湖南省衡陽(yáng)市衡陽(yáng)縣第三中學(xué)2024屆高考數(shù)學(xué)試題仿真試題(一)_第1頁(yè)
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湖南省衡陽(yáng)市衡陽(yáng)縣第三中學(xué)2024屆高考數(shù)學(xué)試題仿真試題(一)注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?;卮鸱沁x擇題時(shí),將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無(wú)效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為8,則實(shí)數(shù)()A.2 B.-2 C.-3 D.32.已知函數(shù),若關(guān)于的方程恰好有3個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.3.函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成一個(gè)公差為的等差數(shù)列,要得到函數(shù)的圖象,只需將的圖象()A.向左平移個(gè)單位 B.向右平移個(gè)單位C.向左平移個(gè)單位 D.向右平移個(gè)單位4.已知函數(shù),其中,記函數(shù)滿足條件:為事件,則事件發(fā)生的概率為A. B.C. D.5.已知,滿足約束條件,則的最大值為A. B. C. D.6.由曲線y=x2與曲線y2=x所圍成的平面圖形的面積為()A.1 B. C. D.7.做拋擲一枚骰子的試驗(yàn),當(dāng)出現(xiàn)1點(diǎn)或2點(diǎn)時(shí),就說(shuō)這次試驗(yàn)成功,假設(shè)骰子是質(zhì)地均勻的.則在3次這樣的試驗(yàn)中成功次數(shù)X的期望為()A.13 B.18.已知函數(shù),若,則的最小值為()參考數(shù)據(jù):A. B. C. D.9.已知七人排成一排拍照,其中甲、乙、丙三人兩兩不相鄰,甲、丁兩人必須相鄰,則滿足要求的排隊(duì)方法數(shù)為().A.432 B.576 C.696 D.96010.雙曲線x26-y23=1的漸近線與圓(x-3)2+y2=A.3 B.2C.3 D.611.已知向量,滿足,在上投影為,則的最小值為()A. B. C. D.12.已知某幾何體的三視圖如右圖所示,則該幾何體的體積為()A.3 B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.展開式中的系數(shù)為_________.14.若的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和為,則______,含項(xiàng)的系數(shù)是______(用數(shù)字作答).15.已知是等比數(shù)列,且,,則__________,的最大值為__________.16.已知半徑為的圓周上有一定點(diǎn),在圓周上等可能地任意取一點(diǎn)與點(diǎn)連接,則所得弦長(zhǎng)介于與之間的概率為__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓:的左、右焦點(diǎn)分別為,,焦距為2,且經(jīng)過(guò)點(diǎn),斜率為的直線經(jīng)過(guò)點(diǎn),與橢圓交于,兩點(diǎn).(1)求橢圓的方程;(2)在軸上是否存在點(diǎn),使得以,為鄰邊的平行四邊形是菱形?如果存在,求出的取值范圍,如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.18.(12分)已知,,且.(1)求的最小值;(2)證明:.19.(12分)已知,分別是橢圓:的左,右焦點(diǎn),點(diǎn)在橢圓上,且拋物線的焦點(diǎn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn).(1)求,的值:(2)過(guò)點(diǎn)作不與軸重合的直線,設(shè)與圓相交于A,B兩點(diǎn),且與橢圓相交于C,D兩點(diǎn),當(dāng)時(shí),求△的面積.20.(12分)如圖,正方體的棱長(zhǎng)為2,為棱的中點(diǎn).(1)面出過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的平面,標(biāo)出該平面與正方體各個(gè)面的交線(不必說(shuō)明畫法及理由);(2)求與該平面所成角的正弦值.21.(12分)某公園有一塊邊長(zhǎng)為3百米的正三角形空地,擬將它分割成面積相等的三個(gè)區(qū)域,用來(lái)種植三種花卉.方案是:先建造一條直道將分成面積之比為的兩部分(點(diǎn)D,E分別在邊,上);再取的中點(diǎn)M,建造直道(如圖).設(shè),,(單位:百米).(1)分別求,關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;(2)試確定點(diǎn)D的位置,使兩條直道的長(zhǎng)度之和最小,并求出最小值.22.(10分)在直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系;曲線C1的普通方程為(x-1)2+y2=1,曲線C2的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)).(Ⅰ)求曲線C1和C2的極坐標(biāo)方程:(Ⅱ)設(shè)射線θ=(ρ>0)分別與曲線C1和C2相交于A,B兩點(diǎn),求|AB|的值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

先求的展開式,再分類分析中用哪一項(xiàng)與相乘,將所有結(jié)果為常數(shù)的相加,即為展開式的常數(shù)項(xiàng),從而求出的值.【詳解】展開式的通項(xiàng)為,當(dāng)取2時(shí),常數(shù)項(xiàng)為,當(dāng)取時(shí),常數(shù)項(xiàng)為由題知,則.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了兩個(gè)二項(xiàng)式乘積的展開式中的系數(shù)問(wèn)題,其中對(duì)所取的項(xiàng)要進(jìn)行分類討論,屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】

