第二章均勻物質(zhì)的熱力學(xué)性質(zhì)教案

熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理課程教案授課內(nèi)容(教學(xué)章節(jié)):第二章均勻物質(zhì)的熱力學(xué)性質(zhì)授課地點(diǎn)授課班級(jí)教材分析:本章主要是通過(guò)數(shù)學(xué)推演得出均勻系統(tǒng)各種平衡性質(zhì)的相互關(guān)系，這是熱力學(xué)應(yīng)用的重要方面，得到的熱力學(xué)關(guān)系非常普遍，適用于處在平衡態(tài)的任何簡(jiǎn)單系統(tǒng)。本章內(nèi)容有助于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力和增加學(xué)生對(duì)熱力學(xué)原理的應(yīng)用，如節(jié)流制冷和絕熱膨脹制冷等。教學(xué)目標(biāo):能夠根據(jù)內(nèi)能、焓、自由能和吉布斯函數(shù)的全微分推導(dǎo)出麥?zhǔn)详P(guān)系。理解麥?zhǔn)详P(guān)系的物理意義，知道麥?zhǔn)详P(guān)系在熱力學(xué)中的應(yīng)用，能夠推導(dǎo)系統(tǒng)的基本熱力學(xué)函數(shù)。知道使獲取低溫的常用方法-節(jié)流過(guò)程和絕熱膨脹過(guò)程。掌握根據(jù)特性函數(shù)求出均勻系統(tǒng)的全部熱力學(xué)函數(shù)的方法。理解熱力學(xué)理論在熱輻射場(chǎng)中的應(yīng)用，知道低溫技術(shù)在現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)中的重要應(yīng)用。教學(xué)重點(diǎn)與教學(xué)難點(diǎn):教學(xué)重點(diǎn)：由熱力學(xué)函數(shù)（內(nèi)能、焓、自由能、吉布斯函數(shù)）的全微分推導(dǎo)出的麥?zhǔn)详P(guān)系，基本熱力學(xué)函數(shù)的確定，特性函數(shù)。教學(xué)難點(diǎn)：麥?zhǔn)详P(guān)系的推導(dǎo)及其應(yīng)用，低溫的獲取。教學(xué)內(nèi)容2.1內(nèi)能、焓、自由能和吉布斯函數(shù)的全微分2.2麥?zhǔn)详P(guān)系的簡(jiǎn)單應(yīng)用2.3氣體的節(jié)流過(guò)程和絕熱膨脹過(guò)程2.4基本熱力學(xué)函數(shù)的確定2.5特性函數(shù)2.6熱輻射的熱力學(xué)理論2.7磁介質(zhì)的熱力學(xué)2.8獲得低溫的方法教學(xué)方法與手段大部分內(nèi)容以講授為主，低溫的獲取這節(jié)請(qǐng)同學(xué)們課前收集資料在課堂上加以討論，輔以多媒體課件進(jìn)行教學(xué)。課后作業(yè)2.22.32.42.62.72.82.92.112.142.152.202.222.23小論文1、絕熱去磁致冷的原理及其在現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)中的應(yīng)用？2、黑體輻射的原理？教材與參考資料教材：熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理汪志誠(chéng)高等教育出版社參考資料：熱學(xué)李椿章立源錢(qián)尚武高等教育出版社；第二章均勻物質(zhì)的熱力學(xué)性質(zhì)2.1內(nèi)能、焓、自由能和吉布斯函數(shù)的全微分1、在第一章我們根據(jù)熱力學(xué)的基本規(guī)律引出了三個(gè)基本的熱力學(xué)函數(shù)，物態(tài)方程、內(nèi)能和熵，并導(dǎo)出了熱力學(xué)基本方程：=1\*GB3①。