這時(shí)，在光纖中傳輸?shù)氖荋E11模，稱為基?；蛑髂！＞o鄰HE11模的高階模是TE01、TM01模和HE21模，其截止值均為2.405?；Ｌ匦苑治龌５臈l件V<2.405基模的線偏振特性:在弱導(dǎo)條件下，光線與纖軸的夾角??；芯區(qū)對光場的限制較弱；消逝場在包層中延伸較遠(yuǎn)。此時(shí)場的橫向分量線偏振，且遠(yuǎn)大于縱向分量；通常用符號LPmn來表示本征方程的近似解的線偏振模?；龅谋硎炯偃缛肷涔馐茄毓饫w的一個(gè)主軸方向偏振的，光纖基模HE11的場強(qiáng)近似為歸一化常數(shù)光纖內(nèi)模場分布為：徑向距離為簡單起見，通常光纖的基模近似采用高斯形分布通過曲線擬合或變分過程決定當(dāng)1.2<V<2.4時(shí)，w與a的關(guān)系可以近似表示為對V=2有w≈a，它表明對V≈2的通信光纖，纖芯半徑和w基本一致，但也應(yīng)注意到對V<1.8，w就遠(yuǎn)大于a

。由于高斯近似相對較為簡單，若w值合適，高斯近似的采用是相當(dāng)實(shí)際的。3.基本非線性傳輸方程考慮到非線性因素后，波動(dòng)方程變?yōu)榫€性極化強(qiáng)度非線性極化強(qiáng)度非線性脈沖傳輸非線性項(xiàng)的表達(dá)和處理在解波動(dòng)方程時(shí)，需作幾個(gè)假設(shè)來簡化之：

a.由于折射率的非線性變化小于10-6，可以把PNL處理成PL的微擾；

b.假定光場沿光纖長度方向其偏振態(tài)不變，因而其標(biāo)量近似有效；

c.假定光場是準(zhǔn)單色的，即對中心頻率為ω0的頻譜，其譜寬為Δω，且Δω/ω0<<1。因?yàn)棣?約為1015s-1，因此該項(xiàng)假定對脈寬0.1ps的脈沖是成立的。在慢變包絡(luò)近似下，把電場的快變化部分分開，寫成單位偏振矢量時(shí)間的慢變化函數(shù)把極化強(qiáng)度分量PL、PNL的快變化部分分開，其中線性極化分量PL：其中為E(r,t)的傅立葉變換。非線性極化強(qiáng)度可表示為假定非線性響應(yīng)是瞬時(shí)作用的（忽略了喇曼效應(yīng)），上式簡化為計(jì)算可得

即PNL(r,t)有一項(xiàng)在ω0處振蕩，另一項(xiàng)在三次諧波3ω0處振蕩，后一項(xiàng)由于需要相位匹配，在光纖中通常被忽略。于是得到于是可以得到非線性極化強(qiáng)度的慢變幅度為非線性介電常數(shù)為了方便地在頻域中推導(dǎo)慢變振幅E(r,t)的波動(dòng)方程，把εNL處理成常量，這種方法從慢變包絡(luò)近似以及PNL的擾動(dòng)特性來看可認(rèn)為是合理的。滿足亥姆霍茲方程介電常數(shù)定義介電常數(shù)折射率吸收系數(shù)習(xí)慣上定義非線性折射率系數(shù)雙光子吸收系數(shù)光纖非線性的量度，不能與包層折射率混淆！對于石英光纖，此項(xiàng)常被忽略慢變包絡(luò)的求解過程波動(dòng)方程可利用變量分離法求解。假定解的形式為波數(shù)z的慢變函數(shù)，其二階導(dǎo)數(shù)可以忽略求解過程：將上面的假定解代入亥姆霍茲方程，分離成兩個(gè)關(guān)于F(x,y)和?(z,ω)的方程：介電常數(shù)ε(ω)近似為表示微擾上面關(guān)于F(x,y)的方程可用一階微擾理論求解。根據(jù)一階微擾理論，Δn不會(huì)影響模分布F(x,y)，然而本征值變?yōu)榘央妶鯡(r,t)寫為慢變振幅A(z,t)的傅里葉變換滿足下面的方程：物理意義：脈沖沿光纖傳輸時(shí)，其包絡(luò)內(nèi)的每一譜成分都得到一個(gè)與頻率和強(qiáng)度有關(guān)的相移。進(jìn)行逆傅里葉變換則得到關(guān)于A(z,t)的傳輸方程。為此，在載頻ω0附近把β(ω)展成泰勒級數(shù)與此類似，將Δβ(ω)展開為

若譜寬Δω<<ω0，則展開式中的三次項(xiàng)及更高次項(xiàng)通常被忽略，這些項(xiàng)的忽略與在方程推導(dǎo)過程中用到的準(zhǔn)單色假定是一致的。對某些特定的ω0值，若β2≈0(即在光纖的零色散波長附近)，需考慮三次項(xiàng)。利用做逆傅里葉變換。在逆傅里葉變換中，用微分算符代替于是可得到關(guān)于的方程為包括了光纖的損耗及非線性效應(yīng)利用β(ω)≈n(ω)ω/c并假設(shè)F(x,y)在整個(gè)脈沖帶寬內(nèi)變化不大，上面的方程可寫成非線性參量參量Aeff稱為有效模場截面，定義為若光纖基模用高斯近似，則描述了皮秒光脈沖在單模光纖中的傳輸，它和非線性薛定諤方程有關(guān)聯(lián)，并在一定條件下可以簡化成非線性薛定諤方程。該方程通過α包括了光纖的損耗效應(yīng)，通過β1和β2包括了光纖的色散效應(yīng)，通過γ包括了光纖的非線性效應(yīng)。

方程高階非線性效應(yīng)需要考慮高階非線性項(xiàng)的幾種情況：a.若入射脈沖的峰值功率超過SRS、SBS的閾值，則入射脈沖能量會(huì)轉(zhuǎn)移到與之同向或反向共同傳輸?shù)乃雇锌怂姑}沖中，通過喇曼或是布里淵增益及XPM，兩脈沖會(huì)相互作用。b.當(dāng)兩個(gè)或多個(gè)不同波長的脈沖（其頻率間隔大于單個(gè)脈沖譜寬）入射到光纖中，需要考慮XPM作用項(xiàng)，要有一組方程來描述。c.當(dāng)入射脈沖的譜寬可與其載頻相當(dāng)時(shí)，會(huì)出現(xiàn)自頻移現(xiàn)象。對非線性極化強(qiáng)度PNL的一般化處理將三階極化率具有如下形式：非線性響應(yīng)函數(shù)非線性極化強(qiáng)度的標(biāo)量形式為修正后的傳輸方程經(jīng)計(jì)算后可以得到下面描述單模光纖中脈沖演化的方程對包含多個(gè)光學(xué)周期的足夠?qū)挼拿}沖（脈寬>100fs），可以利用泰勞級數(shù)展開方程中的項(xiàng)，使方程簡化。若脈沖包絡(luò)沿光纖是緩變的，這種近似是合理的。定義非線性響應(yīng)函數(shù)的一階矩為注意到，方程可以近似為損耗GVDTOD自變陡喇曼響應(yīng)若脈寬T0>5ps，參量