專題51 定點問題解析版-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義知識梳理、考點突破和分層檢測

試卷第=page22頁，共=sectionpages22頁Page專題51定點問題（新高考專用）目錄目錄【真題自測】 2【考點突破】 5【考點1】直線過定點問題 5【考點2】其它曲線過定點問題 16【分層檢測】 28【基礎(chǔ)篇】 28【能力篇】 42【培優(yōu)篇】 48真題自測真題自測一、解答題1．（2022·全國·高考真題）已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點，對稱軸為x軸、y軸，且過兩點．(1)求E的方程；(2)設(shè)過點的直線交E于M，N兩點，過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點T，點H滿足．證明：直線HN過定點．2．（2021·全國·高考真題）已知橢圓C的方程為，右焦點為，且離心率為．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)M，N是橢圓C上的兩點，直線與曲線相切．證明：M，N，F(xiàn)三點共線的充要條件是．參考答案：1．(1)(2)【分析】（1）將給定點代入設(shè)出的方程求解即可；（2）設(shè)出直線方程，與橢圓C的方程聯(lián)立，分情況討論斜率是否存在，即可得解.【詳解】（1）解：設(shè)橢圓E的方程為，過，則，解得，，所以橢圓E的方程為：.（2），所以，①若過點的直線斜率不存在，直線.代入，可得，，代入AB方程，可得，由得到.求得HN方程：，過點.②若過點的直線斜率存在，設(shè).聯(lián)立得，可得，，且聯(lián)立可得可求得此時，將，代入整理得，將代入，得顯然成立，綜上，可得直線HN過定點【點睛】求定點、定值問題常見的方法有兩種：①從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；②直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.2．（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）由離心率公式可得，進而可得，即可得解；（2）必要性：由三點共線及直線與圓相切可得直線方程，聯(lián)立直線與橢圓方程可證；充分性：設(shè)直線，由直線與圓相切得，聯(lián)立直線與橢圓方程結(jié)合弦長公式可得，進而可得，即可得解.【詳解】（1）由題意，橢圓半焦距且，所以，又，所以橢圓方程為；（2）由（1）得，曲線為，當(dāng)直線的斜率不存在時，直線，不合題意；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)，必要性：若M，N，F(xiàn)三點共線，可設(shè)直線即，由直線與曲線相切可得，解得，聯(lián)立可得，所以，所以,所以必要性成立；充分性：設(shè)直線即，由直線與曲線相切可得，所以，聯(lián)立可得，所以，所以，化簡得，所以，所以或，所以直線或，所以直線過點，M，N，F(xiàn)三點共線，充分性成立；所以M，N，F(xiàn)三點共線的充要條件是．【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵是直線方程與橢圓方程聯(lián)立及韋達定理的應(yīng)用，注意運算的準(zhǔn)確性是解題的重中之重.考點突破考點突破【考點1】直線過定點問題一、解答題1．（2024·湖南邵陽·三模）已知橢圓：的離心率為，右頂點與的上，下頂點所圍成的三角形面積為．(1)求的方程．(2)不過點的動直線與交于，兩點，直線與的斜率之積恒為．（i）證明：直線過定點；（ii）求面積的最大值．2．（2024·陜西·模擬預(yù)測）已知動圓M經(jīng)過定點，且與圓內(nèi)切.(1)求動圓圓心M的軌跡C的方程；(2)設(shè)軌跡C與x軸從左到右的交點為點A，B，點P為軌跡C上異于A，B的動點，設(shè)直線PB交直線于點T，連接AT交軌跡C于點Q；直線AP，AQ的斜率分別為，.（i）求證：為定值；（ii）設(shè)直線，證明：直線PQ過定點.3．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）已知，，平面上有動點，且直線的斜率與直線的斜率之積為1.(1)求動點的軌跡的方程.(2)過點A的直線與交于點（在第一象限），過點的直線與交于點（在第三象限），記直線，的斜率分別為，，且.試判斷與的面積之比是否為定值，若為定值，請求出該定值；若不為定值，請說明理由.4．（2024·江西宜春·三模）已知以點M為圓心的動圓經(jīng)過點，且與圓心為的圓相切，記點M的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的方程；(2)若動直線l與曲線C交于，兩點（其中），點A關(guān)于x軸對稱的點為A'，且直線BA'經(jīng)過點．