即作為函數(shù)的全微分表達(dá)式。焓的定義：，可得：=2\*GB3②，即作為函數(shù)的全微分表達(dá)式。自由能：，求微分并代入=1\*GB3①式可得：=3\*GB3③吉布斯函數(shù)：，求微分并代入=1\*GB3①可得：=4\*GB3④2、麥?zhǔn)详P(guān)系的推導(dǎo)作為的函數(shù)：，其全微分為：與(1)式比較，得：，，求二次偏導(dǎo)數(shù)并交換次序，得：=5\*GB3⑤，類(lèi)似地，由焓的全微分表達(dá)式=2\*GB3②可得：，，=6\*GB3⑥，由自由能的全微分表達(dá)式可得：，，=7\*GB3⑦由吉布斯函數(shù)的全微分表達(dá)式可得：，，=8\*GB3⑧。=5\*GB3⑤-=8\*GB3⑧四式給出了這四個(gè)量的偏導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系。2.2麥?zhǔn)详P(guān)系的簡(jiǎn)單應(yīng)用1、麥?zhǔn)详P(guān)系，，這四個(gè)量的偏導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系。利用麥?zhǔn)详P(guān)系，可以把一些不能直接從實(shí)驗(yàn)測(cè)量的物理量用例如物態(tài)方程和熱容量（或和）等可以直接從實(shí)驗(yàn)測(cè)量的物理量表達(dá)出來(lái)。2、能態(tài)方程選為獨(dú)立變量，內(nèi)能的全微分為：而由：，以及為自變量時(shí)熵的全微分表達(dá)式：可得：。比較可得：，。稱為能態(tài)方程，即溫度保持不變時(shí)內(nèi)能隨體積的變化率與物態(tài)方程的關(guān)系。對(duì)理想氣體，，則．這正是焦耳定律的結(jié)果。3、焓態(tài)方程以為獨(dú)立變量，焓的全微分為：而由，以及為自變量時(shí)熵的全微分表達(dá)式：，可得：。比較可得：，稱為焓態(tài)方程，即溫度保持不變時(shí)焓隨壓強(qiáng)的變化率與物態(tài)方程的關(guān)系。4、定壓熱容量與定容熱容量之差。，由可得：因此：，給出了熱容量與物態(tài)方程之間的關(guān)系。2.3氣體的節(jié)流過(guò)程和絕熱膨脹過(guò)程1、節(jié)流過(guò)程氣體的節(jié)流過(guò)程和絕熱膨脹過(guò)程是獲得低溫的常用方法。先討論節(jié)流過(guò)程。如圖2.1所示，管子用不導(dǎo)熱的材料包著，管子中間有一個(gè)多孔塞或節(jié)流閥?，F(xiàn)在用熱力學(xué)理論對(duì)節(jié)流進(jìn)行分析。設(shè)在過(guò)程中有一定數(shù)量的氣體通過(guò)了多孔塞。在通過(guò)多孔塞前，其壓強(qiáng)為，體積為，內(nèi)能為；通過(guò)多孔塞后，壓強(qiáng)為，體積為，內(nèi)能為，在過(guò)程中外界對(duì)這部分氣體所做的功是。因?yàn)檫^(guò)程是絕熱的，根據(jù)熱力學(xué)第一定律，有，即：，這就是說(shuō)，在節(jié)流過(guò)程前后，氣體的焓值相等。定義：表示在焓不變的條件下氣體溫度隨壓強(qiáng)的變化率，稱為焦湯系數(shù)。由可得：對(duì)理想氣體，所以。對(duì)于實(shí)際氣體，若，有；若，有。現(xiàn)在討論氣體的絕熱膨脹。如果把過(guò)程近似地看作是準(zhǔn)靜態(tài)上，在準(zhǔn)靜態(tài)絕熱過(guò)程中氣體的熵保持不變，由?？