2024秋高中數(shù)學第二章隨機變量及其分布章末復(fù)習課達標練習含解析新人教A版選修2-3

PAGE10-章末復(fù)習課[整合·網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建][警示·易錯提示]1．“互斥事務(wù)”與“相互獨立事務(wù)”的區(qū)分．“互斥事務(wù)”是說兩個事務(wù)不能同時發(fā)生，“相互獨立事務(wù)”是說一個事務(wù)發(fā)生與否對另一個事務(wù)發(fā)生的概率沒有影響．2．對獨立重復(fù)試驗要精確理解．(1)獨立重復(fù)試驗的條件：第一，每次試驗是在同樣條件下進行；其次，任何一次試驗中某事務(wù)發(fā)生的概率相等；第三，每次試驗都只有兩種結(jié)果，即事務(wù)要么發(fā)生，要么不發(fā)生．(2)獨立重復(fù)試驗概率公式的特點：關(guān)于P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k，它是n次獨立重復(fù)試驗中某事務(wù)A恰好發(fā)生k次的概率．其中n是重復(fù)試驗次數(shù)，p是一次試驗中某事務(wù)A發(fā)生的概率，k是在n次獨立試驗中事務(wù)A恰好發(fā)生的次數(shù)，弄清公式中n，p，k的意義，才能正確運用公式．3．(1)精確理解事務(wù)和隨機變量取值的意義，對實際問題中事務(wù)之間的關(guān)系要清晰．(2)仔細審題，找準關(guān)鍵字句，提高解題實力．如“至少有一個發(fā)生”“至多有一個發(fā)生”“恰有一個發(fā)生”等．(3)常見事務(wù)的表示．已知兩個事務(wù)A、B，則A，B中至少有一個發(fā)生為A∪B；都發(fā)生為A·B；都不發(fā)生為eq\o(\s\up12(—),\s\do4(A))·eq\o(\s\up12(—),\s\do4(B))；恰有一個發(fā)生為(eq\o(\s\up12(—),\s\do4(A))·B)∪(A·eq\o(\s\up12(—),\s\do4(B)))；至多有一個發(fā)生為(eq\o(\s\up12(—),\s\do4(A))·eq\o(\s\up12(—),\s\do4(B)))∪(eq\o(\s\up12(—),\s\do4(A))·B)∪(A·eq\o(\s\up12(—),\s\do4(B)))．4．對于條件概率，肯定要區(qū)分P(AB)與P(B|A)．5．(1)離散型隨機變量的期望與方差若存在則必唯一，期望E(ξ)的值可正也可負，而方差的值則肯定是一個非負值．它們都由ξ的分布列唯一確定．(2)D(ξ)表示隨機變量ξ對E(ξ)的平均偏離程度．D(ξ)越大表明平均偏離程度越大，說明ξ的取值越分散；反之D(ξ)越小，ξ的取值越集中．(3)D(aξ＋b)＝a2D(ξ)，在記憶和運用此結(jié)論時，請留意D(aξ＋b)≠aD(ξ)＋b，D(aξ＋b)≠aD(ξ)．6．對于正態(tài)分布，要特殊留意N(μ，σ2)由μ和σ唯一確定，解決正態(tài)分布問題要牢記其概率密度曲線的對稱軸為x＝μ.專題一條件概率的求法條件概率是高考的一個熱點，常以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，也可能是大題中的一個部分，難度中等．[例1]壇子里放著7個大小、形態(tài)相同的鴨蛋，其中有4個是綠皮的，3個是白皮的．假如不放回地依次拿出2個鴨蛋，求：(1)第1次拿出綠皮鴨蛋的概率；(2)第1次和第2次都拿出綠皮鴨蛋的概率；(3)在第1次拿出綠皮鴨蛋的條件下，第2次拿出綠皮鴨蛋的概率．解：設(shè)“第1次拿出綠皮鴨蛋”為事務(wù)A，“第2次拿出綠皮鴨蛋”為事務(wù)B，則“第1次和第2次都拿出綠皮鴨蛋”為事務(wù)AB.(1)從7個鴨蛋中不放回地依次拿出2個的事務(wù)數(shù)為n(Ω)＝Aeq\o\al(2,7)＝42，依據(jù)分步乘法計數(shù)原理，n(A)＝Aeq\o\al(1,4)×Aeq\o\al(1,6)＝24.于是P(A)＝eq\f(n（A）,n（Ω）)＝eq\f(24,42)＝eq\f(4,7).(2)因為n(AB)＝Aeq\o\al(2,4)＝12，所以P(AB)＝eq\f(n（AB）,n（Ω）)＝eq\f(12,42)＝eq\f(2,7).(3)法一由(1)(2)可得，在第1次拿出綠皮鴨蛋的條件下，第2次拿出綠皮鴨蛋的概率為P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(2,7)÷eq\f(4,7)＝eq\f(1,2).法二因為n(AB)＝12，n(A)＝24，所以P(B|A)＝eq\f(n（AB）,n（A）)＝eq\f(12,24)＝eq\f(1,2).歸納升華解決概率問題的步驟．第一步，確定事務(wù)的性質(zhì)：古典概型、互斥事務(wù)、獨立事務(wù)、獨立重復(fù)試驗、條件概率，然后把所給問題歸結(jié)為某一種．其次步，推斷事務(wù)的運算(和事務(wù)、積事務(wù))，確定事務(wù)至少有一個發(fā)生還是同時發(fā)生，分別運用相加或相乘事務(wù)公式．第三步，利用條件概率公式求解：(1)條件概率定義：P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）).