（?。┣笞C：直線l過定點；（ⅱ）若，求直線l的方程．5．（23-24高二下·福建泉州·期中）已知拋物線，其焦點為，點在拋物線C上，且．(1)求拋物線的方程；(2)為坐標(biāo)原點，為拋物線上不同的兩點，且，（i）求證直線過定點；（ii）求與面積之和的最小值．6．（2024·江蘇鹽城·模擬預(yù)測）已知拋物線，動直線與拋物線交于，兩點，分別過點、點作拋物線的切線和，直線與軸交于點，直線與軸交于點,和相交于點．當(dāng)點為時，的外接圓的面積是．(1)求拋物線的方程；(2)若直線的方程是，點是拋物線上在，兩點之間的動點（異于點，），求的取值范圍；(3)設(shè)為拋物線的焦點，證明：若恒成立，則直線過定點反思提升：圓錐曲線中定點問題的兩種解法(1)引進參數(shù)法：引進動點的坐標(biāo)或動線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時沒有關(guān)系，找到定點.(2)特殊到一般法：根據(jù)動點或動線的特殊情況探索出定點，再證明該定點與變量無關(guān).參考答案：1．(1)；(2)（i）證明見解析；（ii）.【分析】（1）根據(jù)橢圓的離心率及三角形面積，列出方程組求解即得.（2）（i）設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用斜率坐標(biāo)公式，結(jié)合韋達定理推理即得；（ii）由（i）的信息，借助三角形面積建立函數(shù)關(guān)系，再求出最大值.【詳解】（1）令橢圓的半焦距為c，由離心率為，得，解得，由三角形面積為，得，則，，所以的方程是.（2）（i）由（1）知，點，設(shè)直線的方程為，設(shè)，由消去x得：，則，直線與的斜率分別為，，于是，整理得，解得或，當(dāng)時，直線過點，不符合題意，因此，直線：恒過定點.（ii）由（i）知，，則，因此的面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以面積的最大值為.

【點睛】思路點睛：圓錐曲線中的幾何圖形面積范圍或最值問題，可以以直線的斜率、橫(縱)截距、圖形上動點的橫(縱)坐標(biāo)為變量，建立函數(shù)關(guān)系求解作答.2．(1)；(2)（i）證明見解析；（ii）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)給定條件，結(jié)合橢圓的定義求出軌跡C的方程.（2）（i）設(shè)出點的坐標(biāo)，利用斜率坐標(biāo)公式計算即得；（ii）聯(lián)立直線與軌跡C的方程，利用韋達定理結(jié)合（i）的結(jié)論計算即得.【詳解】（1）設(shè)動圓的半徑為r，圓的圓心，半徑，顯然點在圓內(nèi)，則，于是，因此動點M的軌跡C是以，為焦點，長軸長為4的橢圓，長半軸長，半焦距，則短半軸長，所以軌跡C的方程為.（2）（i）設(shè)，，，由（1）知，，顯然，，而，則，，又，即，所以，為定值.（ii）由消去x得，，由（i）得，又，則，解得，滿足，因此直線PQ的方程為，所以直線PQ過定點.【點睛】方法點睛：求解直線過定點問題常用方法如下：①“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；②“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個關(guān)于定點坐標(biāo)的方程組，以這個方程組的解為坐標(biāo)的點即為所求點；③求證直線過定點，常利用直線的點斜式方程或截距式來證明.3．(1)(2)是，定值為【分析】（1）設(shè)Px,y（2）分析可知，設(shè)直線和相關(guān)點，聯(lián)立方程結(jié)合韋達定理分析可得直線過定點，進而可得面積之比.【詳解】（1）設(shè)Px,y，，由題意可得：，整理得，故求動點的軌跡方程為.（2）由題意可知：，且，可得，顯然直線MN的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，Mx1,y1聯(lián)立方程，消去x得，則，，可得，則，整理可得，則，因為，則，可得，整理可得，所以直線方程為，即直線過定點，則，此時，，所以為定值.【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達定理求解.4．(1)(2)（?。┳C明見解析；（ⅱ）【分析】（1）根據(jù)動圓M與圓相切，由，利用雙曲線的定義求解；（2）（ⅰ）設(shè)直線l的方程為（顯然l與x軸不平行），與聯(lián)立，由求解；（ⅱ）由（?。┲?dāng)時，，，然后由求解.【詳解】（1）圓的圓心坐標(biāo)為，半徑．動圓M與圓相切有兩種情況，即內(nèi)切或外切，所以，所以點M在以，為焦點的雙曲線上，且該雙曲線的實軸長為，，所以，所以曲線C的方程是．（2）（?。┰O(shè)直線l的方程為（顯然l與x軸不平行），與聯(lián)立，得，由題意知，，，即，由韋達定理得，．因為點A與A'關(guān)于x軸對稱，不妨設(shè)A，B分別在第一、二象限，如圖所示．