討論,,三種情況,求導(dǎo)得到單調(diào)區(qū)間,畫出函數(shù)圖像,根據(jù)圖像得到答案.【詳解】當(dāng)時(shí),,故,函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,且;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,,函數(shù)單調(diào)遞減;如圖所示畫出函數(shù)圖像,則,故.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.3、A【解析】依題意有的周期為.而,故應(yīng)左移.4、D【解析】

由得,分別以為橫縱坐標(biāo)建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系,由圖可知,.5、D【解析】

作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域,利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論.【詳解】作出不等式組表示的平面區(qū)域如下圖中陰影部分所示,等價(jià)于,作直線,向上平移,易知當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)最大,所以,故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用,利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決此類問(wèn)題的基本方法.6、B【解析】

首先求得兩曲線的交點(diǎn)坐標(biāo),據(jù)此可確定積分區(qū)間,然后利用定積分的幾何意義求解面積值即可.【詳解】聯(lián)立方程:可得:,,結(jié)合定積分的幾何意義可知曲線y=x2與曲線y2=x所圍成的平面圖形的面積為:.本題選擇B選項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題主要考查定積分的概念與計(jì)算,屬于中等題.7、C【解析】

每一次成功的概率為p=26=【詳解】每一次成功的概率為p=26=13故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)分布求數(shù)學(xué)期望,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.8、A【解析】

首先的單調(diào)性,由此判斷出,由求得的關(guān)系式.利用導(dǎo)數(shù)求得的最小值,由此求得的最小值.【詳解】由于函數(shù),所以在上遞減,在上遞增.由于,,令,解得,所以,且,化簡(jiǎn)得,所以,構(gòu)造函數(shù),.構(gòu)造函數(shù),,所以在區(qū)間上遞減,而,,所以存在,使.所以在上大于零,在上小于零.所以在區(qū)間上遞增,在區(qū)間上遞減.而,所以在區(qū)間上的最小值為,也即的最小值為,所以的最小值為.故選:A【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值,考查分段函數(shù)的圖像與性質(zhì),考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,屬于難題.9、B【解析】

先把沒(méi)有要求的3人排好,再分如下兩種情況討論:1.甲、丁兩者一起,與乙、丙都不相鄰,2.甲、丁一起與乙、丙二者之一相鄰.【詳解】首先將除甲、乙、丙、丁外的其余3人排好,共有種不同排列方式,甲、丁排在一起共有種不同方式;若甲、丁一起與乙、丙都不相鄰,插入余下三人產(chǎn)生的空檔中,共有種不同方式;若甲、丁一起與乙、丙二者之一相鄰,插入余下三人產(chǎn)生的空檔中,共有種不同方式;根據(jù)分類加法、分步乘法原理,得滿足要求的排隊(duì)方法數(shù)為種.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查排列組合的綜合應(yīng)用,在分類時(shí),要注意不重不漏的原則,本題是一道中檔題.10、A【解析】

由圓心到漸近線的距離等于半徑列方程求解即可.【詳解】雙曲線的漸近線方程為y=±22x,圓心坐標(biāo)為(3,0).由題意知,圓心到漸近線的距離等于圓的半徑r,即r=±答案:A【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的漸近線方程及直線與圓的位置關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】

根據(jù)在上投影為,以及,可得;再對(duì)所求模長(zhǎng)進(jìn)行平方運(yùn)算,可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為模長(zhǎng)和夾角運(yùn)算,代入即可求得.【詳解】在上投影為,即又本題正確選項(xiàng):【點(diǎn)睛】本題考查向量模長(zhǎng)的運(yùn)算,對(duì)于含加減法運(yùn)算的向量模長(zhǎng)的求解,通常先求解模長(zhǎng)的平方,再開平方求得結(jié)果;解題關(guān)鍵是需要通過(guò)夾角取值范圍的分析,得到的最小值.12、B【解析】由三視圖知:幾何體是直三棱柱消去一個(gè)三棱錐,如圖:

直三棱柱的體積為,消去的三棱錐的體積為,

∴幾何體的體積,故選B.點(diǎn)睛:本題考查了由三視圖求幾何體的體積,根據(jù)三視圖判斷幾何體的形狀及相關(guān)幾何量的數(shù)據(jù)是解答此類問(wèn)題的關(guān)鍵;幾何體是直三棱柱消去一個(gè)三棱錐,結(jié)合直觀圖分別求出直三棱柱的體積和消去的三棱錐的體積,相減可得幾何體的體積.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

