2024高考一輪考點(diǎn)突破 30 概率壓軸大題理（解析版）

30概率壓軸大題

目錄

一、熱點(diǎn)題型歸納................................................................................1

【題型一】馬爾科夫鏈基礎(chǔ).................................................................1

【題型二】馬爾科夫鏈之傳球模型...........................................................3

【題型三】游走模型.......................................................................8

【題型四】藥物實驗?zāi)Ｐ?.................................................................13

【題型五】商場促銷......................................................................17

【題型六】證明概率、期望等不等式........................................................20

【題型七】摸球與射擊模型................................................................26

【題型八】模擬壓軸題選講................................................................29

二、最新?？碱}組練.............................................................................35

【題型一】馬爾科夫鏈基礎(chǔ)模型

【典例分析】

某餐廳供應(yīng)1(X)。名學(xué)生用餐，每星期一有A、6兩種菜可供選擇，調(diào)直資料顯示星期一選A菜的學(xué)生中有

20%在下周一選8菜，而選8菜的學(xué)生中有30%在下周一選A菜，用A“、分別表示在第〃個星期一選A

菜、8菜的學(xué)生數(shù)，試寫出4與4一|的關(guān)系及與&-的關(guān)系.

A〃+&=1000

解由題意知：，A〃=O.8A”-i+O.3&-i由4一|+&-1=1000,得4-1=1000—A〃T.

.&=0.2A”T+0.7%-I

所以4=0.84〃-I+0.3(1000—A”-I)=0.54T+300.同理,4=0.2(1000-&-I)+0.7&T=0.5&-1+200.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

1.馬爾科夫鏈：在n+l時刻的狀態(tài)，只跟第n刻的狀態(tài)有關(guān)，與n-1,n-2,n-3。。。等時刻狀態(tài)是“沒有

任何關(guān)系的”。

2.和數(shù)列遞推通項結(jié)合

【變式演練】

1.小芳、小明兩人各拿兩顆質(zhì)地均勻的骰子做游戲，規(guī)則如下：若擲出的點(diǎn)數(shù)之和為4的倍數(shù)，則由原投擲

人繼續(xù)投擲；若擲出的點(diǎn)數(shù)之和不是4的倍數(shù)，則由對方接著投擲.

(1)規(guī)定第1次從小明開始.

(i)求前4次投擲中小明恰好投擲2次的概率；

(ii)設(shè)游戲的前4次中，小芳投擲的次數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列與期望.

(2)若第1次從小芳開始，求第〃次由小芳投擲的概率2.

39271n

【答案】(1)(i)—(ii)見解析，—(2)P=-

6416”22,

9I

【詳解】(1)?人投擲兩顆骰子，向上的點(diǎn)數(shù)之和為4的倍數(shù)的概率為3二:.

364

(i)因為第1次從小明開始，所以前4次投擲中小明恰好投擲2次的概率.

p=-x—X—+-X-X—+-X-X—=-----

44444444464,

(ii)設(shè)游戲的前4次中，小芳投擲的次數(shù)為X，依題意，X可取0,1，2,3,

所以p(x=o)」」」=L強(qiáng)巴

4446444444444464

(2)若第1次從小芳開始，則第〃次由小芳投擲骰子有兩種情況：

①第〃一1次由小芳投擲，第〃次繼續(xù)由小芳投擲，其概率為②第〃一1次由小明投擲,

(1\33

第〃次由小芳投擲，其概率為以==

133I3

因為①②兩種情形是互斥的，所以小P、+匕=/丁科=-夫+*2),

因為耳=1,所以《匕一是以!為首項,

所以月

22

111f1Y,_|i(iV

一彳為公比的等比數(shù)列，所以匕一上二上一上,即月二2■一一上.

422\2J2\2

2.一袋中有大小、形狀相同的2個白球和10個黑球，從中任取一球,如果取出白球，則把它放回袋中；如

果取出黑球，則該球不再放回，另補(bǔ)一個白球放到袋中.在重復(fù)〃次這樣的操作后，記袋中的白球個數(shù)為X”.

(1)求明；

(2)設(shè)P(X“=2+k)=娛,求P(X,m=2+攵)(攵=0,1,2,…,10)；

(3)證明：欣川=蔣敬“+1?

17*=()),

【答案】(1)￡X|=K(2)P(X“+|=2+Z:)=；(3)證明見解析

6|告E+詈?。糠10).

2_11（）_5

【詳解】⑴:X=2或X]=3,???P（X,=2）=P（X=3）=

2+10-6,2+10-6,

?,?EX.=2xi+3x-=—.