易知，即，化為，即，化為，當(dāng)m變化時，該式恒成立，所以，故直線l過定點（-3，0）．（ⅱ）由（?。┲?，當(dāng)時，，．由，，，，化為，解得或（舍去），故，此時直線l的方程為．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題（ⅱ）的關(guān)鍵是由直線BA'經(jīng)過點，結(jié)合點A關(guān)于x軸對稱的點為A'，得到，從而將，轉(zhuǎn)化為，結(jié)合韋達定理而得解.5．(1)(2)（i）證明見解析；（ii）【分析】（1）利用焦半徑公式建立方程，解出參數(shù)，得到拋物線方程即可.（2）（i）設(shè)出，利用給定條件建立方程求出，最后得到定點即可.（ii）利用三角形面積公式寫出面積和的解析式，再利用基本不等式求最小值即可.【詳解】（1）拋物線，其焦點為，準(zhǔn)線方程為，可得，且，解得（另一個根舍去），，則拋物線的方程為；（2）（i）如圖，設(shè)的方程為，，聯(lián)立，可得，則，又，，由，可得，解得（另一個根舍去），所以直線恒過定點；（ii）由上小問可得，不妨設(shè)，則與面積之和為，，當(dāng)且僅當(dāng)，時，上式取得等號，則與面積之和的最小值為．6．(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）設(shè)外接圓的半徑為，，由已知可得，在中可得，設(shè)直線，與拋物線方程聯(lián)立根據(jù)直線與曲線只有一個交點即可求解；（2）直線的方程與拋物線方程聯(lián)立可得，坐標(biāo)，設(shè)Px,y，，可得，設(shè)，通過求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性求最值即可求解；（3）設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，的方程，聯(lián)立可得的坐標(biāo)，由得，設(shè)直線的方程為，與聯(lián)立得【詳解】（1）當(dāng)點為時，設(shè)外接圓的半徑為，，則，，在中有，，，則，，即，，設(shè)直線，與聯(lián)立得，令，又，得，所以拋物線方程為；（2）聯(lián)立，整理得，解得或，不妨設(shè)，，設(shè)Px,y，，則，，所以，又，，，設(shè)，，則，故φx在上單調(diào)遞減，在2,3上單調(diào)遞增，故，而，故的取值范圍是；（3）由得，設(shè)Ax1,y1直線，，即，令，得，同理，，所以，直線與直線兩方程聯(lián)立解得，得，又，由得，得，設(shè)直線的方程為，與聯(lián)立得，則，所以，則直線過定點.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第三問的關(guān)鍵利用導(dǎo)數(shù)得到切線方程，從而求出，再計算出，再設(shè)直線方程，將其與拋物線聯(lián)立，得到，從而解出值，得到定點坐標(biāo).【考點2】其它曲線過定點問題一、解答題1．（2024·西藏拉薩·二模）已知拋物線上的兩點的橫坐標(biāo)分別為.(1)求拋物線的方程；(2)若過點的直線與拋物線交于點，問：以為直徑的圓是否過定點？若過定點，求出這個定點；若不過定點，請說明理由.2．（2024·山東泰安·模擬預(yù)測）已知拋物線，焦點為，點在上，直線∶與相交于兩點，過分別向的準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為.(1)設(shè)的面積分別為，求證：；(2)若直線，分別與相交于，試證明以為直徑的圓過定點，并求出點的坐標(biāo).3．（2024·新疆喀什·三模）已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，是直線：（其中是實半軸長，是半焦距）上不同于原點的一個動點，斜率為的直線與雙曲線交于，兩點，斜率為的直線與雙曲線交于，兩點．(1)求的值；(2)若直線，，，的斜率分別為，，，，問是否存在點，滿足，若存在，求出點坐標(biāo)；若不存在，說明理由．4．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）已知雙曲線的實軸長為2，離心率為2，右焦點為，為上的一個動點，(1)若點在雙曲線右支上，在軸的負(fù)半軸上是否存在定點．使得？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．