15.3分式方程（解析版）

15.3分式方程一、單選題1．已知關(guān)于的不等式組無(wú)解，關(guān)于的分式方程有整數(shù)解，則滿足條件的所有整數(shù)的和為（）A．6 B．8 C．10 D．13【答案】D2．石家莊某活動(dòng)小組到教育基地游學(xué)，租用面包車的車費(fèi)為180元．出發(fā)時(shí)又增加了2名同學(xué)，結(jié)果每名同學(xué)比原來(lái)少攤了3元車費(fèi)．若設(shè)該活動(dòng)小組原有x人，則所列方程為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)總費(fèi)用÷總?cè)藬?shù)為人均分?jǐn)傎M(fèi)用，計(jì)算兩次的分?jǐn)傎M(fèi)用，后根據(jù)題意列出方程即可【詳解】設(shè)該活動(dòng)小組原有x人，則出發(fā)后的人數(shù)為（x+2）人，根據(jù)題意，得，故選B【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程解應(yīng)用題，熟練掌握列分式方程的基本要領(lǐng)是解題的關(guān)鍵．3．暑假期間，某科幻小說(shuō)的銷售量急劇上升．某書店分別用600元和800元兩次購(gòu)進(jìn)該小說(shuō)，第二次購(gòu)進(jìn)的數(shù)量比第一次多40套，且兩次購(gòu)書時(shí)，每套書的進(jìn)價(jià)相同．若設(shè)書店第一次購(gòu)進(jìn)該科幻小說(shuō)x套，由題意列方程正確的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)第一次進(jìn)書的總錢數(shù)÷第一次購(gòu)進(jìn)套數(shù)＝第二次進(jìn)書的總錢數(shù)÷第二次購(gòu)進(jìn)套數(shù)列方程可得．【詳解】若設(shè)書店第一次購(gòu)進(jìn)該科幻小說(shuō)x套，由題意列方程正確的是，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程，解題的關(guān)鍵是理解題意找到題目蘊(yùn)含的相等關(guān)系．4．已知關(guān)于x的方程＝3的解是正數(shù)，那么m的取值范圍為（）A．m＞﹣6且m≠2 B．m＜6且m≠2 C．m＞﹣6且m≠﹣4 D．m＜6且m≠﹣2【答案】C【分析】先求得分式方程的解（含m的式子），然后根據(jù)解是正數(shù)可知m+6＞0，從而可求得m＞-6，然后根據(jù)分式的分母不為0，可知x≠2，即m+6≠2，由此即可求解．【詳解】將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程得：2x+m=3x-6解得：x=m+6．∵方程得解為正數(shù)，所以m+6＞0，解得：m＞-6．∵分式的分母不能為0，∴x-2≠0，∴x≠2，即m+6≠2．∴m≠-4．故m＞-6且m≠-4．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是解分式方程和一元一次不等式的應(yīng)用，求得方程的解，從而得到關(guān)于m的不等式是解題的關(guān)鍵．5．有一段全長(zhǎng)為800米的公路，路面需整改，為了盡量減少施工對(duì)城市交通所造成的影響，實(shí)際施工時(shí)，每天的功效比原計(jì)劃增加10%，

結(jié)果提前3天完成這一任務(wù)，設(shè)原計(jì)劃每天整改x米，則下列方程正確的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】用x表示出計(jì)劃和實(shí)際完成的時(shí)間，再結(jié)合實(shí)際比計(jì)劃提前3天完成任務(wù)作為等量關(guān)系列方程即可．【詳解】實(shí)際每天整改米，則實(shí)際完成時(shí)間天，計(jì)劃完成時(shí)間天，∵實(shí)際比計(jì)劃提前3天完成任務(wù)∴得方程．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的應(yīng)用．列分式方程解應(yīng)用題與所有列方程解應(yīng)用題一樣，重點(diǎn)在于準(zhǔn)確地找出相等關(guān)系，這是列方程的依據(jù)．而難點(diǎn)則在于對(duì)題目已知條件的分析，找出等量關(guān)系，因此需圍繞題中關(guān)鍵詞進(jìn)行分析．6．若關(guān)于x的方程有增根，則m的值為（）A．不存在 B．6 C．12 D．6或12【答案】D【分析】根據(jù)增根的定義確定x的值，把分式方程去分母后，代入即可求m的值．【詳解】，去分母得，∵方程有增根，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的增根，解題關(guān)鍵是明確增根的意義，確定未知數(shù)的值．7．