1666

(2)???當(dāng)2=()時，尸(X“s=2)=，4，

當(dāng)啜去10時，第〃+1次取出來有2+k個白球的可能性有兩種：

第八次袋中有2+Z個白球，顯然每次取出球后，球的總數(shù)保持不變，

2+1c

即袋中有2十攵個白球，10—2個黑球，笫〃十1次取由來的也是白球的概率為^^弓；

12

第"次袋中有1+左個白球，第〃+1次取出來的是黑球，由于每次總數(shù)為12個，

I1一4

故此時黑球數(shù)為11-々個，這種情況發(fā)生的概率為至一勺“；J

2+k\\-k

p(xtl+l=2+(1M10),.??綜上可知,

11乙

"(攵=0),

P(X“「2+&)=；

得《+*《7。麻10).

(3)???第〃+1次白球個數(shù)的數(shù)學(xué)期望分為兩類情況：第〃次白球個數(shù)的數(shù)學(xué)期望為EX”，由干白球和黑球

FX1?—FX

的總數(shù)為12,第〃+1次取出來的是白球的概率為二d，第〃+1次取出來的是黑球的概率為一L

1212

此時白球的個數(shù)為EX.+1?.?爾”皆雙+”者它兀川

（

"J（口”+1）=￡EX.+1

1212）

即EX,向端EX“+1.

【題型二】馬爾科夫鏈之傳球模型

【典例分析】

現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四個人相互之間傳球，從甲開始傳球，甲等可能地把球傳給乙、丙、丁中的任何一個

人，依次類推.

(1)通過三次傳球，球經(jīng)過乙的次數(shù)為X,求X的分布列與期望；

(2)設(shè)經(jīng)過〃次傳球后，球落在甲手上的概率為。“，

①求,如；

②求%,并簡要解釋隨著傳球次數(shù)的增多，球落在甲、乙、丙、丁每個人手，的概率相等.

9?I111

【答案】(1)分布列見解析；期望為(2)①4=0,4=：；②4=；—：x(_?e；答案見解析.

【分析】

(1)寫出X的可能值，求出X的每個取值時的概率即可得解：

⑵由題設(shè)條件可直接寫出4,小,分析出?！芭c的關(guān)系，由此求出外,探求傳球次數(shù)的增多時見值趨于

一個常數(shù)即可得解..

【詳解】

(1)X的取值為0,1,2,

…小2228…，、1,221,22116…51,11

P(X=0)=_x-x—=—；P(X=1)=-x1x-+-x-x1+-x-x-=—；P(X=2)=_x1x-=一；

33327333333327339

（n）（/）由題意6=。，A=g：

"）第〃次觸球者是甲的概率為P〃，當(dāng)位2時，第〃-1次觸球者是甲的概率為〃〃」，第〃-I次觸球者不

是甲的概率為1-2〃力推導(dǎo)出乙一：=一3（21一￡|，由此能證明｛21-；｝是以|為首項，公比為-；的等比

數(shù)列.

【詳解】

（I）這150個點(diǎn)球中的進(jìn)球頻率為！°+17+2；；:+13+14=06,則該同學(xué)踢一次點(diǎn)球命中的概率〃=0.6,

由超意，€可能取I，2,3,貝iJP1=l）=0.6,P（^=2）=0.4x0.6=0.24,P（^=3）=0.4x0.4=0.16,

4的分布列為：

4123

P0.60.240.16

即￡(^)=1x0.6+2x0.24+3x0.16=1.56.

(II)(/)由題意鳥=0,4=]

（/7）第〃次觸球者是甲的概率記為匕，則當(dāng)〃22時，第〃-1次觸球者是甲的概率為1，

第”1次觸球者不是甲的概率為1-酊則q=立/0+（1-&）：=！（1-%）,從而2-!=-1廊-9，

22J乙I5）

191121

又4—（耳是以:為首項，公比為-9的等比數(shù)列.

。。IJJD乙

%〉當(dāng)，故第19次觸球者是甲的概率大.

2.中國女排，曾經(jīng)十度成為世界冠軍，鑄就了響徹中華的女排精神.女排精神的具體表現(xiàn)為：扎扎實實，勤

學(xué)苦練，無所畏懼，頑強(qiáng)拼搏，同甘共苦，團(tuán)結(jié)戰(zhàn)斗，刻苦鉆研，勇攀高峰.女排精神對各行各業(yè)的勞動者

起到了激勵、感召和促進(jìn)作用，給予全國人民巨大的鼓舞.