(2)過作圓的兩條切線，若切線分別與相交于另外的兩點、，證明：三點共線．5．（2024·福建福州·模擬預(yù)測）已知橢圓的離心率為，且過點.(1)求的方程；(2)直線交于兩點.（i）點關(guān)于原點的對稱點為，直線的斜率為，證明：為定值；（ii）若上存在點使得在上的投影向量相等，且的重心在軸上，求直線的方程.6．（2024·天津和平·二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓的右焦點為點F，橢圓上頂點為點A，右頂點為點B，且滿足．(1)求橢圓的離心率；(2)是否存在過原點O的直線l，使得直線l與橢圓在第三象限的交點為點C，且與直線AF交于點D，滿足，若存在，求出直線l的方程，若不存在，請說明理由．參考答案：1．(1)(2)過定點，定點為原點【分析】（1）設(shè)出兩點，運用兩點間距離公式構(gòu)造方程求解即可；（2）過點的直線的方程為，直線的斜率分別為.聯(lián)立拋物線，運用韋達定理，得到，則，即可證明.【詳解】（1）因為點的橫坐標(biāo)分別為，所以，則，解得，所以拋物線的方程為.（2）由題意，知直線的斜率存在，設(shè)，過點的直線的方程為，直線的斜率分別為.當(dāng)時，，因為，所以以為直徑的圓過原點.以下證明當(dāng)時，以為直徑的圓過原點.由，消去，得，由根與系數(shù)的關(guān)系，得，，所以，所以以為直徑的圓過原點.綜上，以為直徑的圓過原點.2．(1)證明見解析(2)證明見解析，和【分析】（1）將點代入得拋物線方程為，設(shè)，聯(lián)立直線與拋物線方程，韋達定理，然后用坐標(biāo)表示三個三角形的面積，化簡即可證明.（2）先求出直線的方程，令得點的坐標(biāo)，同理得點的坐標(biāo)，從而求出以為直徑的圓，令得圓恒過的定點.【詳解】（1）將代入，得，所以拋物線方程為，由題意知，設(shè)，由得，，，所以，所以，即.（2）直線的斜率，故直線的方程為，令得，所以點的坐標(biāo)為，同理，點的坐標(biāo)為，設(shè)線段的中點為，則=，又=，所以以為直徑的圓為，即，令得或，故以為直徑的圓過定點0,1和.3．(1)-3(2)存在，，或【分析】（1）設(shè)，利用斜率公式求解；（2）設(shè)，直線方程為，與雙曲線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達定理得到，，結(jié)合求解.【詳解】（1）由題可得雙曲線E：，則，∴左、右焦點分別為，，直線l的方程為：設(shè)，，同理可得．∴；（2）設(shè)，如圖，直線方程為，代入雙曲線方程可得：，所以，則，則，，，．同理，即，即，∴或，又，若．無解，舍去．∴，解得，，或，，若，，由A在直線上可得，，∴．此時，若，，由A在直線上可得，，∴此時∴存在點，或，滿足．4．(1)存在，.(2)證明見解析.【分析】（1）先求出雙曲線的方程，將角度關(guān)系轉(zhuǎn)化為直線的斜率關(guān)系，從而列出不等式，斜率不存在的情況單獨討論，即可求出M點的坐標(biāo).（2）先根據(jù)P點的位置判斷能否作出切線，再將切線分為斜率存在和不存在兩種情況討論，表達出兩條切線的方程，斜率存在時，再根據(jù)切線與圓的位置關(guān)系，找出兩條切線的斜率的關(guān)系，再把切線方程代入雙曲線，表達出點E、G的坐標(biāo)并找出坐標(biāo)關(guān)系，從而證出E、O、G三點共線.【詳解】（1）根據(jù)題意，有，所以雙曲線的方程為.設(shè)，且，①當(dāng)直線的斜率存在時，即時，因為，所以，，從而，化簡整理得，，，所以在x軸負(fù)半軸上存在點使得；②當(dāng)直線的斜率不存在時，即時，若，則，此時P點的坐標(biāo)為2,3，所以，則，又，所以，此時，綜上，滿足條件的M點存在，其坐標(biāo)為.（2）設(shè)Px0,①當(dāng)時，即時，直線PG的斜率不存在，直線PE的斜率為0，此時易得，此時點E、G關(guān)于點O對稱，故E、O、G三點共線.②當(dāng)，且或，且時，此時直線PE、PG的斜率存在且不為零，分別設(shè)為，設(shè)經(jīng)過Px0,所以，即由韋達定理得，又，所以，由直線PE與圓的位置關(guān)系可知，，同理直線PG的方程為，有，聯(lián)立，消去y并整理得，，即，即，令，根據(jù)韋達定理得，所以設(shè)，又，所以，所以，又，兩式相減得，，由圖可知，，所以，即.所以點E、G關(guān)于點O對稱，此時E、O、G三點共線，綜上得，E、O、G三點共線.5．(1)(2)（i）證明見解析；（ii）【分析】（1）根據(jù)橢圓離心率為，且過點可得；（2）（i）由點差法可得，進而有；（ii）聯(lián)立可得，故由重心坐標(biāo)公式可得，由在上的投影向量相等可知在的垂直平分線上，根據(jù)其方程，可得，由在上進而可得.