已知關(guān)于x的一元一次不等式組的解集為x＞7，且關(guān)于y的分式方程﹣1＝的解為正整效，則滿足條件的所有整數(shù)a的和為（）A．﹣3 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣11【答案】C【分析】不等式組整理后，根據(jù)已知解集確定出a的范圍，分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，由分式方程有正整數(shù)解，確定出a的值，求出之和即可．【詳解】不等式組整理得：，由解集為x＞7，得到2﹣a≤7，解得a≥﹣5，分式方程去分母得：ay+5﹣y+3＝﹣4，解得：y＝，∵y為正整數(shù)解，且y≠3，∴a＝0，﹣1，﹣2，﹣5，﹣11，又∵a≥﹣5，∴a＝0，﹣1，﹣2，﹣5，∴滿足條件的整數(shù)a的和為﹣8．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式組，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．8．已知關(guān)于x的不等式組有解，且關(guān)于y的分式方程有正整數(shù)解，則所有滿足條件的整數(shù)a的值的個(gè)數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】根據(jù)分式方程的解為正整數(shù)即可得出a＞，且a≠3，根據(jù)不等式組有解，即可得a＜9，找出所有符合條件的正整數(shù)，a的個(gè)數(shù)為2．【詳解】解方程得：，∵分式方程的解為正整數(shù)，∴2a＋3＞0，即a＞－，又y≠3，∴≠3，即a≠3，則a＞，且a≠3，，解不等式①，得x＜2，解不等式②，得x≥，∵此不等式組有解，∴＜2，解得a＜9，綜上，a的取值范圍是＜a＜9，且a≠3，則符合題意的整數(shù)a的值有0，6共2個(gè)，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的解以及解一元一次不等式組，根據(jù)分式方程的解為正整數(shù)結(jié)合不等式組有解，找出＜a＜9，且a≠3是解題的關(guān)鍵．二、填空題9．某班在植樹節(jié)時(shí)需完成一批植樹任務(wù)，若由全班學(xué)生一起完成每人需植樹8棵；若由女生單獨(dú)完成每人需植樹12棵，則由男生單獨(dú)完成每人需植樹_____棵．【答案】24．【分析】要求單獨(dú)由男生完成，每人應(yīng)植樹多少棵，就要先設(shè)出未知數(shù)，根據(jù)題中的等量關(guān)系，列方程求解即可．【詳解】設(shè)單獨(dú)由男生完成，每人應(yīng)植樹x棵．那么根據(jù)題意可得出方程：，解得：x＝24．檢驗(yàn)得x＝24是方程的解．因此單獨(dú)由男生完成，每人應(yīng)植樹24棵．故答案為：24．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的應(yīng)用，為工作效率問(wèn)題，可根據(jù)題意列出方程，判斷所求的解是否符合題意即可．10．若關(guān)于的分式方程無(wú)解，則的值是______．【答案】2或-4【分析】按照解分式方程的步驟，把方程兩邊乘最簡(jiǎn)公分母，化為關(guān)于x的一元一次方程，把增根代入一元一次方程中，可求得a的值．【詳解】方程兩邊同乘(x+1)(x-1)，得a-2(x-1)=x+1由于分式方程在增根x=1和x=-1把x=1代入a-2(x-1)=x+1中，得a=2把x=-1代入a-2(x-1)=x+1中，得a=-4所以a的取值為2或-4故答案為：2或-4【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程有增根時(shí)參數(shù)的取值問(wèn)題，關(guān)鍵要根據(jù)分式方程的分母確定方程的增根．11．若關(guān)于x的分式方程有增根，則a＝__________．【答案】2【分析】先將分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，根據(jù)分式方程有增根求出x的值，代入整式方程計(jì)算即可求出a的值．【詳解】，去分母，得a＝2＋x?1，∵分式方程有增根，∴x?1＝0，解得x＝1，將x＝1代入整式方程，得a＝2，故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了分式方程無(wú)解問(wèn)題，解答此類問(wèn)題可按如下步驟進(jìn)行：①化分式方程為整式方程；②確定增根；③把增根代入整式方程，計(jì)算后即可求得相關(guān)字母的值．12．已知方程，且關(guān)于x的不等式組只有3個(gè)整數(shù)解，那么的取值范圍是_______．【答案】3≤b＜4【分析】首先解分式方程求得a的值，然后根據(jù)不等式組的解集確定x的范圍，再根據(jù)只有3個(gè)整數(shù)解，確定b的范圍．