（1）看過中國女排的紀(jì)錄片后，某大學(xué)掀起“學(xué)習(xí)女排精神，塑造健康體魄”的年度主題活動，一段時間后，

學(xué)生的身體素質(zhì)明顯提高，將該大學(xué)近5個月體重超重的人數(shù)遂行統(tǒng)計，得到如下表格：

月份X12345

體重超重的人數(shù)y640540420300200

若該大學(xué)體重超重人數(shù)y與月份變量x（月份變量x依次為I,2,3,4,5...）具有線性相關(guān)關(guān)系，請預(yù)測

從第幾月份開始該大學(xué)體重超重的人數(shù)降至10人以下？

（2）在某次排球訓(xùn)練課上，球恰由A隊員控制，此后排球僅在A隊員、B隊員和C隊員三人中傳遞，己知

每當(dāng)球由A隊員控制時，傳給8隊員的概率為稱，傳給。隊員的概率為，；每當(dāng)球由4隊員控制時,，傳給

A隊員的概率為：，傳給C隊員的概率為：；每當(dāng)球由。隊員控制時.，傳給人隊員的概率為:，傳給8隊

員的概率為:?記仆，",c"為經(jīng)過〃次傳球后球分別恰由4隊員、B隊員、C隊員控制的概率.

（0若〃=3,8隊員控制球的次數(shù)為X,求￡%；

2211II2

（2若?！?&如+3明,hn=-an_]+-cn_itcn=-an_i+-bn^tn>2,/ZGN\證明：｛《，一今為等比數(shù)

DO乙。乙?

2

列，并判斷經(jīng)過200次傳球后A隊員控制球的概率與|■的大小.

za—可(K—方

附1:回歸方程?=良+力中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：〃=上\---------=-------------

XV-^2￡(再-行

1=1r=1

a=y-i)x.

附2：參考數(shù)據(jù):￡>/=5180,^<=12+22+32+42+52=55.

【答案】(1)可以預(yù)測從第7月份開始該大學(xué)體重超重的人數(shù)降至10人以下；(2)(/)(//)證明見解

18

析；

(1)利用回歸直線方程計算公式，計算出回歸直線方程，并由此進(jìn)行預(yù)測.

(i)利用相互獨(dú)立事件概率計算公式，計算出分布列，進(jìn)而計算H1EX.

22(2\21

(ii)證明部分：法一：通過證明。,川-三二-鼻q-三證得-三為等比數(shù)列；法二：通過證明

22(2、2

a-\-7證得為-7［為等比數(shù)列.

。J1n口)，

2

求得數(shù)列｛4｝的通項公式，由此判斷出。刈>m.

【詳解】

1+2+3+4+5、

(I)由已知可得：I-----：-----=3，

5

640+540+420+300+2002100

y=----------------------=----=420,

55

5

又因為=5180,=12+22+32+42+52=55,

i=1

Z匕y-5取

5180-63001120一今

所以尾氣------------------==-112,

55-5x3?10

?=1

所以2=》一位=420+112x3=756,

所以51=八+6=一I[2x+756,

當(dāng)y=-112x+756<10(xeN.)時，x>7,

所以，可以預(yù)測從第7月份開始該大學(xué)體重超重的人數(shù)降至10人以下.

1?11

(2)(/)由題知X的可能取值為：0,1,2；P(X=0)=-x-x-=-;

12I1I21112111

PD/(Xv=ln)=-x-x-+-x-x-+-x-+-x-x-=——；

',2322332323218

1211112

P(X=2)=-x-x-+-x-x-=-；

'"2322339

X的分布列為：

X012

112

P

69

所以E（X）=0x：+l

618918

:%T,或=；47+：〃1'兩式相加得：2+%=%-

5)(法一)由小+；（%+%_J.

22333

因為，"=可〃』+可%7，所以〃“十%_I=不可，勿+%=尸.，代入等式得川

12

CI,——Cl4--CI.

”+i3"3"T

222_2

所以，,向+3凡=，”+§47==^+-?,,因為q=0,a,=-x-+-x—=一,

-3-23233

?922I,所以數(shù)列［4-2是首項為-?公比為-；2的等比數(shù)列,

所以。向+可4=可，所以凡“-=—

53D1I力5J5J3

M-I）

所以凡-11-1

，即1-,因此經(jīng)過200次傳球后A隊員控制球的概率

2211?