【詳解】（1）由題意，得，解得，所以的方程為；（2）依題意可設(shè)點，且，（i）證明：因為點關(guān)于原點的對稱點為，所以，因為點在上，所以，所以，即，因為直線的斜率為，直線的斜率為所以，即為定值；（ii）設(shè)弦的中點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為的重心的坐標(biāo)為，由，得，所以，且，因為的重心在軸上，所以，所以，所以，因為在上的投影向量相等，所以，且，所以直線的方程為，所以，所以點，又點在上，所以，即又因為，所以，所以直線的方程為.6．(1)(2)因此存在直線滿足條件．【分析】（1）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)求解，即可結(jié)合的關(guān)系求解，（2）聯(lián)立方程可得坐標(biāo)，即可根據(jù)根據(jù)，即可求解.【詳解】（1）依題意，，解得，又因為，所以．（2）設(shè)直線的方程為，橢圓的方程為，設(shè)點，聯(lián)立方程組，整理得，解得，①，直線AF方程為，設(shè)點，，聯(lián)立方程組，解得，②，又因為，設(shè)，則有，即，所以，所以．所以，則有，代入①②有，解得，由題意得，所以，因此存在直線滿足題中條件．【點睛】方法點睛：解答直線與圓錐曲線的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去(或)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．涉及到直線方程的設(shè)法時，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情況，強化有關(guān)直線與曲線聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．反思提升：(1)定點問題，先猜后證，可先考慮運動圖形是否有對稱性及特殊(或極端)位置猜想，如直線的水平位置、豎直位置，即k＝0或k不存在時.(2)以曲線上的點為參數(shù)，設(shè)點P(x1，y1)，利用點在曲線f(x，y)＝0上，即f(x1，y1)＝0消參.分層分層檢測【基礎(chǔ)篇】一、單選題1．（2021·山東濱州·一模）已知橢圓的左、右焦點分別是，，左右頂點分別是，，點是橢圓上異于，的任意一點，則下列說法正確的是（

）A． B．直線與直線的斜率之積為C．存在點滿足 D．若△的面積為，則點的橫坐標(biāo)為2．（2021·浙江溫州·三模）如圖，點A，B，C在拋物線上，拋物線的焦點F在上，與x軸交于點D，，，則（

）A． B．4 C． D．33．（2021·廣西·二模）已知橢圓的上頂點為為橢圓上異于A的兩點，且，則直線過定點（

）A． B． C． D．4．（2023·河南·二模）已知動點P在雙曲線C：上，雙曲線C的左、右焦點分別為，，則下列結(jié)論：①C的離心率為2；

②C的焦點弦最短為6；③動點P到兩條漸近線的距離之積為定值；④當(dāng)動點P在雙曲線C的左支上時，的最大值為．其中正確的個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、多選題5．（2021·湖北黃岡·三模）已知動點在雙曲線上，雙曲線的左?右焦點分別為，下列結(jié)論正確的是（

）A．雙曲線的漸近線與圓相切B．滿足的點共有2個C．直線與雙曲線的兩支各有一個交點的充要條件是D．若，則6．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點為F，點在C上，P為C上的一個動點，則（

）A．C的準(zhǔn)線方程為 B．若，則的最小值為C．若，則的周長的最小值為11 D．在x軸上存在點E，使得為鈍角7．（2024·河南·模擬預(yù)測）已知拋物線Γ:，過點作直線，直線與Γ交于A，C兩點，A在x軸上方，直線與Γ交于B，D兩點，D在x軸上方，連接，若直線過點，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若直線的斜率為1，則直線的斜率為B．直線過定點C．直線與直線的交點在直線上D．與的面積之和的最小值為三、填空題8．（2021·遼寧·模擬預(yù)測）汽車前照燈主要由光源、反射鏡及配光片三部分組成，其中經(jīng)過光源和反射鏡頂點的剖面輪廓為拋物線，而光源恰好位于拋物線的焦點處，這樣光源發(fā)出的每一束光線經(jīng)反射鏡反射后均可沿與拋物線對稱軸平行的方向射出.某汽車前照燈反射鏡剖面輪廓可表示為拋物線.在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)拋物線，拋物線的準(zhǔn)線記為，點，動點在拋物線上運動，若點到準(zhǔn)線的距離等于，且滿足此條件的點有且只有一個，則9．（2024·四川宜賓·二模）已知為拋物線的焦點，過直線上的動點作拋物線的切線，切點分別是，則直線過定點.10．