【詳解】解方程，兩邊同時(shí)乘以a得：2-a＋2a=3，解得：a=1，∴關(guān)于x的不等式組，則解集是1≤x≤b，∵不等式組只有3個(gè)整數(shù)解，則整數(shù)解是1，2，3，∴3≤b＜4．故答案是：3≤b＜4．【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是一元一次不等式組的解法和解分式方程，求不等式組的解集，應(yīng)遵循以下原則：同大取較大，同小取較小，小大大小中間找，大大小小解不了．三、解答題13．某班13位同學(xué)參加每周一次的衛(wèi)生大掃除，按學(xué)校的衛(wèi)生要求需要完成總面積為的三個(gè)項(xiàng)目的任務(wù)，三個(gè)項(xiàng)目的面積比例和每人每分鐘完成各項(xiàng)目的工作量如下圖所示：（1）從上述統(tǒng)計(jì)圖中可知：①每人每分鐘擦課桌椅______；②擦玻璃、擦課桌椅、掃地拖地的面積分別是________，_______，________；（2）他們一起完成掃地和拖地的任務(wù)后，把這13人分成兩組，一組去擦玻璃，一組去擦課桌椅，如果你是衛(wèi)生委員，該如何分配這兩組的人數(shù)，才能同時(shí)地完成任務(wù)．【答案】（1）①；②16；20；44；（2）8人擦玻璃，5人擦課桌椅【分析】（1）①②觀察統(tǒng)計(jì)圖，直接計(jì)算；（2）把這13人分成兩組，一組去擦玻璃，一組去擦課桌椅，設(shè)有x人擦玻璃，則有（13-x）人擦課桌椅，擦玻璃的面積是16m2，擦課桌椅的面積是20m2，據(jù)此列出方程，解之即可．【詳解】（1）①由統(tǒng)計(jì)圖可得，每人每分鐘能擦課桌椅m2；②擦玻璃的面積是80×20%=16m2，擦課桌椅的面積是80×25%=20m2，掃地拖地的面積是80×55%=44m2；（2）設(shè)有x人擦玻璃，則有（13-x）人擦課桌椅，由題意得：，解得x=8，經(jīng)檢驗(yàn)：x=8是方程的解，∴13-x=13-8=5（人），所以派8人擦玻璃，5人擦課桌椅，能同時(shí)完成任務(wù)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查條形統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖、分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件．14．已知關(guān)于x的方程的解為非負(fù)數(shù)，求的取值范圍．【答案】且【分析】先解分式方程，因?yàn)榻鉃樨?fù)數(shù)，解不等式，要注意解不能為增根．【詳解】移項(xiàng)：去分母：解得：方程的解為非負(fù)數(shù)又的取值范圍為：【點(diǎn)評(píng)】本題考查了，分式方程的解，解分式方程，一元一次不等式的解法；注意分式方程要檢驗(yàn)，本題檢驗(yàn)是解題的關(guān)鍵．15．2020年春，湖北省武漢市爆發(fā)新冠疫情，我校師生積極捐款，已知第一天捐款4800元，第二天捐款6000元，第二天捐款人數(shù)比第一天捐款人數(shù)多50人，且兩天人均捐款數(shù)相等，那么兩天共參加捐款的人數(shù)是多少？【答案】450人【分析】設(shè)第一天有人參加捐款，根據(jù)已知第一天捐款4800元，第二天捐款6000元，第二天捐款人數(shù)比第一天捐款人數(shù)多50人，且兩天人均捐款數(shù)相等，可列出方程求解．【詳解】設(shè)第一天有人參加捐款，則第二天有人參加捐款依題意得：，解得：，檢驗(yàn)：時(shí)，，即是原方程的解，故第一天有200人捐款，第二天有250人捐款，兩天一共有450人捐款，答：兩天參加捐款的人一共有450人．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找到關(guān)鍵描述語(yǔ)，找到合適的等量關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，再列分式方程解應(yīng)用題時(shí)，設(shè)間接未知數(shù)，有時(shí)可使解答變得簡(jiǎn)捷．16．解下列方程：（1）；（2）【答案】（1）；（2）原方程無(wú)解【分析】（1）分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解；（2）分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解．【詳解】（1）去分母，得：解得，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，是原方程的解；（2）去分母得，解得，檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，，是原方程的增根原方程無(wú)解．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解．解分式方程一定注意要驗(yàn)根．17．