?2<M.=-1?(法二)由題知：。,=尸*+,〃7，所以可21=2%-41

29911

r所z1以凡=—/??.+—c-a又因為么=-

/n3/i-i3/ni-I.=2c?n/In-Ii+3—cn?-I.,"、?—,/二n?an.-I.+3-czi?-i.=1-a/1-

112

所以c?=l-a--%--J，所以%=2c-a_f-c-\=2-2a-2%，

n4JJnnlnn

2222,2)

所以q=_qa,“+］，所以q_三=_4-，又因為6=0,所以4

,Z55

所以數(shù)列是2首項為-：，公比為-:的等比數(shù)列,

I5。JDD

n-\

所以qq1-1,即勺=?I-

22

因此經(jīng)過200次傳球后A隊員控制球的概率Woo=三1-

nr5

3.排球隊的6名隊員進(jìn)行傳球訓(xùn)練，每位隊員把球傳給其他5人的概率相等，由甲開始傳球

(1)求前3次傳球中，乙恰有I次接到球的概率；

(2)設(shè)第〃次傳球后球在乙手中的概率為2,求K.

【答案】(I)鴻；(2)匕=1>-

【分析】

(1)利用獨(dú)立事件的概率乘法公式與互斥事件的概率加法公式可求得所求事件的概率；

(2)求得2=(1-E-Jx,可推導(dǎo)出數(shù)列《匕-成為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項和公比，進(jìn)而可求得數(shù)

5

列花｝的通項公式.

【詳解】

(1)記事件A為“前3次傳球中，乙恰有1次接到球”,

zx144144156

PD(A4)=-xlx—+—x-xl+—x—x-=；

V75555555125

(2)由題意，^=(l-^)xl

JJ

所以,數(shù)列,得是以，為首項,

以為公比的等比數(shù)列,

【題型三】游走模式

【典例分析】

質(zhì)點(diǎn)在X軸上從原點(diǎn)。出發(fā)向右運(yùn)動，每次平移一個單位或兩個單位，且移動一個單位的概率為2,移動2

3

個單位的概率為1,設(shè)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)（兒。）的概率為匕.

（【）求1和旦；（［I）用表示并證明｛匕—么J是等比數(shù)列；（IH）求

17

【答案】（I）P!=?,P,=~

3'9

（H）證明見解析.

311

（III）

443

【詳解】

2I7

（【）P尸2,A—■—

3339

（II）由題意可知，質(zhì)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)（n,0）,可分兩種情形，由點(diǎn)（n-1,0）右移1個單位或由點(diǎn)（n-2,0）右移2

2

個單位，故由條件可知：（n>3）

上式可變形為匕-6,■；2匕_,?：12？-I-匕_,）

7：-匕J是以一；為公比的等比數(shù)列?

72I

其首項P2-P尸

939

（III）由（1【）知Pn—PnT=，（-L『-2（n>2）

93

J2*(4?一)+…?(〃?《)?A

【變式演練】

1.如今我們的互聯(lián)網(wǎng)生活日益豐富，除了可以很方便地網(wǎng)購，網(wǎng)絡(luò)外賣也開始成為不少人日常生活中重要的

一部分，其中大學(xué)生更是頻頻使用網(wǎng)絡(luò)外賣服務(wù).A市教育主管部門為掌握網(wǎng)絡(luò)外賣在該市各大學(xué)的發(fā)展情

況，在某月從該市大學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查了100人，并將這100人在本月的網(wǎng)絡(luò)外賣的消費(fèi)金額制成如下頻數(shù)分

布表（已知每人每月網(wǎng)絡(luò)夕卜賣消費(fèi)金額不超過3000元）：

消費(fèi)金額（單位：百元）[0,5](5,10](10,15](15,20](20,25](25,30]

頻數(shù)2035251055

⑴由頻數(shù)分布表可以認(rèn)為，該市大學(xué)生網(wǎng)絡(luò)外賣消費(fèi)金額Z(單位：元)近似地服從正態(tài)分布N(〃Q2),

其中〃近似為樣本平均數(shù)1(每組數(shù)據(jù)取區(qū)間的中點(diǎn)值，。=660).現(xiàn)從該市任取20名大學(xué)生，記其中網(wǎng)絡(luò)

外賣消費(fèi)金額恰在390元至2370元之間的人數(shù)為X,求X的數(shù)學(xué)期望；

(2)A市某大學(xué)后勤部為鼓勵大學(xué)生在食堂消費(fèi)，特地給參與本次問卷調(diào)查的大學(xué)生每人發(fā)放價值100元的

飯卡，并推出一檔“勇闖關(guān),送大獎”的活動,規(guī)則是:在某張方格圖上標(biāo)有第。格、第1格、第2格、…、第60

格共61個方格.棋子開始在第。格，然后擲一枚均勻的硬幣(已知硬幣出現(xiàn)正、反面的概率都是梟其中乙=1),

若擲出正面，將棋子向前移動一格(從攵到攵+1),若擲出反面，則將棋子向前移動兩格(從k到2+2).