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知雙曲線的一條漸近線的傾斜角的正切值為.若直線（且）與雙曲線交于A，B兩點，直線，的斜率的倒數(shù)和為，則直線恒經(jīng)過的定點為.四、解答題11．（22-23高三上·山西·階段練習(xí)）已知中心為坐標(biāo)原點，焦點在坐標(biāo)軸上的橢圓經(jīng)過點，．(1)求的方程；(2)已知點，直線與交于兩點，且直線的斜率之和為，證明：點在一條定拋物線上．12．（2021·山西運城·模擬預(yù)測）已知P(1，2)在拋物線C：y2＝2px上．(1)求拋物線C的方程；(2)A，B是拋物線C上的兩個動點，如果直線PA的斜率與直線PB的斜率之和為2，證明：直線AB過定點．參考答案：題號1234567答案DBDBACDBCABD1．D【分析】根據(jù)橢圓的概念和幾何性質(zhì)依次判斷選項即可.【詳解】對選項A，，故A錯誤；對選項B，設(shè)，則，，，，則，故B錯誤.對選項C，因為橢圓，，，，所以以為直徑的圓與橢圓無交點，故不存在點滿足，故C錯誤；對選項D，，則，則，解得，故D正確.故選：D2．B【分析】設(shè)出點A，B，C的坐標(biāo)，利用直線AB，AC，BC斜率的關(guān)系建立等式即可得解.【詳解】依題意設(shè)，則直線AB，AC，BC斜率分別為：，因，則，即，則，因F(1，0)在直線AB上，則，而，有，即，點A在直線上，又是等腰三角形，點F，點D關(guān)于直線對稱，所以點D坐標(biāo)為(5，0)，|FD|=4.故選：B3．D【分析】設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理表示可解得或，然后分類討論可得答案【詳解】設(shè)直線的方程為，，則由整理得，所以，，因為，，，所以解得或，當(dāng)時，直線的方程為，直線過0,1點而，而不在同一直線上，不合題意；當(dāng)時，直線的方程為，直線過，符合題意.故選：D.【點睛】本題考查了直線和橢圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵點是利用韋達定理表示，考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力及計算能力.4．B【分析】①由性質(zhì)可得；②用特殊值可判定；③設(shè)點坐標(biāo)計算化簡即可，④利用雙曲線的焦半徑辦公計算即可.【詳解】由題意可得，即①正確；顯然當(dāng)雙曲線的焦點弦過左、右焦點時，該弦長為實軸，長度為2＜6，即②錯誤；易知雙曲線的漸近線方程為，設(shè)點，則，且到兩條雙曲線的距離之積為是定值，故③正確；對于④，先推下雙曲線的焦半徑公式：對雙曲線上任意一點及雙曲線的左右焦點，則，同理，所以，此即為雙曲線的焦半徑公式.設(shè)點，由雙曲線的焦半徑公式可得，故，其中，則，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得其最大值為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取得，故④錯誤；綜上正確的是①③兩個.故選：B5．ACD【分析】對于A，由已知條件求出漸近線方程和圓的圓心和半徑，然后利用點到直線的距離公式求出圓心到直的距離進行判斷即可；對于B，由雙曲線的性質(zhì)求出的最小值判斷；對于C，由于直線恒過點，所以分或，或和進行判斷；對于D，利用雙曲線的定義和已知條件可得，從而可判斷，從而可求出【詳解】解：由題意得，，則，所以，漸近線方程為，對于A，圓的圓心為，半徑為，而到直線的距離為，所以雙曲線的漸近線與圓相切，所以A正確；對于B，當(dāng)點在左支上時，的最小值為，所以左支上有2個點滿足，當(dāng)在右支上時，的最小值為為，所以右支上有2個點滿足，綜上滿足的點共有4個，所以B錯誤；對于C，因為恒過點，當(dāng)或時，直線與漸近線平行，與右支有1個交點，與左支無交點，當(dāng)或時，與右支有兩個交點，與左支無交點，當(dāng)時，直線與左、右支各有一個交點，所以C正確；對于D，不妨設(shè)點在右支上，則，而，所以，而，所以，所以，所以，所以，所以D正確，故選：ACD6．BC【分析】根據(jù)題意求出，即可求出準(zhǔn)線，即可判斷A；設(shè)點，，則，根據(jù)兩點的距離公式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷B；過點P作垂直于C的準(zhǔn)線，垂足為N，連接MN，再結(jié)合圖象，即可求得的周長的最小值，即可判斷C；設(shè)，再判斷是否有解即可判斷D.