傻茫荷鲜浇o出了準(zhǔn)靜態(tài)絕熱過(guò)程中氣體的溫度隨壓強(qiáng)的變化率。上式右方是恒正的。所以隨者體積膨脹壓強(qiáng)降低，氣體的餓溫度必然下降。從能量的角度看，氣體在絕熱膨脹過(guò)程中減少其內(nèi)能而對(duì)外作功，加以膨脹后其他分子見(jiàn)的平均距離增大，分子間的互相作用能量有所增加，因而使氣體的溫度下降。氣體的絕熱膨脹過(guò)程也被用來(lái)使氣體降溫并液化。2.4基本熱力學(xué)函數(shù)的確定在前面所引進(jìn)的熱力學(xué)函數(shù)中，最基本的是物態(tài)方程。內(nèi)能和熵。其他熱力學(xué)函數(shù)均可由這三個(gè)基本函數(shù)導(dǎo)出?，F(xiàn)在我們導(dǎo)出簡(jiǎn)單系統(tǒng)的基本熱力學(xué)函數(shù)的一般表達(dá)式，即這三個(gè)函數(shù)與狀態(tài)參量的函數(shù)關(guān)系。1、以為狀態(tài)參量，內(nèi)能和熵的表達(dá)式如果選為狀態(tài)參量，物態(tài)方程為：，前面已經(jīng)說(shuō)過(guò)，在熱力學(xué)中物態(tài)方程由實(shí)驗(yàn)測(cè)得。內(nèi)能的全微分為：沿一條任意的積分路線求積分，可得：這就是內(nèi)能的積分表達(dá)式。熵的全微分為：，求線積分得：，這就是熵的積分表達(dá)式。由上面二式可知，如果測(cè)得物質(zhì)的和物態(tài)方程，即可得其內(nèi)能函數(shù)和熵函數(shù)。還可以證明，只要測(cè)得在某一體積（比容）下的定容熱容量，則任意體積（比容）下的定容熱容量都可根據(jù)物態(tài)方程求出來(lái)（習(xí)題2.9）。因此，只需物態(tài)方程和某一比容下的定容熱容量數(shù)據(jù)，就可以求得內(nèi)能和熵。2、以為狀態(tài)參量，內(nèi)能和熵的表達(dá)式如果選為狀態(tài)參量，物態(tài)方程是：。關(guān)于內(nèi)能函數(shù)，在選為獨(dú)立變數(shù)時(shí)，以先求焓為便。焓的全微分為：，求線積分得：，這就是焓的積分表達(dá)式。由即可求得內(nèi)能，熵的全微分為：求線積分得：，這就是熵的積分表達(dá)式。由上面二式可知，只要測(cè)得物質(zhì)的和物態(tài)方程，即可得物質(zhì)的內(nèi)能和熵。還可以證明，只要測(cè)得某一壓強(qiáng)下的定壓熱容量，任意壓強(qiáng)下的都可根據(jù)物態(tài)方程求出來(lái)（習(xí)題2.9）。因此，只需物態(tài)方程和某一壓強(qiáng)下定壓熱容量的數(shù)據(jù)，就可以確定內(nèi)能和熵。對(duì)于固體和液體，定容熱容量在實(shí)驗(yàn)上難以直接測(cè)定，選為自變量比較方便。根據(jù)物質(zhì)的微觀結(jié)構(gòu)，用統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的方法原則上可以求出物質(zhì)的熱力學(xué)函數(shù)，這將在統(tǒng)計(jì)物理學(xué)部分講述。3、例題（1）以為狀態(tài)參量，求理想氣體的焓、熵和吉布斯函數(shù)（2）求范氏氣體的內(nèi)能和熵（3）簡(jiǎn)單固體的物態(tài)方程為：試求其內(nèi)能和熵。2．5特性函數(shù)馬休在1869年證明，如果適當(dāng)選擇獨(dú)立變量（稱為自然變量），只要知道一個(gè)熱力學(xué)函數(shù)，就可以通過(guò)求偏導(dǎo)數(shù)而求得均勻系統(tǒng)的全部熱力學(xué)函數(shù)，從而把均勻系統(tǒng)的平衡性質(zhì)完全確定。