某公司購(gòu)買了A、B兩種不同型號(hào)的口罩，已知A型口罩的單價(jià)比B型口罩的單價(jià)多4.5元，且用12000元購(gòu)買A型口罩的數(shù)量與用3000元購(gòu)買B型口罩的數(shù)量相同．（1）A、B兩種型號(hào)口罩的單價(jià)各是多少元？（2）該公司還需要增加購(gòu)買一些口罩，增加購(gòu)買B型口罩?jǐn)?shù)量是A型口罩?jǐn)?shù)量的4倍，若總費(fèi)用不超過(guò)6000元，則增加購(gòu)買A型口罩的數(shù)量最多是多少個(gè)？【答案】（1）A型口罩的單價(jià)為6元，則B型口罩的單價(jià)為1.5元；（2）增加購(gòu)買A型口罩的數(shù)量最多是500個(gè)【分析】（1）設(shè)A型口罩的單價(jià)為x元，則B型口罩的單價(jià)為（x﹣4.5）元，根據(jù)數(shù)量=總價(jià)÷單價(jià)，結(jié)合用12000元購(gòu)買A型口罩的數(shù)量與用3000元購(gòu)買B型口罩的數(shù)量相同，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出結(jié)論；（2）設(shè)增加購(gòu)買A型口罩的數(shù)量是m個(gè)，則增加購(gòu)買B型口罩?jǐn)?shù)量是4m個(gè)，根據(jù)總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量，結(jié)合總價(jià)不超過(guò)6000元，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出結(jié)論．【詳解】（1）設(shè)A型口罩的單價(jià)為x元，則B型口罩的單價(jià)為（x﹣4.5）元，根據(jù)題意，得：．解方程，得：x＝6．經(jīng)檢驗(yàn)：x＝6是原方程的根，且符合題意．所以x﹣4.5＝1.5．答：A型口罩的單價(jià)為6元，則B型口罩的單價(jià)為1.5元；（2）設(shè)增加購(gòu)買A型口罩的數(shù)量是m個(gè)，根據(jù)題意，得：1.5×4m+6m≤6000．解不等式，得：m≤500．正整數(shù)m的最大值為500．答：增加購(gòu)買A型口罩的數(shù)量最多是500個(gè)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式．18．用電腦程序控制小型賽車進(jìn)行比賽，“暢想號(hào)”和“和諧號(hào)”兩輛賽車進(jìn)入了決賽，比賽前的練習(xí)中，兩輛車從起點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，“暢想號(hào)”到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，“和諧號(hào)”離終點(diǎn)還差，已知“暢想號(hào)”的平均速度為．（1）求“和諧號(hào)”的平均速度；（2）如果兩車重新開始比賽，“暢想號(hào)”從起點(diǎn)后退，兩車同時(shí)出發(fā)，兩車能否同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)？若能，求出兩車到達(dá)終點(diǎn)的時(shí)間；若不能，在此種情況下，請(qǐng)重新調(diào)整一輛車的平均速度，使兩車能同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)．【答案】（1）2.25m/s；（2）“暢想號(hào)”的平均速度降低m/s或“和諧號(hào)”的平均速度增加m/s，可使兩車能同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)．【分析】（1）設(shè)“和諧號(hào)”的平均速度為x，根據(jù)，“暢想號(hào)”運(yùn)動(dòng)50m與“和諧號(hào)”運(yùn)動(dòng)45m所用時(shí)間相等，可得方程，解出即可．（2）分別算出兩車到達(dá)終點(diǎn)的時(shí)間可判斷不能同時(shí)到達(dá)，再設(shè)“暢想號(hào)”的平均速度降低xm/s和“和諧號(hào)”的平均速度增加xm/s，根據(jù)時(shí)間相等，得出方程求解即可．【詳解】（1）設(shè)“和諧號(hào)”的平均速度為xm/s，由題意得，，解得：x=2.25，經(jīng)檢驗(yàn)x=2.25是原方程的解．答：“和諧號(hào)”的平均速度2.25m/s．（2）“暢想號(hào)”到達(dá)終點(diǎn)的時(shí)間是=22s，“和諧號(hào)”到達(dá)終點(diǎn)的時(shí)間是s，∴兩車不能同時(shí)到達(dá)，“暢想號(hào)”先到．方案一：設(shè)“暢想號(hào)”的平均速度降低xm/s時(shí)能使兩車同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)，則，解得：x=，經(jīng)檢