【詳解】A選項：因為點在拋物線上，所以，解得，所以拋物線C的方程為，所以C的準(zhǔn)線方程為，故A錯誤；B選項：設(shè)點，，則，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，故B正確；C選項：過點P作垂直于C的準(zhǔn)線，垂足為N，連接MN，則，易知，，所以，所以的周長為，當(dāng)且僅當(dāng)M，P，N三點共線時等號成立，所以的周長的最小值為11，故C正確；D選項：設(shè)，則，，所以，因為點在C上，所以，即，所以，所以，故不可能為鈍角，故D錯誤.故選：BC.7．ABD【分析】分別聯(lián)立曲線與直線方程，表示出韋達定理，解方程組可得B正確；由斜率的定義結(jié)合選項B可得A正確；當(dāng)軸時，求出四點坐標(biāo)，得到兩直線方程，求出交點橫坐標(biāo)可判斷C錯誤；由三角形的面積公式結(jié)合選項B和基本不等式可得D正確.【詳解】設(shè)，設(shè)直線交x軸于點，，直線的方程為：，聯(lián)立，消去可得，，所以，同理，設(shè)直線，聯(lián)立，消去可得，，所以，設(shè)直線，聯(lián)立，消去可得，，所以，聯(lián)立方程組，可得，故B正確；對于A，由B可得，所以當(dāng)時，有，故A正確；當(dāng)軸時，可知，，求得直線的方程為，直線的方程為，將這兩方程聯(lián)立方程組，解得，故C錯誤；設(shè)與的面積分別為，則，又，又，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故D正確．故選：ABD.8．【分析】設(shè)出，根據(jù)條件可得出，由題意方程只有一個解，所以其判別式為0，可得出答案.【詳解】拋物線，則準(zhǔn)線的方程為,焦點，設(shè)由點到準(zhǔn)線的距離等于，則所以化簡可得：由滿足此條件的點有且只有一個，時符合題意，若不等于1，則即，則由，所以故答案為：9．【分析】設(shè)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，再根據(jù)切線過點，從而可確定直線的方程，進而可得出答案.【詳解】設(shè)，由，得，則，則拋物線在點處得切線方程為，即，又，所以，又因為點在切線上，所以，①同理可得，②由①②可得直線的方程為，所以直線過定點.

故答案為：.【點睛】方法點睛：求解直線過定點問題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個關(guān)于定點坐標(biāo)的方程組，以這個方程組的解為坐標(biāo)的點即為所求點；（3）求證直線過定點，常利用直線的點斜式方程或截距式來證明.10．【分析】先根據(jù)漸近線的傾斜角算出，然后聯(lián)立直線和雙曲線，結(jié)合題目條件和韋達定理找到的關(guān)系，從而得到定點.【詳解】因為雙曲線方程為一條漸近線的傾斜角的正切值為.所以，解得，所以雙曲線方程為.設(shè)，，聯(lián)立得，.由韋達定理得，.因為，所以.所以，由題意知，此時.所以直線方程為，恒經(jīng)過的定點為.故答案為：11．(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程求法，列方程組解決即可；（2）設(shè)直線的斜率分別為，，，．將代入，得，，根據(jù)韋達定理化簡得即可解決.【詳解】（1）依題意設(shè)的方程為，因為經(jīng)過點，，所以，解得，故的方程為．（2）證明：設(shè)直線的斜率分別為，，，．將代入，得．由題設(shè)可知，，，所以，所以，所以．因為，所以，所以，故點在拋物線上，即點在一條定拋物線上．12．(1)y2＝4x(2)證明見解析【分析】(1)把已知點坐標(biāo)代入拋物線方程求得參數(shù)，即得拋物線方程；(2)設(shè)AB：x＝my+t，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線方程與拋物線方程聯(lián)立消元后應(yīng)用韋達定理得，代入得參數(shù)值，從而可得定點坐標(biāo)．【詳解】（1）P點坐標(biāo)代入拋物線方程得4＝2p，∴p＝2，∴拋物線方程為y2＝4x．（2）證明：設(shè)AB：x＝my+t，將AB的方程與y2＝4x聯(lián)立得y2﹣4my﹣4t＝0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4t，所以Δ＞0?16m2+16t＞0?m2+t＞0，，同理：，由題意：，∴4(y1+y2+4)＝2(y1y2+2y1+2y2+4)，∴y1y2＝4，∴﹣4t＝4，∴t＝﹣1，故直線AB恒過定點(﹣1，0)．【能力篇】一、單選題1．（2021·浙江紹興·三模）過點的兩條直線，分別與雙曲線：相交于點，和點，，滿足，（且）.若直線的斜率，則雙曲線的離心率是（