(2)針對古典概型，縮減基本領(lǐng)件總數(shù)P(B|A)＝eq\f(n（AB）,n（A）).[變式訓練]已知100件產(chǎn)品中有4件次品，無放回地從中抽取2次每次抽取1件，求下列事務(wù)的概率：(1)第一次取到次品，其次次取到正品；(2)兩次都取到正品．解：設(shè)A＝{第一次取到次品}，B＝{其次次取到正品}．(1)因為100件產(chǎn)品中有4件次品，即有正品96件，所以第一次取到次品的概率為P(A)＝eq\f(4,100)，其次次取到正品的概率為P(B|A)＝eq\f(96,99)，所以第一次取到次品，其次次取到正品的概率為P(AB)＝P(A)P(B|A)＝eq\f(4,100)×eq\f(96,99)＝eq\f(32,825).(2)因為A＝{第一次取到次品}，且P(A)＝1－P(A)＝eq\f(96,100)，P(B|A)＝eq\f(95,99)，所以P(AB)＝P(A)P(B|A)＝eq\f(96,100)×eq\f(95,99)＝eq\f(152,165).專題2獨立事務(wù)的概率要正確區(qū)分互斥事務(wù)與相互獨立事務(wù)，精確應(yīng)用相關(guān)公式解題，互斥事務(wù)是不行能同時發(fā)生的事務(wù)，相互獨立事務(wù)是指一個事務(wù)的發(fā)生與否對另一個事務(wù)沒有影響．[例2]某射擊小組有甲、乙兩名射手，甲的命中率為P1＝eq\f(2,3)，乙的命中率為P2，在射擊競賽活動中每人射擊兩發(fā)子彈則完成一次檢測，在一次檢測中，若兩人命中次數(shù)相等且都不少于一發(fā)，則稱該射擊小組為“先進和諧組”．(1)若P2＝eq\f(1,2)，求該小組在一次檢測中榮獲“先進和諧組”的概率．(2)安排在2024年每月進行1次檢測，設(shè)這12次檢測中該小組獲得“先進和諧組”的次數(shù)為ξ，假如E(ξ)≥5，求P2的取值范圍．解析：(1)因為P1＝eq\f(2,3)，P2＝eq\f(1,2)，依據(jù)“先進和諧組”的定義可得，該小組在一次檢測中榮獲“先進和諧組”的包括兩人兩次都射中，兩人恰好各射中一次，所以該小組在一次檢測中榮獲“先進和諧組”的概率P＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Ceq\o\al(1,2)·\f(2,3)·\f(1,3)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Ceq\o\al(1,2)·\f(1,2)·\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)·\f(2,3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)·\f(1,2)))＝eq\f(1,3).(2)該小組在一次檢測中榮獲“先進和諧組”的概率P＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Ceq\o\al(1,2)·\f(2,3)·\f(1,3)))[Ceq\o\al(1,2)·P2·(1－P2)]＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)·\f(2,3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(P2·P2))＝eq\f(8,9)P2－eq\f(4,9)Peq\o\al(2,2)，又ξ～B(12，P)，所以E(ξ)＝12P，由E(ξ)≥5知，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,9)P2－\f(4,9)Peq\o\al(2,2)))·12≥5，解得eq\f(3,4)≤P2≤1.[變式訓練]甲、乙兩射擊運動員分別對一目標射擊1次，甲射中的概率為0.8，乙射中的概率為0.9，求：(1)2人都射中目標的概率．(2)2人中恰有1人射中目標的概率．(3)2人中至少有1人射中目標的概率．解：記“甲射擊1次，擊中目標”為事務(wù)A，“乙射擊1次，擊中目標”為事務(wù)B，則A與B，與B，A與B，與為相互獨立事務(wù)．(1)2人都射中目標的概率為P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.8×0.9＝0.72.(2)“2人中恰有1人射中目標”包括兩種狀況：一種是甲射中、乙未射中(事務(wù)A發(fā)生)，另一種是甲未射中、乙射中(事務(wù)B發(fā)生)．依據(jù)題意，知事務(wù)A與B互斥，所求的概率為P＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝0.8×(1－0.9)＋(1－0.8)×0.9＝0.08＋0.18＝0.26.(3)“2人中至少有1人射中目標”包括“2人都射中”和“2人中有1人射中”2種狀況，其概率為P＝P(AB)＋[P(A)＋P(B)]＝0.72＋0.26＝0.98.專題三獨立重復(fù)試驗與二項分布二項分布是高考考查的重點，要精確理解、嫻熟運用其概率公式Pn(k)＝Ceq\o\al(k,n)·pk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n，高考以解答題為主，有時也用選擇題、填空題形式考查．