重復(fù)多次，若這枚棋子最終停在第59格，則認(rèn)為“闖關(guān)成功”，并贈送500元充值飯卡：若這枚棋子最終停在

第60格，則認(rèn)為“闖關(guān)失敗”，不再獲得其他獎勵，活動結(jié)束.

①設(shè)棋子移到第〃格的概率為匕，求證：當(dāng)13”59時，花-匕J是等比數(shù)列；

②若某大學(xué)生參與這檔“闖關(guān)游戲”，試比較該大學(xué)生闖關(guān)成功與闖關(guān)失敗的概率大小，并說明理由.

參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量4服從正態(tài)分布則尸(〃-b<”4+b)=0.6827,

P(u-2b<4,〃+2a)=0.9545,P(〃-3cr<￡〃+3cr)=0.9973.

【答案】(1)16.372；(2)①證明見解析；②闖關(guān)成功的概率大丁?闖關(guān)失敗的概率，理由見解析.

(1)根據(jù)數(shù)據(jù)算出；=1050,由Z服從正態(tài)分布N(1050,6602),算出概率，即X3(2008186),進(jìn)而算出X

的數(shù)學(xué)期望；

(2)①棋子開始在第。格為必然事件，4=1.第?次擲硬幣出現(xiàn)正面，棋子移到第1格，其概率為：，即4=g.

棋子移到第〃(2W〃W59)格的情況是下列兩種，即棋子先到第〃-2格，又?jǐn)S出反面，其概率為;4_2；棋子

先到第〃一1格，又?jǐn)S出正面，其概率為;％.所以?即匕-進(jìn)而求證

N乙乙乙

當(dāng)10459時，/一%｝是等比數(shù)列；②由①知耳一1二一；，勺一〃=

L,

得+???+、；所以”=1+一;+...+(—g

(〃=()」,2,,59).算出相應(yīng)概率判斷出闖關(guān)成功的概率大于闖關(guān)失敗的概率.

【詳解】

解：(1)x=250x0.24-750x0.354-1250x0.25+1750x0.1+2250x0.05+2750

x0.05=1050,

因為Z服從正態(tài)分布N(1050,66tf),所以

P(39O<Z<2370)=P(/7-O-<Z<//+2O-)=0.9545-。死右,0.6827=。為x86

所以X8(20,0.8186),

所以X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=20X0.8186=16.372.

(2)①棋子開始在第。格為必然事件，4=1.

第?次擲硬幣出現(xiàn)正面，棋子移到第1格，其概率為g,即《=；.

棋子移到第〃(24〃45%格的情況是下列兩種，而且也只有兩種：

棋子先到第〃-2格，乂擲出反面，其概率為《ET；

棋子先到第〃-1格，又?jǐn)S出正面，其概率為耳乙”

所以巴

即8—匕-=—T（KT—2-2），且44=彳，

所以當(dāng)1<〃459時，數(shù)列優(yōu)-匕1是首項《-4=-g,公比為-g的等比數(shù)列.

②由①知"1=4,6,『鳥=1￡|,L,2r.m，

以上各式相加，得匕_i='L+|-，）++（--,

\2Jk2y\2>

2M2（1Y

所以闖關(guān)成功的概率為&=、1---=-1--,

闖關(guān)失敗的概率為之=g&=gx]”（一￡|=|

一小川小出W撲?！?/p>

所以該大學(xué)生闖關(guān)成功的概率大于闖關(guān)失敗的概率.

2.如圖所示，質(zhì)點(diǎn)P在正方形ABCD的四個頂點(diǎn)上按逆時針方向前進(jìn).現(xiàn)在投擲一個質(zhì)地均勻、每個面上

標(biāo)有一個數(shù)字的正方體玩具，它的六個面上分別寫有兩個I、兩個2、兩個3一共六個數(shù)字.質(zhì)點(diǎn)P從A點(diǎn)

出發(fā)，規(guī)則如下：當(dāng)正方體上底面出現(xiàn)的數(shù)字是1,質(zhì)點(diǎn)P前進(jìn)一步（如由A到B）；當(dāng)正方體上底面出現(xiàn)的

數(shù)字是2,質(zhì)點(diǎn)P前進(jìn)兩步（如由A到C）,當(dāng)正方體上底面出現(xiàn)的數(shù)字是3,質(zhì)點(diǎn)P前進(jìn)三步（如曰A到D）.在

質(zhì)點(diǎn)P轉(zhuǎn)一圈之前連續(xù)投擲，若超過一圈，則投擲終止.