這個(gè)熱力學(xué)函數(shù)即稱為特征函數(shù)，表明它是表征均勻系統(tǒng)的特性的。在應(yīng)用上最重要的特征函數(shù)是自由能和吉布斯函數(shù)。自由能的全微分表達(dá)式：，因此：,。如果已知，求對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)即可得出熵；求對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)即得出壓強(qiáng)，這就是物態(tài)方程。根據(jù)自由能的定義：，有：=1\*GB3①，上式給出內(nèi)能。這樣，三個(gè)基本的熱力學(xué)函數(shù)便都可由求出來(lái)了。=1\*GB3①式稱為稱為吉布斯-亥姆霍茲方程。吉布斯函數(shù)的全微分為：，因此：,如果已知，求對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)即可得出；求對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)即可得出，這就是物態(tài)方程。由吉布斯函數(shù)的定義，有=2\*GB3②，此式給出。這樣三個(gè)基本的熱力學(xué)函數(shù)便可以由求出來(lái)了。由焓的定義，得=3\*GB3③，=3\*GB3③ 式也稱為吉布斯-亥姆霍茲方程。例題：求表面系統(tǒng)的熱力學(xué)函數(shù)。2.6熱輻射的熱力學(xué)理論受熱的物體可以輻射電磁波，稱為熱輻射。一般情形下熱輻射的強(qiáng)度和強(qiáng)度按頻率的分布與輻射體的溫度和性質(zhì)都有關(guān)。如果輻射體對(duì)電磁波的吸收和輻射達(dá)到平衡，熱輻射的特性將只取決于溫度，與輻射體的其它特性無(wú)關(guān)，稱為平衡輻射。考慮一個(gè)封閉的空窖，窖壁保持一定的溫度。窖壁將不斷向空窖發(fā)射并吸收電磁波，窖內(nèi)輻射場(chǎng)與窖壁達(dá)到平衡后，二者具有共同的溫度，顯然空窖內(nèi)的輻射就是平衡輻射，也稱為黑體輻射。我們首先證明，空窖輻射的內(nèi)能密度和內(nèi)能密度按頻率的分布只取決于溫度，與空窖的其它特性無(wú)關(guān)。設(shè)想有兩個(gè)空窖，溫度相同但形狀、體積和窖壁材料不同。開(kāi)一小窗把兩個(gè)空窖連通起來(lái)，窗上放上濾光片，濾光片只允許圓頻率在ω到ω+dω范圍的電磁波通過(guò)。如果輻射場(chǎng)在ω到ω+dω范圍的內(nèi)能密度在兩窖不等，能量將通過(guò)小窗從內(nèi)能密度較高的空窖輻射到內(nèi)能密度較低的空窖使前者溫度降低后者溫度升高。這樣就在溫度相同的兩個(gè)空窖自發(fā)地產(chǎn)生溫度差，熱機(jī)可以利用此溫度差吸取熱量而作功。這違背熱力學(xué)第二定律，顯然是不可能的。所以空窖輻射的內(nèi)能密度和內(nèi)能密度按頻率的分布只可能是溫度的函數(shù)?，F(xiàn)在根據(jù)熱力學(xué)理論導(dǎo)出空窖輻射的熱力學(xué)函數(shù)。1、求輻射能量密度與溫度的函數(shù)關(guān)系將空窯輻射看作熱力學(xué)系統(tǒng)，選為狀態(tài)參量。空窖輻射的能量密度u(T)，空窖輻射的內(nèi)能可以表為：。利用熱力學(xué)公式：，以及輻射壓強(qiáng)與輻射能量密度之間的關(guān)系=1\*GB3①，可得：。即：積分得：=2\*GB3②。其中是積分常數(shù)，表明空窖輻射的能量密度與絕對(duì)溫度的四次方成正比。2、求輻射場(chǎng)的熵將=2\*GB3②式的和=1\*GB3①式的代入熱力學(xué)基本方程：，可得：積分得：。在可逆絕熱過(guò)程中輻射場(chǎng)的熵不變，這時(shí)有：常量。