[例3]現(xiàn)有10道題，其中6道甲類題，4道乙類題，張同學從中任取3道題解答．(1)求張同學所取的3道題至少有1道乙類題的概率；(2)已知所取的3道題中有2道甲類題，1道乙類題．設(shè)張同學答對每道甲類題的概率都是eq\f(3,5)，答對每道乙類題的概率都是eq\f(4,5)，且各題答對與否相互獨立．用X表示張同學答對題的個數(shù)，求X為1和3的概率．解：(1)設(shè)事務(wù)A＝“張同學所取的3道題至少有1道乙類題”，則有A＝“張同學所取的3道題都是甲類題”．因為P(eq\o(\s\up12(—),\s\do4(A)))＝eq\f(Ceq\o\al(3,6),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(1,6)，所以P(A)＝1－P(eq\o(\s\up12(—),\s\do4(A)))＝eq\f(5,6).(2)P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(1)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up12(1)·eq\f(1,5)＋Ceq\o\al(0,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(0)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up12(2)·eq\f(4,5)＝eq\f(28,125)；P(X＝3)＝Ceq\o\al(2,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up12(0)·eq\f(4,5)＝eq\f(36,125).歸納升華解決二項分布問題必需留意：(1)對于公式Pn(k)＝Ceq\o\al(k,n)·pk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n必需在滿意“獨立重復(fù)試驗”時才能運用，否則不能應(yīng)用該公式．(2)推斷一個隨機變量是否聽從二項分布，關(guān)鍵有兩點：一是對立性，即一次試驗中，事務(wù)發(fā)生與否兩者必有其一；二是重復(fù)性，即試驗獨立重復(fù)地進行了n次．[變式訓練]口袋中裝有大小、輕重都無差別的5個紅球和4個白球，每一次從袋中摸出2個球，若顏色不同，則為中獎．每次摸球后，都將摸出的球放回口袋中，則3次摸球恰有1次中獎的概率為()A.eq\f(80,243)B.eq\f(100,243)C.eq\f(80,729)D.eq\f(100,729)解析：每次摸球中獎的概率為eq\f(Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,5),Ceq\o\al(2,9))＝eq\f(20,36)＝eq\f(5,9)，由于是有放回地摸球，故3次摸球相當于3次獨立重復(fù)試驗，所以3次摸球恰有1次中獎的概率P＝Ceq\o\al(1,3)×eq\f(5,9)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(5,9)))eq\s\up12(2)＝eq\f(80,243).答案：A專題四離散型隨機變量的期望與方差離散型隨機變量的均值和方差在實際問題中具有重要意義，也是高考的熱點內(nèi)容．[例4](2024·天津卷)某小組共10人，利用假期參與義工活動，已知參與義工活動次數(shù)為1，2，3的人數(shù)分別為3，3，4.現(xiàn)從這10人中隨機選出2人作為該組代表參與座談會．(1)設(shè)A為事務(wù)“選出的2人參與義工活動次數(shù)之和為4”，求事務(wù)A發(fā)生的概率；(2)設(shè)X為選出的2人參與義工活動次數(shù)之差的肯定值，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望．解：(1)由已知，有P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(1,3).所以，事務(wù)A發(fā)生的概率為eq\f(1,3).(2)隨機變量X的全部可能取值為0，1，2.P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,4),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(4,15)，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,3)＋Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,4),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(7,15)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,4),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(4,15).