DC

⑴□求質(zhì)點(diǎn)P恰好返回到A點(diǎn)的概率;

⑵在質(zhì)點(diǎn)P轉(zhuǎn)一圈恰能返回到A點(diǎn)的所有結(jié)果中，用隨機(jī)變量彳表示點(diǎn)P恰能返回到A點(diǎn)的投擲次數(shù)，求

g的數(shù)學(xué)期望.

【答案】（l）P=P2+P3+P4=：+：+±=^.

jyoIoI

33119

⑵區(qū)=2x彳+3x亍+4x^=7

【詳解】

本試題主要是考查r古典概型概率的計算公式，以及利用獨(dú)立事件的概率的乘法公式得到概率值，并且得

到隨機(jī)變量各個取值的概率值,從而得到分布列和期望值.

（1）先分析實驗中所有的基本事件，然后利用等可能時間的概率公式得到結(jié)論.同時要結(jié)合獨(dú)立試驗的概

率公式表示得到.

（2）利用第一問中的結(jié)論，可知&的可能取值為234,然后分別得到各自的概率值，求解得到.

91

解析：（1）投擲一次正方體玩具，每個數(shù)字在上底面出現(xiàn)都是等可能的，其概率為已=5=丁

o3

只投擲一次不可能返回到A點(diǎn)；若投擲兩次質(zhì)點(diǎn)P就恰好能返回到A點(diǎn)，則上底面出現(xiàn)的兩個數(shù)字應(yīng)依次

為：（1,3）、（3,1）、（2,2）三種結(jié)果，其概率為P2=（，2x3=：；

若投擲三次質(zhì)點(diǎn)P恰能返回到A點(diǎn)，則上底面出現(xiàn)的三個數(shù)字應(yīng)依次為：（11,2）、（1,2,1）、（2,1,1）三種結(jié)果，

其概率為P3=（1）3X3=1；

若投擲四次質(zhì)點(diǎn)P恰能返回到A點(diǎn)，則上底面出現(xiàn)的四個數(shù)字應(yīng)依次為：（1,1,1,1）.其概率為P4=（[）4=].

3oI

所以，質(zhì)點(diǎn)P恰好返I可到A點(diǎn)的概率為：P=P2+P3+P4=:+：+!=瞽.6分

398181

⑵由⑴知，質(zhì)點(diǎn)P轉(zhuǎn)一圈恰能返回到A點(diǎn)的所有結(jié)果共有以上問題中的7種情況，且&的可能取值為234,

33I

則P《=2）=彳，P（4=3）=y,P（^=4）=y,

33119

所以，E^=2Xy+3Xy+4Xy=y.

3.2019年7曰1日至3日，世界新能源汽車大會在海南博鰲召開，大會著眼于全球汽車產(chǎn)業(yè)的轉(zhuǎn)型升級和

生態(tài)環(huán)境的持續(xù)改善.某汽車公司順應(yīng)時代潮流，最新研發(fā)了一款新能源汽車，并在出廠前對100輛汽車進(jìn)

行了單次最大續(xù)航里程（理論上是指新能源汽車所裝載的燃料或電池所能夠提供給車行駛的最遠(yuǎn)里程）的

（1）估計這100輛汽車的單次最大續(xù)航里程的平均值工（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）.

（2）根據(jù)大量的汽車測試數(shù)據(jù)，可以認(rèn)為這款汽車的單次最大續(xù)航里程X近似地服從正態(tài)分布N（〃Q2）,

經(jīng)計算第（I）問中樣本標(biāo)準(zhǔn)差S的近似值為50.用樣本平均數(shù)元作為〃的近似值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為。的

估計值，現(xiàn)任取一輛汽車，求它的單次最大續(xù)航里程恰在25。千米到400千米之間的概率.

參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量。服從正態(tài)分布N（〃,5），則p—+cr）2so.6827,

PS-2。＜品,+2。）?0.9545,P（〃-3。＜,+3cr）?0.9973.

（3）某汽車銷售公司為推廣此款新能源汽車，現(xiàn)面向意向客戶推出“玩游戲，送大獎”活動，客戶可根據(jù)拋

擲硬幣的結(jié)果，操控微型遙控車在方格圖上行進(jìn)，若遙控車最終停在“勝利大本營”，則可獲得購車優(yōu)惠券.