3、輻射場(chǎng)的吉布斯函數(shù)將、、代入式中，可得空窖輻射的吉布斯函數(shù)。輻射場(chǎng)的吉布斯函數(shù)為零。在統(tǒng)計(jì)物理部分將會(huì)看到，這個(gè)結(jié)果是與光子數(shù)不守恒相聯(lián)系的。4、平衡輻射場(chǎng)的輻射通量密度單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)小孔的單位面積向一側(cè)輻射的輻射能量，稱為輻射通量密度。輻射通量密度與輻射內(nèi)能密度之間存在以下關(guān)系現(xiàn)在證明如下：計(jì)算在單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)面積元dA向一側(cè)輻射的能量。如果投射到dA上的是一束平面電磁波。其傳播方向與dA的法線方向平行，則單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)dA向一側(cè)輻射的輻射能量為。各向同性的輻射場(chǎng)包含各種傳播方向，因此傳播方向在立體角的輻射能量密度為。單位時(shí)間內(nèi)，傳播方向在立體角內(nèi)，通過(guò)dA向一側(cè)輻射的能量為。對(duì)立體角積分,通過(guò)dA向一側(cè)輻射的總輻射能量：為斯式藩—玻耳茲曼(Stefan—Boltzmann)定律，稱為斯忒藩常數(shù)，數(shù)值為，它由實(shí)驗(yàn)確定。2.7磁介質(zhì)的熱力學(xué)1、基本微分方程?？紤]勻強(qiáng)磁場(chǎng)（外磁場(chǎng)強(qiáng)度）中的各向同性磁介質(zhì)，磁場(chǎng)對(duì)系統(tǒng)作功寫(xiě)為。（E表示電場(chǎng)強(qiáng)度，H表示磁場(chǎng)強(qiáng)度）．又磁感強(qiáng)度，其中μ０為常數(shù)，為磁化強(qiáng)度，相應(yīng)的總磁矩為．考慮各向同性情形，方向一致，以上各矢量可寫(xiě)為標(biāo)量形式．于是有：。上式右端首項(xiàng)為激發(fā)磁場(chǎng)所作的功，第二項(xiàng)為使介質(zhì)磁化所作的功。如果忽略磁介質(zhì)的體積變化，則磁介質(zhì)的熱力學(xué)基本方程為2、麥克斯韋關(guān)系吉布斯函數(shù)為，故有：。由完整微分條件可得：，此式為磁介質(zhì)的一個(gè)麥克斯韋關(guān)系。3、熱磁-磁熱效應(yīng)由，有，即在磁場(chǎng)不變時(shí)磁介質(zhì)的熱容量為，則得：。若磁介質(zhì)服從居里定律代入上式得。這說(shuō)明，在絕熱條件下減少磁場(chǎng)時(shí)，磁介質(zhì)的溫度將降低。這效應(yīng)稱為絕熱去磁致冷。這是獲得1K以下低溫的有效方法。4、壓磁-磁致伸縮效應(yīng)如果考慮磁介質(zhì)體積的變化,熱力學(xué)基本微分方程應(yīng)為：:，吉布斯函數(shù)的全微分為：，根據(jù)dG為完整微分的條件，可得：。這是磁介質(zhì)的一個(gè)麥克斯韋關(guān)系。由此可以討論磁介質(zhì)的一些熱力學(xué)性質(zhì)。從第一個(gè)麥克斯韋關(guān)系可分析壓磁—磁致伸縮效應(yīng)。左端表示T，p不變時(shí)，磁場(chǎng)增加導(dǎo)致體積的變化，為磁致伸縮效應(yīng)。右端表示在溫度T與磁場(chǎng)H不變時(shí)介質(zhì)總磁矩隨壓強(qiáng)的變化率，它描述壓磁效應(yīng)。因此給出磁致伸縮與壓磁效應(yīng)的關(guān)系。2.8獲取低溫的方法將沸點(diǎn)很低的氣體液化，可以獲得低至1K