變換,根據(jù)二項(xiàng)式定理計(jì)算得到答案.【詳解】的展開式的通項(xiàng)為:,,取和,計(jì)算得到系數(shù)為:.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.14、【解析】的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和為,,,項(xiàng)的系數(shù)是,故答案為(1),(2).15、5【解析】,即的最大值為16、【解析】在圓上其他位置任取一點(diǎn)B,設(shè)圓半徑為R,其中滿足條件AB弦長(zhǎng)介于與之間的弧長(zhǎng)為?2πR,則AB弦的長(zhǎng)度大于等于半徑長(zhǎng)度的概率P==;故答案為:.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)(2)存在;實(shí)數(shù)的取值范圍是【解析】

(1)根據(jù)橢圓定義計(jì)算,再根據(jù),,的關(guān)系計(jì)算即可得出橢圓方程;(2)設(shè)直線方程為,與橢圓方程聯(lián)立方程組,求出的范圍,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出的中點(diǎn)坐標(biāo),求出的中垂線與軸的交點(diǎn)橫,得出關(guān)于的函數(shù),利用基本不等式得出的范圍.【詳解】(1)由題意可知,,.又,,,橢圓的方程為:.(2)若存在點(diǎn),使得以,為鄰邊的平行四邊形是菱形,則為線段的中垂線與軸的交點(diǎn).設(shè)直線的方程為:,,,,,聯(lián)立方程組,消元得:,△,又,故.由根與系數(shù)的關(guān)系可得,設(shè)的中點(diǎn)為,,則,,線段的中垂線方程為:,令可得,即.,故,當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào),,且.的取值范圍是,.【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的性質(zhì),考查直線與橢圓的位置關(guān)系,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.18、(1)(2)證明見解析【解析】

(1)利用基本不等式即可求得最小值;(2)關(guān)鍵是配湊系數(shù),進(jìn)而利用基本不等式得證.【詳解】(1),當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)取等號(hào),故的最小值為;(2),當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),此時(shí).故.【點(diǎn)睛】本題主要考查基本不等式的運(yùn)用,屬于基礎(chǔ)題.19、(1);(2).【解析】

(1)由已知根據(jù)拋物線和橢圓的定義和性質(zhì),可求出,;(2)設(shè)直線方程為,聯(lián)立直線與圓的方程可以求出,再聯(lián)立直線和橢圓的方程化簡(jiǎn),由根與系數(shù)的關(guān)系得到結(jié)論,繼而求出面積.【詳解】(1)焦點(diǎn)為F(1,0),則F1(1,0),F(xiàn)2(1,0),,解得,=1,=1,(Ⅱ)由已知,可設(shè)直線方程為,,聯(lián)立得,易知△>0,則===因?yàn)?,所以?,解得聯(lián)立,得,△=8>0設(shè),則【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線和橢圓的定義與性質(zhì)應(yīng)用,同時(shí)考查利用根與系數(shù)的關(guān)系,解決直線與圓,直線與橢圓的位置關(guān)系問(wèn)題.意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.20、(1)見解析(2).【解析】

(1)與平面垂直,過(guò)點(diǎn)作與平面平行的平面即可(2)建立空間直角坐標(biāo)系求線面角正弦值【詳解】解:(1)截面如下圖所示:其中,,,,分別為邊,,,,的中點(diǎn),則垂直于平面.(2)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,所以,,.設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則.不妨取,則,所以與該平面所成角的正弦值為.(若將作為該平面法向量,需證明與該平面垂直)【點(diǎn)睛】考查確定平面的方法以及線面角的求法,中檔題.21、(1),.,.(2)當(dāng)百米時(shí),兩條直道的長(zhǎng)度之和取得最小值百米.【解析】

(1)由,可解得.方法一:再在中,利用余弦定理,可得關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;在和中,利用余弦定理,可得關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.方法二:在中,可得,則有,化簡(jiǎn)整理即得;同理,化簡(jiǎn)整理即得.(2)由(1)和基本不等式,計(jì)算即得.【詳解】解:(1),是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形,又,,.由,得.法1:在中,由余弦定理,得.故直道長(zhǎng)度關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為,.在和中,由余弦定理,得①②因?yàn)镸為的中點(diǎn),所以.由①②,得,所以,所以.所以,直道長(zhǎng)度關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為,.法2:因?yàn)樵谥?,,所?所以,直道長(zhǎng)度關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為,.在中,因?yàn)镸為的中點(diǎn),所以.所以.所以,直道長(zhǎng)度關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為,.(2)由(1)得,兩條直道的長(zhǎng)度之和為(當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取“”).故當(dāng)百米時(shí),兩條直道的長(zhǎng)度之和取得最小值百米.【點(diǎn)睛

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