已知硬幣出現(xiàn)正、反面的概率都是g,方格圖上標(biāo)有第0格、第1格、第2格第50格.遙控車開始在

第0格，客戶每擲一次硬幣，遙控車車向前移動一次，若擲出正面，遙控車向前移動一格（從上到4+1）,

若擲出反面，遙控車向前移動兩格(從M到k+2),直到遙控車移到第49格(勝利大本營)或第50格(失

敗大本營)時，游戲結(jié)束，設(shè)遙控車移到第〃格的概率為匕，試說明｛匕-％｝是等比數(shù)列，并解群此方案

能否成功吸引顧客購買該款新能源汽車.

【答案】(1)300(千米)(2)0.8186(3)說明詳見解析，此方案能夠成功吸引顧客購買該款新能源汽車

【分析】

(1)利用頻率分布直方圖的平均數(shù)的計算方法即可得出X.

(2)由X~N(300,502).利用正態(tài)分布的對稱性可得P(250<X,400).

(3)遙控車開始在第0格為必然事件，/?)=!.第一次擲硬幣出現(xiàn)正面，遙控車移到第一格，其概率為

即<=；.遙控車移到第〃(2效人[9)格的情況是下面兩種，而且只有兩種；①遙控車先到第〃-2格，又?jǐn)S出

反面，其概率為！匕々.②遙控車先到第〃-1格，又?jǐn)S出正面，其概率為:匕…可得：匕=3+，.變

形為E—即可證明掇b49時，數(shù)列｛匕-月-｝是等比數(shù)列，首項為6-兄，公比為一)

的等比數(shù)列.利用9=(列一%)+(七一&2)+……+(4-勿+與，及其求和公式即可得出.可得獲勝的概率%,

失敗的概率之.進(jìn)而得出結(jié)論.

【詳解】

解：⑴

x=O.(X)2x5()x2O5+O.(X)4x50x255+O.(X)9x5()x3O5+O.(X)4x50x355+O.(X)lx5Ox4()5=3(X)(千米).

(2)由X~N(300,SO?).

/.尸(250<X”400)=0.9545-"9545—0.6827=0§186

2

(3)遙控車開始在第0格為必然事件，《=1.第一次擲硬幣出現(xiàn)正面，遙控車移到第一格，其概率為

即吟.

遙控車移到第〃(2冽749)格的情況是下面兩種，而且只有兩種:

①遙控車先到第〃-2格，乂擲出反面，其概率為3匕.2.

②遙控車先到笫〃-1格，乂擲出止面，其概率為

.?.1蒯？49時，數(shù)列｛己-是等比數(shù)列，首項為4-B=-g，公比為-；的等比數(shù)歹I

?*T=—；，8-4=管，4心=(一夕，……，匕-"(-3"?

%)+(?T-乃一2)+……+(《—6)+?=(一$”+(-g)"T+……—g+]

=——=][1一(一；)"力(〃=o,1,.…一,49).

1-(-)

???獲勝的概率&=|u-(一/，

失敗的概率滔口-得叫=如(曠】.

=^[i-(-l)50]-^+(1)49]=1n-(i)48]>o.

???獲勝的概率大.

???此方案能成功吸引顧客購買該款新能源汽車.

【題型四】藥物試驗?zāi)Ｊ?/p>

【典例分析】

為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥有效，為此進(jìn)行動物試驗.試驗方案如

下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進(jìn)行對比試驗.對于兩只白鼠，隨機(jī)選一只更施以甲藥，另一只施以

乙藥.一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗.當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠

多4只時，就停止試驗，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效.為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗，

若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得-1分；若施以乙藥的白鼠治愈

且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得-1分：若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分.甲、

乙兩種藥的治愈率分別記為a和6一輪試驗中甲藥的得分記為X.

(1)求X的分布列；

(2)若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分，/乙(，=0,1,,8)表示“甲藥的累計得分為，時，最終認(rèn)

為甲藥比乙藥更有效”的概率，則〃o=O,“8=1,p，=dpi+bpi+epi.、(J=T2,7),其中

a=P(X=-l),b=P(X=0),c=P(X=l).假設(shè)。=0.5,4=。.8.

⑴證明：｛一〃J(i=0,1,2,…,7)為等比數(shù)列；

(ii)求〃4,并根據(jù)幺的值解釋這種試驗方案的合理性.

P(X=-l)=(l-a)/7,

解：X的所有可能取值為一1。1.P(X=0)=3+(1-。)(1一夕)，所以X的分布列為

p(X=l)=a("。),

x-ioI

P|("aW—+

(2)(i)由(1)得a=0.4,〃=0.5,<?=().1.

因此〃尸0.4〃一+0.5化+0.1/%”故0.1(Pj+]_pJ=0.4(Pj_p*J,即

外「2=4(p,.一〃,.」).