）A． B． C．2 D．二、多選題2．（2023·湖北襄陽·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，由直線上任一點向橢圓作切線，切點分別為、，點在軸的上方，則（）A．當(dāng)點的坐標(biāo)為時，B．當(dāng)點的坐標(biāo)為時，直線的斜率為C．存在點，使得為鈍角D．存在點，使得三、填空題3．（2024·河南·二模）直線與拋物線：相交于兩點，若在軸上存在點使得，則的最小值為.四、解答題4．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知雙曲線：的右焦點為，直線：與的漸近線相交于點，，且的面積為.(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點F作直線與C的右支相交于M，N兩點，若x軸上的點G使得等式恒成立，求證：點的橫坐標(biāo)為.參考答案：題號12答案DAD1．D【分析】設(shè)，由，，可得，，再利用點差法可得，，從而可得，進而可求出離心率【詳解】解：設(shè)，則,因為，，所以∥，所以，所以，，所以，所以，因為，，所以，所以，所以，則同理得，，則所以，因為且，所以，即所以離心率，故選：D【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查雙曲線的離心率的求法，解題的關(guān)鍵是設(shè)，由，，可得，，再利用點差法可得，，從而可得，進而可求出離心率，考查計算能力，屬于中檔題2．AD【分析】設(shè)點Ax1,y1、Bx2,y2，先證明出橢圓在其上一點處的切線方程為，可得出橢圓在點【詳解】設(shè)點Ax1,先證明出橢圓在其上一點處的切線方程為，由題意可得，聯(lián)立可得，即，即方程組只有唯一解，因此，橢圓在其上一點處的切線方程為，同理可知，橢圓在其上一點處的切線方程為，因為點為直線上一點，設(shè)點，則有，即，所以，點的坐標(biāo)滿足方程，所以，直線的方程為，對于A選項，當(dāng)點的坐標(biāo)為，即，此時直線的方程為，由可得，即點，此時，A對；對于B選項，當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)為時，即時，此時，直線的斜率為，B錯；對于C選項，聯(lián)立可得，，由韋達定理可得，，，同理，所以，，因此，恒為銳角，C錯；對于D選項，若點為橢圓的上頂點，則軸，此時，所以，點不是橢圓的上頂點，線段的中點為，所以，，，存在點，使得，則，則，化簡可得，因為，，所以，，即，因為，解得，因此，存在點，使得，D對.故選：AD.3．【分析】聯(lián)立直線與拋物線方程，引入?yún)?shù)，結(jié)合韋達定理以及可得關(guān)于應(yīng)該滿足的條件式，結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】聯(lián)立方程得，令，而由題意，所以.設(shè)，由韋達定理得.設(shè)，則，，即，顯然，否則，但這是不可能的，即，因為，所以（否則時，有，但這與已知矛盾），由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.故答案為：.4．(1)(2)見解析【分析】（1）首先求點的坐標(biāo)，并利用坐標(biāo)表示的面積，即可求解雙曲線方程；（2）首先由幾何關(guān)系確定，再利用坐標(biāo)表示，代入韋達定理，即可求解.【詳解】（1）雙曲線的漸近線方程為，直線與漸近線的交點坐標(biāo)為，不妨設(shè)，，，則，即，所以，且，得，，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

（2）由可知，，根據(jù)正弦定理可知，，而，所以，所以，則，所以,設(shè)直線，，聯(lián)立，得，，，，，，所以，即，則，解得：，所以點的橫坐標(biāo)為【培優(yōu)篇】一、解答題1．（2023·河北·模擬預(yù)測）已知焦點在軸上的橢圓的焦距為，左、右端點分別為，點是橢圓上不同于的一點，且滿足.(1)求橢圓的方程；(2)過橢圓的上焦點作兩條互相垂直的直線，，，分別與橢圓交于點和點分別為，的中點，問直線是否過定點？如果過定點，求出該定點；如果不過定點，請說明理由.2．（2024·福建廈門·模擬預(yù)測）雙曲線C：的離心率為，點在C上.(1)求C的方程；(2)設(shè)圓O：上任意一點P處的切線交C于M、N兩點，證明：以MN為直徑的圓過定點.3．（2024·云南·模擬預(yù)測）拋物線的圖象經(jīng)過點，焦點為，過點且傾斜角為的直線與拋物線交于點，，如圖．

(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)當(dāng)時，求弦AB的長；(3)已知點，直線，分別與拋物線交于點，．證明：直線過定點．參考答案：1．(1)(2)過，.【分析】（1）利用可得，再利用即可得橢圓的方程；（2）當(dāng)直線的斜率存在且不為時，設(shè)直線的方程，聯(lián)立橢圓方程可得，同理得