所以隨機變量X的分布列為：X012Peq\f(4,15)eq\f(7,15)eq\f(4,15)隨機變量X的數(shù)學期望E(X)＝0×eq\f(4,15)＋1×eq\f(7,15)＋2×eq\f(4,15)＝1.歸納升華(1)求離散型隨機變量的分布列有以下三個步驟：①明確隨機變量X取哪些值；②計算隨機變量X取每一個值時的概率；③將結(jié)果用表格形式列出．計算概率時要留意結(jié)合排列組合學問．(2)均值和方差的求解方法是：在分布列的基礎(chǔ)上利用E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn求出均值，然后利用D(X)＝eq\i\su(i＝1,n,[)xi－E(X)]2pi求出方差．[變式訓練]依據(jù)以往的閱歷，某工程施工期間的降水量X(單位：mm)對工期的影響如下表：降水量XX＜300300≤X＜700700≤X＜900X≥900工期延誤天數(shù)Y02610歷年氣象資料表明，該工程施工期間降水量X小于300，700，900的概率分別為0.3，0.7，0.9，求：(1)工期延誤天數(shù)Y的均值與方差．(2)在降水量至少是300的條件下，工期延誤不超過6天的概率．解：(1)由已知條件有P(X＜300)＝0.3，P(300≤X＜700)＝P(X＜700)－P(X＜300)＝0.7－0.3＝0.4，P(700≤X＜900)＝P(X＜900)－P(X＜700)＝0.9－0.7＝0.2.P(X≥900)＝1－P(X＜900)＝1－0.9＝0.1.所以Y的分布列為Y02610P0.30.40.20.1于是，E(Y)＝0×0.3＋2×0.4＋6×0.2＋10×0.1＝3，D(Y)＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8.故工期延誤天數(shù)Y的均值為3，方差為9.8.(2)由概率的加法公式，P(X≥300)＝1－P(X＜300)＝0.7，又P(300≤X＜900)＝P(X＜900)－P(X＜300)＝0.9－0.3＝0.6.由條件概率，得P(Y≤6|X≥300)＝P(X＜900|X≥300)＝eq\f(P（300≤X＜900）,P（X≥300）)＝eq\f(0.6,0.7)＝eq\f(6,7).故在降水量X至少是300的條件下，工期延誤不超過6天的概率是eq\f(6,7).專題五正態(tài)分布及簡潔應(yīng)用高考主要以選擇題、填空題形式考查正態(tài)曲線的形態(tài)特征與性質(zhì)，抓住其對稱軸是關(guān)鍵．[例5]某市去年高考考生成果聽從正態(tài)分布N(500，502)，現(xiàn)有25000名考生，試確定考生成果在550～600分的人數(shù)．解：因為考生成果X～N(500，502)，所以μ＝500，σ＝50，所以P(550<X≤600)＝eq\f(1,2)[P(500－2×50<X≤500＋2×50)－P(500－50<X≤500＋50)]＝eq\f(1,2)(0.9544－0.6826)＝0.1359.故考生成果在550～600分的人數(shù)為25000×0.1359≈3398(人)．歸納升華正態(tài)分布概率的求法1．留意3σ原則，記住正態(tài)總體在三個區(qū)間內(nèi)取值的概率．2．留意數(shù)形結(jié)合．由于正態(tài)分布密度曲線具有完備的對稱性，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的重要思想，因此運用對稱性結(jié)合圖象解決某一區(qū)間內(nèi)的概率問題成為熱點問題．[變式訓練]某鎮(zhèn)農(nóng)夫年收入聽從μ＝5000元，σ＝200元的正態(tài)分布．則該鎮(zhèn)農(nóng)夫平均收入在5000～5200元的人數(shù)的百分比是________．解析：設(shè)X表示此鎮(zhèn)農(nóng)夫的平均收入，則X～N(5000，2002)．由P(5000－200＜X≤5000＋200)＝0.6826.得P(5000＜X≤5200)＝eq\f(0.6826,2)＝0.3413.故此鎮(zhèn)農(nóng)夫平均收入在5000～5200元的人數(shù)的百分比為34.13%.答案：34.13%專題六方程思想方程思想是解決概率問題中的重要思想，在求離散型隨機變量的分布列，求兩個或三個事務(wù)的概率時常會用到方程思想．即依據(jù)題設(shè)條件列出相關(guān)未知數(shù)的方程(或方程組)求得結(jié)果．[例6]甲、乙、丙三臺機床各自獨立地加工同一種零件，已知甲機床加工的零件是一等品而乙機床加工的零件不是一等品的概率為eq\f(1,4)，乙機床加工的零件是一等品而丙機床加工的零件不是一等品的概率為eq\f(1,12)，甲、丙兩臺機床加工的零件都是一等品的概率為eq\f(2,9).(1)分別求甲、乙、丙三臺機床各自加工的零件是一等品的概率；(2)從甲、乙、丙加工的零件中各取一個檢驗，求至少有一個一等品的概率．解：記A，B，C分別為甲、乙、丙三臺機床各自加工的零件是一等品的事務(wù)．由題設(shè)條件有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(P（Aeq\o(\s\up12(—),\s\do4(B))）＝\f(1,4)，,P（Beq