又因為PL〃o=PiWO,所以｛p,+「〃j｝a=0J2,??,,7)為公比為4,首項為的等比數(shù)列.

(ii)由⑴可得

4’-1

A=〃8-〃7+仍一〃6+'??+P|-〃o+〃O=(〃8一〃7)+(〃7一〃6)+…+=A?

3

由于“8=1，故〃1=島，所以

4-I

44-11

P4=(〃4一〃3)+(〃3一〃2)+(〃2-〃|)+(四-〃。)=^-外=—?

p4表示最終認(rèn)為甲藥更有效的概率，由計算結(jié)果可以看出，在甲藥治愈率為().5,乙藥治

愈率為0.8時，認(rèn)為甲藥更有效的概率為〃4=擊怒0.0039,此時得出錯誤結(jié)論的概率非

常小，說明這種試驗方案合理.一

【提分秘籍】

基本規(guī)律

也是馬爾科夫鏈與數(shù)列的綜合應(yīng)用

【變式演練】

1.冠狀病毒是一個大型病毒家族，已知可引起感冒以及中東呼吸綜合征（MEKS）和嚴(yán)重急性呼吸綜合征

（S4KS）等較嚴(yán)重疾病.而今年出現(xiàn)在湖北武漢的新型冠狀病毒SCoV）是以前從未在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒

新毒株.人感染了新型冠狀病毒后常見體征有呼吸道癥狀、發(fā)熱、咳嗽、氣促和呼吸困難等.在較嚴(yán)重病例中，

感染可導(dǎo)致肺炎、嚴(yán)重急性呼吸綜合征、腎衰竭，甚至死亡.某醫(yī)院為篩查冠狀病毒，需要檢驗血液是否為陽

性，現(xiàn)有〃份血液樣本，有以下兩種檢驗方式：

方式一：逐份檢驗，則需要檢驗〃次.

方式二：混合檢驗，將其中且校2）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗.若檢驗結(jié)果為陰性，這左

份的血液全為陰性，因而這女份血液樣本只要檢驗一次就夠了，如果檢驗結(jié)果為陽性，為了明確這攵份血

液究竟哪幾份為陽性，就要對這大份再逐份檢驗，此時這A份血液的檢驗次數(shù)總共為攵+1.

假設(shè)在接受檢驗的血液樣本中，每份樣本的檢驗結(jié)果是陽性還是陰性都是獨(dú)立的，且每份樣本是陽性結(jié)果

的概率為p（Ovpvl）.現(xiàn)取其中代攵eN“且后2）份血液樣本，記采用逐份檢驗，方式，樣本需要檢驗的總次數(shù)

為。，采用混合檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數(shù)為

（1）若￡（。）二E?2），試求P關(guān)于A的函數(shù)關(guān)系式PdA）.

（2）若p與干擾素計量%相關(guān)，其中西,々，，/，（〃22）是不同的正實數(shù)，滿足4=1且

1_1

"+1一焉=（/-63）//+「

⑺求證：數(shù)列｛與｝為等比數(shù)列；

?1

5）當(dāng)P=?一芯時采用混合檢驗方式可以使得樣本需要檢驗的總次數(shù)的期望值比逐份檢驗的總次數(shù)的期

望值更少，求女的最大值.

【答案】（1）p=⑵⑺證明見解析；m）4

【詳解】（1）由已知得的可能取值為iM+i,所以p（務(wù)=1）=（1—〃）"，

戶值=八1）=「（|一〃）【

所以￡仁）=（1一〃『+僅+1）［1-（1一〃）［=攵+1-&（1-〃）",因為七?）二七（女），即

k=k+\-k（\-,

所以2（i—〃y=L所以

Id

22

rv1-1X,I+1X,g31

⑵⑺證明:因為以=必小所以?——^=?3_?3,所以3^=e--

所以土包二滔或土包=-J?（舍去），所以｛七｝是以1為首項以%為公比的等比數(shù)列.

H-I

（，）由⑺可知X”=?亍〃￡7^卜則％=?，即，=1一詬，由題意可知E?）＞E（$）,則有

113-x

整理得Ink-.攵＞0、設(shè)°（x）=—,

當(dāng)上?0,3）時,。（％）＞0：當(dāng)j￡（3,內(nèi)）時,。（力＜0.故0（x）在（0,3）卜單調(diào)遞增，在（3,+8）卜單調(diào)遞減,

又9(4)>0。⑸v0,所以2的最大值為4.

2.2019年12月以來，湖北武漢市發(fā)現(xiàn)多起病毒性肺炎病例，并迅速在全國范圍內(nèi)開始傳播，專家組認(rèn)為，

本次